3.3 圆的对称性 课时1 圆心角、弧、弦之间的关系（教学课件）2026--2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦圆的中心对称性及圆心角、弧、弦之间的关系，通过摩天轮情境导入，结合温故知新复习中心对称图形等旧知，再以透明纸叠合旋转操作引导学生观察验证，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以操作探究为核心，通过透明纸旋转实验培养学生几何直观和空间观念（数学眼光），定理推导和例题分析强化推理意识（数学思维），如例题1从圆心角相等推弦相等再证角相等。资料包含预习、探究、练习完整链条，助力学生理解知识本质，也为教师提供结构化教学资源。

第三章 圆 3.3 圆的对称性 3.3.1 圆心角、弧、弦之间的关系 学习目标 过程与方法 知识与技能 经过观察、讨论、发现圆的旋转不变性和中心对称性 经过观察、讨论、推理了解圆心角、弧、弦之间的关系 理解圆心角、弧、弦之间的关系 利用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算 经历操作、观察、猜想、验证的过程，体会从特殊到一般的数学思想 02 01 课前自主·知识预习奠基 中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形 等圆的概念：半径相等的两个圆叫作等圆 弦、弧、圆心角的相关概念 思考：圆绕圆心旋转任意角度，能否与自身重合？这说明圆具有怎样的对称性？ 温故知新 游乐园里的摩天轮缓缓转动，无论转到哪个角度，它看起来都一样。小明好奇地问：“为什么摩天轮转来转去，样子完全不变呢？”爸爸说：“因为它的轮廓是一个圆，圆有一个很特别的性质——无论绕圆心旋转多少度，它都能和原来的位置完全重合。” 情境导入 问题1：圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合吗？这种性质在数学上叫作什么？ 问题2：如果把圆分成两个相等的扇形，旋转后会怎样？ 新知讲解：圆的中心对称性 在两张透明纸上分别画一个半径相等的圆，并将它们分割成圆心角相等的扇形，将两张透明纸叠合，绕公共圆心转动其中一张透明纸，你有什么发现？ 新知讲解：圆的中心对称性 可以发现，两个圆始终保持重合.特别的，当旋转角为时，旋转前后的图形保持重合.根据中心对称图形的定义，我们得到如下结论: 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 特别的，圆的直径的两个端点关于圆心中心对称 新知讲解：等弧的概念 通过上述操作进一步发现：在同圆或等圆中，圆心角相等的扇形都可以重合，这两个扇形对应的弧和弦也都重合，我们把可以重合的弧叫做等弧。如图，若∠AOB = ∠A′OB′，则弦AB = 弦A′B′，弧AB = 弧A′B′ 注意事项： 等弧必须能够完全重合（长度相等且弯曲程度相同） 在同圆或等圆中讨论等弧才有意义 等弧的长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧 新知讲解：圆心角、弧、弦的关系定理 定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 定理2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等，这两个圆心角也相等 定理3：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弦相等，那么它们所对的弧相等，这两个圆心角也相等 核心结论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 例题 1 。理由如下： ∵ ， ∴ （在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等）， ∴ （等边对等角）。 方法归纳：先由圆心角相等推出弦相等，再由弦相等推出角相等，实现了从圆心角到圆周角的转化 如图，是的弦，。与相等吗？为什么？ 例题 2 在中，，。求的度数。 ∵， ∴ ， ∴ 。 ∵在同圆中，等弧所对的圆心角相等， ∴ 。 ∵ ， ∴ 。 例题 3 在中，。求的度数。 在中，， （等弧对等弦）， 为等腰三角形，（等腰三角形两底角相等）。 又（三角形内角和为），且 ， 即， 。 新知讲解：弧的度数 我们知道，将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角是，因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，整个圆也被等分成360份。 我们把 的圆心角所对的弧叫作 的弧 结论：的圆心角对着的弧，的弧对着的圆心角 核心结论：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 “圆心角、弧、弦三组量中有一组相等”的前提是“在同圆或等圆中”，不能忽略 等弧必须是能够完全重合的弧，不能仅凭长度相等判断，必须在同圆或等圆中讨论 弧的度数等于它所对的圆心角的度数，而不是弧的长度 由弦相等推出弧相等时，注意弦对应两条弧（优弧和劣弧），通常默认劣弧 易错提醒 课堂探究·能力合作提升 基础过关练 1. 下列命题正确的是 （ ） A. 相等的圆心角所对的弦相等 B. 圆是中心对称图形 C. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 D. 在同圆中，较长的弧所对的弦较长 2. 在 中，若 ，则 与 的大小关系是 （　　） A. B. C. D. 不能确定 B C 基础过关练 3. 在 中，弦 AB 的长恰好等于半径，则弦 AB 所对圆心角的度数为______。 4. 如图，已知 AB 是 的直径，，，则弧 所对的圆心角等于 度。 60° 60 课后测评·学业效果巩固 1. 把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 课后测评 A 课后测评 【解析】如图，过点 O 作 于点 F，交 于点 E，连接 AO。由折叠的性质得到 。 的度数是 。故选 A。 【思路分析】 作辅助线 ，利用折叠的性质得出 ，再根据直角三角形的性质及平行线的性质得出 ，最后利用弧的度数与圆心角度数的关系得出结论。 2. 如图， 为 上三点，，OB 是 的半径，连接 BC，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 课后测评 D 【解析】连接 OC。故选 D。 3. 如图，在扇形 OAB 中，，将扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠，点 O 恰好落在 上的点 D 处，折痕交 OA 于点 C，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 课后测评 B 课后测评 【解析】连接 OD。 将扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠，点 O 恰好落在 上的点 D 处，折痕交 OA 于点 C， 垂直平分 OD，。 为等边三角形， 的度数为 。故选 B。 4. 如图，AB 是圆 O 的直径，BC，CD，DA 是圆 O 的弦，且 ，则 = . 课后测评 【解析】如图，连接 。 是等边三角形，，故答案为 。 5. 如图，点 C 是直径 AB 的三等分点 ()，点 D 是弧 ADB 的三等分点（弧 BD < 弧 AD）。若直径 ，则 DC 的长为 . 课后测评 课后测评 【解析】如图，过 D 作 于 E，则 点 C 是直径 AB 的三等分点 ()，直径 点 D 是弧 ADB 的三等分点（弧 BD < 弧 AD），，故答案为 。 6. 如图，在 中，点 C 是优弧 ACB 的中点，D，E 分别是 OA，OB 上的点，且 ，弦 CM，CN 分别过点 D，E。 (1) 求证：。 (2) 求证：。 课后测评 课后测评 【解析】(1) 【证明】 如图，连接 OC。。 (2) 连接 OM，ON，如图。。 7. 如图，以 的顶点 A 为圆心，AB 为半径作，分别交 BC, AD 于 E, F 两点，交 BA 的延长线于点 G。 (1) 求证：； (2) 若 的度数为 ，求 的度数。 课后测评 课后测评 【解析】(1) 【证明】 如图，连接 AE。 四边形 ABCD 为平行四边形，。 (2) 【解】 为 的直径， 的度数为 的度数为 的度数为 四边形 ABCD 为平行四边形，。 课堂小结 第三章 圆 3.3 圆的对称性 3.3.1 圆心角、弧、弦之间的关系 $