10.8 概率、统计与其他知识的交汇问题【题型突破】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦概率、统计与数列、导数等知识的交汇问题，按“考向预测—题型突破—限时训练”逻辑架构，涵盖数列递推求概率、导数求利润最值等核心考点，通过考向分析、典例精讲、跟踪训练等环节，帮助学生构建跨模块转化建模能力，体现复习的系统性与针对性。 讲义创新融合现实情境设计（如游戏投掷、芯片质检），通过数列递推概率模型培养推理意识，用导数解决利润最值发展模型观念，设置分层练习（基础跟踪到综合限时）强化数学思维，助力学生高效突破难点，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 §10.8　概率、统计与其他知识的交汇问题 【高考考向预测】 概率统计交汇题常结合函数、数列、不等式、立体几何与计数原理命题，依托实际情境融合分段函数最值、数列递推求概率、几何度量算几何概型等考法，重在跨模块转化建模；近三年高考选择填空高频出现，解答题偶有综合设问，考频稳步上升；预测2027 年会加深与数列递推、分段函数的结合，立足现实背景创新设问，强化综合建模与多知识点灵活运用的考查。 重点解读　有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突破定势，考查真功”的命题理念，是每年高考的必考内容.近几年，将概率、统计问题与数列、函数、导数结合成为创新问题. 【题型突破●明方向】 题型一　概率、统计与数列的综合问题 例1　(2026·惠州模拟)小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的两颗骰子的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷. (1)若第1次从小明开始，设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与数学期望. (2)若第1次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率Pn. 跟踪训练1　(2026·昭通模拟)某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障.每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修.机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时.若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案.机器正常工作1小时可收益10元.各小时机器状态是否正常相互独立. (1)假设机器初始状态为正常，若机器出现故障则随机选择检修方案，求2小时后机器正常工作的概率； (2)假设机器初始状态为故障，并一直选择加急检修，求3小时内机器的总收益X的分布列和数学期望； (3)假设机器初始状态为正常，并长期选择常规检修，记n(n∈N*)小时后机器正常的概率为Pn，求Pn并计算n个小时的累计期望收益E(Y). 题型二　概率、统计与导数的综合问题 例2　(2025·龙岩模拟)某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其他产品称为B等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11，用样本平均数作为μ的近似值，用s作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)； (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)≈0.997 3) (2)①从样本的质量指标值在[45，55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望； ②该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A等品芯片的利润是m(1<m<24)元，一件B等品芯片的利润是ln(25-m)元，根据(1)的计算结果，试求m的值，使得每箱产品的利润最大. 跟踪训练2　为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产. (1)现从试产的新产品中取出了5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对5件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望； (2)设每件新产品为次品的概率都为p(0<p<1)，且各件新产品是否为次品相互独立.记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为f(p)，问p取何值时，f(p)最大. 【限时训练】 （20分钟） 1.(15分)某种药材的种植、加工过程受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材. (1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望；(7分) (2)已知每箱药材的利润如表： 等级 上等药材 中等药材 普通药材 利润(元/箱) 4 000 2 000 -1 200 今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m(m∈N*)箱，成本相应增加(1 000m-2 000ln m)元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由.(8分) 2.(15分)(2026·广西名校联盟联考)某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A=“学生报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计，P(A)=，P(B|A)=，P(A|B)=. (1)根据已知条件，完成下列2×2列联表，依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？(6分) 答题活动 性别 合计 男生 女生 未报名参加 报名参加 合计 100 (2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置m(m≥3)道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题是否回答正确相互独立，且每次答对的概率均为. ①当m=5时，求甲在一轮答题过程中答题数量ξ的数学期望；(4分) ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为n的概率为Pn(n∈N*)，求Pn.(5分) 参考公式与数据：χ2=，其中n=a+b+c+d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 §10.8　概率、统计与其他知识的交汇问题 【高考考向预测】 概率统计交汇题常结合函数、数列、不等式、立体几何与计数原理命题，依托实际情境融合分段函数最值、数列递推求概率、几何度量算几何概型等考法，重在跨模块转化建模；近三年高考选择填空高频出现，解答题偶有综合设问，考频稳步上升；预测2027 年会加深与数列递推、分段函数的结合，立足现实背景创新设问，强化综合建模与多知识点灵活运用的考查。 重点解读　有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突破定势，考查真功”的命题理念，是每年高考的必考内容.近几年，将概率、统计问题与数列、函数、导数结合成为创新问题. 【题型突破●明方向】 题型一　概率、统计与数列的综合问题 例1　(2026·惠州模拟)小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的两颗骰子的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷. (1)若第1次从小明开始，设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与数学期望. (2)若第1次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率Pn. 【解析】(1)投掷两颗骰子共有36个样本点，和为4的倍数的样本点有 (1，3)，(3，1)，(2，2)，(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)，(6，6)，共9个. 所以一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概率为=. 依题意，X所有的可能取值为0，1，2，3， P(X=0)=××=， P(X=1)=××+××+××=， P(X=2)=××+××+××=， P(X=3)=××=. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×=. (2)若第1次从小芳开始， 则第n(n≥2)次由小芳投掷骰子有两种情况： ①第n-1次由小芳投掷，第n次继续由小芳投掷，其概率为Pn-1； ②第n-1次由小明投掷，第n次由小芳投掷， 其概率为(1-Pn-1)=-Pn-1. 因为①②两种情形是互斥的， 所以Pn=Pn-1+-Pn-1=-Pn-1+， 所以Pn-=-. 因为P1=1，所以P1-=， 所以是以为首项，-为公比的等比数列， 所以Pn-=， 所以Pn=-. 【思维升华】概率问题与数列的交汇综合性较强，主要有以下类型： (1)求通项公式：关键是找出概率Pn或均值E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)求出通项公式. (2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和. (3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限. 跟踪训练1　(2026·昭通模拟)某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障.每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修.机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时.若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案.机器正常工作1小时可收益10元.各小时机器状态是否正常相互独立. (1)假设机器初始状态为正常，若机器出现故障则随机选择检修方案，求2小时后机器正常工作的概率； (2)假设机器初始状态为故障，并一直选择加急检修，求3小时内机器的总收益X的分布列和数学期望； (3)假设机器初始状态为正常，并长期选择常规检修，记n(n∈N*)小时后机器正常的概率为Pn，求Pn并计算n个小时的累计期望收益E(Y). 【解析】(1)设“i小时后机器正常”为事件Ai(i=1，2)，设“加急检修，1小时修复”为事件B1，设“常规检修，1小时修复”为事件B2. 由题意，P(A1)=0.8，P()=0.2，P(A2|A1)=0.8，P(B1|)=0.9，P(B2|)=0.6， 从而2小时后机器正常的概率为 P=P(A1A2)+P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+0.5P()P(B1|)+0.5P()P(B2|) =0.8×0.8+0.5×0.2×0.9+0.5×0.2×0.6=0.79. (2)依题意，X的所有可能的值为-27，-8，11， X=-27的情况为第1个小时没有修复，第2个小时没有修复，第3个小时继续修，修了3个小时花费27元， 从而P(X=-27)=0.1×0.1=0.01； X=11的情况为第1个小时检修好，花费9元，第2个小时正常工作，收益10元，第3个小时也正常工作，收益10元，共收益11元， 从而P(X=11)=0.9×0.8=0.72； X=-8的情况为有1个小时收益10元，另外2个小时检修花费18元， 则P(X=-8)=1-P(X=-27)-P(X=11)=1-0.01-0.72=0.27. 于是X的分布列为 X -27 -8 11 P 0.01 0.27 0.72 数学期望为E(X)=-27×0.01+(-8)×0.27+11×0.72=5.49(元). (3)初始状态正常，令P0=1；1个小时后正常的概率为P1=0.8； 2个小时后正常的概率为P2=0.8P1+0.6(1-P1)； 同理，n个小时后正常的概率为Pn=0.8Pn-1+0.6(1-Pn-1)(n≥2)， 即Pn=0.2Pn-1+0.6=Pn-1+， 故Pn-=， 从而数列是首项为P1-=，公比为的等比数列， 于是Pn-=×， 因此Pn=+×(n∈N*). 初始状态正常，第1个小时期望收益为E(Y1)=10元；第2个小时期望收益为E(Y2)=10P1-6(1-P1)=16P1-6； 同理第k个小时期望收益为E(Yk)=16Pk-1-6(k=1，2，3，…，n). 因此当n≥2时，n个小时累计期望收益为E(Y)=E(Yi)=E(Yi)=(16Pi-1-6) =16Pi-1-6n=16(P0+Pi)-6n =16-6n =6n+5-. 当n=1时，E(Y)=E(Y1)=10，满足该式， 故E(Y)=6n+5-，n∈N*. 题型二　概率、统计与导数的综合问题 例2　(2025·龙岩模拟)某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其他产品称为B等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11，用样本平均数作为μ的近似值，用s作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)； (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)≈0.997 3) (2)①从样本的质量指标值在[45，55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望； ②该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A等品芯片的利润是m(1<m<24)元，一件B等品芯片的利润是ln(25-m)元，根据(1)的计算结果，试求m的值，使得每箱产品的利润最大. 【解析】(1)由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件产品的质量指标值的平均数为 =10×(0.01×50+0.025×60+0.04×70+0.015×80+0.01×90)=69， 即μ≈=69，σ≈s≈11，所以X~N(69，112)， 因为质量指标值X近似服从正态分布N(69，112)， 所以P(X≥80)= =≈ =0.158 65≈0.16， 所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A等品的概率约为0.16. (2)①(0.01+0.01)×10×100=20，所以质量指标值在[45，55)和[85，95]的芯片总件数为20， 质量指标值在[85，95]的芯片件数为10，故η的所有可能取值为0，1，2，3， 所以P(η=0)==， P(η=1)==， P(η=2)==， P(η=3)==， 随机变量η的分布列为 η 0 1 2 3 P 所以η的数学期望E(η)=0×+1×+2×+3×=. ②设每箱产品中A等品有Y件，则每箱产品中B等品有(100-Y)件，每箱产品的利润为Z元， 由题意知Z=mY+(100-Y)ln(25-m) =[m-ln(25-m)]Y+100ln(25-m)， 由(1)知，每件产品为A等品的概率为0.16， 所以Y~B(100，0.16)， 所以E(Y)=100×0.16=16， E(Z)=[m-ln(25-m)]E(Y)+100ln(25-m) =16[m-ln(25-m)]+100ln(25-m) =16m+84ln(25-m)， 令f(x)=16x+84ln(25-x)(1<x<24)， 由f'(x)=16-=0，得x=∈(1，24)， 又当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 所以当x=时，f(x)取得最大值. 即当m=时，每箱产品利润最大. 【思维升华】在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现. 跟踪训练2　为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产. (1)现从试产的新产品中取出了5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对5件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望； (2)设每件新产品为次品的概率都为p(0<p<1)，且各件新产品是否为次品相互独立.记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为f(p)，问p取何值时，f(p)最大. 【解析】(1)根据题意可知X的可能取值为2，3，4， 则P(X=2)==， P(X=3)=×+=， P(X=4)==， 则X的分布列为 X 2 3 4 P 所以E(X)=2×+3×+4×=. (2)由题意可得，f(p)=p2(1-p)48(0<p<1)， f'(p)=[2p(1-p)48-48p2(1-p)47] =2p(1-p)47(1-25p)， 令f'(p)=0，解得p=， 因为当0<p<时，f'(p)>0，f(p)单调递增， 当<p<1时，f'(p)<0，f(p)单调递减， 所以当p=时，f(p)取得最大值. 【限时训练】 （20分钟） 1.(15分)某种药材的种植、加工过程受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材. (1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望；(7分) (2)已知每箱药材的利润如表： 等级 上等药材 中等药材 普通药材 利润(元/箱) 4 000 2 000 -1 200 今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m(m∈N*)箱，成本相应增加(1 000m-2 000ln m)元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由.(8分) 【解析】(1)X的可能取值为0，1，2， P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)==， X的分布列为 X 0 1 2 P X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×=1. (2)按原计划生产药材每箱平均利润为×4 000+×2 000+×(-1 200)=900(元)， 则增加m箱药材，利润增加900m元，成本相应增加(1 000m-2 000ln m)元， 所以增加净利润为900m-1 000m+2 000ln m =2 000ln m-100m(m∈N*). 设f(x)=2 000ln x-100x(x∈N*)， 则f'(x)=-100， 令f'(x)=0，得x=20， 当1≤x<20时，f'(x)>0， 当x>20时，f'(x)<0，且f(20)>0， 所以函数f(x)在[1，20)上单调递增，在(20，+∞)上单调递减， 当x=20时，f(x)取得最大值， 所以需要增加产量，增加20箱最好. 2.(15分)(2026·广西名校联盟联考)某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A=“学生报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计，P(A)=，P(B|A)=，P(A|B)=. (1)根据已知条件，完成下列2×2列联表，依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？(6分) 答题活动 性别 合计 男生 女生 未报名参加 报名参加 合计 100 (2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置m(m≥3)道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题是否回答正确相互独立，且每次答对的概率均为. ①当m=5时，求甲在一轮答题过程中答题数量ξ的数学期望；(4分) ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为n的概率为Pn(n∈N*)，求Pn.(5分) 参考公式与数据：χ2=，其中n=a+b+c+d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】(1)由题意知P(A)=，P(B|A)=，P(A|B)=， 可得报名参加答题活动的人数为100×=45， 参加答题活动的男生人数为45×=30， 所以报名参加答题活动的女生人数为45-30=15， 因为P(A|B)=，可得样本中男生人数为30÷=50，女生人数为50， 所以完成2×2的列联表，如表所示， 答题活动 性别 合计 男生 女生 未报名参加 20 35 55 报名参加 30 15 45 合计 50 50 100 零假设为H0：该校学生报名参加答题活动与性别无关. 可得χ2==≈9.091>7.879=x0.005， 所以依据小概率值α=0.005的独立性检验，推断H0不成立，即认为该校学生报名参加答题活动与性别有关联. (2)①由题意知随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3，4，5， 所以P(ξ=i)=×，i=1，2，3，4，P(ξ=5)=， 则E(ξ)=1×+2××+3××+4××+5×=++++=. ②每轮比赛甲得1分的概率为×=，得2分的概率为1-=， 所以P1=，P2=+=， 当n≥3时，Pn=Pn-1+Pn-2， 因为Pn-Pn-1=-(Pn-1-Pn-2)，且P2-P1=， 所以数列是首项为，公比为-的等比数列， 则Pn+1-Pn=·=， 又由Pn+Pn-1=Pn-1+Pn-2且P2+P1=1， 所以数列是各项均为1的常数列， 所以Pn+1+Pn=1， 联立方程组 解得Pn=-. / 学科网（北京）股份有限公司 $