3.3 圆的对称性(1) 导学案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学导学案围绕圆的对称性展开，核心知识点为圆的旋转不变性及圆心角、弧、弦的关系。通过摩天轮转动和车轮设计的情景提问导入，引导学生观察圆的对称性，再经叠合旋转等数学活动从具体到抽象构建知识，形成学习支架。 资料特色在于注重探究式学习，通过动手操作和讨论交流发展空间观念与推理能力，体现数学思维。例题结合课本与期中真题，变式训练强化应用，帮助学生用数学语言表达关系，培养应用意识。

3.3 圆的对称性(1) 【学习目标】 1、经历探索圆的轴对称性和中心对称性的活动过程． 2、经历运用旋转变化探索并证明圆心角、弧、弦之间相等关系的活动过程． 3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力及概括问题的能力． 【学习重点】利用圆的旋转不变性探索圆的有关性质； 【学习难点】运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题． 【学习过程】 一、情景创设 1．观察转动的摩天轮，你发现了什么？ 2．你知道车轮为什么设计成圆形？设计成三角形、四边形又会怎样？从中你发现了什么？ 知识点总结：圆的对称性：圆具有旋转不变性. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 二、新课讲解： 1、数学活动： 如图3-14，在两张透明纸上分别画一个半径相等的圆，并将它们分割成圆心角相等的扇形．将两张透明纸叠合，绕公共圆心转动其中一张透明纸．你有什么发现？ 可以发现，两个圆始终保持重合．特别的，当旋转角为180°时，旋转前后的图形也保持重合. 根据中心对称图形的定义，我们得到如下结论：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 特别的，圆的直径的两个端点关于圆心中心对称. 2、 探索活动： (1)探索活动1： 在⊙O中，当圆心角∠AOB与∠A'OB'相等时，它们所对的AB和A′B′相等吗？ 所对的弦AB和弦A′B′相等吗？ (2)探索活动2： ①在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O'． ②在⊙O和⊙O'中，分别作相等的圆心角∠AOB、∠A'O'B'，连接AB、A'B'． ③将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O'重合. ④固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与OA'重合．你发现了什么？请与同学交流． (3)概念讲解：在同圆或等圆中，圆心角相等的扇形都可以重合，这两个扇形对应的弧和弦也都重合，我们把可以重合的弧叫作等弧(equal arc)． 如图3-15，如果∠AOB＝∠A'OB'，那么AB＝A'B′，AB＝A′B′． (4)由于任意两个半径相等的圆都可以重合，我们得到如下结论： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. (5)探索活动3： 讨论交流：①在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？为什么？ ②在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弦相等，那么它们所对的弧相等吗？这两个圆心角相等吗？为什么？ (6)一般地，我们可以得到如下结论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 我们可以用图3-16表示同圆或等圆中圆心角与所对弧、弦的关系： (7)概念讲解：我们知道，将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角是1°的角．因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份．我们把1°的圆心角所对的弧叫作1°的弧．n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角． 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等． 三、例题讲解： 1、讲解例1(书本第74页例1) 如图，AB，AC，BC 是 ⊙O 的弦，∠AOC＝∠BOC．∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？ 2、补讲例题(2024秋•工业园区校级期中)如图，点A、B、C、D在⊙O上，且，判断并证明AC与BD的数量关系． 3、讨论交流：回顾用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程(图3-19)．你能利用圆的性质说明这样作图的道理吗？ 4、 课堂作业： 如图，在⊙O中，AB (︵)=AC (︵)，∠A＝50°，求∠B的度数． 变式： 如图，在⊙O中，∠A＝50°，∠B＝65°，能说明AB (︵)=AC (︵)吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $