2.2.2 有理数的除法（课时2） 教案 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该教案聚焦有理数乘除混合运算及加减乘除混合运算，通过复习除法法则自然导入，强调除法转化为乘法的核心思想，搭建前后知识联系，明确运算顺序与运算律应用方向。 以转化思想为核心，通过“先转化再运算”培养数学抽象，例题采用“审题-解题-总结-变式”流程强化逻辑推理和数学运算能力，如乘除混合运算步骤归纳及运算律简化实例。助力学生提升运算准确性与思维灵活性，为教师提供清晰教学路径和分层训练素材。

2.2.2 有理数的除法（课时2） 课题 2.2.2 有理数的除法（课时2） 课型 新授课 备课人 授课班级 核心素养目标：1. 数学抽象：通过乘除混合运算的转化，理解除法向乘法转化的统一性 2. 逻辑推理：在加减乘除混合运算中，培养按运算顺序进行逻辑推理的能力 3. 数学运算：能正确进行有理数乘除混合运算和加减乘除混合运算 4. 数学建模：运用运算律简化混合运算，体会数学的简洁美 教学重难点：重点：有理数乘除混合运算，加减乘除混合运算的运算顺序 难点：灵活运用运算律简化乘除混合运算 突破策略：通过将除法转化为乘法的统一处理，对比直接计算与运用运算律的繁简；通过分步演示明确运算顺序 一、情境导入 【过渡语】同学们，上节课我们学习了有理数的除法法则。请大家一起回忆：有理数的除法法则是什么？ 教师提问：请同学们说一说有理数的除法法则。 学生回答：有理数的除法法则有两种说法。第一种：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。第二种：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值。0除以任何不等于0的数都得0。 教师追问：很好。既然除法可以转化为乘法，那么在有理数的乘除混合运算中，我们就可以统一用乘法来处理。这就是本节课要学习的内容——有理数的乘除混合运算，以及加减乘除混合运算。 教师进一步引导：在小学阶段，我们学过四则混合运算的顺序——先乘除后加减，有括号先算括号。这个顺序在有理数范围内同样适用。同时，因为有理数的除法可以转化为乘法，所以可以利用与乘法有关的运算律（交换律、结合律、分配律）来简化运算。 学生活动：请同学们回忆乘法的三条运算律，并用字母表示。学生回答：乘法交换律ab=ba，乘法结合律(ab)c=a(bc)，乘法分配律a(b+c)=ab+ac。 教师追问：这些运算律在有理数范围内成立吗？学生回答：成立。上节课已经验证过，乘法运算律在有理数范围内仍然成立。 教师总结：很好。既然除法可以转化为乘法，而乘法运算律在有理数范围内成立，那么在乘除混合运算中，我们就可以先将除法转化为乘法，再运用运算律来简化计算。这就是本节课的核心思路。 【知识点】本节课的研究思路：复习除法法则→乘除混合运算（除法转化为乘法）→运用运算律简化→加减乘除混合运算（运算顺序）→计算器的使用。 设计意图：通过复习上节课的除法法则，自然引入乘除混合运算的主题。强调"除法转化为乘法"的核心思想，为后续学习做铺垫。 二、探究新知 1. 探究一：乘除混合运算 【过渡语】我们首先来研究有理数的乘除混合运算。由于除法可以转化为乘法，乘除混合运算可以统一为乘法运算。 教师引导：请同学们看下面的算式，思考如何计算。 计算： 教师提问：这个算式中既有乘法又有除法，应该如何处理？ 学生回答：可以先把除法转化为乘法。除以(−)等于乘以(−)的倒数(−)，然后再按多个数相乘的法则计算。 教师追问：很好。乘除混合运算的步骤是什么？ 学生回答：第一步，将除法转化为乘法（乘以除数的倒数）；第二步，确定积的符号（数负因数个数）；第三步，计算各因数绝对值的积，得出结果。 解：将除法转化为乘法： 确定符号并计算： 所以： 教师强调：乘除混合运算的关键是将除法统一转化为乘法。转化后，就可以运用多个有理数相乘的法则——先检查是否有0，再数负因数个数定符号，最后算绝对值的积。 学生活动：请同学们自己出一道乘除混合运算的题目，同桌互换解答。要求题目中至少包含一个乘法和一个除法，涉及正数和负数。 教师巡视并选取几道典型题目进行点评。重点关注：学生是否正确将除法转化为乘法、负因数个数是否数对、绝对值的计算是否正确。 乘除混合运算步骤 ① 将除法转化为乘法（乘以除数的倒数）； ② 确定积的符号（负因数个数为偶数得正，奇数得负）； ③ 计算各因数绝对值的积，得出结果。 注意：如果有因数为0，则积直接为0。 【知识点】乘除混合运算：因为有理数的除法可以转化为乘法，所以乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 设计意图：通过具体算式让学生掌握乘除混合运算的步骤：先转化、再定符号、最后算绝对值。强调"转化"思想——将除法统一为乘法处理。 2. 探究二：运用运算律简化乘除混合运算 【过渡语】掌握了乘除混合运算的基本步骤后，我们来看如何运用运算律来简化计算。 教师引导：因为有理数的除法可以转化为乘法，所以可以利用与乘法有关的运算律（交换律、结合律、分配律）来简化运算。请同学们看下面的算式。 计算： 教师提问：这个算式是12乘以[(−)除以12]。有没有简便的运算方法？ 学生思考后回答：可以先把(−)除以12转化为(−)乘以，然后12乘以(−)乘以。注意到12和的乘积为1，可以运用乘法交换律和结合律，先算12乘以。 解：将除法转化为乘法： 运用交换律和结合律： 所以： 教师追问：这里运用了哪些运算律？学生回答：运用了乘法交换律和结合律。将12和结合在一起先算，因为它们的乘积为1，可以简化计算。 教师补充：在乘除混合运算中，如果注意到某些数的乘积为1或为整数，可以运用运算律将它们结合在一起先算，从而简化计算。这要求同学们在计算前先观察算式的特点，选择最简便的方法。 学生活动：请同学们思考——在什么情况下运用运算律能使乘除混合运算更简便？学生讨论后回答：当算式中有互为倒数的因数时，可以运用交换律和结合律将它们结合先算；当括号内是加减运算而括号外是乘除时，可以运用分配律。 教师追问：运用运算律的前提是什么？学生回答：必须先将除法转化为乘法。因为运算律是乘法的运算律，只有将除法统一为乘法后才能使用。这是运用运算律简化乘除混合运算的关键前提。 解题技巧 运用运算律简化乘除混合运算的策略： ① 先将除法转化为乘法； ② 观察是否有互为倒数的因数（乘积为1）； ③ 观察是否有能凑整的因数； ④ 运用交换律和结合律，将容易计算的因数结合在一起； ⑤ 灵活运用分配律，将一个数分配到括号内的各项。 【知识点】因为有理数的除法可以转化为乘法，所以可以利用与乘法有关的运算律（交换律、结合律、分配律）简化乘除混合运算。关键是将除法转化为乘法后，观察算式特点选择合适的运算律。 设计意图：通过对比直接计算和运用运算律简化计算，让学生体会运算律的价值。强调"先观察、后选择"的解题策略，培养灵活运用知识的能力。 3. 探究三：加减乘除混合运算 【过渡语】前面我们学习了乘除混合运算，现在来研究加减乘除四种运算混合在一起的情况。 教师引导：在有理数的加、减、乘、除混合运算中，如果没有括号指出先做什么运算，应该按照什么顺序进行？ 学生回答：与小学所学的混合运算一样，按照"先乘除，后加减"的顺序进行。也就是说，先算乘法和除法，再算加法和减法。 教师追问：如果有括号呢？学生回答：有括号先算括号内的，按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。 教师进一步说明：有理数的加、减、乘、除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小学所学的混合运算一样，按照"先乘除，后加减"的顺序进行。这与小学阶段的运算顺序完全一致。 教师强调：虽然运算顺序与小学相同，但有理数的混合运算增加了负数的处理。在每一步计算中，都要注意符号的判断——同号得正，异号得负。这是与小学混合运算最大的不同。 学生活动：请同学们举例说明"先乘除后加减"的含义。学生举例：如3+，先算=20，再算3+20=23。如果从左到右算就成了(3+4)×5=35，这是错误的。所以必须先算乘除再算加减。 教师追问：如果算式中只有加减法或只有乘除法呢？学生回答：只有加减法或只有乘除法的同级运算，从左到右依次计算。如3−5+2，从左到右算：3−5=−2，−2+2=0。 教师补充：有括号的情况下，按小括号、中括号、大括号的顺序，从内到外依次计算。每去掉一层括号，都要先算括号内的运算。 有理数加减乘除混合运算顺序 1. 有括号的，先算括号内的（小→中→大）。 2. 无括号的，先算乘除，后算加减。 3. 同级运算（只有加减或只有乘除），从左到右依次计算。 注意：每一步都要注意符号的判断。 【知识点】有理数加减乘除混合运算顺序：有括号先算括号（小→中→大），无括号按"先乘除后加减"进行，同级运算从左到右。每步注意符号判断。 设计意图：将小学的运算顺序推广到有理数范围，强调一致性。同时指出有理数运算中符号判断的重要性，帮助学生建立完整的运算体系。 4. 探究四：计算器的使用 【过渡语】在进行比较复杂的有理数混合运算时，我们可以借助计算器来提高计算效率。 教师引导：计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进行比较复杂的数的计算，比笔算要快捷得多。 教师说明：例如，可以用计算器计算下面的算式。 计算： 教师演示：在计算器上输入这个算式，注意负数的输入方法——通常需要使用+/−键或括号来输入负数。 学生活动：请同学们用自己的计算器尝试计算这个算式，看看结果是否为87.3。 教师强调：不同品牌计算器的操作方法可能有所不同，具体参见计算器的使用说明。但基本的输入逻辑是相同的——按照算式的书写顺序输入，注意负数和括号的输入方法。 教师补充：计算器虽然方便，但在考试中并不总是允许使用。同学们仍需掌握笔算的方法，计算器主要用于检验笔算结果和处理复杂计算。 学生活动：请同学们用计算器计算几道混合运算题，再用笔算验证，比较两种方法的结果和速度。学生反馈：计算器在处理小数和复杂运算时更快，但笔算有助于理解运算过程和培养数感。 教师追问：什么情况下适合用计算器？什么情况下适合笔算？学生回答：当数字较大或涉及小数时适合用计算器；当数字简单或需要理解运算过程时适合笔算。两种方法各有优势，要根据具体情况选择。 【知识点】计算器的使用：计算器是方便实用的计算工具，用计算器进行比较复杂的数的计算比笔算快捷。不同品牌操作可能不同，注意负数和括号的输入方法。 设计意图：介绍计算器的使用方法，让学生了解计算工具的应用。同时强调笔算能力的重要性，避免过度依赖计算器。 三、例题精讲 【过渡语】掌握了乘除混合运算和加减乘除混合运算的方法后，我们来看几道例题。 例1 乘除混合运算 计算： 审题分析 本题是(−−)除以(−)。括号内是两个分数的减法，需要先通分计算括号内的值，再将除法转化为乘法。也可以先观察是否有简便方法。 解题过程 解：先算括号内的减法： 将除法转化为乘法并计算： 所以： 教师说明：本题先算括号内的减法（通分后得− = −），再将除以(−)转化为乘以(−6)，最后得9。注意同号相除得正。 方法总结 解题技巧 含括号的乘除混合运算步骤： ① 先算括号内的运算（注意通分）； ② 将除法转化为乘法； ③ 确定积的符号； ④ 计算绝对值的积； ⑤ 化简结果。 变式训练 计算：(−)÷(−) 学生完成后汇报：先算括号内：− = − = 。再除以(−)等于乘以(−6)：×(−6) = −1。结果为−1。 例2 加减乘除混合运算 计算： 审题分析 本题包含加法、除法和减法三种运算，没有括号。按照"先乘除后加减"的顺序，先算4÷(−2)，再算加法和减法。 解题过程 解：先算除法： 再算加减法： 教师说明：第一步先算4÷(−2) = −2（异号得负）。第二步从左到右算加减法：(−8)+(−2) = −10，−10−(−3) = −10+3 = −7。 变式训练 计算：(−5)+6÷(−2)−(−3)×2 学生完成后汇报：先算乘除法：6÷(−2) = −3，(−3)×2 = −6。再算加减法：(−5)+(−3)−(−6) = (−5)+(−3)+6 = −2。结果为−2。 例3 运用运算律简化计算 计算：(−7)×(−2)+(−6)÷(−3) 审题分析 本题包含乘法和除法，以及加法。按照"先乘除后加减"的顺序，先分别算(−7)×(−2)和(−6)÷(−3)，再相加。 解题过程 解： 教师说明：先算乘法(−7)×(−2) = 14（同号得正），再算除法(−6)÷(−3) = 2（同号得正），最后14+2 = 16。 方法总结 解题技巧 加减乘除混合运算的关键： ① 明确运算顺序——先乘除后加减； ② 同级运算从左到右； ③ 每步注意符号判断（同号正、异号负）； ④ 有括号先算括号内； ⑤ 可以运用运算律简化计算。 变式训练 计算：(−8)×3+(−12)÷(−4)−(−2)×(−5) 学生完成后汇报：先算乘除：(−8)×3 = −24，(−12)÷(−4) = 3，(−2)×(−5) = 10。再算加减：(−24)+3−10 = −31。结果为−31。 例4 复杂混合运算 用计算器计算： 审题分析 本题包含多个乘法和加法运算，数较大且有负数和小数。按照"先乘除后加减"的顺序，先分别算四个乘法，再相加。可以用计算器辅助计算。 解题过程 解：先算各项乘法： (−1.5)×3 = −4.5 = 9.6 = 86.8 (−2.3)×2 = −4.6 再算加法： 教师说明：本题也可以用计算器直接输入整个算式，注意负数的输入方法。计算器会自动按照运算顺序进行计算。 设计意图：通过四个例题，分别训练乘除混合运算、加减乘除混合运算、运用运算律简化计算和复杂混合运算。每个例题按照"审题分析→解题过程→方法总结→变式训练"的流程展开，帮助学生形成规范的解题习惯。 课堂小结 【过渡语】今天这节课我们学习了有理数的乘除混合运算和加减乘除混合运算，让我们一起来回顾本节课的主要内容。 1. 乘除混合运算 因为有理数的除法可以转化为乘法，所以乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 步骤：将除法转化为乘法→确定积的符号→计算绝对值的积。 2. 加减乘除混合运算 有理数的加、减、乘、除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照"先乘除，后加减"的顺序进行。有括号的先算括号内。 运算顺序：有括号先算括号（小→中→大），无括号先乘除后加减，同级运算从左到右。 【知识点】本节课核心知识：1. 乘除混合运算——先将除法转化为乘法，再统一按乘法法则计算；2. 加减乘除混合运算——先乘除后加减，有括号先算括号；3. 运用运算律简化乘除混合运算；4. 计算器的使用。 3. 方法总结 归纳总结 有理数混合运算口诀： 乘除混合先转化，除变乘倒数来算； 负因个数定符号，偶正奇负记心间； 加减乘除混合算，先乘除来后加减； 括号优先不要忘，从左到右同级算； 运算律来助简化，观察特点巧选择。 4. 易错点提醒 易错提示 ① 乘除混合运算时，先将除法转化为乘法，不要直接计算。 ② 确定积的符号时，要数所有负因数的个数（包括转化前的除数）。 ③ 加减乘除混合运算中，先算乘除再算加减，不要按从左到右的顺序直接算。 ④ 有括号先算括号内，注意括号的优先级（小→中→大）。 ⑤ 运用运算律时，注意除法必须先转化为乘法才能使用乘法运算律。 学科网（北京）股份有限公司 $