1.2 空间向量基本定理专项训练【3大考点】-2026年暑假预习高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量基本定理，以“概念辨析-基底表示-定理应用”为逻辑主线，通过分层题型培养空间观念与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量基底概念及辨析|8题|单选/多选结合，考查基底充要条件及共面判断|从基底定义出发，通过反例辨析深化对“不共面”核心属性的理解| |用空间基底表示向量|9题|结合三棱锥/平行六面体等几何体，训练向量线性表示|以基底概念为基础，通过中点、分点等几何关系提升数学表达能力| |空间向量基本定理及其应用|7题|含高考真题，涉及共面证明、参数计算及长度求解|综合前两模块，实现从概念到技能再到解决复杂几何问题的能力迁移|

1.2 空间向量基本定理 3大考点汇总 考点01 空间向量基底概念及辨析 考点02 用空间基底表示向量 考点03 空间向量基本定理及其应用 题型专练 考点01 空间向量基底概念及辨析 1．（25-26高一下·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高二下·江苏徐州·期中）（多选）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏苏州·期中）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）以下说法中，正确的个数为（    ） ①“”是“，共线”的充分不必要条件； ②若，则存在唯一的实数λ，使得； ③若，，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26高二上·陕西汉中·期末）（多选）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 6．（25-26高二上·湖南郴州·期末）（多选）关于空间向量，下列说法正确的是（   ） A．“”是“为锐角”的必要不充分条件. B．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面. C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底. D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面. 7．（25-26高二上·江苏南通·期末）（多选）已知为空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．至多有一个零向量 B．也是空间的一个基底 C．空间任一向量均可用唯一线性表示 D．若，其中，则 8．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 考点02 用空间基底表示向量 9．（25-26高一下·重庆·期末）三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期末）（多选）如图，点，分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点在线段上，且．则（    ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 11．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 14．（25-26高一下·广东深圳·期末）（多选）如图，平行六面体的棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（     ）    A．，，，四点共面 B．在上的投影向量为 C．直线与所成角的余弦值为 D． 15．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________．    16．（2026·江苏盐城·模拟预测）（多选）平行六面体中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 考点03 空间向量基本定理及其应用 17．（2026·上海·高考真题）已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 18．（25-26高二·全国·暑假作业）已知向量，不共线，如果，，，求证：A，B，C，D四点共面． 19．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 20．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 21．（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）已知平行六面体的所有棱长均为，点在线段上，如图所示，则（    ） A． B．平面 C．四边形为正方形 D．的最小值为 22．（25-26高二下·上海松江·期中）在三棱柱中，D为棱的中点．若存在，满足，则______． 23．（25-26高三上·天津河西·期中）在如图所示平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则__________. 24．（25-26高二上·山东泰安·期中）已知四棱锥，底面是边长为的菱形，不是钝角，，，为中点，在上的投影向量的模为，则_____. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 空间向量基本定理 3大考点汇总 考点01 空间向量基底概念及辨析 考点02 用空间基底表示向量 考点03 空间向量基本定理及其应用 题型专练 考点01 空间向量基底概念及辨析 1．（25-26高一下·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】三向量可作为基底等价于不共面，待定系数后方程组有解则共面. 