6.3 等比数列及其前n项和（精练）-备战2027届高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 聚焦等比数列核心概念与运算，通过分层题型构建从基础到综合的知识逻辑链，强化数学思维与模型应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本概念与运算|5（单选1-4、填空12）|考查首项、公比、前n项和等基本量计算|以定义为起点，推导通项与求和公式，形成运算体系| |性质综合应用|7（单选5-8、多选9-11、填空14）|涉及单调性、片段和、积的性质及充要条件判断|联结概念与性质，体现“定义-性质-应用”逻辑链条| |实际情境建模|3（单选6、填空13、解答19）|传染病传播、分期付款、溶液调和等问题|将实际问题抽象为等比数列模型，发展模型意识| |判定与证明|4（解答15-18）|证明等比数列、求通项及求和|通过推理与论证，深化对概念本质的理解|

6.3 等比数列及其前n项和（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·广东茂名·期末）等比数列的前项和为，，，则（    ） A．12 B．15 C．24 D．48 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，所以， 由得， 解得，所以. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设等比数列的前n项和为，已知，，则（     ） A．18 B．26 C．34 D．42 【答案】B 【分析】利用等比数列连续相同项数的和仍成等比数列的性质，分别求出三组连续三项的和，相加即可. 【详解】由题，， 根据等比数列的性质，，成等比数列， 故， ， 所以. 3．（25-26高二下·河北衡水·期末）在等比数列中，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用等比数列通项公式将已知条件转化为关于公比的方程，结合正项条件确定的取值，再根据的值计算. 【详解】设等比数列的公比为，，通项公式为（）, 将、代入，得： ， 由于等比数列首项，等式两边同除以，整理得： 解得或， 已知，且，故，舍去，得， 由，代入得，解得， 因此. 4．（25-26高二下·辽宁·期末）若等比数列中的，是方程的两个根，则（    ） A． B．1015 C． D．1014 【答案】C 【分析】由等比数列的性质得到，进而得到，再根据对数的运算性质计算即可. 【详解】由韦达定理可知，由等比数列的性质可知 ，所以， 所以 . 5．（25-26高一下·上海·期末）已知是无穷等比数列，q是公比，则“，”是“数列严格单调递增”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】结合等比数列通项公式先验证充分性成立，再通过反例说明必要性不成立，即可判断条件类型． 【详解】① 充分性证明：对任意，等比数列通项为， 若，，则， 由，，，可得，即， 严格单调递增，充分性成立； ② 必要性验证：若严格单调递增，存在反例：取，公比，此时数列通项公式为， 所以， 所以数列严格单调递增，但不满足且，故必要性不成立； 综上，“，”是“数列严格单调递增”的充分非必要条件． 6．（2026·湖北武汉·三模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为6天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人至少需要的天数为（    ） A．48 B．54 C．60 D．66 【答案】C 【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数. 【详解】设感染人数由增加到需要轮传染，则每轮新增感染人数为，经过轮传染，感染总人数为， 令，得 ，由于，故， 平均感染周期为6天，感染人数由1增加到2000大约需要天. 7．（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先求出等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式求解即可. 【详解】当时，. 当时，. 因为为等比数列，所以时也满足，即，解得. 所以数列的通项公式为. 该数列的前9项中所有奇数项之和为， 该数列的前9项中所有偶数项之和为， 故该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为. 故选：C. 8．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知等比数列中各项均为正数，且，记的前项积为，且，则取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，可知等比数列单调递增，且有，由此得出，结合单调性得出当且时，；当且，，即可得解. 【详解】对任意的，，设等比数列的公比为，则， 因为，则，所以，即， 因为，所以，即，故数列单调递增，所以， 故当且时，；当且，. 所以当时，最小. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）设数列的前项和为，若对于任意的正整数，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据与的关系，求得，，再根据等比数列的定义及通项公式即可分别判断各个选项． 【详解】对于A，由，则当时，，故A正确； 对于B，，则， 两式相减有：， 即，故B正确； 对于C，由递推关系可得， ，故C错误； 对于D，， 且， 所以数列是以6为首项，以2为公比的等比数列， 则，故D正确． 10．（25-26高二下·河北保定·期末）在等比数列中，，，则（    ） A．的前12项积为 B．的前8项和为 C．是公比为4的等比数列 D．的前n项和为 【答案】AC 【分析】先根据等比数列通项公式,,解得则且.然后计算新数列的积与和以及证明是否为等比数列. 【详解】为等比数列，q为公比，由，， 则，，解得，，， A．，所以A正确； B．为等比数列,首项为2,公比为,前8项和为,故B错误； C．，故C正确； D．，所以是首项为,公比为2的等比数列,前n项和为,故D错误． 11．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知数列满足，且，数列满足 ，则下列说法正确的是（   ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C．数列的通项公式为 D．数列的前 项和 【答案】BD 【分析】首先通过递推公式构造等比数列求出 的通项，进而得到 的通项，再逐一判断各选项，最后通过裂项相消法求前项和验证D选项. 【详解】选项 A ：计算得 ， 公差不相等，故 不是等差数列，A错误； 选项B：由 变形得 ，即 ，且 ， 因此 是首项为 2 、公比为 2 的等比数列，B正确； 选项C：由等比数列通项公式得 ，不是 ， C 错误； 选项D：先化简通项： ，故 ， 前项和裂项相消得 ，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）在等比数列中，，，则的值为________ 【答案】 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，，所以， 两式相除得，所以，所以， 所以，解得，代入， 得，解得，， 所以. 13．（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）小李3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元.当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%，25个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为________元．（最后结果保留3位有效数字，参考数据：） 【答案】86.9 【详解】设每月还款元，按复利计算2000元贷款经过25期连本带利总共为元， 则， 可得， 整理得. 14．（2026高三·全国·专题练习）设是公比为的等比数列，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论：①；②；③；④使成立的最小自然数等于199，其中正确结论的编号是________． 【答案】①③④ 【分析】根据等比数列的性质公式，结合已知条件，逐个计算判定即可. 【详解】因为 ，所以 ，所以 . 因为 ，所以 ， 又 ，所以 ，.