吉林省吉林市实验中学2027届高三数学高考总复习综合模拟试卷（三）

**基本信息** 以高考高频考点为载体，整合函数与导数、数列、立体几何等模块，通过典例提炼设而不求、导数应用等核心方法，构建知识逻辑与解题策略的系统训练。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数与导数|3（第9、11、18题）|导数研究单调性/极值、复合函数对称性分析|概念生成（函数性质）→原理推导（导数应用）→综合拓展（分类讨论）| |数列与不等式|2（第2、16题）|等差等比性质应用、错位相减法求和|定义（等差/等比）→公式推导（求和公式）→综合应用（充要条件判断）| |立体几何|2（第4、10题）|相似三角形构造、圆锥体积与内切球计算|空间想象（图形转化）→几何关系（相似比）→体积公式推导应用| |解析几何|2（第8、19题）|设而不求法、直线与圆锥曲线位置关系|曲线定义（抛物线/椭圆）→方程联立（韦达定理）→几何性质应用|

2027届吉林市实验中学高三数学高考总复习综合模拟试卷（三） 出题人： 命题人： 一、单选题 1．已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 2．已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若，则“是递增数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，且，则的最小值为（     ）. A．. B．. C．. D．. 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以C为圆心，6为半径的圆上有一动点D，连接AD、BD、CD，则AD+BD的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知向量满足，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 6．两位游客准备分别从华清池、兵马俑、钟楼、大雁塔4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件 “两位游客中至少有一人选择华清池”，事件 “两位游客选择的景点不同”，则（   ） A． B． C． D． 7．已知不等式对任意锐角均成立，则m的取值范围为（   ） A．（） B．（） C．（ D．（ 8．如图，抛物线E：的焦点为F，过点的直线，与E分别相交于，和C，D两点，直线AD经过点F，当直线AB垂直于x轴时，．下列结论正确的是（    ）    A． B． C．若AD，BC的斜率分别为，，则 D．若的面积为，则的面积为 二、多选题 9．已知函数，则（   ） A．的图象关于直线对称 B． C．无零点 D．在上单调递增 10．如图一，有一个半径为8的半圆形铁片（铁片厚度忽略不计），将其裁剪成如图二的形状并制成一个带底的封闭圆锥桶（如图三，连接处损耗不计），在该圆锥桶内放入一个注满水的半径为r的小球，下列说法正确的是（   ） A．所制成的圆锥桶的体积为 B．当球内水的体积最大时 C．将球内的水从圆锥顶点倒回圆锥桶内，水面高度一定小于 D．当时，让小球在该圆锥桶内自由运动，则小球能接触到圆锥桶内部的最大面积为 11．设函数，则下列结论正确的是（    ） A．n为奇数时，在单调递增 B．为奇数时，在有一个极值点 C．为偶数时，在单调递增 D．为偶数时，的最小值为0 三、填空题 12．已知点P是直线上的动点，过点P作圆的切线，切点分别是A，B，则直线AB恒过定点的坐标为___________. 13．函数的最大值为________． 14．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为__________． 四、解答题 15．记的内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，求的周长. 16．已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是公比为2的等比数列，且，求数列的前n项和． 17．如图，为圆的直径，在圆上，于，点为线段上任意一点，延长交圆于． (1)求证:； (2)若，求的值. 18．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若方程有两个根，求的取值范围. 19．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，，的面积为4（为坐标原点）.以为中心,焦点在轴上的椭圆在的内部，且与的离心率相等.分别过作的切线，设的斜率分别为. (1)求的方程； (2)求的值； (3)若的长轴长为4，是否存在定点，当过的动直线与交于两点，与交于点时，都有？若存在，写出的坐标并证明：若不存在，说明理由. 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 2．D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列等比数列的性质来判断. 【详解】若是递增数列，则对所有的正整数都成立， 充分性：若是递增数列，则 即恒成立，又，， ①若数列为无穷数列， 若，则，时，，所以； 若，则，时，，所以; 此时充分性成立； ②若数列为有穷数列， 若， ，只需即可，此时充分性不成立. 必要性：时， 若，有，则不一定成立，故必要性不成立； 即时，“是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．A 【分析】 先利用均值不等式消掉分母上的，然后利用齐次化（同时除以）最后换元求解即可. 【详解】， 设，，可以取等. 当且仅当（舍）或. 故选：A. 4．B 【分析】在CA上截取CM，使得CM＝4，连接DM，BM．利用相似三角形的性质证明DM＝AD，推出AD+BD＝DM+BD≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题． 【详解】在CA上截取CM，使得CM＝4，连接DM，BM． ∵CD＝6，CM＝4，CA＝9， ∴CD2＝CM•CA， ∴＝， ∵∠DCM＝∠ACD， ∴△DCM∽△ACD， ∴＝＝， ∴DM＝AD， ∴AD+BD＝DM+BD， ∵DM+BD≥BM， 在RtCBM中，∵∠CMB＝90°，CM＝4，BC＝12， ∴BM＝＝4， ∴AD+BD≥4， ∴AD+BD的最小值为4． 故选：B． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，考查两点之间线段最短，考查勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 5．A 【详解】由，得， 又，所以， 所以， 因为，所以． 6．C 【详解】依题意，，， 所以. 7．D 【分析】利用二倍角公式化简不等式,换元并分析二次函数的恒成立条件，最后综合所有情况得到答案； 【详解】因为，所以不等式等价于 ，即， 令，为锐角，， 不等式转化为对任意均成立， 令，开口向上，对称轴为， 当，即时，函数在上单调递增， 只需，解得，此时； 当，即时，对称轴在区间内， 函数在处取得最小值， 要使，需，解得，此时； 当，即时，函数在上单调递减， 只需，此时； 综上所述，的取值范围为（ 故选：D. 8．C 【分析】根据抛物线定义表示，由条件列方程求可得抛物线方程，判断A，设的方程为，利用设而不求法求，判断B，设，利用设而不求法求，根据直线AD经过点F，确定的关系，利用表示，判断C，求出坐标即可判断D. 【详解】当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为，所以点A的横坐标为p，所以，又，所以，故A选项错误； 若直线AB的斜率为0，则直线AB与抛物线只有一个交点，与已知矛盾， 故可设直线AB的方程为，联立化简可得， 方程的判别式， 由已知，为方程的两根， 所以，，，故B选项错误； 设直线CD的方程为，，，联立； 化简可得，方程的判别式， 所以，．， 若直线AD的斜率存在，则，，， 因为直线AD经过点F，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，，所以，选项C正确； 当直线AB垂直于x轴时，易知点，从而， 此时点D在过，两点的直线上，且在抛物线E：上， 从而求出点，从而，从而，故选项D错误． 故选：C. 【点睛】方法点睛：(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 9．AB 【分析】由已知有且定义域为，结合对数复合函数的单调性判断函数的区间单调性，进而判断函数值的大小，由对数性质求零点判断各项的正误. 【详解】由，且定义域为， 所以的图象关于直线对称，A对； 当时，在上单调递减，D错； 当时，在上单调递增， 又，B对； 显然，C错； 故选：AB 10．BCD 【分析】根据半圆形铁片的半径和裁剪方式，利用弧长公式和几何关系求出圆锥的底面半径r和母线长为l，进而求出高h和体积. 【详解】对于A，对制成的圆锥桶，设盖子的半径为r，母线长为l， 则，解得， 则圆锥桶的高， 所以圆锥桶的体积，A错误. 对于B，当圆锥桶内能放入最大球，则此球与圆锥的侧面和底面都内切， 设此球的半径为，轴截面如图所示， 由相似三角形知，，解得，B正确. 对于C，此时球内水的最大体积为：， 当圆锥桶内水的高度为时，没有装水的部分是一个底面半径为1，高为的圆锥， 没有水部分的体积， 所以当圆锥桶内水的高度为时，能装的水的体积． 又因为，所以将球内的水倒回圆锥桶内，水面高度一定小于，C正确. 对于D，如图，画出示意图，小球在圆锥桶内自由运动时，在圆锥桶侧面接触到的地方是一个圆台的侧面， 其中E，F，G，J为该圆台的截面上的点，在圆锥桶底面是一个圆， 其中H，K是这个圆的直径，，，， 所以圆台侧面积，底面圆的面积， 所以小球能接触到圆锥桶内部的最大面积， D正确. 11．ABD 【分析】令，结合导数可得.若为奇数时，可得，对于A：结合可得；对于B：分和两种情况，结合导数判断单调性和极值；若为偶数时，则，对于C：求导，带特值运算即可；对于D：构建，求导，分类讨论判断的符号，进而可得的单调性和最值. 【详解】令，则当时恒成立， 可知在内单调递增，则， 即在内恒成立. 由题意可知：的定义域为， 若为奇数时，则，可得， 对于选项A： 可知当时恒成立， 所以在单调递增，故A正确； 对于选项B：令， 若，则， 可得， 可知在内单调递减，则， 即在内恒成立，可知在内单调递增； 若，令， 可得， 由图象可知：与在内只有一个交点，设其横坐标为， 当时，，则； 当时，，则； 可知在内单调递减，在内单调递增； 且连续不断，综上所述：可知在内单调递减，在内单调递增， 所以在有一个极值点，故B正确； 若为偶数时，则， 可得， 对于选项C：因为， 所以在内不是单调递增函数，故C错误； 对于选项D：设， 则， 若， 则， 可知在内单调递减； 令， 若， 则， 可知在内单调递增，则， 即在内恒成立，可知在内单调递增； 若，则，可知， 则在内恒成立，可知在内单调递增，且， 则当时，，即可知在内单调递减； 综上所述：在内单调递减，在内单调递增， 可得，即的最小值为0，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数极值、最值的方法 （1）若求极值，则先求方程的根，再检查在方程根的左右函数值的符号； （2）若探究极值点个数，则探求方程在所给范围内实根的个数； （3）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况来求解； （4）求函数在闭区间的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值与的各极值进行比较，从而得到函数的最值． 12． 【分析】先设点，发现P、A、O、B四点共圆，求出P、A、O、B四点确定的圆的方程，联立后得到AB所在直线方程，再求直线AB恒过定点的坐标 【详解】设点，则 ∵过点P作圆的切线，切点分别是A，B， ∴， ∴P、A、O、B四点共圆，其中OP为直径 所以圆心坐标为，半径长为 ∴P、A、O、B四点确定的圆的方程为： 化为一般方程为： 即 与联立，求得AB所在直线方程为：① 其中，代入①中，得： 所以 解得： 直线AB恒过定点的坐标为 故答案为： 13． 【分析】采用数形结合的方法求函数的最大值. 【详解】因为， 所以问题可转化为求动点与点，的距离之差的最大值． 如图： 因为，当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以，此时． 故答案为： 14． 【详解】依题意，，消去，得． 15．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简等式，通过辅助角公式即可求得； （2）由余弦定理求得，然后求得，即可求得的周长. 【详解】（1）由已知，可得， 根据正弦定理可知，，. 由，则，故，所以. ，所以，故； （2）因为，，由余弦定理得， 所以， 故，解得， 故的周长为. 16．(1) (2) 【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于和d的方程，求解即可得的通项公式； （2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出. 【详解】（1）因为为等差数列，设公差为d， 由，得，① 由，，成等比数列得， 则，② 联立①②解得或，又因为，则， 所以． 综上，． （2）由知，， 又为公比是2的等比数列，， 所以，即， 所以，， 所以 . 综上，. 17．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）先判断为等边三角形，进而根据等边三角形的性质证得. （2）通过证明，然后利用对应边成比例求得. 【详解】（1）连接，∵，∴， 又，∴为等边三角形， ∵，∴为中边上的中线， ∴. （2）连接，∵是等边三角形， ∴三角形的边长为，， ∵为圆的直径，∴，∴， 又∵，∴，∴， 即． 18．(1)函数的单调递增区间为和，递减区间为 (2)的取值范围为 【分析】（1）求导数，解不等式和，可求得单调区间； （2）因为不是的根，参变分离可得，令，求导可得的单调区间，进而可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以， 由，得或，由，得， 所以函数的单调递增区间为和，递减区间为； （2）因为不是的根，当时， 由，可得， 设， 则， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，， 当时，且， 当时，， 要使有两个根，则，解得， 所以的取值范围为. 19．(1) (2) (3)当为时，存在定点满足条件；当为时，存在定点满足条件 【分析】（1）根据条件列出的方程求解即可； （2）设的方程可设为，由与相切，联立方程得到，化简得到，同理可得，即可得到. （3）先求出过点 的椭圆的切线​，方程为，题目中的本质是 按相同比例分割线段 ，结合在椭圆上的方程，消去比例参数后可得到过点的恒成立直线，由于始终在切线​上，因此这条直线与为同一条直线，通过系数成比例即可解得定点 为. 【详解】（1）设，，则， ， 联立解得， 则的方程. （2）因为两椭圆的离心率相同，故的方程可设为， 设切线的方程为，切线的方程为， 由，得， 由，即， 整理得， 同理可得， 所以，所以. （3）易得的方程为，设的方程为， 由，得， 由，得， 当的方程为时，假设存在满足条件的点，设. 由题意知不能在椭圆上， 若在椭圆内且，则，显然条件不成立; 若在椭圆内且，则，显然条件不成立; 所以若存在，则其必然在椭圆外， 设，则且，由题知四点共线， 则，设， 由向量的共线关系可得: ①，     ②， ③，      ④, 由①②，③④得到，， 因为在上，所以它们的坐标满足 ⑤， ⑥， 由⑤⑥得到， 整体代入得到：恒成立， 因为在直线上， 当，是同一条直线时，即时满足题意， 所以存在定点符合题意. 当的方程为时，由图形的对称性可知，点为所求定点. 综上，当为时，存在定点满足条件； 当为时，存在定点满足条件. 答案第2页，共11页 答案第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $