2.2.1《有理数的乘法》讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦有理数乘法核心知识点，系统梳理两个有理数的符号规律与绝对值相乘法则，多个有理数相乘的负因数个数符号判断方法，倒数意义及求法，以及乘法运算律的应用。前承小学乘法基础，后为有理数除法、乘方及代数式运算提供关键支撑，通过情境引入和步骤分解构建学习支架。 资料亮点在于以水库水位变化情境引导抽象乘法法则，培养抽象能力与模型观念，通过步骤表格和易错辨析提升运算能力。分层例题与变式训练兼顾不同学生，课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过检测与巩固查漏补缺，强化推理与应用意识。

2026—2027学年｜人教版数学七年级上册｜第2.2.1课《有理数的乘法》 第2.2.1课《有理数的乘法》讲义 2026—2027学年｜人教版数学七年级上册（2025秋版）｜新授课讲义｜建议课时：3课时 内容定位 定位 本节把小学乘法扩充到含负数的有理数范围。教材通过相同变化的累积、数轴方向和运算规律形成乘法法则，再研究多个有理数相乘、倒数以及乘法交换律、结合律和分配律。它既是有理数除法的直接基础，也是后续乘方、代数式运算的重要前置知识。 学习目标与素养指向 学习目标 素养指向 可观察的学习成果 经历从重复变化中抽象有理数乘法的过程 抽象能力、模型观念 能解释乘积符号与方向变化的关系 掌握两个及多个有理数相乘的符号规律 运算能力 能先判断符号，再计算绝对值 理解倒数的意义及0没有倒数 推理能力 能准确写出非零有理数的倒数并说明条件 理解并运用乘法运算律 运算能力、推理能力 能用交换律、结合律、分配律简化计算并逆向检查 课时安排与学习成果 课时 核心任务 学习成果 第1课时 形成两个有理数的乘法法则 会判断积的符号并完成两个数相乘 第2课时 多个有理数相乘与倒数 会由负因数个数判断积的符号，能求倒数 第3课时 验证乘法运算律并用于简便计算 会合理约分、结合或使用分配律 课前衔接与诊断 1. 计算。 2. 写出的绝对值。 3. 小学学过哪些乘法运算律？ 诊断答案 ；；乘法交换律、结合律和乘法对加法的分配律。 一、从相同变化的累积理解乘法 问题情境 某水库水位每天下降 cm，连续天的总变化怎样表示？规定上升为正、下降为负，每天变化记作 cm。 把四天变化相加，得到。用乘法可写成。这说明正数个相同的负变化累积后仍是负变化。 继续考察保持乘法规律的一组算式：当第二个因数从依次减少到时，积按固定差变化。为了使规律保持一致，可得到、，从而发现负数乘负数得正数。 ★规范 乘号两侧若有负数，负数应加括号，如。先确定积的符号，再计算绝对值的乘积。 二、两个有理数的乘法法则 ★重点 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同相乘，都得。 因数符号 积的符号 示例 同正 正 同负 正 异号 负 含因数0 0 三、乘法法则的稳定路径 步骤 关键问题 检查方式 1. 看零 是否有因数0 若有，积立即为0 2. 定符号 同号还是异号 同正异负 3. 算绝对值 绝对值相乘是多少 约分应约因数 4. 合成结果 符号与数值是否一致 估算积的大小 ★易错 符号法则只决定正负，不能代替绝对值计算。例如先得正号，再算，结果为。 四、特殊因数 一个数乘仍得这个数：。 一个数乘得到它的相反数：。 一个数乘得：。 若两个数的积为，在本节范围内可判断至少有一个因数为。 ★检查 积的绝对值应等于各因数绝对值的乘积。若两个非零因数的绝对值都大于，积的绝对值应比每个因数的绝对值都大。 五、多个有理数相乘 计算多个不为的有理数相乘时，逐次使用两数乘法法则。观察若干算式可发现：负因数有偶数个时，积为正；负因数有奇数个时，积为负。这个结论的条件是所有因数都不为。 ★高频 多个有理数相乘，先检查是否含因数；若不含，再数负因数个数，最后把各因数的绝对值相乘。 情形 积 理由 有一个因数为0 0 任何数与0相乘得0 无0，负因数偶数个 正数 负号两两结合为正 无0，负因数奇数个 负数 两两结合后剩一个负号 六、倒数 乘积是的两个数互为倒数。非零有理数的倒数是；分数（）的倒数是。 没有倒数，因为不存在一个数与相乘得到。 的倒数是；的倒数是。 求小数的倒数时，可先把有限小数化成分数，再交换分子、分母。 七、乘法运算律 选取正数、负数和零进行计算，可以验证小学学习的乘法交换律、结合律以及乘法对加法的分配律在有理数范围内仍然成立。运算律改变的是计算顺序或运算结构，不改变原算式的值。 名称 字母表达 使用要点 乘法交换律 交换带符号的因数 乘法结合律 只改变因数的结合方式 分配律 括号内每一项都要乘 ★方法 乘法简算常用三类结构：先约分再相乘；把乘积为或的因数结合；用分配律把一个因数乘括号内每一项，或逆向提取共同因数。 八、易错辨析 错误观点或步骤 错误原因 正确处理 负因数越多，积越小 只看数量，未看奇偶 无0时看负因数个数的奇偶性 分配时漏乘第二项 0的倒数是0 误把相反数与倒数混淆 0没有倒数；0的相反数才是0 经典例题｜★重点｜多个有理数相乘 题目：计算：。 思路分析：三个因数均不为，其中有两个负因数，积为正。数值部分可先约分。 规范解答：。 所用依据：多个有理数相乘的符号规律；乘法交换律、结合律；分数约分。 方法总结：先数负因数确定符号，再处理绝对值；约去的是分子、分母中的公因数。 结果检验：逐次计算：，，与简算结果一致。 变式训练 变式1：计算。 参考答案：，三个负因数为奇数个。 变式2：不计算数值，判断的结果。 参考答案：，因为含因数。 经典例题｜★高频｜分配律简算 题目：计算：。 思路分析：括号内各分数的分母都能与约分，使用分配律可避免先通分。 规范解答：。 所用依据：乘法对加法的分配律；有理数加减法。 方法总结：括号内每一项都乘同一因数，并保留各项原有的连接符号。 结果检验：先算括号：，再算，结果一致。 变式训练 变式1：计算。 参考答案：；先将结合。 变式2：计算。 参考答案：；逆用分配律得。 运算律使用检查 交换、结合时因数的符号是否完整保留？ 分配律是否乘到括号内每一项？ 逆用分配律时是否确有共同因数？ 3—5分钟课堂效果检测 1. 计算。 2. 判断：四个非零有理数相乘，若有三个负因数，则积为正。 3. 写出的倒数。 4. 计算。 5. 计算。 参考答案 1. 。 2. 错误，三个负因数为奇数个，积为负。 3. 。 4. 。 5. 。 课后分层巩固 层次 练习 参考答案或提示 基础巩固 方法迁移 思维提升 已知四个非零因数的积为负，其中三个因数为负，第四个因数是什么符号？ 正号；三个负因数已使积为负 本课小结 自我检查 我是否先检查因数，再数负因数个数？求倒数时是否确认原数非零？使用交换律、结合律、分配律时是否保留所有因数和符号？能否用逐次相乘或逆向展开检验简算结果？ 编写依据 依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》第四学段“数与代数”要求及人教版七年级上册（2025秋版）对应小节编写；内容按新版教材顺序组织。 学科网（北京）股份有限公司 $