第三章：3.2 确定圆的条件教学设计2026-2027学年苏科版九年级数学上学期

该初中数学教学设计聚焦“不在同一直线上的三点确定一个圆”核心知识点，以考古复原残缺圆形瓷器碎片为情景导入，引导学生从单点、两点到三点逐步探究确定圆的条件，构建从具体到抽象的学习支架。 通过类比推理与尺规作图实践，培养学生几何直观与推理能力，结合不同三角形外心位置探究等实例，渗透模型意识与应用意识。助力学生深化概念理解，提升探究能力，为教师提供结构化教学流程与分层练习设计。

3.2 确定圆的条件 【学习目标】 1、经历不在一条直线上的三点确定一个圆的探索过程； 2、能够利用尺规，过不在同一直线上的三点画出一个圆； 3、理解不在一条直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念，会过不在一条直线上的三点作圆． 【学习重点】理解不在一条直线上的三点确定一个圆； 【学习难点】通过类比，经历确定圆的条件的探索过程，说明过不在同一直线上的三点有且只有一个圆． 【学习过程】 一、情景创设 考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一残缺的圆形瓷器碎片，如图所示，如果给你一把直尺和圆规，你能想办法找出这块残缺的圆形瓷器碎片的圆心，并复原出它所在的圆吗？ 想一想：要确定一个圆，需要几个条件？ 二、新课讲解 1、新知探究： (1)画一个圆，使它经过已知点A，这样的圆有几个？圆心在哪？半径多大？ (2)画一个圆，使它经过已知点A，B，这样的圆有几个？圆心怎么确定？半径多大？ (3)画一个圆，使它经过已知点A，B，C，这样的圆有几个？圆心怎么确定？半径多大？ ①当A，B，C三点在同一条直线上时，能画出过这三点的圆吗？为什么？ ②当A，B，C三点不在同一条直线上时，能画出过这三点的圆吗？怎样画？ 2、新知总结： 通过上面的讨论，我们得到如下结论：不在同一直线上的三点确定一个圆. 3、相关概念： 因为三角形的三个顶点不共线，所以它们可以确定一个圆，这样的圆叫作三角形的外接圆．外接圆的圆心叫作三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形．如图3-12，⊙O叫作△ABC的外接圆，△ABC叫作⊙O的内接三角形. 注意：任意一个三角形只有一个外接圆，而圆有无数个内接三角形. 同样的，如果多边形的顶点都在同一个圆上，这个圆叫作多边形的外接圆(circumcircle of polygon)，这个多边形叫作圆的内接多边形(innerpolygon of circle) 4、例题讲解(书本第70页例题)： 尺规作图：如图3-13，已知△ABC，作△ABC的外接圆. 作法：①分别作边AB，BC的 l1，l2，l1与l2的交点为O； ②以点O为 ， 为半径作圆. ⊙O即为所求. 5、尝试练习： (1)(书本第71页第1题)如图，某地出土了一面残缺的圆形青铜镜，请用直尺和圆规确定这面青铜镜的圆心. (2)(书本第71页第2题)通过例题中的作图我们知道，当△ABC是锐角三角形时，外心 O 在三角形的内部．当△ABC是直角三角形、钝角三角形时，外心O在什么位置？分别作出它们的外接圆，验证你的猜想． 通过画图可以发现： 锐角三角形的外心在三角形的 ； 直角三角形的外心在 处，斜边即为外接圆的直径； 钝角三角形的外心在三角形的 ． 6、新知探究：任意多边形都有外接圆吗？ 7、补讲例题(书本第71页习题第3题) 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，经过点A，B，D三点作⊙O，试说明点C在⊙O上． 三、课堂作业： 1、判断题： （1）经过三点一定可以作圆； （    ） （2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； （    ） （3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（    ） （4）三角形的外心是三角形三边中线的交点； （    ） （5）三角形的外心到三角形各顶点距离相等． （    ） 2、(书本第71页练习第3题)将△ABC绕它的外心 O 旋转任意角度得到△DEF．求证：点A，B，C，D，E，F在同个圆上． 3、(书本第71页习题第2题)已知AB＝4，作半径为 3 的圆，使它经过 A，B两点，这样的圆能作多少个？如果半径为2呢？ 4、在平面直角坐标系中，用直尺和圆规作一个以点A(2，1)为圆心，为半径的圆. 3.2 确定圆的条件(答案) 【学习目标】 1、经历不在一条直线上的三点确定一个圆的探索过程； 2、能够利用尺规，过不在同一直线上的三点画出一个圆； 3、理解不在一条直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念，会过不在一条直线上的三点作圆． 【学习重点】理解不在一条直线上的三点确定一个圆； 【学习难点】通过类比，经历确定圆的条件的探索过程，说明过不在同一直线上的三点有且只有一个圆． 【学习过程】 一、情景创设 考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一残缺的圆形瓷器碎片，如图所示，如果给你一把直尺和圆规，你能想办法找出这块残缺的圆形瓷器碎片的圆心，并复原出它所在的圆吗？ 想一想：要确定一个圆，需要几个条件？ 二、新课讲解 1、新知探究： (1)画一个圆，使它经过已知点A，这样的圆有几个？圆心在哪？半径如何确定？ (2)画一个圆，使它经过已知点A，B，这样的圆有几个？圆心怎么确定？半径如何确定？ (3)画一个圆，使它经过已知点A，B，C，这样的圆有几个？圆心怎么确定？半径如何确定？①当A，B，①三点在同一条直线上时，能画出过这三点的圆吗？为什么？ ②当A，B，C三点不在同一条直线上时，能画出过这三点的圆吗？怎样画？ 2、新知总结： 通过上面的讨论，我们得到如下结论：不在同一直线上的三点确定一个圆. 3、相关概念： 因为三角形的三个顶点不共线，所以它们可以确定一个圆，这样的圆叫作三角形的外接圆．外接圆的圆心叫作三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形．如图3-12，⊙O叫作△ABC的外接圆，△ABC叫作⊙O的内接三角形. 注意：任意一个三角形只有一个外接圆，而圆有无数个内接三角形. 同样的，如果多边形的顶点都在同一个圆上，这个圆叫作多边形的外接圆(circumcircle of polygon)，这个多边形叫作圆的内接多边形(innerpolygon of circle) 4、例题讲解(书本第70页例题)： 尺规作图：如图3-13，已知△ABC，作△ABC的外接圆. 作法：①分别作边AB，BC的 垂直平分线 l1，l2，l1与l2的交点为O； ②以点O为 圆心 ， OA 为半径作圆. ⊙O即为所求. 5、尝试练习： (1)(书本第71页第1题)如图，某地出土了一面残缺的圆形青铜镜，请用直尺和圆规确定这面青铜镜的圆心. (2)(书本第71页第2题)通过例题中的作图我们知道，当△ABC是锐角三角形时，外心 O 在三角形的内部．当△ABC是直角三角形、钝角三角形时，外心O在什么位置？分别作出它们的外接圆，验证你的猜想． 通过画图可以发现： 锐角三角形的外心在三角形的 内部 ； 直角三角形的外心在 斜边的中点 处，斜边即为外接圆的直径； 钝角三角形的外心在三角形的 外部 ． 6、新知探究：任意多边形都有外接圆吗？ 任意四边形不一定都有外接圆．理由如下：根据“不在同一条直线上的三点确定一个圆．”可知：对于任意四边形，经过它的三个顶点可以确定一个圆，但第四个顶点不一定在这个圆上．只有当四边形四个顶点都在同一个圆上时，才称该四边形有外接圆． 7、补讲例题(书本第71页习题第3题) 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，经过点A，B，D三点作⊙O，试说明点C在⊙O上． 解：如图，过A，B，D三点作⊙O．连接OA，OB，OD，OC. ∵ OA＝OB＝OD， ∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴ ∠AOD＝180°－∠1－∠2=180°－2∠2， ∠AOB＝180°－∠3－∠4=180°－2∠3， 而∠BAD＝90°，∴ ∠2＋∠3＝90°， ∴ ∠AOD＋∠AOB＝180°－2∠2＋180°－2∠3 ＝360°－2(∠2＋∠3)＝360°－2×90°＝180°， ∴ B，O，D三点共线．∴ OB＝OD＝BD． ∵ ∠BCD＝90°，∴ OC＝BD＝OB，∴ 点C在⊙O上． 三、课堂作业： 1、判断题： （1）经过三点一定可以作圆； （  × ） （2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； （  √  ） （3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（  × ） （4）三角形的外心是三角形三边中线的交点； （  × ） （5）三角形的外心到三角形各顶点距离相等． （  √  ） 2、(书本第71页练习第3题)将△ABC绕它的外心 O 旋转任意角度得到△DEF．求证：点A，B，C，D，E，F在同个圆上． 解：∵ 点O是△ABC的外心， ∴ OA＝OB＝OC＝⊙O的半径． 又由旋转的性质，得 OD＝OA，OE＝OB，OF＝OC， ∴ OD＝OE＝OF＝⊙O的半径． ∴ 点A，B，C，D，E，F在同个圆上． 3、(书本第71页习题第2题)已知AB＝4，作半径为 3 的圆，使它经过 A，B两点， 这样的圆能作多少个？如果半径为2呢？ 解：这样的圆能画2个． 如图， ① 作AB的垂直平分线 l，再以点 A为圆心，3为半径作圆交l于O1和O2； ② 分别以O1和O2为圆心，以3为半径作圆，则⊙O1和⊙O2为所求． 如果半径为2，则这样的圆只有一个. 4、在平面直角坐标系中，用直尺和圆规作一个以点A(2，1)为圆心，为半径的圆. 学科网（北京）股份有限公司 $