【详解】对于A，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于B，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底. 对于D，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 2．（25-26高二下·江苏徐州·期中）（多选）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】选项A，因为，所以共面，所以A错误； 选项B，因为与互为相反向量，又为空间的一个基底， 所以能构成空间的一个基底，故B正确； 选项C，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，进而则可得， 得到共面，与已知矛盾，所以C正确； 选项D，因为，所以共面，所以D错误. 3．（25-26高二下·江苏苏州·期中）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由空间向量共面的判断定理判断即可. 【详解】对于A：，可以由和线性表示，所以共面. 对于B：假设，可得，此方程组无解， 所以不能用和线性表示，故不共面. 对于C：，可以由和线性表示，所以共面. 对于D：假设， 可得，此方程组无解，所以不能用和线性表示，故不共面. 4．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）以下说法中，正确的个数为（    ） ①“”是“，共线”的充分不必要条件； ②若，则存在唯一的实数λ，使得； ③若，，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】对于①，若，则，反向共线，充分性成立， 但当非零向量，同向共线时，不存在，必要性不成立， 则“”是“，共线”的充分不必要条件，故①正确； 对于②，当为零向量，不为零向量时，不存在，故②错误； 对于③，由，，则，， 不能得到，故③错误； 对于④，用反证法，若不构成空间的一个基底，即共面， 设，则，方程组无解，矛盾， 即不共面，构成空间的另一个基底，故④正确； 对⑤，，故⑤错误． 5．（25-26高二上·陕西汉中·期末）（多选）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 【答案】BD 【分析】根据条件可得向量不共面，即可判断A和C的正误；对B，结合条件，根据空间向量基本定理，即可判断正误；对D，根据条件可得不共面，即可求解. 【详解】对于A，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故A错误， 对于B，因为向量不共面，由空间向量基本定理可知，空间中任一向量， 存在唯一有序实数组，使，所以B正确， 对于C，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故C错误， 对于D，假设向量共面，则存在唯一实数，使， 即，所以，无解，所以不共面，故D正确， 故选：BD. 6．（25-26高二上·湖南郴州·期末）（多选）关于空间向量，下列说法正确的是（   ） A．“”是“为锐角”的必要不充分条件. B．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面. C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底. D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面. 【答案】ABC 【分析】利用必要不充分条件的定义，结合向量夹角公式判断A；利用共面向量定理的推论判断B；利用空间基底的意义判断C；利用共面向量的意义判断D. 【详解】对于A，由，得，反之，由为锐角，得， 因此“”是“为锐角”的必要不充分条件，A正确； 对于B，在中，，则P，A，B，C四点共面，B正确； 对于C，假设向量共面，则，而， 则，即，向量与共面，与是空间的一个基底矛盾， 因此向量不共面，也是空间的一个基底，C正确； 对于D，异面直线的方向向量可以平移到同一平面内， 因此分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线时，这两个向量共面，D错误. 故选：ABC 7．（25-26高二上·江苏南通·期末）（多选）已知为空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．至多有一个零向量 B．也是空间的一个基底 C．空间任一向量均可用唯一线性表示 D．若，其中，则 【答案】BCD 【分析】根据空间基底的定义和性质对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A，零向量与任意向量共面，不满足空间基底中三个向量不共面的条件，故A错误； 对于B，假设共面， 则存在实数使得，说明共面， 与是空间的一个基底矛盾，所以不共面， 所以是空间的一个基底，故B正确； 对于C，根据空间向量基本定理，空间任一向量均可用空间一组基底唯一线性表示，故C正确； 对于D，因为是空间的一个基底，所以不共面， 所以当且仅当时，才成立，故D正确； 故选：BCD 8．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量基底的意义，结合正方体的构造特征判断即得. 【详解】在正方体中，向量，， 因此向量，，分别与向量共面，ABC不能； 而平面，即向量不共面，D能. 故选：D 考点02 用空间基底表示向量 9．（25-26高一下·重庆·期末）三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，且，则，整理得，因此， 由，知是的中点，则， 由，则. 10．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期末）（多选）如图，点，分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点在线段上，且．则（    ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】根据空间向量基本定理，及线性运算即可判断A；根据空间向量数量积的运算性质，及模长公式求解即可判断B，C；根据投影向量的定义求解即可判断D． 【详解】对于A，由点，分别是边和的中点，则，， 又，且点在线段上，则，则， 所以，故A正确； 对于B，由正四面体的棱长为，即，且，，两两的夹角都为， 则， 则， 所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，向量在方向上的投影向量为，故D正确． 11．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. 12．（25-26高二上·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 13．（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，在中，与的交点为，所以，与互相平分， . 所以，. 14．（25-26高一下·广东深圳·期末）（多选）如图，平行六面体的棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（     ）    A．，，，四点共面 B．在上的投影向量为 C．直线与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【分析】在上取点，使得，可得四边形、四边形为平行四边形，求出，可判断A；对两边平方求出，再由投影向量的定义可判断B；由向量的夹角公式计算可判断C；由的线性运算后再平方可判断D. 【详解】对于A，在上取点，使得，连接，      因为，所以四边形为平行四边形， 可得， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得，所以，可得，，，四点共面，故A正确； 对于B，因为平行六面体棱长均为2，， 因为， 则， 则， ，故B正确； 对于C， ， 因为异面直线所成角的范围为， 故直线与所成角的余弦值为，故C不正确； 对于D，， ， 则，故D正确． 15．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________．    【答案】 【分析】利用两边进行完全平方，转化为，从而求解 【详解】在平行六面体中， ， 则， 因为， 则,,, 所以， 故. 16．（2026·江苏盐城·模拟预测）（多选）平行六面体中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，由可判断，对于B，由空间向量基本定理可判断，对于C，通过可判断，对于D，通过向量夹角公式可判断. 【详解】设，，， 由题意得：，三个向量两两夹角为， 因此两两点积， 选项A， ，则 ， 因此，A正确； 选项B ，平行六面体中，对比得， ，B错误； 选项C  ，， 因此，C错误； 选项D ， ， ； 即； 因此，D正确. 考点03 空间向量基本定理及其应用 17．（2026·上海·高考真题）已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 【答案】 【分析】方法一：由条件可得，，消去，根据平面向量基本定理列方程求结论； 方法二：先证明共面，设，由条件结合平面向量基本定理列方程求结论. 【详解】方法一：因为，所以. 因为，所以， 所以， 因为不平行，所以，所以. 方法二：因为，，两两不平行， 所以，. 若不共面，所以，矛盾， 所以共面，可设， 所以， 所以. 因为，可设， 所以，， 所以，， ，所以. 18．（25-26高二·全国·暑假作业）已知向量，不共线，如果，，，求证：A，B，C，D四点共面． 【答案】证明见解析 【详解】易得不共线．令， 则． 和不共线，，解得， ，∴A，B，C，D四点共面． 19．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）． 20．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为点、分别是棱、的中点， 所以 ， 又，、、不共面， 所以，所以. 21．（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）已知平行六面体的所有棱长均为，点在线段上，如图所示，则（    ） A． B．平面 C．四边形为正方形 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据空间向量基本定理及空间向量的运算法则即可判断各选项． 【详解】对于A，因为， 所以 ， 所以，故A错误； 对于B，由题可知，， 因为， ， 所以， 又平面，， 所以平面，故B正确； 对于C，由题可知，四边形为平行四边形， 又因为， 所以， 所以平行四边形为菱形， 又， 所以，则菱形为正方形，故C正确； 对于D，设， 则， 所以 ， 所以的最小值为，故D正确． 22．（25-26高二下·上海松江·期中）在三棱柱中，D为棱的中点．若存在，满足，则______． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理用表示后即得. 【详解】由题意， ， 又， 所以. 23．（25-26高三上·天津河西·期中）在如图所示平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则__________. 【答案】 【分析】应用空间向量的加减法，结合已知条件计算求参. 【详解】因为， 且，， 所以， 又因为，且线性无关，所以， 则. 故答案为：. 24．（25-26高二上·山东泰安·期中）已知四棱锥，底面是边长为的菱形，不是钝角，，，为中点，在上的投影向量的模为，则_____. 【答案】 【分析】可将、、当作空间中一组基底，从而可表示出向量、，再利用投影向量定义计算得到，最后利用模长与数量积的关系计算即可得解. 【详解】由为中点，则， 设，由在上的投影向量的模为， 则 ， 化简得，即， 整理得，即或， 又不是钝角，，故， 则 . 故答案为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $