第3章 圆的基本性质之圆心角与圆周角 综合练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦圆心角与圆周角核心考点，以知识点递进为逻辑主线，通过例题引领+分层训练，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根据圆周角定理解题|1例+3练|选择/填空为主，直接应用定理求角度|从圆周角与圆心角关系切入，建立角的转化基础| |弧弦圆心角关系|1例+9练|选择/填空/解答，涉及弧长比、证明等|深化弧、弦、角的等价关系，强化代数表达与几何推理| |两者综合应用|1例+3练|含多结论判断，需关联双定理|整合前两模块，构建知识网络，提升综合分析能力| |结合三角形内外角等|1例+3练|选择为主，融合等边对等角等性质|跨知识联结，培养知识迁移与逻辑推理能力| |半圆直径相关圆周角|1例+3练|选择/填空/解答，含直径性质应用|突出直径与直角的核心关联，强化模型意识与应用能力|

2026-2027学年浙教版数学九年级上册第3章圆的基本性质之圆心角与圆周角相关知识点同步练（浙江地区适用） 知识点一：根据圆周角定理解题 例题： （填空题）如图，在中，，则______。 【答案】/度 【分析】此题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行解答即可。 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故答案为：。 同步练： （选择题）1.如图，是的直径，若，则的度数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行作答即可。 【详解】解：∵是的直径，， ∴， 故选：B。 （填空题）2.如图，是上的三个点，，则度数是 _____。 【答案】 【分析】由圆周角定理即可得到答案。 【详解】解：， ， 故答案为：。 （填空题）3.已知，四边形顶点都在正方形网格的格点上，如图所示，请用直尺和圆规画出四边形的外接圆，这个圆中所对的圆心角的度数是________。 【答案】/度 【分析】确定圆心，以为圆心，为半径作，，即可求解。 【详解】解：如图，即为所求； 观察图象可知，， 圆中所对的圆心角的度数为， 故答案为：。 知识点二：利用弧、弦、圆心角的关系求解 例题： （选择题）中的一段劣弧的度数为，则（  ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出答案即可。 【详解】解：中的一段劣弧的度数为， ，故选：B。 同步练： （选择题）1.如图，是半圆的直径，，是弧的中点，则的度数是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，根据已知得出，根据是弧的中点，即可求得的度数。 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴ ∵是弧的中点， ∴， 故选：D。 （选择题）2.如图，是的直径，是的弦，，，则的度数是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系。此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用。 由，可求得，继而可求得的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求的度数。 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B。 （填空题）3.一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为________。 【答案】90°/90度 【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系求出劣弧所对圆心角的度数即可。 【详解】解：∵一条弦把圆周分成1：3的两段弧， ∴劣弧所对圆心角的度数=×360°=90°， 故答案为：90°。 （填空题）4.如图，在中，请添上一个条件：_______，使得。 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解。 【详解】解：添加， 则， 故答案为：。 （填空题）5.如图，已知、是的直径，，，则_______。 【答案】/64度 【分析】根据等弦所对圆心角相等，即可求解，解题的关键是：找到等弦所对的圆心角。 【详解】解：， ， 又， ， ，故答案为：。 （填空题）6.如图，AB是⊙O的直径，D.C是弧BE的三等分点，∠COD=32°，则∠E的度数是___________。 【答案】48° 【分析】先运用等弧对等角得出，再利用三角形外角性质即可求解。 【详解】解：由、是的两个等分点，知，， ， ， ， 故答案为：48°。 （填空题）7.如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交于点D、点E，则弧的度数为 __________。 【答案】/40度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。先利用互余计算出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形内角和定理可计算出，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解。 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的度数为， 故答案为：。 （解答题）8.如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：。 【答案】证明：连接， 在中， ， ， ，、分别是半径和的中点， ， ， ， 。 【分析】连接，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得。 【详解】略 （解答题）9.如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数。 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，先求出，根据点C、D是的三等分点，求出的度数是，即。 【详解】解： 为的直径， ， ， ， 点 C、D 是的三等分点， 的度数是， ，故答案为。 