重点强化练(九) 等差数列与等比数列专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦等差与等比数列核心素养，以题载法构建“定义-性质-应用”逻辑链，强化推理与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|5题（选择1-3、填空12-13）|方程思想求基本量（a1,d/q）|定义生成→基本公式推导| |性质应用|7题（选择4-7、填空14、多选9-10）|中项/前n项和性质、分类讨论（公比）|性质拓展→关联运算规则| |综合拓展|7题（选择8、11，解答15-19）|转化思想（递推→等差/等比）、存在性论证|实际问题→模型构建与应用|

重点强化练(九) 等差数列与等比数列 一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.已知等比数列{an}满足a1=1,a3·a5=4(a4-1),则a7的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2 B.4 C. D.6 2.[2024·广西桂林模拟] 等差数列{an}的前三项中最大的一项是1,公差d满足log2(-d)=1,则a5= (　 ) A.-6 B.-7 C.-8 D.-9 3.[2025·辽宁三校联考] 在等比数列{an}中,记其前n项和为Sn,已知a3=-a2+2a1,则的值为 (　 ) A.2 B.17 C.2或8 D.2或17 4.[2025·德州二中质检] 已知点P是△ABC的边BC所在直线上任意一点,Sn是等差数列{an}的前n项和,若向量=a3+a16,则S18= (　 ) A.1 B.100 C.50 D.9 5.[2025·山东齐鲁名校天一联考] 已知数列{an}满足a1=1,点(n,an+an+1)在函数y=kx+1的图象上,其中k为常数(k≠0),且a1,a2,a4成等比数列,则k的值为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,则“数列{Sn}为递增数列”是“a3>a2>a1”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.[2025·衡水调研] 已知等差数列{an}的公差小于0,其前n项和为Sn,若a2=,S8=44,则Sn的最大值为 (　 ) A.45 B.52 C.60 D.90 8.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=1,Sn=(2Sn+1)Sn+1,则= (　 ) A.- B.- C.-2 D.- 二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.[2025·湖北部分学校一模] 在等比数列{an}中,a1a2=2,a3=4,则 (　 ) A.{an}的公比为 B.{an}的公比为2 C.a3+a5=20 D.数列为递增数列 10.设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列说法中正确的是 (　 ) A.若d>0,则数列{Sn}有最小项 B.若数列{Sn}有最小项,则d>0 C.若数列{Sn}是递减数列,则对任意的n∈N*,均有Sn<0 D.若对任意的n∈N*,均有Sn<0,则数列{Sn}是递减数列 11.[2024·安徽皖江名校联盟一模] 已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n-1an=n·2n,则 (　 ) A.an=n+1 B.{an}的前n项和为 C.{(-1)nan}的前100项和为100 D.{|an-5|}的前30项和为357 三、填空题:本题共3小题. 12.[2024·荆州三模] 若实数0,x,y,6成等差数列,-,a,b,c,-成等比数列,则=　　　　.  13.等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=t·2n-1-1,则t=　　　　.  14.[2024·云南大理模拟] 已知递增的等差数列{an}的公差为d,从中抽取部分项,,,…,构成等比数列,其中k1=2,k2=5,k3=11,若集合M=中有且仅有3个元素,则d的取值范围为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6=0,S12=6. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 16.[2025·贵阳七校联考] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-n. (1)求证:{an+1}为等比数列; (2)求数列{Sn}的前n项和Tn. 17.[2025·福建百校联考] 设Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,2an+1-an=,a1=,数列{bn}是公比为-的等比数列,8S2=9T2. (1)求{an},{bn}的通项公式; (2)比较Sn和Tn的大小. 18.[2025·沈阳模拟] 已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2+5n,数列{bn}满足b1=8,bn=64bn+1. (1)证明:{an}是等差数列. (2)是否存在常数a(a>0且a≠1),b,使得对一切正整数n都有an=logabn+b成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,说明理由. 19.已知等差数列{an}满足a3=5,且a5-2a2=3.数列{bn}中,b1=3且3bn-bn+1=0. (1)求数列{an},{bn}的通项公式. (2)若ai=bj,则称ai(或bj)是{an},{bn}的公共项. ①直接写出数列{an},{bn}的前4个公共项; ②在数列{an}的前100项中,将数列{an}与{bn}的公共项去掉,求剩下所有项的和. 参考答案 重点强化练(九) 1.B　[解析] 根据等比数列的性质可得a3a5=,∴=4(a4-1),即(a4-2)2=0,解得a4=2,又a1=1,a1a7==4,∴a7=4.故选B. 2.B　[解析] 由log2(-d)=1,得d=-2,所以等差数列{an}是递减数列,因为{an}的前三项中最大的一项是1,所以a1=1,所以an=1+(n-1)×(-2)=-2n+3,所以a5=-2×5+3=-7.故选B. 3.D　[解析] 设等比数列的公比为q,由等比数列的通项公式可得a1q2=-a1q+2a1,整理得q2+q-2=0,解得q=1或q=-2.当q=1时,==2;当q=-2时,===q4+1=17.所以的值为2或17.故选D. 4.D　[解析] 由题意知P是△ABC的边BC所在直线上任意一点,即P,B,C共线,则由=a3+a16,可得a3+a16=1,故S18===9.故选D. 5.A　[解析] 因为点(n,an+an+1)在函数y=kx+1的图象上,所以an+an+1=kn+1,即an+1=kn+1-an,又a1=1,所以a2=k+1-a1=k,a3=2k+1-a2=k+1,a4=3k+1-a3=2k,因为a1,a2,a4成等比数列,所以k2=1×2k,解得k=2或k=0(舍去).故选A. 6.D　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,由a3>a2>a1,得a1q2>a1q>a1,则a1<0,0<q<1或a1>0,q>1.由数列{Sn}为递增数列,得an+1=Sn+1-Sn>0,即∀n∈N*,a1qn>0,因此a1>0,q>0,所以“数列{Sn}为递增数列”是“a3>a2>a1”的既不充分也不必要条件.故选D. 7.A　[解析] 设等差数列{an}的公差为d(d<0),由a2=,得a2a7=a2+a7+13①,由S8==44,得a1+a8=11②,由①②得,a2a7=24,又a1+a8=a2+a7=11,所以由且d<0,得a2=8,a7=3,所以d===-1,a1=9,所以Sn=9n-=-n2+n,又因为n∈N*,所以当n=9或n=10时,Sn最大,最大值为45.故选A. 8.B　[解析] ∵Sn=(2Sn+1)Sn+1,∴Sn=Sn+1+2Sn·Sn+1,即-=2,又a1=1,∴==1,∴是以1为首项,2为公差的等差数列,∴=2n-1,∴Sn=,∴S11=,a5=S5-S4=-=-,∴=-×21=-.故选B. 9.BC　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,依题意得解得所以an=2n-1,故a3+a5=22+24=20,故B,C正确,A错误;对于D,log2=1-n,则数列为递减数列,故D错误.故选BC. 10.ABD　[解析] 由题意得Sn=na1+d=n2+n,d≠0.设f(x)=x2+x,x∈R,对于A,由d>0,得函数f(x)的图象开口向上,f(x)有最小值,又n∈N*,(n,Sn)为f(x)图象上离散的点,故Sn有最小值,故A正确;对于B,由题意得,d≠0,假设d<0,则函数f(x)的图象开口向下,则当n→+∞时,Sn→-∞,则Sn无最小值,与已知数列{Sn}有最小项矛盾,假设不成立,所以若数列{Sn}有最小项,则d>0,故B正确;对于C,例如数列{an}:1,-2,-5,-8,…,其通项公式为an=-3n+4,则Sn+1-Sn=an+1=-3n+1<0对任意n∈N*恒成立,故{Sn}是递减数列,但S1=1>0,不满足Sn<0,故C错误;对于D,由对任意的n∈N*,均有Sn<0,得a1=S1<0,且Sn=n2+n<0对任意的n∈N*恒成立,且d≠0,故d<0,所以Sn+1-Sn=an+1=a1+nd<0,从而{Sn}是递减数列,故D正确.故选ABD. 11.AD　[解析] 由a1+2a2+…+2n-1an=n·2n,得当n=1时,a1=2,当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n-1,两式相减可得2n-1an=n·2n-(n-1)·2n-1=(n+1)·2n-1,所以an=n+1(n≥2),显然当n=1时,a1=2满足an=n+1,故an=n+1,故A正确;由等差数列求和公式知{an}的前n项和为=,故B错误;令bn=(-1)nan=(-1)n(n+1),{bn}的前100项和为-2+3-4+5-6+…+99-100+101=1×50=50,故C错误;令cn=|an-5|=|n-4|,则{|an-5|}的前30项和为c1+c2+…+c30=3+2+1+0+1+2+…+26=6+=357,故D正确.故选AD. 12.-8　[解析] 实数0,x,y,6成等差数列,则等差数列的公差为y-x==2.-,a,b,c,-成等比数列,则b2=×=,因为等比数列的奇数项同号,所以b<0,所以b=-,则=-8. 13.2　[解析] 设等比数列的公比为q,当q=1时,Sn=na1,不符合题意;当q≠1时,则Sn==-·qn+,且Sn=t·2n-1-1=t·2n-1,则t+(-1)=0,解得t=2. 14.　[解析] 设等比数列,,,…,的公比为q,因为k1=2,k2=5,k3=11,所以=a2·a11,所以=(a1+d)·(a1+10d),即a1=2d,其中d>0,所以=a2=3d,=a5=6d,=a11=12d,所以公比q=2.因为an=a1+(n-1)d,即an=(n+1)d,所以=(kn+1)d.又因为=·qn-1=3d·2n-1,所以(kn+1)d=3d·2n-1,即kn+1=3×2n-1,所以=,所以-=-=<0,所以是递减数列,由题意得≥且<,解得d∈. 15.解:(1)设数列{an}的公差为d,∵S12=6,∴a6+a7=1,又∵a6=0,∴a7=1, ∴公差d=1,∴a1=-5, ∴an=-5+(n-1)×1=n-6. (2)由(1)知Sn==,当n≤5时,Tn=-Sn=;当n≥6时,Tn=Sn-2S5=+30=. 综上,Tn= 16.解:(1)证明:当n=1时,S1=a1=2a1-1,解得a1=1.因为Sn=2an-n①,所以Sn-1=2an-1-(n-1),n≥2②,①-②得an=2an-2an-1-1, 整理得an=2an-1+1,所以an+1=2an-1+2=2(an-1+1),即=2(n≥2),又a1+1=2,所以数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列. (2)由(1)知an+1=2×2n-1=2n,所以an=2n-1,所以Sn=2+22+…+2n-n=-n=2n+1-n-2,所以Tn=S1+S2+S3+…+Sn=(22+23+24+…+2n+1)-[3+4+5+…+(n+2)]=-=2n+2--4. 17.解:(1)令n=1,则2a2-a1=,所以a2=,所以S2=a1+a2=, 所以T2=S2=b1=,解得b1=,所以bn=-5. 由2an+1-an=,可知2n+1an+1-2nan=,所以{2nan}为等差数列, 所以2nan=+=,故an=. (2)当n≥2时,an-an-1=-an,累加可得,an-a1=+…+-Sn+a1=--Sn+,所以Sn=2-.Tn=×=2-2.当n是奇数时,Sn<2<Tn;当n是偶数时,记n=2k,k∈N*,c2k==,则=≥×=>1,所以{c2k}是递增数列,所以c2k≥c2=×=>1,所以2-T2k>2-S2k,即2-Tn>2-Sn,所以Sn>Tn.综上,当n是奇数时,Sn<Tn;当n是偶数时,Sn>Tn. 18.解:(1)证明:因为数列{an}的前n项和为Sn=3n2+5n,所以当n=1时,a1=S1=3+5=8,当n≥2时,Sn-1=3(n-1)2+5(n-1),所以an=Sn-Sn-1=3n2+5n-3(n-1)2-5(n-1)=6n+2,又a1=8也满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=6n+2. 因为an+1-an=6(n+1)+2-6n-2=6,所以{an}是等差数列. (2)因为bn=64bn+1,所以=, 所以数列{bn}是以8为首项,为公比的等比数列,所以bn=8·=29-6n,所以logabn=loga29-6n=(9-6n)loga2.要使对一切正整数n都有an=logabn+b成立,则6n+2=(9-6n)loga2+b恒成立,即6n+2=-6nloga2+9loga2+b恒成立, 所以解得 故当a=,b=11时,对一切正整数n都有an=logabn+b成立. 19.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则有解得 因此an=1+2(n-1)=2n-1. 由3bn-bn+1=0,得bn+1=3bn,而b1=3,则数列{bn}是以3为首项,3为公比的等比数列,所以bn=3×3n-1=3n. (2)①由(1)知,an=2n-1,bn=3n, 则a2=b1=3,a5=b2=9,a14=b3=27,a41=b4=81,所以数列{an},{bn}的前4个公共项依次为3,9,27,81. ②a100=199,而b5=243>a100,因此在数列{an}的前100项中,数列{an}与{bn}的公共项只有3,9,27,81这4项, 所以剩下所有项的和为×100-(3+9+27+81)=10 000-120=9880. 1 学科网（北京）股份有限公司 $