6.2 等差数列及其前n项和 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦等差数列定义、通项及前n项和公式的系统性应用，通过基础计算、性质探究及实际情境题，培养运算能力与逻辑推理，强化知识间的生成与推导逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|8选择+3填空|考查a₁、d、aₙ、Sₙ基本量互求|从定义到通项公式，再到前n项和公式的直接应用| |性质应用|3多选+2解答|结合中项性质、Sₙ与aₙ关系、最值问题|通过性质推导深化公式理解，构建“定义-公式-性质”逻辑链| |综合应用|3解答+1情境题|实际问题（古塔塔数）、充要条件判断|联系现实情境与逻辑推理，体现数学语言表达现实世界的能力|

6.2 等差数列及其前n项和（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高三·全国·专题练习）设为等差数列的前项和，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差数列前项和公式及等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，已知为等差数列的前项和， 因为，则，化简得，即， 所以，故D正确. 2．（2026高三·全国·专题练习）设等差数列的公差不为0，，若是与的等比中项，则等于（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】由数列为等差数列以及等比中项求解即可. 【详解】因为为等差数列，且是与的等比中项，所以， 所以， 因为，所以，即， 解得或，因为，所以. 3．（2026·江西赣州·二模）在等差数列中，公差，且，则（   ） A．5 B．50 C．60 D．105 【答案】A 【分析】根据题意得，进而得. 【详解】解:因为等差数列中，，， 所以， 即， 所以 4．（25-26高二下·江西九江·期中）已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 【答案】C 【分析】根据是等差数列的前项和，推得数列是等差数列，利用基本量运算即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和， 所以数列是等差数列. 又，， 则数列的公差，首项为， 所以，. 5．（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可设，，结合运算求解即可. 【详解】因为，即， 又等差数列的前项和的表达式为关于的二次函数且无常数项，可设，， 所以. 6．（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用等差数列通项公式与前项和公式列方程组求解首项和公差，再通过判断项的正负确定取最小值时的. 【详解】设等差数列的公差为，。 根据等差数列的通项公式及前项和公式得： 由，得，化简整理得 ①； 由，得，化简整理得 ②. 所以得，将代入①得， 故通项公式为， 所以等差数列的首项，公差的一个递增等差数列， 因此等差数列的前项和有最小值. 令，即，解得，又，因此. 所以当时，，；当时，，. 因此时取得最小值. 7．（25-26高二下·湖南张家界·期末）一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（    ） A．15 B．16 C．17 D．19 【答案】C 【分析】先计算等差数列10项的总和，结合公差为正整数的约束确定等差数列的各项，再根据非递减序列的特征确定第11层的塔数. 【详解】∵ 12层塔的总数量为108，剩余两层的塔数之和为8， ∴ 构成等差数列的10层塔总数量为. 设该等差数列首项为，公差为，由题意知， 由等差数列求和公式得，整理得. ∵ 为偶数，20为偶数，∴ 为偶数，即为偶数，结合，得， 代入得，解得. ∴ 该等差数列的10项为. ∵ 每层塔数不少于上一层，即12层塔数构成非递减正整数序列， ∴ 剩余两个和为8的正整数均不大于等差数列的最大项，插入序列后不会改变序列末尾的顺序， ∴ 12层塔数按从小到大排列后，最后两项为17,19，即第11层的塔数为17. 8．（25-26高二下·北京·期中）已知无穷等差数列的公差不为0，前项和为．则“有最小值”是“数列单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先由有最小值推出得数列单调递增，再由数列单调递增推出有最小值，判断出充要条件. 【详解】等差数列前项和公式为，是关于的二次函数， 若，二次函数开口向下，当时，， 即不可能有最小值，所以有最小值，即， 而时，，数列单调递增，充分性成立， 若数列单调递增，则，二次函数开口向上，定义域为正整数， 开口向上的抛物线必然存在离对称轴最近的正整数点，对应的最小值， （即使所有项都为正，最小值就是，依然存在），因此必要性成立， 综上，“有最小值”是“数列单调递增”的充要条件. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·湖南株洲·期末）已知在等差数列中，公差不为0，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用等差数列的性质进行计算即可 【详解】， 故， 即，解得， 又公差不为0，故，A正确，B错误； ，D正确， 因为公差不为0，故C错误. 10．（25-26高二上·海南海口·阶段检测）已知公差为的等差数列的前项和为，且满足，，则（     ） A． B． C．对任意的正整数，有 D．使得的最小正整数为4047 【答案】ABD 【分析】先通过条件得到可判断A、C；通过判断B；通过计算判断D． 【详解】由，得． 对于A、B，因为， 所以， 故A、B正确； 对于C，因为，， 所以当时，取得最小值，故C错误； 对于D，因为， 所以， ，故D正确． 11．（25-26高二下·广东阳江·期末）设等差数列的前项和为，，公差为，则下列说法正确的是（     ） A．是等比数列 B．当且仅当时，取得最大值 C．若，则的最大值为 D．若的前项和为，则 【答案】ACD 【分析】先根据已知条件求出等差数列的通项公式和前项和公式，再根据公式逐一分析选项. 【详解】已知等差数列 中 ， 则，. 对于选项A，， 因为 是等差数列，公差 ，所以 ， 则 ，且 ， 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列， A选项正确； 对于选项B，的图象开口向下，对称轴为 ， 因为 为正整数，所以当 或 时， 可以取得最大值， 而 ， 即 的最大值为 30 ，B选项错误； 对于选项C，令 ，即 ，解得 ； 因为为正整数，所以使 成立的的最大值为 11，C选项正确； 对于选项D，令 ，解得 ． 当 时， ；当 时，. ， ， ， 所以 ，D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·北京·期末）若等差数列的前项和为，且，，则的最大值为__________．（用数字作答） 【答案】36 【分析】设等差数列公差为，由题可得等差数列前项和公式，据此结合二次函数单调性可得答案. 【详解】设等差数列公差为，则， 则. 注意到在上单调递增，在上单调递减， ，从而. 13．（25-26高二下·广东汕头·期末）已知6个数为：1，2，4，8，16，29．将这6个数分为3组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为3且公差为的等差数列，则公差d的值可以为__________． 【答案】10或11或17 【分析】根据原6个数的和等于新数列的和可以得出新数列的中间项为，因此另外两项分别为和，再由4个数的组合情况分别求出的值. 【详解】6个数的和为， 设新数列首项为，公差为，项数为3. 则新数列的和为，化简得：. 所以可设新数列为：. 所以原6个数中必须有两个数之和为20，观察发现：. 剩下：1，2，8，29分成两组，一组和为，另一组和为. 由，，解得，经检验符合题意. 由，，解得，经检验符合题意. 由，，解得，经检验符合题意. 14．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 【答案】 【详解】，， 当时，，，，，. ，即； ； 当时，，符合题意； 数列的通项公式. . ； . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·海南海口·阶段检测）设等差数列的公差为，前项和为， (1)若，，求； (2)若，求； (3)若，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用等差数列求和公式计算求解； （2）应用等差数列求和公式及通项公式计算求解； （3）应用等差数列求和公式及通项公式计算求解； 【详解】（1），， ， ； （2）由题意得：，联立解得，， ，即； （3）， ，， ， ， ， ，又， . 16．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知是等差数列，是的前项和，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式及数列的函数性质求解即可. 【详解】（1）设公差为 ，则 ，解得， 故 . （2），， 当 时， 取得最大值 . 17．（2026·海南·模拟预测）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分和分析计算即可求解； （2）根据的正负情况分析计算. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 当时，， 显然满足式，所以； （2）由（1）可得时，时， 所以当时，所以， 当时，所以 ， 所以. 18．（2026·四川乐山·三模）已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，然后由等差数列的定义证明即可； （2）由（1）可知数列是等差数列，由求出其首项和第四项，然后求出公差，利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为， ，． ． 是等差数列． （2）， 数列的首项为2，第四项为． 数列的公差． ． 19．（2026·陕西咸阳·二模）已知等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项和． (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意求解和，再根据等差数列定义求解通项公式； （2）计算前6项为正项，后4项为负项，再结合等差数列求和公式求解即可; （3）结合等差数列求和公式分类讨论和时数列的求和公式即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由，得，即， 由，得，即， 联立，解得，故， 所以. （2）由（1）知，若，解得， 故时，，时，， 所以， 又因为 所以数列的前10项和为. （3）由（2）知故，时，， 所以； 当时，， 所以 综上所述. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2 等差数列及其前n项和（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高三·全国·专题练习）设为等差数列的前项和，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）设等差数列的公差不为0，，若是与的等比中项，则等于（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 3．（2026·江西赣州·二模）在等差数列中，公差，且，则（   ） A．5 B．50 C．60 D．105 4．（25-26高二下·江西九江·期中）已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 5．（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·湖南张家界·期末）一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（    ） A．15 B．16 C．17 D．19 8．（25-26高二下·北京·期中）已知无穷等差数列的公差不为0，前项和为．则“有最小值”是“数列单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·湖南株洲·期末）已知在等差数列中，公差不为0，，则（     ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·海南海口·阶段检测）已知公差为的等差数列的前项和为，且满足，，则（     ） A． B． C．对任意的正整数，有 D．使得的最小正整数为4047 11．（25-26高二下·广东阳江·期末）设等差数列的前项和为，，公差为，则下列说法正确的是（     ） A．是等比数列 B．当且仅当时，取得最大值 C．若，则的最大值为 D．若的前项和为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·北京·期末）若等差数列的前项和为，且，，则的最大值为__________．（用数字作答） 13．（25-26高二下·广东汕头·期末）已知6个数为：1，2，4，8，16，29．将这6个数分为3组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为3且公差为的等差数列，则公差d的值可以为__________． 14．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·海南海口·阶段检测）设等差数列的公差为，前项和为， (1)若，，求； (2)若，求； (3)若，求． 16．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知是等差数列，是的前项和，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值． 17．（2026·海南·模拟预测）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 18．（2026·四川乐山·三模）已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 19．（2026·陕西咸阳·二模）已知等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项和． (3)求数列的前项和. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $