第3章《圆的基本性质》测试卷2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 本测试卷为浙教版九年级数学上册《圆的基本性质》单元复习同步练，通过基础巩固、中档提升、综合应用三层设计，覆盖圆的核心概念与性质，结合生活情境（如团扇、筒车）培养数学眼光与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|点与圆位置关系、圆心角与圆周角、垂径定理|选择填空前8题，直接考查概念辨析，如第1题点与圆位置判断，培养抽象能力| |中档|弦相交计算、内接四边形性质、旋转与弧长|选择填空后8题及解答题前4题，结合图形推理，如第19题垂径定理与半径计算，发展推理能力| |提高|综合结论判断、实际问题建模|解答题后4题，如23题筒车运动建模、24题圆与三角形综合证明，提升数学语言表达与创新意识|

第3章《圆的基本性质》测试卷2026-2027学年浙教版九年级数学上册（解析版） 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（   ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 2．如图，在中圆心角，则圆周角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本性质，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解即可． 【详解】解：圆心角与圆周角所对的弧均为， ∴， 故选：B． 3. 如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面宽， 则水深是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，根据C是的中点，D是的中点，垂径定理推出，，，推出O、C、D三点共线，得到，设，，根据勾股定理推出，得到． 【详解】解：连接，， ∵是横放圆柱形的玻璃水杯内水最深处， ∴C是的中点，D是的中点， ∴，，， ∴O、C、D三点共线， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，，（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 4． 如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（   ） A．30° B．35° C．40° D．50° 【答案】C 【分析】欲求∠B的度数，需求出同弧所对的圆周角∠C的度数；△APC中，已知了∠A及外角∠APD的度数，即可由三角形的外角性质求出∠C的度数，由此得解． 【详解】解：∵∠APD是△APC的外角， ∴∠APD=∠C+∠A； ∵∠A=30°，∠APD=70°， ∴∠C=∠APD-∠A=40°； ∴∠B=∠C=40°； 故选C． 5． 如图，小佳将量角器放在了上，点，，均在量角器边缘上， 且点，，的读数分别是，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，得到的度数是解题的关键． 连接，，可得，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接，， ∵点，均在量角器边缘上，且点，的读数分别是，， ， ， 故选：B． 6． 小明用一把含角的三角板测量圆的半径长，有如下两种方法： ①如图1，角的顶点在圆上，弦的长即为圆的半径长， ②如图2，直角顶点在圆上，弦长的一半即为圆的半径长，则下列判断正确的是（   ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形、圆周角定理，掌握相关知识是解题的关键．设圆的圆心为点，连接，，求得，即为等边三角形，从而求出的长即为圆的半径长，故①正确；通过直角顶点在圆上，求出为圆的直径，则长的一半即为圆的半径长，故②正确． 【详解】解：设圆的圆心为点，连接，， ， 角的顶点在圆上， ，即为等边三角形， ， 的长即为圆的半径长，故①正确； 直角顶点在圆上， 为圆的直径， 长的一半即为圆的半径长，故②正确； 故选：C． 7． 如图，中，，，，若以A为旋转中心， 将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（   ） A．π B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴B点经过的路线长． 8． 如图，四边形为的内接四边形．延长与相交于点．，垂足为， 连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理、圆周角定理．延长交于M，根据垂径定理得到，得到，根据圆内接四边形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：延长交于M， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9． 如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，， 且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的性质、坐标与图形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取得最大值的位置．连接，延长交于，得出当点与点重合时，取得最大值，根据圆心坐标求出，的最大值为，根据点、关于原点对称得出，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ∵是上的任意一点， ∴当点与点重合时，取得最大值， ∵圆心的坐标为， ∴， ∵的半径为4， ∴的最大值为， ∵点、关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴长的最大值为． 故选：C． 10 .如图，是半圆的直径，、、是半圆的四等分点，于， 连接、相交于点，连接、，下列结论： ①；②；③， 其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．只有①② C．只有①③ D．只有③ 【答案】C 【分析】连结OC、BC、OD，OD交CE于G，如图，由于C、D、E是半圆的四等分点，根据垂径定理得到OD⊥CE，CE=2CG，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC=∠COD=45°，根据圆周角定理得∠BCE=∠ABC，再证明四边形CHOG为正方形，则CH=CG，所以CE=2CH；利用等角的余角相等得∠ACH=∠ABC，而∠CEH所对的弧大于AC弧，则∠CEH＞∠ABC，所以∠ACH＜∠CEH；利用CE∥AB得到∠CFD=∠ABD，而∠ABD=2∠ABC=2∠ACH，于是有∠CFD=2∠ACH． 【详解】解：连结OC、BC、OD，OD交CE于G，如图： ∵C、D、E是半圆的四等分点， ∴OD⊥CE，∠AOC=∠COD=45°，∠BCE=∠ABC， ∴CE=2CG，CE∥AB ∵CH⊥AB， ∴四边形CHOG为正方形， ∴CH=CG， ∴CE=2CH，所以①正确； ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACH=∠ABC， 而∠CEH所对的弧大于AC弧， ∴∠CEH＞∠ABC， ∴∠ACH＜∠CEH，所以②错误； ∵CE∥AB， ∴∠CFD=∠ABD， ∵弧AC=弧CD， ∴∠ACB=∠CBD， ∴∠ABD=2∠ABC=2∠ACH， ∴∠CFD=2∠ACH，所以③正确． 故选C． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．团扇是中国汉族传统的工艺品及艺术品，起源于商代，其雏形可追溯至战国时期的“便面”． 团扇融合了绘画、书法、雕刻等艺术形式，象征团圆吉祥，承载中华传统审美与文化内涵． 如图1是一款名为“蝶戏芳丛”的刺绣团扇扇面，其外轮廓为如图2所示的正八边形， 已知该正八边形的中心为点，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据正多边形的中心角定义进行解答即可． 【详解】解：由正八边形的性质，可得． 12． 《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械， 称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为，滑轮逆时针方向旋转， 则重物“甲”上升了 （绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 利用弧长公式即可直接得出答案． 【详解】解：绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动， 重物“甲”上升了：（）， 故答案为：． 13. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)， 则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ． 【答案】（2，0） 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 所以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示， 则圆心是（2，0）， 故答案为：（2,0）． 14．如图，已知、是的两条弦，且，，，分别连接、并延长，两线相交于点，若，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理和含角的直角三角形的性质．连接，根据，可知为直径，所以，根据，得，，所以，再根据勾股定理得，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ， 为直径， ， ，，， ，，则， ， 在中，， ， ， 的半径为． 故答案为：． 15.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是 ． 【答案】4 【分析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出 OA，最后用勾股定理即可得出结论． 【详解】设圆锥底面圆的半径为 r， ∵AC=6，∠ACB=120°， ∴=2πr， ∴r=2，即：OA=2， 在 Rt△AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC==4， 故答案为4． 16 .一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径． 小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口， 纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键．如图，记圆心为，连接，作于，作于，则，，由矩形的性质可知，，则三点共线，设，则，由勾股定理得，，即；，即；由，可得，可求，则，进而可求纸杯的直径． 【详解】解：如图，记圆心为，连接，作于，作于， ∴，， 由矩形的性质可知，， ∴三点共线， 设，则， 由勾股定理得，，即； ，即； ∵， ∴， 解得，， ∴或（舍去）， ∴纸杯的直径是， 故答案为：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，为的直径，弦交于点E，，，则的长是多少？    【答案】1 【分析】本题主要考查了垂径定理及其推论，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理， 先证，，结合直角三角形角所对直角边等于斜边一半及垂径定理得到线段关系，再利用勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴弧弧， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， 设的半径为r，则， ∵为的直径， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 解得：，（不合题意舍去）， ∴， ∴． 18． 如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点， 请在网格图中进行下列操作：    (1) 利用网格作出该圆弧所在圆的圆心点的位置，并写出点的坐标为______； (2) 求出扇形的面积． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理以及扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，理解垂径定理、勾股定理是正确解答的前提． （1）根据网格和正方形的性质，分别作出、的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心，进而写成点的坐标； （2）利用网格以及勾股定理和逆定理得出以及半径的平方，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：根据网格作，的中垂线，这两条中垂线相交于点，连接，，，则点，    故答案为：； （2）解：由（1）图可知： ， ， 为直角三角形，， 即的半径为，的度数为， ∴． 19．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8． （1）求⊙O的半径长； （2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长． 解：（1）连接OD，如图，设⊙O的半径长为r， ∵AB⊥CD， ∴∠OED＝90°，DE＝CE＝CD＝×8＝4， 在Rt△ODE中，∵OE＝r﹣3，OD＝r，DE＝4， ∴（r﹣2）2+42＝r2， 解得r＝5， 即⊙O的半径长为5； （2）在Rt△BCE中，∵CE＝4，BE＝AB﹣AE＝8， ∴BC＝＝4， ∵OF⊥BC， ∴BF＝CF＝BC＝2，∠OFB＝90°， 在Rt△OBF中，OF＝＝＝， 即OF的长为． 20．如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点， 过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E． （1）求证：∠D＝∠ABC； （2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 【答案】 （1）证明：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90° ∴∠A+∠ABC＝90° ∵DO⊥AB， ∴∠A+∠D＝90° ∴∠D＝∠ABC； （2） 【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可； （2）根据S阴＝S△AOD﹣S扇形﹣S△AOC计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：设∠B＝α，则∠BCO＝α， ∵OE＝CE， ∴∠EOC＝∠BCO＝α， 在△BCO中，α+α+90°+α＝180°， ∴α＝30° ∴∠A＝60°， ， ∵OA＝AB＝3， ∴OC＝OA＝3， 又 OD＝3， ∴S阴＝S△AOD﹣S扇形﹣S△AOC＝3×3﹣﹣＝﹣π． 21. 如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用， 彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为， 拱门最下端． (1) 求拱门最高点到地面的距离； (2) 现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计）， 已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行）， 通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门． 【答案】(1)拱门最高点到地面的距离为 (2)工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键． （1）设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接，由垂径定理可得，则由勾股定理可得的长，据此求出的长即可得到答案； （2）设弦，且，连接，同理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图②中，设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接， ∵，经过圆心O， ∴， ∴， ∴， ∴拱门最高点到地面的距离为； （2）解：如图，设弦，且，连接． ∵，经过圆心O， ∴， ∴， ∴， 答：工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门． 22. 如图，为的直径，C为上的一点，过点C作，交于点D，交于点E， 连接，，过点C作于点F，交于点G． (1) 求证：． (2) 若，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1 ）根据已知条件和直角三角形的性质证明，根据对顶角相等的性质，得从而证明； （2 ）根据垂径定理求出，最后在中，利用勾股定理求出，进而求出即可． 本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握垂径定理和圆周角定理及勾股定理． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵， ∴， ∵，为的直径，， ∴， 设的长为x，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴的半径为． 23. 问题情境： 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保． 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）． 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动， 每旋转一周用时120秒． 问题设置： 把筒车抽象为一个半径为r的，如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米， 当时，某盛水筒恰好位于水面A处，，经过95秒后该盛水筒运动到点B处． 问题解决： (1) 求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； (2) 求筒车水面的宽度； (3) 求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米） （参考数据，） 【答案】(1) (2)2米 (3)米 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质： （1）根据题意可得每秒转过，即可求解； （2）根据垂径定理可得，从而得到是等边三角形，即可求解； （3）过点B、点A分别作的垂线，垂足分别为点E、D，根据直角三角形的性质可得米，从而得到米，在中，可得，从而得到米，即可求解． 【详解】（1）解：∵筒车每旋转一周用时120秒． ∴每秒转过， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴是等边三角形， 米． （3）解：如图，过点B、点A分别作的垂线，垂足分别为点E、D， 在中，米， ∴米， ∴米， 在中，米， ∴， ， ∴， ∴米， ∴米， 即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为米． 24．如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，连结，，． (1) 求证：平分． (2) 如图2，延长，相交于点E． ① 求证：． ② 若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】(1)由点C为的中点，得，所以，由垂径定理得，即可根据等腰三角形的三线合一证明结论； (2)由直径所对的圆周角为直角得，则，再根据垂径定理得：，得结论；②连接，则，由，，由平行线的性质再证，得，由，得，，求出，设的半径为r，由勾股定理求出符合题意的r值即可． 【详解】（1）证明∵点C为弧的中点， ∴， ∴，， ∴平分； （2）①证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴ ②如图2，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为r， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的半径为5． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章《圆的基本性质》测试卷2026-2027学年浙教版九年级数学上册 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（   ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 2． 如图，在中圆心角，则圆周角的度数是（   ） A． B． C． D． 3. 如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面宽， 则水深是（   ） A． B． C． D． 4． 如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（   ） A．30° B．35° C．40° D．50° 5． 如图，小佳将量角器放在了上，点，，均在量角器边缘上， 且点，，的读数分别是，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6． 小明用一把含角的三角板测量圆的半径长，有如下两种方法： ①如图1，角的顶点在圆上，弦的长即为圆的半径长， ②如图2，直角顶点在圆上，弦长的一半即为圆的半径长，则下列判断正确的是（   ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 7． 如图，中，，，，若以A为旋转中心， 将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（   ） A．π B． C． D． 8． 如图，四边形为的内接四边形．延长与相交于点．，垂足为， 连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9． 如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，， 且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（   ） A． B． C． D． 10 .如图，是半圆的直径，、、是半圆的四等分点，于， 连接、相交于点，连接、，下列结论： ①；②；③， 其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．只有①② C．只有①③ D．只有③ 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．团扇是中国汉族传统的工艺品及艺术品，起源于商代，其雏形可追溯至战国时期的“便面”． 团扇融合了绘画、书法、雕刻等艺术形式，象征团圆吉祥，承载中华传统审美与文化内涵． 如图1是一款名为“蝶戏芳丛”的刺绣团扇扇面，其外轮廓为如图2所示的正八边形， 已知该正八边形的中心为点，则的度数为___________． 12． 《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械， 称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为，滑轮逆时针方向旋转， 则重物“甲”上升了 （绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留）． 13. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)， 则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ． 14．如图，已知、是的两条弦，且，，，分别连接、并延长，两线相交于点，若，则的半径为 ． 15.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是 ． 16 .一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径． 小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口， 纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，为的直径，弦交于点E，，，则的长是多少？    18． 如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点， 请在网格图中进行下列操作：    (1) 利用网格作出该圆弧所在圆的圆心点的位置，并写出点的坐标为______； (2) 求出扇形的面积． 19．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8． （1）求⊙O的半径长； （2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长． 20．如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点， 过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E． （1）求证：∠D＝∠ABC； （2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 21. 如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用， 彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为， 拱门最下端． (1) 求拱门最高点到地面的距离； (2) 现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计）， 已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行）， 通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门． 22. 如图，为的直径，C为上的一点，过点C作，交于点D，交于点E， 连接，，过点C作于点F，交于点G． (1) 求证：． (2) 若，求的半径． 23. 问题情境： 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保． 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）． 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动， 每旋转一周用时120秒． 问题设置： 把筒车抽象为一个半径为r的，如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米， 当时，某盛水筒恰好位于水面A处，，经过95秒后该盛水筒运动到点B处． 问题解决： (1) 求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； (2) 求筒车水面的宽度； (3) 求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米） （参考数据，） 24．如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，连结，，． (1) 求证：平分． (2) 如图2，延长，相交于点E． ① 求证：． ② 若，，求的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $