专题 4.1 平面直角坐标系（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 4.1 平面直角坐标系（知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 情景引入： 1 核心考点与考纲要求： 2 知识点（一）平面直角坐标系 3 【题型1】建立平面直角坐标系，求点的坐标 3 知识点（二）象限 6 【题型2】判断点所在的象限 7 【题型3】已知点所在的象限求参数 9 知识点（三）点到坐标轴的距离 10 【题型4】点到坐标轴的距离 10 知识点（四）两点之间的距离公式和中点坐标公式 14 【题型5】平行于坐标轴两点之间的距离 14 【题型6】任意两点的距离 16 【题型7】中点坐标公式 18 【题型8】平面直角坐标系与几何图形综合 21 高频易错点清单： 26 易错点专项练习题（8道题） 27 二．同步练习​ 34 【基础夯实（16题）】 34 【能力提升（16题）】 45 一.知识梳理与题型分类精析 情景引入： 【例题1】（25-26七年级上·江苏苏州·开学考试）淘气在方格图中画了一个小房子（如图）． （1）小房子的顶点A用数对表示为（_________，________）． （2）把小房子先向上平移3格，再向右平移3格，画出平移后的图形． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题主要考查确定位置和平移作图，掌握用数对表示物体位置以及作平移后的图形的方法是解题的关键． （1）用数对表示位置时，表示列的数在前，表示行的数在后，中间用“，”隔开，数对加上小括号，找到点在图中的位置为第2列，第4行，用数对表示即可； （2）找到小房子关键点的位置，分别确定各关键点先向上平移3格，再向右平移3格的位置，顺次连接各关键点即可． 解：（1）解：小房子的顶点用数对表示为； 故答案为：2；4； （2）解：小房子平移后的位置如下图： 由【例题1】可知：确定平面上一个点的位置可以用一对有序实数P（a,b）表示。 核心考点与考纲要求： 考纲层级 核心考点 能力要求 基础级（必考题） 1. 平面直角坐标系的概念；2. 点的坐标读写与象限判断；3. 点到坐标轴的距离 1. 能根据坐标确定位置，或根据位置写坐标；2. 熟练掌握象限符号特征；3. 直接套用距离公式计算 进阶级（高频题） 1. 平行于坐标轴的两点距离；2. 中点坐标公式；3. 已知象限 / 距离求参数 1. 能结合坐标特征转化条件；2. 会列方程 / 不等式组求解参数；3. 处理多解问题 提升级（综合题） 1. 任意两点距离；2. 坐标与几何图形综合（面积、等腰三角形存在性）；3. 规律探究 1. 运用割补法、分类讨论法解题；2. 结合几何性质（勾股定理、等腰性质）；3. 归纳坐标变化规律 知识点（一）平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴称为轴或横轴，铅直的数轴称为轴或纵轴，和统称坐标轴，它们的公共点称为平面直角坐标系的原点。 建立了平面直角坐标系（简称“建系”），平面内的点就可以用一组有序实数来表示了。如图1，过点作横轴的垂直交横轴于,过点作纵轴的垂直交纵轴于，有序实数对（,）叫做点的坐标，其中叫横坐标，叫纵坐标。 图1 【题型1】建立平面直角坐标系，求点的坐标 【例题2】 （25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图所示的象棋棋盘上建立合适的平面直角坐标系，若“将”位于点，“炮”位于点，则“象”可能位于点（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，根据题意正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 根据“将”和“炮”的坐标建立平面直角坐标系，再确定“象”的坐标即可． 解：由“将”和“炮”的坐标可建立如图所示平面直角坐标系： 故“象”位于点． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，解答本题要掌握建立平面直角坐标系的方法．根据以点为原点重新建立直角坐标系，点的横坐标与纵坐标分别为点的横坐标与纵坐标的相反数解答即可． 解：在方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为，若以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，长方形的两条边的长分别为3，5，建立平面直角坐标系，若要使其中三个顶点在坐标轴上，且点的坐标为，则应以点 为坐标原点，此时点的坐标为 ． 【答案】 A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的建立以及长方形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的确定方法是解题的关键．根据长方形的边长以及点的坐标，分析以为原点时各点的坐标情况． 解：长方形中，．三个顶点在坐标轴上，且点的坐标为， ∴点C在第四象限，以为坐标原点，在轴负方向，在轴正方向，如图， ∵， ∴点的坐标为； 故答案为：；． 【变式3】（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，是边长为4的等边三角形，建立适当的平面直角坐标系，并求各顶点的坐标．小琴的解法如下，请你根据她的思路，补全横线上空缺的部分，并完成解答． 解：如图，以顶点 为坐标原点， 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，使点A在第一象限内．…… 【答案】；；各顶点坐标为 【分析】本题重点考查了直角坐标系中点的坐标，对于坐标平面内的任意一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序数对叫做点的坐标，记作，同时还考查了等边三角形的性质，熟练掌握直角坐标系的建立是本题解题的关键． 先以顶点为坐标原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，得到两点的坐标，然后利用等边三角形的性质计算得到点到轴、轴的距离，进而得到点的坐标，进而完成求解． 解：如图，以顶点为坐标原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，使点在第一象限内， 点为坐标原点， 点的坐标为， 是等边三角形，且边长为， ， 点在轴正半轴， 点的坐标为， 过点作于点，如图， ， ， 在中，， 由勾股定理得， 点A在第一象限内， 点A的坐标为， 三点的坐标为． 方法小结：建立平面直角坐标系时，以特殊图形的关键点作为坐标原点，力求表示点的坐标时简单方便。 知识点（二）象限 1.建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如图2． 图2 2. 坐标平面的结构 坐标平面内的点可以划分为六个区域：轴，轴，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。 这六个区域中，除了轴与轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 【题型2】判断点所在的象限 【例题3】（25-26八年级上·陕西西安·月考）在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标，各个象限内点的坐标的特点；第一象限的点的横坐标和纵坐标都是正数；第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数；第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数；第四象限的点的横坐标为正数，纵坐标为负数；分析点P的横坐标和纵坐标的符号即可确定P点所在象限． 解：的横坐标，是负数，纵坐标，是正数， ∴P点一定在第二象限， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃武威·阶段练习）若，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，再根据的符号，判断点所在的象限即可． 解：∵， ∴，解得， ∴在第四象限； 故答案为：四． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）在平面直角坐标系中，点在第 象限． （2）若点在第二象限，则点在第 象限． 【答案】 二 一 【分析】本题考查了点的坐标，不等式的性质，坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，掌握这些是解题的关键． （1）分析，则点的横坐标小于0，纵坐标大于0，即可作答． （2）先根据点在第二象限，得出，则，得出点所在的象限，即可作答． 解：（1）∵， ∴， ∵， ∴点在第二象限， 故答案为：二； （2）点在第二象限， ∴， ∴， ∴点在第一象限， 故答案为：一． 方法小结：象限内的点和坐标轴上的点坐标符号特征： 点的位置 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 轴 轴 原点 横坐标符号 + - - + 任意 0 0 纵坐标符号 + + - - 0 任意 0 点坐标符号 （+，+） （-，+） （-，-） （+，-） （，0） （0，） （0，0） 【题型3】已知点所在的象限求参数 【例题4】（25-26八年级上·陕西西安·期中）若点在轴上，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征． 利用x轴上点的纵坐标为0的性质直接求解即可． 解：∵点P在x轴上， ∴纵坐标， ∴． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据第三象限内点的坐标特征（横、纵坐标均为负）列出不等式组，求解不等式组得到的取值范围．本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限点的坐标特征以及一元一次不等式组的求解，熟练掌握第三象限点横、纵坐标都为负并据此列出不等式组是解题的关键． 解：∵点在第三象限， ∴． 解得； 解得． ∴． 故答案为： ． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在第四象限，则的取值范围是________； （2）若点在第二、四象限的角平分线上，求的值． 【答案】（1）；（2）0 【分析】（1）根据第四象限内，横坐标为正，纵坐标为负，建立不等式组解答即可； （2）点在第二、四象限的角平分线上，得解答即可． 本题考查了点与象限，第二、四象限的角平分线上的点的坐标互为相反数，熟练掌握性质是解题的关键． 解：（1）解：点在第四象限， 解得． 故答案为：． （2）解：点在第二、四象限的角平分线上， 得， 解得． 故答案为：0． 方法小结： 知识点（三）点到坐标轴的距离 平面内一点到横轴的距离等于纵坐标的绝对值，到纵坐标的距离等于横坐标的绝对值，如图：点到轴的距离为,到的距离为。 图3 【题型4】点到坐标轴的距离 【例题5】（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）已知点在第四象限，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，掌握第四象限点的特征：横坐标为正，纵坐标为负，是解题的关键．根据象限确定坐标的符号，根据距离确定坐标的绝对值，得到点的坐标． 解：点在第四象限， 横坐标是正的，纵坐标是负的， 到轴的距离是3，到轴的距离是2， 点的坐标为， ， ． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·期中）点到轴的距离是，到轴的距离是，且在轴的左侧，则点的坐标是（ ） A． B． C．或 D． ， 【答案】C 【分析】此题考查了点到坐标轴的距离，根据点到坐标轴的距离和位置条件，点M到x轴距离为3，则纵坐标为；到y轴距离为2，则横坐标为；结合点在y轴左侧，横坐标为负，从而确定坐标． 解：∵点M到x轴的距离是3， ∴点M的纵坐标为3或． ∵点M到y轴的距离是2， ∴点M的横坐标为2或． ∵点M在y轴的左侧， ∴点M的横坐标为负，即横坐标为． ∴点M的坐标为或． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B的坐标分别是．点C是射线上的一动点，过点C作于点D，交y轴于点E，当与全等时，则长为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了全等三角形的性质．分两种情况根据全等三角形的性质作答即可． 解：∵， ∴，， ①如图，此时， ∴， ∴； ②如图，此时， ∴， ∴； 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，将一个直角三角板按如图方式放在平面直角坐标系中，直角顶点落在处，顶点落在处．顶点落在第一象限，求顶点到轴的距离． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角坐标系下点到坐标轴的距离，解决本题的关键是作出辅助线构造全等三角形． 作辅助线构造全等三角形，由角角边的证明方法证明和全等，再由边的关系求解即可． 解：如图，过点作轴于， 点，点， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 即顶点到轴的距离为． 方法小结：利用点到坐标轴距离等于纵坐标或橫坐标绝对值，注意分类讨论，同时利用几何图形性质进行求值和证明方法。 知识点（四）两点之间的距离公式和中点坐标公式 （1）如图4横坐标相等的两点间直线平行于轴，这两点间距离：； （2）如图5纵坐标相等的两点间直线平行于轴，这两点间距离：； （3）如图6任意两点之间的距离： ； 图4 图5 图6 （4）中点坐标公式：如图6，线段中点坐标为（，）。 【题型5】平行于坐标轴两点之间的距离 【例题6】（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点Q在x轴下方，轴．若，则点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征以及两点间的距离计算． 先根据平行于轴的直线上的点横坐标相同，确定点的横坐标，再根据求出点的纵坐标，进而可得点的坐标． 解：点的坐标为，轴， 点的横坐标为． 点在轴下方，，点的纵坐标为， 点的纵坐标为, 点的坐标为． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，且轴，则点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查坐标系中与y轴平行的直线上点的坐标特点：根据轴，可知点M与点N的横坐标相等，从而建立方程求解． 解：因为轴，点N的横坐标为， 所以点M的横坐标， 解得， 代入点M的纵坐标， 故点M的坐标为， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·四川南充·期中）已知轴，且到轴距离为2，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离，根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同，以及点到轴的距离为纵坐标的绝对值，进行求解即可． 解：∵， ∴， ∵到轴距离为2， ∴， ∴， ∴点的坐标是或； 故答案为：或 【变式3】（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． （1）若点Q的坐标为，且轴，则点P的坐标为 ； （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则的值为 ． 【答案】 2024 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上及到坐标轴距离相等的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征进行计算即可． （2）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征求出a的值，再进行计算即可． 解：（1）由题知， 因为点P的坐标为，点Q的坐标为，且轴， 所以， 解得， 则， 所以点P的坐标为 故答案为： （2）因为点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， 所以， 解得， 所以 故答案为： 方法小结：充分利用两点之间的距离公式进行求值，特别注意适时进地分类讨论，不要漏解。 【题型6】任意两点的距离 【例题7】（23-24八年级上·广东梅州·期中）若第一象限内的点到原点的距离为5，则a的值是（    ） A．3 B． C．5 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标系中两点距离计算公式，第一象限内的点的坐标特点，坐标系中点和点的距离为，据此可得，解方程即可得到答案． 解：∵点到原点的距离为5， ∴， 解得， ∵点在第一象限， ∴， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·广西钦州·期末）阅读理解：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离 例如： 若点，，则 根据以上材料，解决下列问题： （1）已知点，， 求A，B两点间的距离； （2）已知点，，， 判断的形状． 【答案】（1）；（2）直角三角形 【分析】本题主要考查了两点间距离公式，勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据两点间距离公式即可求解； （2）根据两点间距离公式得出，，，再根据勾股定理逆定理，进而即可求解． 解：（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得，，， ∴， ∴是直角三角形． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上运动，当以点、，为顶点的三角形为等腰三角形时，点的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：分别求出符合条件的点P的坐标，并验证是否构成三角形即可． 解：①当时： 的长度为． 设，则的长度为． 由，解得或． 当时，P与O重合，无法构成三角形，舍去；当时，P有效． ②： 的长度为，由，解得或． 对应的点和均不共线，有效． ③： 由，平方后解得． 点与O、A不共线，有效． 综上，符合条件的点P共有4个：、、、． 故选D． 方法小结：任意两点之间距离公式是初中数学一个重要公式，识记公式并通过公式线段长是解题的关键。 【题型7】中点坐标公式 知识要点：点、坐标分别为 ，线段AB中点C点坐标为 则有 【例题8】（24-25七年级下·河北廊坊·期末）在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段的中点坐标为．例如：点，则线段的中点坐标为． 请利用以上结论解决问题： （1）若点，，则以点和点为端点的线段的中点坐标为_____． （2）已知点，若为线段的中点，求点的坐标． （3）已知点和点的坐标分别为，线段与轴平行，且．若线段的中点与线段的中点在第一象限重合，直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了中点坐标公式，理解中点坐标公式是解题的关键． （1）根据中点坐标公式代入数据计算即可； （2）设点的坐标为，根据中点坐标公式分别建立关于的方程求解即可； （3）先求出点H的坐标，再求出线段的中点坐标为，进而得到线段的中点坐标为，同理（2）即可求解． 解：（1）解：∵，， ∴以点和点为端点的线段的中点坐标为，即， 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 由题意得， 解得， 点的坐标为； （3）解：点，线段与轴平行，且的中点在第一象限， ∴点在第一象限，且纵坐标为， ∵， 点的坐标为， 线段的中点坐标为， 线段的中点坐标为， 点的坐标为， ∴点的坐标为． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中点坐标公式，根据中点坐标公式即可求解，掌握中点坐标公式是解题的关键． 解：∵，， ∴线段的中点的坐标为，即， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·期中）已知点，，点是线段EF的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以为对称点重复前面的操作，依次得到点，，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中中点坐标公式的应用．解题的关键是总结规律． 根据题目所给的信息，确定点关于点的对称点为，则点为点和点的中点，根据公式，可以求出点的坐标，依次类推求出点，点，点，点，点，总结规律，利用周期原理，求出点的坐标． 解：设， 点关于的对称点为，，，， ， ， ， 同理可得，，，，， 每6个点坐标循环一次， ， 点的坐标是， 故选：A． 【变式3】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）已知中，，点、分别是、边上的一点，满足，，若、分别是、的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，中点坐标，两点间的距离公式，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，则，，又、分别是、的中点，故有，，然后用两点间的距离公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，， ∵，， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， 故答案为：． 方法小结： 【题型8】平面直角坐标系与几何图形综合 【例题9】（25-26八年级上·江西南昌·月考）在平面直角坐标系中，已知，在平面内取一点（点是不同于点的点），若以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查轴对称图形的性质，全等三角形的判定，对称图形点坐标变化，取线段的垂直平分线，根据成轴对称的两个图形全等求解即可． 解：如图，取线段的垂直平分线，作关于直线的对称点，分别作和关于轴的对称点，， ∵， ∴线段的垂直平分线为， ∴和关于直线对称， ∵作关于直线的对称点， ∴，与关于直线对称， ∴，此时， ∵关于轴的对称点是，关于轴的对称点是， ∴，， 综上所述，以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为，，， 故答案为：，，． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，，O是的中点，点A的坐标是，则点C的坐标为 ，点B的坐标为 ．   【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．过点C作轴于点D，过点A作轴于点E，过点C作x轴的平行线交的延长线于点F，证明，由全等三角形的性质得出，即可求出点C的坐标；证明，由全等三角形的性质得出，求出，则可得出点B的坐标． 解：过点C作轴于点D，过点A作轴于点E，过点C作x轴的平行线交的延长线于点F， ∵点A的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）边长为的等边在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴上，交轴于点、轴，为坐标原点，连接，若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练应用相关性质定理是解题的关键．根据平行线的性质易知，结合等边三角形性质得到，根据，得到，即可得解． 解：点在轴上，交轴于点、轴， ， 是边长为的等边三角形， ， ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图直角坐标系中为原点、、坐标分别为、，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． （1）_____，_____； （2）当的面积等于时，求的值； （3）过作垂直于直线交于，交轴于．在点运动的过程中，是否存在这样的点，使与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）或；（3）当或时，与全等 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质、绝对值的非负性，全等三角形的性质． （1）根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出、； （2）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算； （3）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案． 解：（1）解：，，， ，， ，， 解得，，， 故答案为：；； （2）由（1）可得，， 当点在线段上时，， 则， 解得，， 当点在线段的延长线上时，， 则， 解得，， 当或时，的面积等于； （3）如图1，当点在线段上时， ， ，即， 解得，， 如图，当点在线段的延长线上时， ， ，即， 解得，， 当或时，与全等． 方法小结：利用平面直角坐标系为背景，求解几何问题是数学中的重要内容之一，其核心问题是求出点的坐标。这是培养学生素养的基本要求。 高频易错点清单： 概念混淆类 1. 坐标轴上的点归为某一象限；2. 坐标读写顺序颠倒。 1.牢记 “坐标轴上的点不属于任何象限”；2. 口诀 “先横后纵，列对应 ，行对应”。 公式应用类 1. 点到坐标轴距离记反； 2. 距离公式忽略绝对值。 1. 口诀 “到 轴距离等于纵坐标绝对值，到轴的距离等于横坐标绝对值”；2. 距离非负，计算必带绝对值。 符号类错误 1. 象限符号混淆（如第二象限误记为 （+,-））；2. 对称点规律记错（原点对称误记为仅变横坐标） 1. 象限符号口诀 “一正正，二负正，三负负，四正负”；2. 对称规律 “x 轴对称纵变号，y 轴对称横变号，原点对称全变号” 易错点专项练习题（8道题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列说法中错误的是（   ） A．原点的坐标是 B．点在第四象限 C．x轴上的所有点的纵坐标都相等 D．y轴上的所有点的横坐标都相等 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中象限及坐标轴点的坐标特征；根据各个象限及坐标轴上点的坐标特征逐项分析即可． 解：选项A：原点的坐标为，正确； 选项B：点的横坐标为，属于轴上的点，而坐标轴上的点不属于任何象限，因此该点不在第四象限，错误； 选项C：轴上的点纵坐标均为，因此纵坐标相等，正确； 选项D：轴上的点横坐标均为，因此横坐标相等，正确； 综上，错误的选项是B． 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖南永州·期末）坐标思想是法国数学家笛卡尔创立的，在平面直角坐标系中，A点坐标为，下列结论正确的是（ ） A．到x轴距离为2 B．到y轴距离为2 C．A点在第三象限 D．A点在第四象限 【答案】B 【分析】本题考查直角坐标系中点的特征，熟练掌握直角坐标系中点的特征是解题的关键，根据直角坐标系中点的特征判断即可得到答案． 解：∵A点坐标为， ∴点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值， ∵，， ∴点位于第二象限， 综上：A、C、D错误， 故选：B． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知点，，则直线（    ） A．平行于x轴 B．平行于y轴 C．垂直于y轴 D．以上都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形性质．根据平行于轴的点的横坐标相等解答．点和的横坐标相同，因此直线平行于轴 解：∵，，横坐标均为，到轴的距离相等， ∴ 直线平行于轴． 故选：B． 二、填空题 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，有4名同学各画了一个平面直角坐标系，其中画法正确的是 ．（请填写序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了直角坐标系的判断，直角坐标系的定义：在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点的数轴，其中横轴为x轴，纵轴为y轴，这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系； 结合题中所画的直角坐标系，运用上述的定义即可求解． 解：①中的x轴负半轴数据不对；②x轴与y轴没有垂直；③正确；④单位长度不一致； 故答案为：③． 5．（24-25七年级下·山东德州·期末）在平面直角坐标系中，点，其中m为实数，给出下列三个结论：①线段长度的最小值是1；②若点，且线段，则；③若，则三角形的面积是定值．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了平面直角坐标系、点到直线的距离、两点间的距离、三角形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由点，可知点在直线上，可判断①；由的坐标以及两点间的距离公式列出方程，求出的值，可判断②；利用三角形的面积公式可判断③，即可得出结论． 解：∵点， ∴点在直线上， 当直线时，线段有最小值，最小值是1，故①正确； ∵，，， ∴， 解得：或，故②错误； ∵，，， ∴，点到的距离为， ∴三角形的面积，是定值，故③正确； ∴综上所述，所有正确结论的序号是①③． 故答案为：①③． 三、解答题 6．（25-26八年级上·陕西·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）已知点的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求的值及对应的点的坐标． 【答案】（1）；（2）当的值为2时，点的坐标为；当的值为时，点的坐标为 【分析】本题考查了点的坐标，坐标轴上的点的特征，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据点在y轴上横坐标为0求解； （2）结合直线轴，得出，即，根据线段的长为5，进行分类讨论，再进行列式计算，即可作答． 解：（1）解：由题意可得，， 解得， ， ； （2）解：直线轴， ，C两点的横坐标相等， 即， 解得， ， 点A的坐标为． 线段的长为5， 当点C在点A上方时，， 解得，此时点C的坐标为； 当点C在点A下方时，， 解得，此时点C的坐标为． 综上所述，当b的值为2时，点C的坐标为；当b的值为时，点C的坐标为． 7．（25-26八年级上·重庆潼南·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出关于y轴对称的． （2）直接写出、、三点的坐标． （3）已知点D是x轴上的一点，若为等腰三角形，则满足条件的D点有______个． 【答案】（1）见分析；（2），，；（3）3 【分析】本题考查轴对称变换，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称图形和等腰三角形的性质是解题的关键， （1）根据轴对称图形的变换得到，，，依次连接即可得到； （2）由（1）即可得到答案； （3）分3种情况讨论，当时，当时，当时，即可确定点D的个数． 解：（1）解：∵、、， ∴它们关于y轴对称的点分别为：，，， 依次连接可得如下： （2）解：由（1）得：，，． （3）解：∵点D是x轴上的一点，且为等腰三角形， 当时，以点为圆心，为半径画圆交x轴有2个交点； 当时，以点为圆心，为半径画圆交x轴无交点； 当时，作的垂直平分线，与x轴有1个交点， 综上所述：能使为等腰三角形的点D有3个． 故答案为：3． 8．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：． （1）求a、b、c的值； （2）请直接判断与y轴的位置关系； （3）若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； （4）如果点在平面内，是否存在m，使四边形的面积为面积的3倍？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）平行于轴；（3）或；（4）存在，满足条件的点P的坐标为或 【分析】（1）根据非负数的性质，得到，，，然后计算即可得出答案； （2）根据横坐标相同的两点构成的直线与轴平行即可判断； （3）根据点到的距离为5，点、的横坐标为4，可以求得的值有两种情况，然后代入计算的面积即可； （4）分两种情况进行讨论，当或时，根据四边形与三角形的面积关系列出方程，解得的值，然后写出点的坐标． 解：（1）解：， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知：，， 点、点的横坐标相同， 平行于轴； （3）解：点到的距离为5，，， ， ， 解得：或， 点的坐标为或， 点的坐标为， ， 当时， ， 当时， ， 综上可得：或； （4）解：存在，理由如下： 当时，    ， ， 四边形的面积为面积的3倍， ， 解得：， 满足条件的点的坐标为； 当时，    ， ， 四边形的面积为面积的3倍， ， 解得：， 满足条件的点的坐标为； 综上所述，满足条件的点P的坐标为或 【点拨】本题主要考查平行线的判定与性质，非负数的性质，坐标与图形性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 二．同步练习​ 【基础夯实（16题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·重庆·月考）根据下列表述，能确定准确位置的是（    ） A．学校报告厅5排 B．负一层停车场 C．南偏东 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查坐标确定位置，理解确定位置需要两个数据是解题关键．根据各选项是否提供两个数据判断． 解：A、 只提供排数，无座位号，不能确定具体位置； B、 只提供楼层，无车位号，不能确定具体位置； C、只提供方向，无距离，不能确定具体位置； D、提供经度和纬度两个数据，能确定具体位置； 故选：D． 2．（25-26八年级上·广西梧州·期中）在下列所给出坐标的点中，在第二象限的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查坐标系中点的坐标特点，根据平面直角坐标系各象限点的坐标符号特征，第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正即可判断． 解：∵ 第二象限的点坐标符号为， ∴ 点的横坐标为负，纵坐标2为正，符合第二象限特征， 故选B． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）若点在轴上，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，利用轴上点的横坐标为求出是解题关键． 根据轴上点的横坐标为，求出的值，再代入点的坐标，判断其所在象限． 解：点在轴上， ， 解得， 点B的横坐标为，纵坐标为， 即点， 点在第四象限， 故选：D． 4．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）已知点P在轴的右侧，点P到轴的距离为6，且它到轴的距离是到轴距离的一半，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 根据点到坐标轴的距离定义，点P到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，结合点P在y轴右侧，横坐标为正，求解即可． 解：∵点到轴的距离为 6 ，且它到轴的距离是到轴距离的一半， ∴点到轴的距离是 3 ， ∵点在轴右侧， ∴点的横坐标为 3 ， ∵点到轴的距离为 6 ， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为或， 故选：D． 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）下列说法不正确的是（    ） A．点在第一象限 B．点到轴的距离为3 C．已知点，点，则轴 D．若，则点一定在轴上 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、点到坐标轴的距离、平行于坐标轴的直线条件等基础知识．通过逐一分析各选项，判断其正确性即可． 解：A、点的横坐标，纵坐标，则点在第一象限，正确，不符合题意； B、点到y轴的距离，正确，不符合题意； C、点和点的纵坐标均为3， ∴轴，正确，不符合题意； D、由，得或，点可能在x轴上或y轴上或原点， ∴ 不一定在x轴上，错误，符合题意． 故选：D． 6．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为（   ） A．2个 B．4个 C．7个 D．确定不下来 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分别以为腰的三角形，以为腰的三角形和以为腰的三角形分别进行分析即可，正确理解等腰三角形的定义是解题的关键． 解：如图， 由题意可知：以为腰的三角形有个，轴正半轴上的点不能成立，因为此时三点共线，不能构成三角形； 以为腰的三角形有个； 以为腰的三角形有个． 则点的个数是． 故选：C． 二、填空题 7．（25-26八年级上·广东深圳·期中）剧院里5排3座表示为，9排6座表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置．根据剧院里5排3座表示为表示，即可得． 解：∵5排3座表示为， ∴9排6座表示为． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·四川成都·期中）点P在第四象限，且点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是5，那么点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】该题考查了点到坐标轴的距离，每个象限点的坐标特征，第四象限点的坐标的符号特征，根据点到坐标轴的距离确定坐标值． 解：∵点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是5， ∴，， 因为点P在第四象限， 所以，， 因此，． 故点的坐标为． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键． 根据点的坐标符号判断所在象限． 解：点P的横坐标为，是负数； 纵坐标为， 由于，故，是正数． 因此点P在第二象限． 故答案为：二． 10．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如果点在x轴上，那么m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征，根据x轴上点的纵坐标为0，列方程求解． 解： 在x轴上， 所以其纵坐标， 解得． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·天津河西·期中）在平面直角坐标系中，按如图方式摆放，，．若点，的坐标分别为，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标求解，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及作辅助线构造全等三角形的方法．掌握通过几何性质转化坐标问题，并利用全等三角形建立等量关系是解题的关键．过点B作轴于点E，过点A作轴，证明，从而找到边的等量关系求解． 解：过B作轴交于点E，过A作轴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 12．（22-23七年级下·北京·期中）数学课上，王老师让同学们对给定的正方形，建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果： 甲同学：； 乙同学：； 丙同学：； 丁同学：； 上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的同学有 ． 【答案】甲丙 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键是在坐标系中正确的描点；在坐标系中描出A，B，C，D四个点，再观察四边形的形状即可得解． 解：甲同学：画坐标系并描点得， 由图可知，四边形是正方形，故符合题意， 乙同学：画坐标系并描点得， 由图可知，四边形不是正方形，故不符合题意， 丙同学：画坐标系并描点得，； 由图可知，四边形是正方形，故符合题意， 丁同学：画坐标系并描点得， 由图可知，四边形不是正方形，故不符合题意， 综上所述，四个点的坐标都表示正确的同学有甲丙， 故答案为：甲丙． 三、解答题 13．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）在图中画出关于x轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点）； （2）在（1）的条件下写出点的坐标． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】本题考查了作轴对称图形，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，先标出点的位置，再依次连接，即可作答． （2）观察（1）中的图，读取各个点的坐标，即可作答． 解：（1）解：如图所示： （2）解：观察（1）中的图，得． 14．（25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． （1）点在轴上； （2）点到轴、轴的距离相等 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，主要利用了轴上的点的坐标特征，熟练掌握点到坐标轴的距离特点，是解题的关键． （1）根据轴上点的横坐标为 0 列式计算即可得解； （2）根据点到坐标轴的距离相等列式计算即可得解． 解：（1）解：∵点在轴上， ∴，解得． ， ∴点的坐标为； （2）解：∵点到轴、轴的距离相等， ， 或， 解得或． 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，是一个的正方形网格电子屏示意图，其中每个小正方形的边长均为1，位于平面直角坐标系中的光点A，B，C按图②所示的程序移动． （1）请在图①中画出及经过变换后的； （2）可以经过怎样的变换得到； （3）求线段的长． 【答案】（1）见分析；（2）先关于轴对称，再关于轴对称，即可得到；（3） 【分析】本题主要考查了学生对于轴对称变换的熟练掌握，以及如何运用勾股定理求解的能力；掌握轴对称变换的性质以及勾股定理是解本题的关键． （1）根据程序图画出变换后的三角形即可； （2）观察图形变换即可得出； （3）利用勾股定理可得线段的长． 解：（1）解：画出和如答图所示． （2）解：先关于轴对称，再关于轴对称，即可得到（或先关于轴对称，再关于轴对称，即可得到）． （3）解：因为点，点， 所以由勾股定理，得， 所以线段的长为． 16．（21-22七年级下·湖北恩施·期中）如图，在四边形中，，，已知． （1）点的坐标为 ； （2）在轴上找一点，使得． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了坐标与平面综合，坐标系中三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据平行于轴的直线上两点纵坐标相等，横坐标差的绝对值即为两点的距离求解即可； （2）根据三角形面积公式求解． 解：（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解： ∵， ∴， ∴， ∴或． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）若点满足方程组，则点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】本题考查解三元一次方程组，点的坐标，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．利用加减消元法解方程组，然后根据各象限内的点的坐标特征即可求得答案． 解：， 由①②得：④， 由③④得：，解得， 将代入①得：，解得， 则点的坐标为，位于第二象限， 故选：B． 2．（24-25七年级下·新疆和田·期末）已知点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系各象限点的坐标符号特征，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，根据第一象限点的横纵坐标为正数，列出关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围，进而在数轴上表示出来即可求解，掌握平面直角坐标系各象限点的坐标符号特征是解题的关键． 解：∵点在第一象限， ∴， 解得， ∴的取值范围在数轴上表示为， 故选：． 3．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．若点与点之间的距离是1，则x的值是 B．若，则点一定在第四象限 C．若点P到x轴和y轴的距离均为2，则符合条件的点P有4个 D．已知点，点，则轴 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，掌握平面直角坐标系中点的坐标的特征是解题的关键． 根据平面直角坐标系中点的坐标特点进行判断即可． 解：A．若点与点之间的距离是1，则x的值是或，原说法错误； B．若，则，即点一定在第二象限，原说法错误； C．若点P到x轴和y轴的距离均为2，则符合条件的点P有4个，原说法正确； D．已知点，点，则轴，原说法错误； 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知点和点，在x轴或y轴上有一点P，且点P到点A和点B的距离相等，则点P的坐标为（      ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，熟记垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．利用垂直平分线的性质解答即可． 解：如图，过线段的中点作的垂直平分线． 在x轴或y轴上有一点P，且点P到点A和点B的距离相等， 点P的坐标为或． 故选：A． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点．若点P的坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由作图过程可知，为的平分线，根据角平分线的性质得解方程即可． 解：连接， 由作图过程可知，为的平分线， ∴， ∵点在第一象限，即点的横、纵坐标都是正数， ∴， 解得：． 故选：D． 【点拨】本题考查作图—基本作图（作角平分线），角平分线的性质，点到坐标轴的距离，象限内点的坐标特征，掌握角平分线的性质是解题的关键． 6．（25-26八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，平分，于点，且，已知点到轴的距离是4，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，写出平面直角坐标系中点的坐标，作轴于，由角平分线的性质定理可得，再结合点到轴的距离是4，写出坐标即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：如图，作轴于， ， ∵平分，于点，轴于， ∴， ∵点到轴的距离是4， ∴点的坐标为， 故选：A． 二、填空题 7．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）已知点在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等， ． 【答案】2025 【分析】本题考查的是象限内点的坐标特点，一元一次不等式组的解法，根据点P在第二象限，可得横坐标小于零，纵坐标大于零；再根据到两轴距离相等，列方程求解a，再进一步代入计算即可． 解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， 又∵点P到x轴、y轴的距离相等， ∴ ∴或， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴． 故答案为：2025． 8．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标为，若以为斜边作等腰直角三角形，且点在第三象限，则点的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系的坐标特征、等腰直角三角形的性质（斜边上的中线等于斜边的一半且垂直于斜边）．解题用到坐标平移思想和中点坐标公式，解题关键是确定的中点及等腰直角三角形中线段的垂直和平移关系，易错点是忽略点B在第三象限的位置限制，导致坐标符号判断错误． 首先观察点A和C的坐标，发现垂直于x轴，计算出的长度并求出其中点M的坐标．根据等腰直角三角形斜边上的中线性质，可知垂直于且长度为的一半．结合点B在第三象限的位置，通过将中点M向左平移相应单位，即可确定点B的坐标． 解：和的横坐标相同， 是垂直于x轴的线段． ． 的中点的坐标为，即． 是以为斜边的等腰直角三角形， ，且． 由于轴， ． 又因为点 B在第三象限， 所以需要从向左平移3个单位，纵坐标不变． ∴点 B的横坐标为，纵坐标为，即点 B的坐标为． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·广东广州·期中）将正整数，，，，，，按如下表数阵排列，用数对表示该数阵中从上到下、从左到右第行第个数字，如表示，则用数对表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数阵中的规律探究（包括每行数字个数、排列方向及末尾数字特征），解题的关键是识别每行末尾数字为对应行数的平方，以及奇数行与偶数行的不同排列方向，进而确定2024所在的行数和列数． 先观察数阵得出核心规律：每行末尾数字是对应行数的平方，奇数行数字从右往左排列，偶数行从左往右排列，第行有个数字；再通过计算2024附近的平方数，确定其所在行数；最后根据该行排列方向和末尾数字，计算2024在该行的列数，从而得到数对． 解：观察数阵可知： 第行末尾数字为（如第1行尾，第2行尾，第3行尾）；奇数行数字从右往左排列，偶数行从左往右排列； 第行有个数字． 计算2024附近的平方数：，， 故第45行末尾数字为2025． ∵45是奇数， ∴第45行数字从右往左排列，且第45行有个数字． ∵第45行末尾数字2025对应数对（从右往左第1列）， ∴2024在2025右侧，对应第2列，即数对为 故答案为：． 10．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，根据求解即可． 解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为点D， ∵ ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 11．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，若，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，能根据题意分别求出及的长是解题的关键． 过点A作的垂线，垂足为M，分别求出及的长即可解决问题． 解：过点A作的垂线，垂足为M， ，且， ， 又点B的坐标是，点C的坐标是， ， ， 点M的纵坐标为， 则点A的纵坐标为7， 在中，， 则， 点A的坐标为， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·山东青岛·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶和谐点”（为常数，且）．例如：点的“2阶和谐点”为点，即点的坐标为．若点的“阶和谐点”到轴的距离为7，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、新定义 “阶和谐点” 的理解与应用，绝对值方程，掌握新定义的运算规则是解决问题的关键．解题思路是先根据 “ 阶和谐点” 的定义求出点的“ 阶和谐点”的坐标，再根据点到轴的距离为7列方程求解． 解：根据题意点的“阶和谐点”为： 横坐标：， 纵坐标：， ∵点的“阶和谐点”到轴的距离为7， ∴， ①得 ， ②得 ， 综上所述，值为 或 ． 故答案为： 或 ． 三、解答题 13．（25-26八年级上·广东河源·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）当点在轴上时，求点的坐标； （2）当点到轴的距离为10时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了点在y轴上、点到轴的距离等知识点，熟练点到坐标轴的距离以及点在y上的坐标特点是解题的关键． （1）根据P点在轴上，得并求解即可； （2）根据点P到x轴的距离为10，得到解答即可． 解：（1）解：根据P点在轴上，得，解得：． ∴。 故答案为：． （2）解：根据点P到x轴的距离为10，得到， 解得或， 所以或， 故答案为：或． 14．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，对于点、点满足，其中m为常数，则称点P与点Q互为“m阶和谐点”，例如：点与互为“2阶和谐点”． （1）下列选项中，是点的“8阶和谐点”的有______（填序号）． ①            ②            ③            ④ （2）若点与点互为“a阶和谐点”，点P到坐标轴的距离相等，求a的值； （3）点和点互为“0阶和谐点”，点C是y轴上的动点，若的面积为9，求点C的坐标． 【答案】（1）①③；（2）a的值为33或；（3）点C的坐标为或 【分析】本题主要考查直角坐标系中点的坐标，熟练掌握直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键； （1）根据“8阶和谐点”可依次进行排除； （2）根据题意易得，然后得出m的值，进而根据“a阶和谐点”可进行求解； （3）由题意易得，则有，设点，则有，然后可得，进而求解即可． 解：（1）解：①∵，， ∴，故符合题意； ②∵，， ∴，故不符合题意； ③∵，， ∴，故符合题意； ④∵，， ∴，故不符合题意； 故答案为①③； （2）解：∵，且点P到坐标轴的距离相等， ∴， 解得：或， ∴或， 当，时，则有； 当，时，则有； ∴综上所述：a的值为33或； （3）解：∵点和点互为“0阶和谐点”， ∴，即， ∴， 设点，则有， ∵的面积为9， ∴， 解得：或10， ∴点C的坐标为或． 15．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足．在线段上取一点，连接交于点，且． （1）如图1，若的坐标为，则点的坐标为__________； （2）如图2，连接，求的度数，并说明理由； 【答案】（1）；（2），见分析 【分析】本题考查了坐标与平面，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）先根据绝对值和平方式的非负性求出，，然后证明，则，即可求出点的坐标； （2）过分别作于点，作于点，证明  ，则，然后根据角平分线的判定证明平分，即可求解． 解：（1）解：，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵的坐标为， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 过分别作于点，作于点，如图： 由（1）知，， ，， ， ， ， 在与中， ，    ， ，， 平分， ． 16．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得，（点，，逆时针排列），则称点是线段的“关联点”，如图1，点是线段的“关联点”． （1）如图2，已知点，，点与点重合． ①当点是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是________（填或）； ②已知点是线段的“关联点”，则点的坐标是__________． （2）如图3，已知，． ①当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“关联点”，判断线段与的位置关系，并说明理由； ②当点，分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长． 【答案】（1）①；②；（2）①，理由见分析；②周长为16 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． （1）①画出图形，利用图象法解决问题；②画出图形发现点与点重合时满足条件； （2）①证明，推出，可得结论；②如图，当点与重合时，得到，是边长为4的等边三角形，当点，分别在线段，上运动时，线段的“关联点” 形成的区域是边长都为4的四边形． 解：（1）解：①如图2中，观察图形可知，点是线段的“关联点”． 故答案为：； ②是等腰直角三角形， ，， 当点与重合时，满足条件，此时． 故答案为：； （2）解：①，理由如下： 如图3中，连接， ，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，，， ， ∴， ， ， ； ②解：如图，当点与重合时，得到，是边长为4的等边三角形， 观察图形可知，当点，分别在线段，上运动时，线段的“关联点” 形成的区域是边长都为4的四边形，周长为16． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.1 平面直角坐标系（知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 目录 一、知识梳理与题型分类精析 1 情景引入： 1 核心考点与考纲要求： 2 知识点（一）平面直角坐标系 2 【题型1】建立平面直角坐标系，求点的坐标 3 知识点（二）象限 4 【题型2】判断点所在的象限 4 【题型3】已知点所在的象限求参数 5 知识点（三）点到坐标轴的距离 5 【题型4】点到坐标轴的距离 5 知识点（四）两点之间的距离公式和中点坐标公式 6 【题型5】平行于坐标轴两点之间的距离 7 【题型6】任意两点的距离 7 【题型7】中点坐标公式 8 【题型8】平面直角坐标系与几何图形综合 9 高频易错点清单： 10 易错点专项练习题（8道题） 11 二．同步练习​ 12 【基础夯实（16题）】 12 【能力提升（16题）】 15 一、知识梳理与题型分类精析 情景引入： 【例题1】（25-26七年级上·江苏苏州·开学考试）淘气在方格图中画了一个小房子（如图）． （1）小房子的顶点A用数对表示为（_________，________）． （2）把小房子先向上平移3格，再向右平移3格，画出平移后的图形． 由【例题1】可知：确定平面上一个点的位置可以用一对有序实数P（a,b）表示。 核心考点与考纲要求： 考纲层级 核心考点 能力要求 基础级（必考题） 1. 平面直角坐标系的概念；2. 点的坐标读写与象限判断；3. 点到坐标轴的距离 1. 能根据坐标确定位置，或根据位置写坐标；2. 熟练掌握象限符号特征；3. 直接套用距离公式计算 进阶级（高频题） 1. 平行于坐标轴的两点距离；2. 中点坐标公式；3. 已知象限或距离求参数 1. 能结合坐标特征转化条件；2. 会列方程与 不等式组求解参数；3. 处理多解问题 提升级（综合题） 1. 任意两点距离；2. 坐标与几何图形综合（面积、等腰三角形存在性问题）；3. 规律探究 1. 运用割补法、分类讨论法解题；2. 结合几何性质（勾股定理、等腰性质）；3. 归纳坐标变化规律 知识点（一）平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴称为轴或横轴，铅直的数轴称为轴或纵轴，和统称坐标轴，它们的公共点称为平面直角坐标系的原点。 建立了平面直角坐标系（简称“建系”），平面内的点就可以用一组有序实数来表示了。如图1，过点作横轴的垂直交横轴于,过点作纵轴的垂直交纵轴于，有序实数对（,）叫做点的坐标，其中叫横坐标，叫纵坐标。 图1 【题型1】建立平面直角坐标系，求点的坐标 【例题2】 （25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图所示的象棋棋盘上建立合适的平面直角坐标系，若“将”位于点，“炮”位于点，则“象”可能位于点（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为 ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，长方形的两条边的长分别为3，5，建立平面直角坐标系，若要使其中三个顶点在坐标轴上，且点的坐标为，则应以点 为坐标原点，此时点的坐标为 ． 【变式3】（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，是边长为4的等边三角形，建立适当的平面直角坐标系，并求各顶点的坐标．小琴的解法如下，请你根据她的思路，补全横线上空缺的部分，并完成解答． 解：如图，以顶点 为坐标原点， 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，使点A在第一象限内．…… 方法小结：建立平面直角坐标系时，以特殊图形的关键点作为坐标原点，力求表示点的坐标时简单方便。 知识点（二）象限 1.建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如图2． 图2 2. 坐标平面的结构 坐标平面内的点可以划分为六个区域：轴，轴，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。 这六个区域中，除了轴与轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 【题型2】判断点所在的象限 【例题3】（25-26八年级上·陕西西安·月考）在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（24-25七年级下·甘肃武威·阶段练习）若，则点在第 象限． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）在平面直角坐标系中，点在第 象限． （2）若点在第二象限，则点在第 象限． 方法小结：象限内的点和坐标轴上的点坐标符号特征： 点的位置 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 轴 轴 原点 横坐标符号 + - - + 任意 0 0 纵坐标符号 + + - - 0 任意 0 点坐标符号 （+，+） （-，+） （-，-） （+，-） （，0） （0，） （0，0） 【题型3】已知点所在的象限求参数 【例题4】（25-26八年级上·陕西西安·期中）若点在轴上，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式1】（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的取值范围为 ． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在第四象限，则的取值范围是________； （2）若点在第二、四象限的角平分线上，求的值． 方法小结：利用坐标位置建立方程或不等式（组），解方程或不等式（组）即可求解。 知识点（三）点到坐标轴的距离 平面内一点到横轴的距离等于纵坐标的绝对值，到纵坐标的距离等于横坐标的绝对值，如图：点到轴的距离为,到的距离为。 图3 【题型4】点到坐标轴的距离 【例题5】（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）已知点在第四象限，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则的值是 ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·期中）点到轴的距离是，到轴的距离是，且在轴的左侧，则点的坐标是（ ） A． B． C．或 D． ， 【变式2】（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B的坐标分别是．点C是射线上的一动点，过点C作于点D，交y轴于点E，当与全等时，则长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，将一个直角三角板按如图方式放在平面直角坐标系中，直角顶点落在处，顶点落在处．顶点落在第一象限，求顶点到轴的距离． 方法小结：利用点到坐标轴距离等于纵坐标或橫坐标绝对值，注意分类讨论，同时利用几何图形性质进行求值和证明方法。 知识点（四）两点之间的距离公式和中点坐标公式 （1）如图4横坐标相等的两点间直线平行于轴，这两点间距离：； （2）如图5纵坐标相等的两点间直线平行于轴，这两点间距离：； （3）如图6任意两点之间的距离： ； 图4 图5 图6 （4）中点坐标公式：如图6，线段中点坐标为（，）。 【题型5】平行于坐标轴两点之间的距离 【例题6】（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点Q在x轴下方，轴．若，则点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，且轴，则点M的坐标为 ． 【变式2】（23-24七年级下·四川南充·期中）已知轴，且到轴距离为2，则点的坐标是 ． 【变式3】（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． （1）若点Q的坐标为，且轴，则点P的坐标为 ； （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则的值为 ． 方法小结：充分利用两点之间的距离公式进行求值，特别注意适时进地分类讨论，不要漏解。 【题型6】任意两点的距离 【例题7】（23-24八年级上·广东梅州·期中）若第一象限内的点到原点的距离为5，则a的值是（    ） A．3 B． C．5 D．1 【变式1】（24-25八年级下·广西钦州·期末）阅读理解：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离 例如： 若点，，则 根据以上材料，解决下列问题： （1）已知点，， 求A，B两点间的距离； （2）已知点，，， 判断的形状． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上运动，当以点、，为顶点的三角形为等腰三角形时，点的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 方法小结：任意两点之间距离公式是初中数学一个重要公式，识记公式并通过公式线段长是解题的关键。 【题型7】中点坐标公式 知识要点：点、坐标分别为 ，线段AB中点C点坐标为 则有 【例题8】（24-25七年级下·河北廊坊·期末）在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段的中点坐标为．例如：点，则线段的中点坐标为． 请利用以上结论解决问题： （1）若点，，则以点和点为端点的线段的中点坐标为_____． （2）已知点，若为线段的中点，求点的坐标． （3）已知点和点的坐标分别为，线段与轴平行，且．若线段的中点与线段的中点在第一象限重合，直接写出点的坐标． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点的坐标为 ． 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·期中）已知点，，点是线段EF的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以为对称点重复前面的操作，依次得到点，，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）已知中，，点、分别是、边上的一点，满足，，若、分别是、的中点，则的长为 ． 方法小结：利用中点坐标公式直接求中点坐标或其他坐标，是数学中的一个重要的公式。 【题型8】平面直角坐标系与几何图形综合 【例题9】（25-26八年级上·江西南昌·月考）在平面直角坐标系中，已知，在平面内取一点（点是不同于点的点），若以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为 ． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，，O是的中点，点A的坐标是，则点C的坐标为 ，点B的坐标为 ．   【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）边长为的等边在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴上，交轴于点、轴，为坐标原点，连接，若，则点的坐标为 ． 【变式3】（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图直角坐标系中为原点、、坐标分别为、，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． （1）_____，_____； （2）当的面积等于时，求的值； （3）过作垂直于直线交于，交轴于．在点运动的过程中，是否存在这样的点，使与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 方法小结：利用平面直角坐标系为背景，求解几何问题是数学中的重要内容之一，其核心问题是求出点的坐标。这是培养学生素养的基本要求。 高频易错点清单： 概念混淆类 1. 坐标轴上的点归为某一象限；2. 坐标读写顺序颠倒。 1.牢记 “坐标轴上的点不属于任何象限”；2. 口诀 “先横后纵，列对应 ，行对应”。 公式应用类 1. 点到坐标轴距离记反； 2. 距离公式忽略绝对值。 1. 口诀 “到 轴距离等于纵坐标绝对值，到轴的距离等于横坐标绝对值”；2. 距离非负，计算必带绝对值。 符号类错误 1. 象限符号混淆（如第二象限误记为 （+,-））；2. 对称点规律记错（原点对称误记为仅变横坐标） 1. 