知识点三：根据弧、弦、圆心角的关系及圆周角定理解题 例题： （选择题）如图，点A，B，C，D在上，，点D是的中点，则的度数是（   ）。 A．36 B．40 C．46 D．72 【答案】A 【分析】连接OD，根据点D是中点求出∠COD，再利用圆周角定理得出结果。 【详解】解：连接OD， ∵D是的中点， ∴∠COD= ，∴∠B= ， 故选择A。 同步练： （选择题）1.如图，，，，是上的四个点，，若，则的度数为（  ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理，连接，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到，根据圆周角定理计算，得到答案。 【详解】解：连接， ∵， ∴， 由圆周角定理得，， 故选：A。 （选择题）2.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，==，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=30°；②∠DOB=2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（   ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据==和点E是点D关于AB的对称点，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判断①②；根据圆周角定理求出当M和A重合时∠MDE=60°即可判断③；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断④。 【详解】解：∵==，点E是点D关于AB的对称点， ∴=， ∴∠DOB=∠BOE=∠COD=×180°=60°，∴①错误； ∠CED=∠COD=×60°=30°=∠DOB，即∠DOB=2∠CED； ∴②正确； ∵的度数是60°， ∴的度数是120°， ∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°， ∵∠CED=30°， ∴只有M和A重合时，DM⊥CE， ∴③错误； 作C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长， 连接CD， ∵===，并且弧的度数都是60°， ∴∠D=×120°=60°，∠CFD=×60°=30°， ∴∠FCD=180°-60°-30°=90°， ∴DF是⊙O的直径， 即DF=AB=10， ∴CM+DM的最小值是10，∴④正确； 综上所述，正确的个数是2个，故选：B。 （解答题）3.如图，点A、B、C在上，D是的中点，若，求的度数。 【答案】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，连接，求出，再利用圆周角定理可得结论。 【详解】解：如图，连接， ∵D是的中点， ∴，， ∴， ∴。 知识点四：利用圆心角、三角形内外角定理、等边对等角知识点解题 例题： （选择题）如图，内接于，，是的半径，则的度数为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键。 由已知条件，可设，则，，，于是可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由此即可得出答案。 【详解】解：如图，连接，  ， 可设，则，， ， ， ， ， 故选：。 同步练： （选择题）1.如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　 　）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键．连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解。 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：B。 （选择题）2.如图，是的直径，，若，则（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆心角和圆周角的关系，圆周角和弧的关系等知识点。 先根据等弧所对的圆周角相等得到，再求解即可得到答案。 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C。 （选择题）3.如图，在中，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点，则的度数是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧的度数，斜边上的中线。 根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数即可。 【详解】解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， 故选：B。 知识点五：结合半圆（直径）所对的圆周角是直角的知识点解题 例题： （选择题）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，，弦于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则的度数为（　 　）。 A．18° B．21° C．22.5° D．30° 【答案】D 【分析】由圆周角定理可求∠ACB=90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC=30°，∠CAB=60°，由直角三角形的性质可求∠CAH=∠ACE=30°，即可求解。 【详解】解：∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ABC+∠CAB=90°， ∵， ∴∠CAB=2∠ABC， ∴∠ABC=30°，∠CAB=60°， ∵CD⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴∠ACE=30°， ∵点H是AG的中点，∠ACB=90°， ∴AH=CH=HG， ∴∠CAH=∠ACE=30°， ∵∠CAF=∠CBF， ∴∠CBF=30°， 故选：D。 同步练： （选择题）1.如图，AB为的直径，，，劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的长为（    ）。 A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，根据求得半径，进而根据的长，勾股定理的逆定理证明，根据弧长关系可得，即可证明是等边三角形，求得，进而由勾股定理即可求得。 【详解】如图，连接， ， ， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是直径，， ， ， 故选D。 （填空题）2.如图，在中，弦的长为10，圆周角，则这个圆的直径为______。 【答案】 【分析】连接，根据勾股定理和圆周角定理的推论即可求解。 【详解】连接， ∵， ∴， ∵直径， ∴， ∵， ∴， 故答案为：。 （解答题）3.如图，的直径，C为上的一点，，求的长。 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得 ，再由，可得到，即可求解。 【详解】解：是的直径， ， 在 中， ，， 。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年浙教版数学九年级上册第3章圆的基本性质 之圆心角与圆周角相关知识点同步练（浙江地区适用) 巴知识点一：根据圆周角定理解题 家别题· (填空题)如图，在⊙0中，∠AOB=48°，则∠ACB= 1同步练 (选择题)1.如图，AB是⊙0的直径，若∠C=30°，则∠AOD的度数是( A.30° B.60 C.90° D.120° (填空题)2.如图，A、B、C是⊙0上的三个点，∠ABC=26°，则∠A0C度数是一 试卷第1页，共3页 B (填空题)3.已知，四边形ABCD顶点都在4×4正方形网格的格点上，如图所示， 请用直尺和圆规画出四边形ABCD的外接圆，这个圆中BC所对的圆心角的度数 是 B A 马知识点二：利用弧、弦、圆心角的关系求解 同 例题： (选择题)⊙O中的一段劣弧AB的度数为80°，则∠AOB=( )。 A.10° B.80 C.170 D.180 同步练 试卷第2页，共3页 (选择题)1.如图，AB是半圆O的直径，∠BOC=80°，D是弧AC的中点，则 ∠AOD 的度数是( )。 A.35 B.40° C.45° D.50° (选择题)2.如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙0的弦，BC=CD=DE, ∠C0D=36 ,则∠1 的度数是( )。 D B A.36° B.54° C.72° D.108° (填空题)3.一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为 (填空题)4.如图，在⊙0中，请添上一个条件：一，使得AB=CD。 试卷第3页，共3页 (填空题)5.如图，已知AB、CD是⊙0的直径，AE=AC,∠AOE=32°，则 ∠COE= D (填空题)6.如图，AB是⊙O的直径，D.C是弧BE的三等分点，∠COD-32°， 则∠E的度数是 D B (填空题)7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，以点C为圆心，BC为 半径的圆分别交AB、AC于点D、点E,则弧BD的度数为 B (解答题)8.如图，AC=CB,D,E分别是半径OA,OB的中点.求证： 试卷第4页，共3页 CD=CE (解答题)9.如图，AB为⊙O的直径，点C、D是BE的三等分点， ∠AOE=60° 求<B0C 的度数。 D 巴知识点三：根据弧、弦、圆心角的关系及圆周角定理解题 同 例题： (选择题)如图，点A,B,C,D在⊙0上，∠A0C=144°，点D是AC的中点， 则∠B的度数是()。 试卷第5页，共3页 A.36° B.40° C.46° D.72 脱同步练： (选择题)1.如图，A,B,C,D是⊙0上的四个点，AB=BC,若∠A0B=58, 则∠BDC的度数为()。 D B A.29 B.58 C.116 D.120° (选择题)2.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10,AC=CD=DB,点E 是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE-30°；② ∠DOB-2∠CED;③DMLCE;④CM什DM的最小值是10，上述结论中正确的 个数是( )。 A B D A.1 B.2 C.3 D.4 试卷第6页，共3页 (解答题)3.如图，点A、B、C在⊙0上，D是AB的中点，若∠A0B=124°，求 ∠BCD 的度数。 B 色知识点四：利用圆心角、三角形内外角定理、等边对等角知识点 解题 家别睡· (选择题)如图，△ABC内接于⊙0，BC:BA:AC=3:4:5,OB是⊙0的半径，则 ∠OBA 的度数为( o A.15 B.20° C.25 D.30° 同步练： (选择题)1.如图，在△ABC中，以B为圆心，BA为半径画AE分别交AC,BC 试卷第7页，共3页 于点D,E,若CD=AB,∠B=87°，则DE的度数为()。 D B A.30° B.31 C.32° D.33 (选择题)2.如图，AB是⊙0的直径，BC=CD=DE,若LAE0=54°，则LBOC= ( )。 E D C B A.28 B.32° C.36° D.40° (选择题)3.如图，在Rt△ABC中，∠A=33°，CD是斜边AB上的中线，以点C为 圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E,则DE的度数是( E B 试卷第8页，共3页 A.52° B.48° C.44° D.42° 色知识点五：结合半圆（直径）所对的圆周角是直角的知识点解题 嗣 例题： (选择题)如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，BC=2AC,弦 CD1MB于点E,弦A交CE于点A,交BC于点G,若点H是AG的中点，则 ∠CBF 的度数为()。 F G H A D A.18° B.21° C.22.5° D.30° 1同步练 (选择题)1.如图，AB为⊙0的直径，AB=4,CD=2W2,劣弧BC的长是劣弧 BD长的2倍，则AC的长为（ )。 试卷第9页，共3页 0 A.3v2 B.2W2 C.3 D.25 (填空题)2.如图，在⊙0中，弦AB的长为10，圆周角∠ACB=45°，则这个圆的 直径AD为 B (解答题)3.如图，⊙0的直径AB=10cm,C为⊙0上的一点，∠B=30°，求AC 的长。 B 试卷第10页，共3页