则 ，所以，故结论①正确； ，故结论②错误； ，故结论③正确； ， 又因为，所以使成立的最小自然数等于199，故结论④正确. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·江西南昌·期中）已知数列为等比数列． (1)若，且求的值； (2)若求数列的通项公式． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意结合等比数列性质可得，即可得结果； （2）根据题意结合等比数列性质可得，设数列的前3项依次为，结合题意列式求解即可. 【详解】（1）因为，则，即， 又因为，所以. （2）因为，则，可得， 设数列的前3项依次为，则有， 整理得，解得或， 此时或，所以或 16．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列前项和满足，且． (1)求； (2)求数列的前项和以及数列的通项公式． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）利用得，由等比数列的性质可得答案； （2）在（1）的基础上，根据等比数列求和公式和得到答案 【详解】（1）由于， 代入可得：，即， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以； （2）因为，所以， 当时，， 经检验，当时不符合上式， 因此，数列的通项公式为 17．（25-26高三上·湖北·阶段检测）记为数列的前n项和，已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明：令时，，即得， 当时，①，②， 由①②得，，又由，又，， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列. (2) 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得到，两式作差可得，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）中的结论可求出数列的通项公式，求得的表达式，再利用错位相减法可求得. 【详解】（1）略 （2），， 因为，所以， ， 两式相减得： ， 所以. 18．（2026·四川绵阳·二模）已知等比数列的首项为1，前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列前项和的性质，，，成等比数列，且公比为，即可求出公比，写出通项公式； （2）求出等比数列的前和，分类讨论解不等式即可得解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，， 当时，，不符合题意，所以， 所以，，成等比数列，且公比为， ，所以，， 所以. （2）由（1）知，， 所以由可得， 即， 当为正偶数时，不等式显然成立； 当为正奇数时，则， 因为为递减数列，且， 所以且为奇数， 综上， 19．（25-26高二下·山东德州·阶段检测）甲､乙两个容器中分别盛有浓度为的某种溶液，同时从甲､乙两个容器中取出溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，经次调和后，甲､乙两个容器的溶液浓度分别为． (1)试用表示． (2)证明：数列是等比数列，并求出的通项． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）根据题意，得到，，即可求解； （2）由（1）得到可得，得出数列是等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，经次调和后甲､乙两个容器中的溶液浓度分别为， 所以． （2）由（1）知，， 可得， 所以数列是等比数列 因为，所以①， 又因为②． 联立①②得． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 等比数列及其前n项和（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·广东茂名·期末）等比数列的前项和为，，，则（    ） A．12 B．15 C．24 D．48 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设等比数列的前n项和为，已知，，则（     ） A．18 B．26 C．34 D．42 3．（25-26高二下·河北衡水·期末）在等比数列中，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二下·辽宁·期末）若等比数列中的，是方程的两个根，则（    ） A． B．1015 C． D．1014 5．（25-26高一下·上海·期末）已知是无穷等比数列，q是公比，则“，”是“数列严格单调递增”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 6．（2026·湖北武汉·三模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为6天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人至少需要的天数为（    ） A．48 B．54 C．60 D．66 7．（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 8．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知等比数列中各项均为正数，且，记的前项积为，且，则取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）设数列的前项和为，若对于任意的正整数，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·河北保定·期末）在等比数列中，，，则（    ） A．的前12项积为 B．的前8项和为 C．是公比为4的等比数列 D．的前n项和为 11．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知数列满足，且，数列满足 ，则下列说法正确的是（   ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C．数列的通项公式为 D．数列的前 项和 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）在等比数列中，，，则的值为________ 13．（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）小李3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元.当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%，25个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为________元．（最后结果保留3位有效数字，参考数据：） 14．（2026高三·全国·专题练习）设是公比为的等比数列，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论：①；②；③；④使成立的最小自然数等于199，其中正确结论的编号是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·江西南昌·期中）已知数列为等比数列． (1)若，且求的值； (2)若求数列的通项公式． 16．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列前项和满足，且． (1)求； (2)求数列的前项和以及数列的通项公式． 17．（25-26高三上·湖北·阶段检测）记为数列的前n项和，已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 18．（2026·四川绵阳·二模）已知等比数列的首项为1，前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求使成立的的取值范围. 19．（25-26高二下·山东德州·阶段检测）甲､乙两个容器中分别盛有浓度为的某种溶液，同时从甲､乙两个容器中取出溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，经次调和后，甲､乙两个容器的溶液浓度分别为． (1)试用表示． (2)证明：数列是等比数列，并求出的通项． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $