概率与统计知识默写清单-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习知识清单全面覆盖概率与统计核心内容，包含随机抽样、用样本估计总体、概率基础、条件概率与全概率公式、随机变量及其分布列五大知识模块，构建从基础概念到公式应用的完整知识体系。 清单采用分类默写与表格对比设计，如简单随机抽样与分层抽样的对比表格，培养数学思维；明确标注公式性质（如二项分布期望方差）和应用提示（如超几何与二项分布区别），强化数学语言表达；设易错点提示（如方差性质），帮助学生系统梳理知识，教师可据此设计针对性复习，提升备考效率。

概率与统计知识点默写清单 第一部分：随机抽样 1.1基本概念 （1）调查分为 和 。 （2）总体：在一个调查中，调查对象的 称为总体 （3）个体：组成总体的 调查对象称为个体。 （4）样本：从总体中抽取的 个体称为样本 （5）样本量：样本中包含的 称为样本容量，简称样本量 1.2.简单随机抽样 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中 抽取n(1≤n<N)个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都 ，这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都 ，这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 1.3.分层随机抽样 分层随机抽样：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行 ，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为 。在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成 ，那么称这种样本量的分配方式为 ． 第二部分：用样本估计总体 2.1频率分布直方图 1.画频率分布直方图的步骤 第1步：求 (即一组数据中最大值与最小值的差)； 第2步：决定组距与 ； 第3步：将数据分组； 第4步：列频率分布表； 第5步：画频率分布直方图(以横轴表示样本分组，纵轴表示 与 的比值). 2.频率分布直方图的性质 落在各小组内的频率用各小长方形的 表示，且各小长方形的面积的和等于 . 2.2.数字特征 ①众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边 的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个矩形底边的中点与对应频率的乘积之和 ②极差、方差和标准差 极差：即一组数据中 与 的差． 方差： . 标准差： 。 注：（1）标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越 ； 标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越 ． （2）若的平均数为，那么的平均数为 . （3）若的方差为s2，那么的方差为 . ③百分位数 1.定义：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． 2.计算一组几个数据第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据； 第2步，计算i= . 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 3.四分位数 即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数． 其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等． 第三部分：概率 3.1古典概型 一般地,如果随机试验的样本空间的样本点只有 个(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能性 (简称等可能性),则称这样的随机试验为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. ，其中,和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数. 3.2事件的关系与运算 关系/运算 定义 符号 韦恩图 包含关系 相等关系 并事件(或和事件) 交事件(或积事件) 互斥事件 对立事件 3.3 概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A) 0. 性质2　必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 ，即P(Ω)＝ ，P(∅)＝ . 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ 如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝ ． 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝ ，P(A)＝ ． 性质5　如果A⊆B，那么P(A) P(B)． 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝ ． 3.4.相互独立 对任意两个事件与,如果 成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. 注：如果与相互独立,则与，与，与也相互独立. 第四部分：条件概率与全概率公式 4.1条件概率 1.条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)= 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 2.条件概率的计算方法 (1)定义法：P(B|A)= . (2)缩小样本空间法：P(B|A)= . 3.等价形式：P(AB)=P(A∣B)⋅P(B)=P(B∣A) ⋅P(A) 4.2.全概率公式 全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)= 。 4.3.贝叶斯公式： 贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)= = ，i=1，2，…，n. 第五部分：随机变量及其分布列 5.1离散型随机变量的期望与方差 1.离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2， ，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 注：分布列的性质：(1)Pi ≥0，i=1，2， …，n，(2) P1+P2+ … +Pn = 。 2.期望（均值）：E(X)= . 性质（线性）：（1）E(X+b)= （2）E(aX)= （3）E(aX+b)= (4)E(X+Y)= 当X与Y独立时成立。 3.方差：D(X)= = 性质：（1）D(aX+b)= （2）D(X+Y)= 当X与Y独立时成立。 5.2二项分布X～B(n,p) 概率公式：P(X=k)= . 期望与方差：E(X)= ；D(X)= 。 5.3超几何分布 概率公式：P(X=k)= .其中k＝m，m＋1，m＋2，…，r,其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}. 期望：E(X)= 。 注意：超几何分布与二项分布的区别在于是否放回。当N很大时，超几何分布近似于二项分布。 5.4正态分布X～N(,) 1.正态曲线性质： -曲线关于直线 对称 -曲线在 处达到峰值，峰值为 -曲线与x轴之间的面积为 -决定曲线的位置，决定曲线的形状（越 曲线越矮胖） 2.期望与方差：E(X)＝ ；σ>0表示标准差，D(X)＝ 。 3.3原则（经验法则）： P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973. 4.标准正态分布：当= ，= 时，记作X～N(0,1)。 概率与统计知识点默写清单（答案） 第一部分：随机抽样 1.1基本概念 （1）调查分为普查和抽样调查 （2）总体：在一个调查中，调查对象的全体称为总体 （3）个体：组成总体的每一个调查对象称为个体 （4）样本：从总体中抽取的那部分个体称为样本 （5）样本量：样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量 1.2.简单随机抽样 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 1.3.分层随机抽样 分层随机抽样：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． 第二部分：用样本估计总体 2.1频率分布直方图 1.画频率分布直方图的步骤 第1步：求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)； 第2步：决定组距与组数； 第3步：将数据分组； 第4步：列频率分布表； 第5步：画频率分布直方图(以横轴表示样本分组，纵轴表示频率与组距的比值). 2.频率分布直方图的性质 落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，且各小长方形的面积的和等于1. 2.2.数字特征 ①众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个矩形底边的中点与对应频率的乘积之和 ②极差、方差和标准差 极差：即一组数据中最大值与最小值的差． 方差：. 标准差： 注：（1）标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动； 标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． （2）若的平均数为，那么的平均数为. （3）若的方差为s2，那么的方差为. ③百分位数 1.定义：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． 2.计算一组几个数据第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据； 第2步，计算. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 3.四分位数 即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数． 其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等． 第三部分：概率 3.1古典概型 一般地,如果随机试验的样本空间的样本点只有有限个(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能性相等(简称等可能性),则称这样的随机试验为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. ，其中,和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数. 3.2事件的关系与运算 关系/运算 定义 符号 韦恩图 包含关系 事件A发生一定导致事件B发生 B⊇A(或A⊆B) 相等关系 B⊇A且A⊇B， A＝B 并事件(或和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B(或A＋B) 交事件(或积事件) 事件A与事件B同时发生 A∩B(或AB) 互斥事件 事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝∅ 对立事件 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝∅，A∪B＝Ω 3.3 概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)． 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)． 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)． 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 3.4.相互独立 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. 注：如果与相互独立,则与，与，与也相互独立. 第四部分：条件概率与全概率公式 4.1条件概率 1.条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)=为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 2.条件概率的计算方法 (1)定义法：P(B|A)=. (2)缩小样本空间法：P(B|A)=. 3.等价形式：P(AB)=P(A∣B)⋅P(B)=P(B∣A) ⋅P(A) 4.2.全概率公式 全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)= 4.3.贝叶斯公式： 贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)==，i=1，2，…，n. 第五部分：随机变量及其分布列 5.1离散型随机变量的期望与方差 1。离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2， ，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 注：分布列的性质：(1)Pi ≥0，i=1，2， …，n，(2) P1+P2+ … +Pn =1 2.期望（均值）：E(X)=x1p1+x2p2+x3p3+...+xnpn. 性质（线性）：（1）E(X+b)=E(X)+b （2）E(aX)=aE(X) （3）E(aX+b)= aE(X)+b (4)E(X+Y)=E(X)+E(Y)当X与Y独立时成立。 3.方差：D(X)=(x1－E(X))2p1+(x2－E(X))2p2+ …+ (xn－E(X))2pn= 性质：（1）D(aX+b)=a2D(X) （2）D(X+Y)=D(X)+D(Y)当X与Y独立时成立。 5.2二项分布X～B(n,p) 概率公式：P(X=k)=. 期望与方差：E(X)=np；D(X)=np(1-p)。 5.3超几何分布 概率公式：P(X=k)=.其中k＝m，m＋1，m＋2，…，r,其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}. 期望：E(X)= 注意：超几何分布与二项分布的区别在于是否放回。当N很大时，超几何分布近似于二项分布。 5.4正态分布X～N(,) 1.正态曲线性质： -曲线关于直线x＝μ对称 -曲线在x＝μ处达到峰值，峰值为 -曲线与x轴之间的面积为1 -决定曲线的位置，决定曲线的形状（越大曲线越矮胖） 2.期望与方差：E(X)＝μ；σ>0表示标准差，D(X)＝. 3.3原则（经验法则）： P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973. 4.标准正态分布：当=0，=1时，记作X～N(0,1)。 学科网（北京）股份有限公司 $