象限符号口诀 “一正正，二负正，三负负，四正负”；2. 对称规律 “x 轴对称纵变号，y 轴对称横变号，原点对称全变号” 易错点专项练习题（8道题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列说法中错误的是（   ） A．原点的坐标是 B．点在第四象限 C．x轴上的所有点的纵坐标都相等 D．y轴上的所有点的横坐标都相等 2．（24-25八年级下·湖南永州·期末）坐标思想是法国数学家笛卡尔创立的，在平面直角坐标系中，A点坐标为，下列结论正确的是（ ） A．到x轴距离为2 B．到y轴距离为2 C．A点在第三象限 D．A点在第四象限 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知点，，则直线（    ） A．平行于x轴 B．平行于y轴 C．垂直于y轴 D．以上都不正确 二、填空题 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，有4名同学各画了一个平面直角坐标系，其中画法正确的是 ．（请填写序号） 5．（24-25七年级下·山东德州·期末）在平面直角坐标系中，点，其中m为实数，给出下列三个结论：①线段长度的最小值是1；②若点，且线段，则；③若，则三角形的面积是定值．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 6．（25-26八年级上·陕西·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）已知点的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求的值及对应的点的坐标． 7．（25-26八年级上·重庆潼南·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出关于y轴对称的． （2）直接写出、、三点的坐标． （3）已知点D是x轴上的一点，若为等腰三角形，则满足条件的D点有______个． 8．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：． （1）求a、b、c的值； （2）请直接判断与y轴的位置关系； （3）若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； （4）如果点在平面内，是否存在m，使四边形的面积为面积的3倍？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 二．同步练习​ 【基础夯实（16题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·重庆·月考）根据下列表述，能确定准确位置的是（    ） A．学校报告厅5排 B．负一层停车场 C．南偏东 D．东经，北纬 2．（25-26八年级上·广西梧州·期中）在下列所给出坐标的点中，在第二象限的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）若点在轴上，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）已知点P在轴的右侧，点P到轴的距离为6，且它到轴的距离是到轴距离的一半，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）下列说法不正确的是（    ） A．点在第一象限 B．点到轴的距离为3 C．已知点，点，则轴 D．若，则点一定在轴上 6．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为（   ） A．2个 B．4个 C．7个 D．确定不下来 二、填空题 7．（25-26八年级上·广东深圳·期中）剧院里5排3座表示为，9排6座表示为 ． 8．（25-26八年级上·四川成都·期中）点P在第四象限，且点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是5，那么点P的坐标为 ． 9．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是第 象限． 10．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如果点在x轴上，那么m的值是 ． 11．（25-26八年级上·天津河西·期中）在平面直角坐标系中，按如图方式摆放，，．若点，的坐标分别为，，则点的坐标为 ． 12．（22-23七年级下·北京·期中）数学课上，王老师让同学们对给定的正方形，建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果： 甲同学：； 乙同学：； 丙同学：； 丁同学：； 上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的同学有 ． 三、解答题 13．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）在图中画出关于x轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点）； （2）在（1）的条件下写出点的坐标． 14．（25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． （1）点在轴上； （2）点到轴、轴的距离相等 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，是一个的正方形网格电子屏示意图，其中每个小正方形的边长均为1，位于平面直角坐标系中的光点A，B，C按图②所示的程序移动． （1）请在图①中画出及经过变换后的； （2）可以经过怎样的变换得到； （3）求线段的长． 16．（21-22七年级下·湖北恩施·期中）如图，在四边形中，，，已知． （1）点的坐标为 ； （2）在轴上找一点，使得． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）若点满足方程组，则点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 2．（24-25七年级下·新疆和田·期末）已知点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．若点与点之间的距离是1，则x的值是 B．若，则点一定在第四象限 C．若点P到x轴和y轴的距离均为2，则符合条件的点P有4个 D．已知点，点，则轴 4．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知点和点，在x轴或y轴上有一点P，且点P到点A和点B的距离相等，则点P的坐标为（      ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点．若点P的坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，平分，于点，且，已知点到轴的距离是4，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）已知点在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等， ． 8．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标为，若以为斜边作等腰直角三角形，且点在第三象限，则点的坐标为 9．（25-26七年级上·广东广州·期中）将正整数，，，，，，按如下表数阵排列，用数对表示该数阵中从上到下、从左到右第行第个数字，如表示，则用数对表示为 ． 10．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为 ． 11．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，若，则点的坐标是 ． 12．（25-26八年级上·山东青岛·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶和谐点”（为常数，且）．例如：点的“2阶和谐点”为点，即点的坐标为．若点的“阶和谐点”到轴的距离为7，则的值为 ． 三、解答题 13．（25-26八年级上·广东河源·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）当点在轴上时，求点的坐标； （2）当点到轴的距离为10时，求点的坐标． 14．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，对于点、点满足，其中m为常数，则称点P与点Q互为“m阶和谐点”，例如：点与互为“2阶和谐点”． （1）下列选项中，是点的“8阶和谐点”的有______（填序号）． ①            ②            ③            ④ （2）若点与点互为“a阶和谐点”，点P到坐标轴的距离相等，求a的值； （3）点和点互为“0阶和谐点”，点C是y轴上的动点，若的面积为9，求点C的坐标． 15．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足．在线段上取一点，连接交于点，且． （1）如图1，若的坐标为，则点的坐标为__________； （2）如图2，连接，求的度数，并说明理由； 16．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得，（点，，逆时针排列），则称点是线段的“关联点”，如图1，点是线段的“关联点”． （1）如图2，已知点，，点与点重合． ①当点是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是________（填或）； ②已知点是线段的“关联点”，则点的坐标是__________． （2）如图3，已知，． ①当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“关联点”，判断线段与的位置关系，并说明理由； ②当点，分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $