第37讲等差数列及其前n项和专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦等差数列核心概念与性质，通过分层题型构建从基础计算到综合应用的逻辑训练体系，渗透数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与计算|5题|定义辨析、基本量运算|从定义到通项公式、前n项和公式的直接应用| |性质应用|5题|Sₙ性质、单调性、充要条件|公式推导延伸至等差中项、Sₙ增减性等性质| |综合与创新|7题|实际应用、跨知识结合、开放题|性质应用拓展至生活模型、数列与函数综合及创新情境|

第37讲　等差数列及其前n项和 (时间:45分钟) 1.[2025·长沙六校联考] 在等差数列{an}中,a2=10,a7-a4=2a1,则a7= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.40 B.30 C.20 D.10 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S10=S20=100,则S40= (　 ) A.-200 B.-100 C.200 D.100 3.[2024·石家庄联考] “a2+a6=2a4”是“数列{an}为等差数列”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a9=14,a6a7=63,则S7= (　 ) A.21 B.19 C.12 D.42 5.[2024·浙江嘉兴期末] 卫生纸是人们生活中的必需品,随处可见.卫生纸形状各异,有单张四方型的,也有卷成滚筒形状的.某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上,纸筒直径为40 mm,卫生纸厚度为0.1 mm.若未使用时直径为90 mm,使用一段时间后直径为60 mm,则这个卷筒卫生纸大约已经使用了 (　 ) A.25.7 m B.30.6 m C.35.3 m D.40.4 m 6.[2024·湖北黄冈联考] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,且{Sn}为递增数列.若a5=5,则d的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 7.某阶梯大教室的座位数从第二排开始,每排的座位比前一排多3个,已知第一排有5个座位,且该阶梯大教室共有258个座位,则该阶梯大教室最后一排的座位数为　　　　.  8.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S30=120,a3+a6+a9+…+a30=60,则an= (　 ) A.2n-25 B.2n-27 C.3n-15 D.3n-18 9.[2024·湖南师大附中一调] 已知Sn是等差数列{an}的前n项和,Tn是数列的前n项和,若S7=7,S15=75,则Tn= (　 ) A. B. C. D. 10.(多选题)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个结论,其中正确的有 (　 ) A.数列{a2n-1}是等差数列 B.数列{2an-1}是等差数列 C.数列是递增数列 D.数列{an+3nd}是递增数列 11.(多选题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2023>0,S2024<0,则下列结论错误的是(　 ) A.数列{an}是递增数列 B.|a1013|<|a1012| C.当Sn取得最大值时,n=1012 D.S1013<S1010 12.若等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则=　　　　.  13.已知数列{an}的前n项和为Sn,若{an}与{}均为等差数列,则称数列{an}具有性质P.如an=0时,其和Sn=0或an=2n-1时,其和Sn=n2,{an}均是具有性质P的数列.请再写出一个除例子之外具有性质P的数列{an}的通项公式an=　　　　.  14.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,S5+5a9=0,a4=a5a7. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求使Sn<an成立的n的最大值. 15.[2024·绍兴柯桥区期末] 已知数列{an}的前n项和为Sn.若为等差数列,且满足S1=8,=5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn. 16.(多选题)如图,三角形数阵由一个等差数列2,5,8,11,14,…排列而成,按照此规律,下列结论正确的是 (　 ) A.数阵中前7行所有数的和为1190 B.数阵中第8行从左至右的第4个数是101 C.数阵中第10行的第1个数是137 D.数阵中第10行从左至右的第4个数是146 17.已知{an}是各项均为正整数的无穷递增数列,对于k∈N*,定义集合Bk={i∈N*|ai<k},设bk为集合Bk中元素的个数,若Bk=⌀时,规定bk=0. (1)若an=2n,则b10=　　　　;  (2)若数列{bn}是等差数列,则数列{an}的前20项和为　　　　.  参考答案 第37讲　等差数列及其前n项和 1.B　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,因为a7-a4=2a1,所以3d=2a1,又a2=10,则a1+d=a1+a1=10,解得a1=6,d=4,所以a7=a1+6d=6+24=30.故选B. 2.A　[解析] 因为等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=S20=100,所以 解得则S40=40×+×(-1)=-200.故选A. 3.B　[解析] 若a2+a6=2a4,则数列{an}不一定是等差数列,如数列1,2,1,4,1,6,1,1,…;若数列{an}为等差数列,则由等差中项可知a2+a6=2a4.所以“a2+a6=2a4”是“数列{an}为等差数列”的必要不充分条件.故选B. 4.A　[解析] ∵{an}是等差数列,∴a3+a9=2a6=14,即a6=7,∴a7==9,故公差d=a7-a6=2,∴a1=a6-5d=-3,∴S7=7×(-3)+×2=21,故选A. 5.C　[解析] 未使用时,可认为外层卫生纸的长度为a1=2π×45=90π,可认为每层纸的长度构成等差数列,使用一段时间后,相当于等差数列的项数为n==150,且a150=2π×30=60π.由等差数列的求和公式得S150==11 250π≈35 325(mm)=35.325(m),故选C. 6.A　[解析] 因为{an}为等差数列,且a5=5,所以an=5+(n-5)d,又数列{Sn}为递增数列,所以{an}从第二项开始各项均为正数.由a2=5+(2-5)d>0,得d<.因为an>0(n≥2)恒成立,所以数列{an}为常数数列或递增数列,所以d≥0.综上,d∈.故选A. 7.38　[解析] 该阶梯大教室的座位数按照从小到大的顺序依次成等差数列,且首项为5,公差为3,所以an=5+(n-1)×3=3n+2.设该阶梯大教室共有n排,则5n+×3=258,整理得(3n+43)(n-12)=0,因为n>0,所以n=12,所以该阶梯大教室最后一排的座位数为5+(12-1)×3=38. 8.B　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,则S30=(a1+a4+…+a28)+(a2+a5+…+a29)+(a3+a6+…+a30)=(a3+a6+…+a30)-20d+(a3+a6+…+a30)-10d+(a3+a6+…+a30)=180-30d,即120=180-30d,解得d=2.又S30=30a1+×2=120,解得a1=-25,所以an=-25+(n-1)×2=2n-27,故选B. 9.A　[解析] 设{an}的首项为a1,公差为d,则Sn=na1+,则=a1+,则-=a1+-a1-=,故是公差为的等差数列,又=1,=5,所以8×=-=5-1=4,解得d=1,又7a1+21d=7,所以a1=-2,故是首项为-2,公差为的等差数列,所以Tn=-2n+×=.故选A. 10.ABD　[解析] 设等差数列{an}的首项为a1,所以an=a1+(n-1)d=dn+a1-d.对于A,由an=dn+a1-d,则a2n-1=d(2n-1)+a1-d=2dn+a1-2d,所以a2n+1-a2n-1=2d,即数列{a2n-1}是公差为2d的等差数列,故A正确;对于B,由an=dn+a1-d,所以2an-1=2dn+2a1-2d-1,则(2an+1-1)-(2an-1)=[2d(n+1)+2a1-2d-1]-(2dn+2a1-2d-1)=2d,所以数列{2an-1}是公差为2d的等差数列,故B正确;对于C,由an=dn+a1-d,可得==d+,当a1-d≥0时,数列不是递增数列,故C不正确;对于D,由an=dn+a1-d,可得an+3nd=4dn+a1-d,所以[an+1+3d(n+1)]-(an+3nd)=4d>0,所以数列{an+3nd}是递增数列,故D正确.故选ABD. 11.ABD　[解析] ∵S2023>0,S2024<0,∴== 2023a1012>0,= =1012(a1012+a1013)<0,∴a1012>0,a1012+a1013<0,∴a1012>0,a1013<0,且|a1012|<|a1013|,B中结论错误;由上述易得公差d<0,∴等差数列{an}是递减数列,A中结论错误;∵a1012>0,a1013<0,∴当n=1012时,Sn取得最大值,C中结论正确;对于D选项,S1013=S1010+a1011+a1012+a1013=S1010+3a1012>S1010,D中结论错误.故选ABD. 12.　[解析] 因为=,且====,所以由等差数列前n项和的性质得=====. 13.4n-2(答案不唯一)　[解析] 若{an}为等差数列,设公差为d,则Sn=n2+n,则=,若{}也为等差数列,则a1-=0,即d=2a1,且d≥0,取a1=2,则d=4,此时an=4n-2,{an}具有性质P.故an=4n-2(答案不唯一). 14.解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 则 因为d≠0,所以a1=-10,d=2,所以an=2n-12. (2)Sn=×n=n2-11n,由Sn<an得n2-11n<2n-12,即n2-13n+12<0,解得1<n<12,因为n∈N*,所以使Sn<an成立的n的最大值是11. 15.解:(1)由题意,设等差数列的公差为d,又=8,=5, ∴3d=5-8=-3,∴d=-1, ∴=8+(n-1)×(-1)=9-n, ∴Sn=-n2+9n,则Sn-1=-(n-1)2+9(n-1)=-n2+11n-10,n≥2, ∴an=Sn-Sn-1=-2n+10,n≥2,又a1=8符合上式,∴an=-2n+10. (2)由(1)得,a1>a2>…>a5=0>a6>…,当n≤5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an==-n2+9n, 当n≥6时,Tn=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an=2S5-Sn=2×(-52+5×9)-(-n2+9n)=n2-9n+40,∴Tn= 16.ACD　[解析] 设等差数列2,5,8,11,14,…的通项公式为bn=3n-1.数阵中前7行共1+2+3+…+7=28(个)数,所以数阵中前7行所有数的和为2×28+=1190,故A正确.令bn=3n-1=101,解得n=34,前7行共28个数,第8行有8个数,所以101是数阵中第8行从左至右的第6个数,故B错误.记每一行的第1个数组成数列{an},则a1=2,a2-a1=3,a3-a2=6=3×2,a4-a3=9=3×3,…,an-an-1=3×(n-1)(n≥2),累加得an-a1=3×(1+2+3+…+n-1)=(n≥2),所以an=(n≥2),则a10=137,故C正确.数阵中第10行从左至右的第4个数是137+(4-1)×3=146,故D正确.故选ACD. 17.(1)3　(2)210　[解析] (1)由题可知,an=2n<10,又因为n∈N*,所以n≤3,所以b10=3.(2)由题可知a1≥1,所以B1=⌀,所以b1=0.若a1=m≥2,则B2=⌀,Bm+1={1},所以b2=0,bm+1=1,与{bn}是等差数列矛盾,所以a1=1.设dn=an+1-an(n∈N*),因为{an}是各项均为正整数的递增数列,所以dn∈N*.假设存在k∈N*使得dk≥2,设ak=t,由ak+1-ak≥2得ak+1≥t+2.由ak=t<t+1<t+2≤ak+1,得bt<k,bt+1=bt+2=k,与{bn}为等差数列矛盾.所以对任意n∈N*都有dn=1,所以数列{an}是等差数列,an=1+(n-1)=n,所以数列{an}的前20项和S20==210. 1 学科网（北京）股份有限公司 $