专题05圆的对称性与圆周角精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦圆的对称性与圆周角核心知识，从圆的轴对称、中心对称及旋转不变性切入，系统梳理同圆等圆中弧弦圆心角关系定理，突出垂径定理的计算模型（半径、弦心距、半弦长直角三角形），进而阐述圆周角定义、定理及三大推论，构建从基础性质到定理应用的递进学习支架。 资料以16种分层题型（基础到拔高）为载体，结合7个易错点警示，通过垂径定理解决球形烧瓶液面宽等实际问题培养数学眼光，借助圆周角定理推理发展逻辑思维，规范解题步骤强化数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用能力。

专题05圆的对称性与圆周角精讲学案 圆的对称性 圆既是轴对称图形（任意直径所在直线都是对称轴），又是中心对称图形（圆心为对称中心），具备旋转不变性。 同圆、等圆中弧、弦、圆心角等价定理 在同圆或等圆中：圆心角相等、弧相等、弦相等、弦心距相等，四者知一推三。 前提必须是同圆或等圆，否则定理不成立。 垂径定理（计算必考核心） 垂直于弦的直径，平分弦、平分弦所对的两条弧。 重要推论：平分弦（弦不能是直径）的直径垂直弦、平分弧。 解题固定模型：半径、弦心距、半弦长构成直角三角形，利用勾股定理计算。 圆周角定义 顶点在圆上、两边与圆相交，两个条件同时满足才是圆周角。 圆周角核心定理 同弧或等弧所对的圆周角，等于对应圆心角的一半。 圆周角三大高频推论 ①同弧、等弧所对圆周角相等； ②直径所对圆周角为90°，90°圆周角所对弦是直径； ③圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 角度大小规律 同一段弧对应的角大小关系：圆内角＞圆周角＞圆外角。 （老师重点强调） 1. 使用弧弦圆心角定理、圆周角定理，缺少“同圆或等圆”前提直接扣分。 2. 垂径定理忽略“平分直径的直径不一定垂直”，只有平分非直径弦才垂直。 3. 计算弦长忘记取「半弦长」，勾股定理列式错误。 4. 混淆圆心角和圆周角的2倍关系，乱用倍数。 5. 误以为弦相等则所有弧都相等（只保证劣弧相等，优弧不一定）。 6. 圆内接四边形外角、内对角关系记反，角度计算出错。 7. 看到直径不会主动构造直角三角形，错失解题突破口。 题型 考察方向 难度 题型一 由弧.弦.圆心角的关系求解 ★ 题型二 由弧.弦.圆心角的关系求证 ★ 题型三 求圆弧的度数 ★ 题型四 利用垂径定理求值 ★★ 题型五 由垂径定理求平行弦问题 ★★ 题型六 由垂径定理求同心圆问题 ★★ 题型七 由垂径定理求解其他问题 ★★ 题型八 垂径定理的推论 ★★ 题型九 垂径定理的实际应用 ★★ 题型十 圆周角概念辨析及运算 ★ 题型十一 圆周角定理 ★★ 题型十二 同弧或等弧所对的圆周角相等 ★★ 题型十三 半圆所对圆周角是直角 ★★ 题型十四 90度圆周角所对的弦是直径 ★★★ 题型十五 由圆内接四边形求角度 ★★ 题型十六 求四边形外接圆的直径 ★★★ 拔高题 解答题12题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：由弧.弦.圆心角的关系求解 解题思路：先确定前提是同圆或等圆，圆心角、弧、弦三组量只要有一组相等，就能推出另外两组相等，把已知条件转化成相等的弧或角，再计算线段长度与角度。 1．如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，半径长，点A、B、C是的三等分点，点D为圆上一点，连接，且，交于点E，则的度数为_________． 3．如图，圆内接的外角的平分线与圆交于点D，，垂足为P，，垂足为H，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：由弧.弦.圆心角的关系求证 解题思路：想要证明两条弦相等，就先证明它们所对的弧或者圆心角相等；想要证明弧相等，就先证明对应的弦或者圆心角相等，通过等量代换完成证明。 4．结合各自对应图形，给出的相应推理中，其中正确的是（    ） ∵ ∴ （1） ∵ ∴ （2） ∵ ∴ （3） ∵ ∴ （4） A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4） 5．如图，是半圆的直径，是半圆弧的中点，和均内接于半圆，分别连结、交于点、．若是的中点，给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 6．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 题型三：求圆弧的度数 解题思路：圆弧的度数和它所对圆心角的度数相等；先利用弦相等得到弧相等，再把整圆360°拆分，算出对应弧的度数。 7．如图，是半圆的直径，点C，D在半圆上，且D为的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 8．如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为_______． 9．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 题型四：利用垂径定理求值 解题思路：过圆心向弦作垂线，把弦平分，构造出直角三角形，利用半径、弦心距、半弦长这三边，借助勾股定理列方程求解线段长。 10．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 11．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 12．如图，是的弦，交于点，点是上弦上方的一点，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型五：由垂径定理求平行弦问题 解题思路：分两种情况讨论：两条平行弦在圆心的同侧或者异侧；分别求出两条弦到圆心的距离，同侧就用大数减小数，异侧就把两个距离相加，得到弦之间的距离。 13．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 14．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 15．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 题型六：由垂径定理求同心圆问题 解题思路：过圆心作公共弦的垂线，大小圆里的弦会同时被平分；分别在大圆和小圆里使用勾股定理，再对两条线段做差，求出圆环内线段的长度。 16．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 17． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为_______________cm 18．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 题型七：由垂径定理求解其他问题 解题思路：只要题目出现弦，就主动作弦心距，把线段条件放进直角三角形中，结合勾股定理与等腰三角形的性质完成计算。 19．下列命题中，不正确的是（    ） A．垂直于弦的直径平分这条弦 B．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 C．弦的垂直平分线是圆的直径 D．平分弦所对的一条弧的直径垂直这条弦 20．如图，是的直径，是的弦，，点E是劣弧上一点，连接交于点F，若，则的度数为________°． 21．西昌市“北环线”是市政府为进一步优化市区交通布局打造的重点民生工程．如图，其中公路弯道处是一段圆弧，点是这条弧所在圆的圆心，点是的中点，与相交于点．经测量，，，那么这段弯道的半径为（） A． B． C． D． 题型八：垂径定理的推论 解题思路：记住推论：平分非直径弦的直径，既垂直于这条弦，又平分弦所对的两段弧；要排除弦为直径的特殊情况，可以用这条推论证明垂直、确定圆心位置。 22．如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过格点A，B，C，则这条圆弧所在圆的圆心是（   ） A．点P B．点Q C．点R D．点M 23．《梦溪笔谈》是我国古代科技著作．其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，、是的半径，点是的中点，连接，于点，“会圆术”给出劣弧的弧长的近似值计算公式：，当时，则的值为______． 24．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（　　） A． B．3m C． D．4m 题型九：垂径定理的实际应用 解题思路：把拱桥、水管、圆柱形管道这类实物转化成圆和弦的几何模型；设圆的半径为未知数，再利用勾股定理列出方程，解出半径、弦长等未知量。 25．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽的长为（　　） A． B． C．cm D． 26．如图是一个圆弧形拱门，拱门圆弧所在圆的半径为米，拱门底部跨度米．现要在拱门内加装一根垂直于底边的加固立柱，点M在圆弧上，点N在上，且点N把线段分为的两部分，则线段的长度为______米． 27．花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 题型十：圆周角概念辨析及运算 解题思路：判定圆周角必须同时满足两个条件：顶点在圆上，角的两边都和圆相交，少一个条件都不是圆周角；判定完成后再进行角度计算。 28．如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 29．如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则____. 30．如图，多边形是由等腰和矩形组成，，若过，，三点，则的半径是（    ）    A． B．3 C． D．4 题型十一：圆周角定理 解题思路：同一段弧所对的圆周角是这条弧所对圆心角的一半，利用这个2倍的数量关系，在圆周角和圆心角之间互相转化，求出角度。 31．如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 32．如图，线段是的直径，弦，如果，那么________． 33．如图，的半径为，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型十二：同弧或等弧所对的圆周角相等 解题思路：找到题目里的公共弧或者相等的弧，把位置不同的圆周角转化为相等的角，完成角度的等量代换，用于计算或者证明。 34．如图，是的直径，，是上的两点，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 35．如图，已知是的直径，，则的度数是______． 36．如图，，，是的直径，则等于（     ） A． B． C． D． 题型十三：半圆所对圆周角是直角 解题思路：题目中出现直径时，立刻连接直径两端的弦，构造出直角三角形，把角度计算问题转化成直角三角形的边角计算。 37．如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 38．如图，是的直径，点B，C在上，若，则的度数为____________． 39．如图，内接于，是的直径，点D是的中点，连接交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型十四：90度圆周角所对的弦是直径 解题思路：只要看到90°的圆周角，就可以判定这个角所对的弦是圆的直径，利用这个结论来找圆心，或是求三角形、四边形外接圆的直径。 40．数学课堂上，王老师带同学们利用直角三角尺检查某种半圆形零件是否合格，下列四个零件中，合格的是（   ） A． B． C． D． 41．如图，圆A与坐标系交于，，且经过原点，则圆A的半径等于________． 42．如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点和点，C是优弧上的任意一点（不与点O、B重合），则的值为（    ） A． B． C． D． 题型十五：由圆内接四边形求角度 解题思路：运用两个结论：圆内接四边形对角互补，四边形的外角等于它的内对角，直接利用这两条性质列式计算角度。 43．如图，中，若，那么（     ） A． B． C． D． 44．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 45．如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 题型十六：求四边形外接圆的直径 解题思路：先在圆内接四边形中找出90°的圆周角，这个直角所对的斜边就是外接圆的直径，最后再用勾股定理算出这条斜边的长度。 46．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 47．图，定长弦在以为直径的上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是________． 48．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 解答题 1．如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 2．如图，圆中两条弦相交于点E，且．求证：． 3．如图所示，为的直径，弦于E，．求证：为等边三角形． 4．如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 5．仅用无刻度直尺完成下列画图： (1)如图①，与网格线交于点A、B，在劣弧上画点E，使得； (2)如图②，与网格线交于点A、B，点C是上的一点，在劣弧上画点F，使得； (3)如图③，经过格点A、B的圆与网格线交于点C，在劣弧上画点G，使得． 6．已知，，，是上的四点，延长，相交于点，若．求证：是等腰三角形． 7．如图，四边形内接于，为直径，，，E为对角线上一动点，连结并延长交于点F． (1)若，求证：； (2)求四边形的面积； 8．已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 9．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 10．综合与实践 某地的景观湖湖面成鱼型，如图1，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索该景观湖的大小，如图2，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D，C，E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 11．如图，为的直径，点在上，． (1)尺规作图：作出弧的中点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，连接，交于点，求的长． 12．某科技公司设计出一款圆形智能手表，其表盘的平面示意图如图所示，表盘的轮廓看作圆，表盘内有两条平行的触控灯带，（的两条弦），分别位于圆心O的上下两侧．过表盘中心O有一条线段，且交于点E，交于点G，交于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05圆的对称性与圆周角精讲学案 圆的对称性 圆既是轴对称图形（任意直径所在直线都是对称轴），又是中心对称图形（圆心为对称中心），具备旋转不变性。 同圆、等圆中弧、弦、圆心角等价定理 在同圆或等圆中：圆心角相等、弧相等、弦相等、弦心距相等，四者知一推三。 前提必须是同圆或等圆，否则定理不成立。 垂径定理（计算必考核心） 垂直于弦的直径，平分弦、平分弦所对的两条弧。 重要推论：平分弦（弦不能是直径）的直径垂直弦、平分弧。 解题固定模型：半径、弦心距、半弦长构成直角三角形，利用勾股定理计算。 圆周角定义 顶点在圆上、两边与圆相交，两个条件同时满足才是圆周角。 圆周角核心定理 同弧或等弧所对的圆周角，等于对应圆心角的一半。 圆周角三大高频推论 ①同弧、等弧所对圆周角相等； ②直径所对圆周角为90°，90°圆周角所对弦是直径； ③圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 角度大小规律 同一段弧对应的角大小关系：圆内角＞圆周角＞圆外角。 （老师重点强调） 1. 使用弧弦圆心角定理、圆周角定理，缺少“同圆或等圆”前提直接扣分。 2. 垂径定理忽略“平分直径的直径不一定垂直”，只有平分非直径弦才垂直。 3. 计算弦长忘记取「半弦长」，勾股定理列式错误。 4. 混淆圆心角和圆周角的2倍关系，乱用倍数。 5. 误以为弦相等则所有弧都相等（只保证劣弧相等，优弧不一定）。 6. 圆内接四边形外角、内对角关系记反，角度计算出错。 7. 看到直径不会主动构造直角三角形，错失解题突破口。 题型 考察方向 难度 题型一 由弧.弦.圆心角的关系求解 ★ 题型二 由弧.弦.圆心角的关系求证 ★ 题型三 求圆弧的度数 ★ 题型四 利用垂径定理求值 ★★ 题型五 由垂径定理求平行弦问题 ★★ 题型六 由垂径定理求同心圆问题 ★★ 题型七 由垂径定理求解其他问题 ★★ 题型八 垂径定理的推论 ★★ 题型九 垂径定理的实际应用 ★★ 题型十 圆周角概念辨析及运算 ★ 题型十一 圆周角定理 ★★ 题型十二 同弧或等弧所对的圆周角相等 ★★ 题型十三 半圆所对圆周角是直角 ★★ 题型十四 90度圆周角所对的弦是直径 ★★★ 题型十五 由圆内接四边形求角度 ★★ 题型十六 求四边形外接圆的直径 ★★★ 拔高题 解答题12题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：由弧.弦.圆心角的关系求解 解题思路：先确定前提是同圆或等圆，圆心角、弧、弦三组量只要有一组相等，就能推出另外两组相等，把已知条件转化成相等的弧或角，再计算线段长度与角度。 1．如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据等弧所对的圆心角相等得到，再由对顶角相等得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径，即点O是与的交点， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，半径长，点A、B、C是的三等分点，点D为圆上一点，连接，且，交于点E，则的度数为_________． 【答案】/75度 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理证明，则由圆周角定理得到，再由点A、B、C是三等分点，得到，即可利用三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ． ∵半径长， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 连接， ∵点A、B、C是三等分点， ∴, ∴， ∴． 3．如图，圆内接的外角的平分线与圆交于点D，，垂足为P，，垂足为H，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】通过角平分线性质定理证明，即可判断①；然后连接，证明，即可判断②③． 【详解】解：∵平分，， ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； 连接， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴，故②、③正确； 现有条件不足以判断④，故④错误， ∴正确的有3个． 题型二：由弧.弦.圆心角的关系求证 解题思路：想要证明两条弦相等，就先证明它们所对的弧或者圆心角相等；想要证明弧相等，就先证明对应的弦或者圆心角相等，通过等量代换完成证明。 4．结合各自对应图形，给出的相应推理中，其中正确的是（    ） ∵ ∴ （1） ∵ ∴ （2） ∵ ∴ （3） ∵ ∴ （4） A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4） 【答案】C 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可判断． 【详解】（1）在⊙O中，∵，∴，∴（1）正确； （2）与不是同圆或等圆中的弧，由推不出，∴（2）不正确； （3）∵，∴∴；∴（3）正确； （4）弦与弦不是同圆或等圆中的弦，∴；（4）不正确 故选：C 【点睛】本题考查弧、弦与圆心角的关系，解题的关键是熟练掌握弧、弦、圆心角的关系进行判断正误． 5．如图，是半圆的直径，是半圆弧的中点，和均内接于半圆，分别连结、交于点、．若是的中点，给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【分析】①根据点是弧的中点得，由此可对结论①进行判断；②证明，由此可对结论②进行判断；③连接，根据点是的中点，得，由此可对结论③进行判断；④连接，根据是半圆弧的中点，得垂直平分，所以，由此可对结论④进行判断． 【详解】解：①∵点是的中点， ， ∴，故①正确； ②∵是半圆的直径， ， ， 是半圆弧的中点， ， ， ， ， ， ，故②正确； ③如图，连接， ∵点是的中点，是半圆弧的中点， ∴， ∵， ， ∴，故③错误； ④如图，连接， ∵是半圆弧的中点， ∴垂直平分， ∴， 在中，根据勾股定理：， ∴，故④正确； 综上所述：正确结论的序号有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，勾股定理等知识点，熟练掌握圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系是解决问题的关键． 6．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的圆心角、弧、弦的相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．根据圆的圆心角、弧、弦的相关知识逐一分析即可解答． 【详解】解：A、由于两条弧不在同圆或等圆中，则，故A选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，两条弧相等，所对弦相等，故B选项正确，符合题意； C、弧的度数等于它所对圆心角的度数，则，故C选项错误，不符合题意； D、因为不是圆心角，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 题型三：求圆弧的度数 解题思路：圆弧的度数和它所对圆心角的度数相等；先利用弦相等得到弧相等，再把整圆360°拆分，算出对应弧的度数。 7．如图，是半圆的直径，点C，D在半圆上，且D为的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系．先利用直径所对的圆周角是直角可得：，从而可得，然后利用圆内接四边形对角互补可得，再求得，最后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是半的内接四边形， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了弧的度数，切线的性质，正多边形的性质，多边形的内角和；连接、，由切线的性质及正多边形的性质得，，由多边形的内角和即可求解；掌握切线的性质，正多边形的性质，会求弧的度数是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 与正八边形相切于点A，E， ， ， ∵六边形的内角和为， ， ， 的度数为， 故答案为：． 9．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 题型四：利用垂径定理求值 解题思路：过圆心向弦作垂线，把弦平分，构造出直角三角形，利用半径、弦心距、半弦长这三边，借助勾股定理列方程求解线段长。 10．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是掌握以上两个定理．假设圆的圆心为点，连接，利用垂径定理得出，再利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图，假设圆的圆心为点，连接， 根据题意得，，， ∴， 根据勾股定理得，， ∴． 故选：B． 11．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【答案】 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E， ∴点E是的中点， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得：． 12．如图，是的弦，交于点，点是上弦上方的一点，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等边对等角结合三角形的内角和定理，求出的度数，三线合一得到的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果. 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）. 题型五：由垂径定理求平行弦问题 解题思路：分两种情况讨论：两条平行弦在圆心的同侧或者异侧；分别求出两条弦到圆心的距离，同侧就用大数减小数，异侧就把两个距离相加，得到弦之间的距离。 13．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故． 综上，，之间的距离为或， 故选：D． 14．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 15．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 【答案】 或 【分析】分圆心在弦与的同侧和异侧两种情况，结合垂径定理和勾股定理分别求出圆心到两条弦的距离，再根据线段的和差计算弦之间的距离即可. 【详解】解：的直径为， 的半径为， 当圆心在弦和的同侧时， 连接，，过点作于点，延长交于点， ， ， 由垂径定理得，，， 在中，由勾股定理得：； 在中，由勾股定理得：； ； 当圆心在弦和的异侧时， 同理可得，， . 综上：与之间的距离为或. 题型六：由垂径定理求同心圆问题 解题思路：过圆心作公共弦的垂线，大小圆里的弦会同时被平分；分别在大圆和小圆里使用勾股定理，再对两条线段做差，求出圆环内线段的长度。 16．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 17． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为_______________cm 【答案】134 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 18．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 题型七：由垂径定理求解其他问题 解题思路：只要题目出现弦，就主动作弦心距，把线段条件放进直角三角形中，结合勾股定理与等腰三角形的性质完成计算。 19．下列命题中，不正确的是（    ） A．垂直于弦的直径平分这条弦 B．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 C．弦的垂直平分线是圆的直径 D．平分弦所对的一条弧的直径垂直这条弦 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆的相关概念，根据垂径定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 垂直于弦的直径平分这条弦，故该选项正确，不符合题意； B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故该选项正确，不符合题意； C. 弦的垂直平分线是圆的直径所在的直线，故该选项不正确，符合题意；     D. 平分弦所对的一条弧的直径垂直这条弦，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 20．如图，是的直径，是的弦，，点E是劣弧上一点，连接交于点F，若，则的度数为________°． 【答案】 【分析】根据垂径定理可得，再根据直角三角形的锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，为的直径， ∴， ∵， ∴． 21．西昌市“北环线”是市政府为进一步优化市区交通布局打造的重点民生工程．如图，其中公路弯道处是一段圆弧，点是这条弧所在圆的圆心，点是的中点，与相交于点．经测量，，，那么这段弯道的半径为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是作辅助线构造直角三角形，由勾股定理列出关于半径的方程．连接，，设这段弯道的半径为，由圆心角、弧、弦的关系得到，由等腰三角形的性质得到，由垂径定理求出的长，由勾股定理得到，求出即可． 【详解】解：连接，， 设这段弯道的半径为， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 这段弯道的半径为． 故选：A 题型八：垂径定理的推论 解题思路：记住推论：平分非直径弦的直径，既垂直于这条弦，又平分弦所对的两段弧；要排除弦为直径的特殊情况，可以用这条推论证明垂直、确定圆心位置。 22．如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过格点A，B，C，则这条圆弧所在圆的圆心是（   ） A．点P B．点Q C．点R D．点M 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键． 根据垂径定理的推论：“弦的垂直平分线必过圆心”，分别作，的垂直平分线即可得到答案． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，作的垂直平分线， 它们都经过，所以点为这条圆弧所在圆的圆心． 故选：B． 23．《梦溪笔谈》是我国古代科技著作．其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，、是的半径，点是的中点，连接，于点，“会圆术”给出劣弧的弧长的近似值计算公式：，当时，则的值为______． 【答案】 【分析】连接，根据垂径定理的推论，知，从而证明M，N，O共线，根据勾股定理求出，再求出，计算求出答案即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴、N、M三点在同一直线上， ∵， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理得：， ∵， ∴， ． 24．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（　　） A． B．3m C． D．4m 【答案】C 【分析】先根据垂径定理的逆定理得出，再根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵点M是的中点，且经过点O，， ∴， ∴． 设半径为r，则，根据勾股定理，得 ， 解得， 所以半径为． 题型九：垂径定理的实际应用 解题思路：把拱桥、水管、圆柱形管道这类实物转化成圆和弦的几何模型；设圆的半径为未知数，再利用勾股定理列出方程，解出半径、弦长等未知量。 25．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽的长为（　　） A． B． C．cm D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过点作于点，交于点，连接，根据垂径定理得出，根据题意求出的长，利用勾股定理计算的长即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，连接， ∴，， ∵半径为，瓶内液体最大深度为， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 26．如图是一个圆弧形拱门，拱门圆弧所在圆的半径为米，拱门底部跨度米．现要在拱门内加装一根垂直于底边的加固立柱，点M在圆弧上，点N在上，且点N把线段分为的两部分，则线段的长度为______米． 【答案】或 【分析】分两种情况当时，当时，结合垂径定理以及勾股定理解答即可． 【详解】解：当时，如图，取圆心O，连接，过点O作于点C，，交延长线于点D，则米， ∵米， ∴米， ∴米，米， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米，米， 在中，， ∴， 解得：米， ∴米； 当时，如图，取圆心O，连接，过点O作于点C，，交延长线于点D，则米， 同理米， ∴米； 综上所述，的长为或米． 27．花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，连接，根据矩形的性质和垂径定理求得的值，通过构建直角三角形，利用勾股定理进行计算即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接，如图： 根据题意可得：四边形是矩形，， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴，， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得， ∴拱门最高点到地面的距离是． 题型十：圆周角概念辨析及运算 解题思路：判定圆周角必须同时满足两个条件：顶点在圆上，角的两边都和圆相交，少一个条件都不是圆周角；判定完成后再进行角度计算。 28．如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧所对的圆周角是：或， 故选：B． 29．如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则____. 【答案】40°、20°、100° 【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段上，点P在延长线上，点P在的延长线上．分这三种情况进行讨论即可． 【详解】解：①根据题意，画出图1， 在中，， ∴， 在中， ∴ 又∵ ∴ 在中， 即 整理得， ∴ ． ②当P在线段的延长线上，如图2 在中， 把①②代入③得 则 ∴ ③当P在线段的反向延长线上，如图3， ①②③④联立得 故答案为：40°、20°、100°． 【点睛】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，画出图形，进行分类讨论是解题的关键． 30．如图，多边形是由等腰和矩形组成，，若过，，三点，则的半径是（    ）    A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】根据等腰三角形和矩形的性质可知道垂直平分，再根据垂径定理的推论可判定圆心在上，即可推出四边形为菱形，从而求出的半径. 【详解】解：过点作交于点，连接和如图所示，   为等腰三角形，， 垂直平分. 矩形，， 也垂直平分. 过点，，三点的圆的圆心在上， . . ， . ，矩形， ， ， ，， ， .   四边形为平行四边形. ， 四边形为菱形且. 的半径为3. 故选：B. 【点睛】本题考查了垂径定理的推论，菱形的判定和性质、等腰三角形的性质矩形的性质以及圆周角定理.解题的关键在于作对辅助线和证明圆心在上. 题型十一：圆周角定理 解题思路：同一段弧所对的圆周角是这条弧所对圆心角的一半，利用这个2倍的数量关系，在圆周角和圆心角之间互相转化，求出角度。 31．如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解． 【详解】解：． 32．如图，线段是的直径，弦，如果，那么________． 【答案】 【分析】由垂径定理可知，根据同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半即可解答． 【详解】解：是的直径，弦， ， ． 33．如图，的半径为，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，先由三角形内角和求出，再由圆周角定理得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴． 题型十二：同弧或等弧所对的圆周角相等 解题思路：找到题目里的公共弧或者相等的弧，把位置不同的圆周角转化为相等的角，完成角度的等量代换，用于计算或者证明。 34．如图，是的直径，，是上的两点，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】DD 【详解】解：∵，， ∴． 又∵是的直径 ∴， ∴ 35．如图，已知是的直径，，则的度数是______． 【答案】 【分析】先根据圆周角定理可得，，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由圆周角定理得，， ∵是的直径， ∴， 则． 36．如图，，，是的直径，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和求出，再根据直径得到，求出，根据圆周角定理得到，最后根据三角形内角和求即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十三：半圆所对圆周角是直角 解题思路：题目中出现直径时，立刻连接直径两端的弦，构造出直角三角形，把角度计算问题转化成直角三角形的边角计算。 37．如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：是的直径， ． ， ． 38．如图，是的直径，点B，C在上，若，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意可得，则可求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补可得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 39．如图，内接于，是的直径，点D是的中点，连接交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理得到，进而得到，根据是的中点，可得，最后利用三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ， ． 题型十四：90度圆周角所对的弦是直径 解题思路：只要看到90°的圆周角，就可以判定这个角所对的弦是圆的直径，利用这个结论来找圆心，或是求三角形、四边形外接圆的直径。 40．数学课堂上，王老师带同学们利用直角三角尺检查某种半圆形零件是否合格，下列四个零件中，合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，根据直角所对的弦为直径，进行判断即可． 【详解】解：由直角所对的弦为直径，可知，只有选项C中的零件是合格的； 故选C． 41．如图，圆A与坐标系交于，，且经过原点，则圆A的半径等于________． 【答案】//2.5 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 连接，利用圆周角定理得出为圆的直径，再根据勾股定理求出的长度，进而得到圆的半径． 【详解】解：连接， ∵， ∴是圆的直径． ∵，， ∴，， 根据勾股定理，在中， ． ∴圆的半径为． 故答案为：． 42．如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点和点，C是优弧上的任意一点（不与点O、B重合），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理以及逆定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是得到为圆的直径． 作辅助线构造等边三角形，连接，，根据可得为圆的直径，根据点和点可求解的长度，可得与的长度，由此可得为等边三角形，可求解的度数，由此可解． 【详解】解：连接，，如图， ∵， ∴为圆的直径， ∵点和点，即，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：D ． 题型十五：由圆内接四边形求角度 解题思路：运用两个结论：圆内接四边形对角互补，四边形的外角等于它的内对角，直接利用这两条性质列式计算角度。 43．如图，中，若，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在优弧上取点，连接、，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形对角互补可得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上取点，连接、， ， ， ． 44．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 45．如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质求出的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 题型十六：求四边形外接圆的直径 解题思路：先在圆内接四边形中找出90°的圆周角，这个直角所对的斜边就是外接圆的直径，最后再用勾股定理算出这条斜边的长度。 46．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可． 【详解】解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键． 47．图，定长弦在以为直径的上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是________． 【答案】4 【分析】连接，，求出，，，四点共圆，则是的一条弦，当为的直径时最大． 【详解】：如图，连接，，根据， 所以，，，四点共圆，且为直径， 的中点为圆心，则为的一条弦， 当为的直径时最大， 所以时最大， 即的最大值为4． 故答案为4 【点睛】本题考查了四点共圆，解题的关键是找出符合条件的的位置，有一定难度． 48．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 解答题 1．如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了圆心角和圆周角，熟练掌握圆心角和圆周角的定义并准确作图是关键． （1）连接即可； （2）根据圆周角的定义和圆周角的顶点在格点上进行作图即可． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 2．如图，圆中两条弦相交于点E，且．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴． ∵， ∴ ∴． 【分析】根据已知求得，可得，再通过证明即可得． 【详解】略 3．如图所示，为的直径，弦于E，．求证：为等边三角形． 【答案】证明：∵为的直径，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【分析】由垂径定理得到，因此是的垂直平分线，故，根据同弧所对圆周角相等得到，即可证明结论． 【详解】略 4．如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 5．仅用无刻度直尺完成下列画图： (1)如图①，与网格线交于点A、B，在劣弧上画点E，使得； (2)如图②，与网格线交于点A、B，点C是上的一点，在劣弧上画点F，使得； (3)如图③，经过格点A、B的圆与网格线交于点C，在劣弧上画点G，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，得到，过作交于点，得到，结合圆的特点可知，进而得到，即可使得； （2）由（1）同理推出，即垂直平分，连接交于点，连接并延长交于点，由于得到，进而即可推出； （3）连接，结合格点特点得到垂直平分线，可知圆的直径在该垂直平分线上，由圆的对称性可知关于垂直平分线的对称点为，则四边形为等腰梯形，则，即可推出． 解题的关键在于熟练掌握圆周角定理，等腰三角形性质，以及垂径定理． 【详解】（1）解：所画点E如图所示： （2）解：所画点F如图所示： （3）解：所画点G如图所示： 6．已知，，，是上的四点，延长，相交于点，若．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵，，，是上的四点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【分析】根据圆内接四边形的性质得到，又，所以，根据等腰三角形的判定和性质定理证明． 【详解】略． 7．如图，四边形内接于，为直径，，，E为对角线上一动点，连结并延长交于点F． (1)若，求证：； (2)求四边形的面积； 【答案】(1)见解析 (2)40 【分析】本题主要考查了圆的基本知识，等腰三角形的性质和判定，全等三角形，解直角三角形等知识； （1）先根据垂径定理可得：，再由圆周角定理可得结论； （2）如图1，过点分别作和的垂线，垂足分别为，，证明，则四边形的面积四边形的面积，可以解答． 【详解】（1）证明：为直径，， ， ； （2）解：如图1，过点分别作和的垂线，垂足分别为，， ， ， ， ， ， 四边形的面积四边形的面积， ，， ， ， 是直径， ， ，， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 四边形的面积四边形的面积． 8．已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 9．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析； (4)作图见解析． 【分析】（）找中点，连接，交与点； （）先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可； （）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点； （）根据网格特征即可； 此题考查了无刻度直尺作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理的应用． 【详解】（1）如图，找中点，连接，交与点， ∴点即为所求； （2）如图，先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可， ∴点即为所求； （3）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点， ∴点即为所求； （4）如图，已知图中， 延长交于点， ∴，根据网格作高的特点，作的高， ∴，延长交于点， 根据同弧所对的圆周角相等，则， ∴， ∴， ∴ ， ∴点即为所求． 10．综合与实践 某地的景观湖湖面成鱼型，如图1，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索该景观湖的大小，如图2，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D，C，E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 【答案】圆弧形水道外侧的半径为483米 【分析】根据垂径定理可知，，的长度，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设两同心圆的圆心为O，连接，，， ∵C为的中点，D为圆弧形道路内侧中点， ∴，， ∴O，E，C，D四点共线，（米）， 设米，则（米）． 在中，由， 得， 解得． ∴（米）． ∴圆弧形水道外侧的半径为483米． 11．如图，为的直径，点在上，． (1)尺规作图：作出弧的中点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，连接，交于点，求的长． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2)5 【分析】本题主要考查了垂径定理及其推论，勾股定理，垂线的尺规作图，熟知垂径定理及其推论是解题的关键． （1）过点O作线段的垂线，交于点C，则点C即为所求； （2）由垂径定理的推论可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，∵为的直径，， ∴， ∵点C为弧的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 12．某科技公司设计出一款圆形智能手表，其表盘的平面示意图如图所示，表盘的轮廓看作圆，表盘内有两条平行的触控灯带，（的两条弦），分别位于圆心O的上下两侧．过表盘中心O有一条线段，且交于点E，交于点G，交于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图（1），连接． ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）连接，证明即可； （2）连接，设的半径为，利用垂径定理，勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图（2），连接，设的半径为． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， 解得， 故的半径为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $