概率、统计与其他知识的交汇问题 课件-2027届高三数学一轮复习

概率、统计与其他知识 的交汇问题 1 【例1】　(2026·徐州模拟)若正六边形P1P2P3P4P5P6的边长为1,则<(i=2,3,4,5,6)的概率为(　　) A. B. C. D. 视角一 概率、统计与平面向量 解析 【例2】　(2026·岳阳模拟)有编号为A,B的两个盒子,A盒子中有6个球,其中有2个球上写有数字0,3个球上写有数字1,1个球上写有数字2,B盒子中也有6个球,其中有2个球上写有数字0,2个球上写有数字1,2个球上写有数字2.现从A盒子取2个球,从B盒子取1个球,设取出的3个球数字之积为随机变量ξ. (1)求随机变量ξ的分布列和数学期望; 视角二 概率、统计与三角函数 解 (2)记“函数f(x)=sin+1向右平移个单位长度得到一个对称中心为的函数g(x)”为事件C,求事件C发生的概率. 解 【例3】　(2026·宝鸡模拟)设m,n∈{-2,-1,0,1,2,3},曲线C:mx2+ny2=1,则下列说法正确的为(　　) A.曲线C表示双曲线的概率为 B.曲线C表示椭圆的概率为 C.曲线C表示圆的概率为 D.曲线C表示两条直线的概率为 视角三 概率、统计与解析几何 对于A,当mn<0时,曲线C表示双曲线,则当m>0,n<0时,有=6种,当m<0,n>0时,有=6种,所以曲线C表示双曲线的概率为=,故A不正确;对于B,当m>0,n>0,m≠n,曲线C表示椭圆,所以有=6种,曲线C表示椭圆的概率为=,故B正确;对于C,当m=n>0, 解析 曲线C表示圆,有3种情况,曲线C表示圆的概率为=,故C不正 确;对于D,当m=0,n>0或m>0,n=0,曲线C表示两条直线,当m=0,n>0时,有3种情况,当m>0,n=0时,有3种情况,共6种情况,曲线C表示两条直线的概率为=,故D不正确. 解析 【例4】　如图,已知四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD. (1)求证:AC⊥CD; 视角四 概率、统计与立体几何 因为AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,所以AB⊥CD,又BC⊥CD, AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC,所以CD⊥平面ABC,因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CD. 证明 (2)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,若此“鳖臑”中,AB=BC=CD=1,有一根彩带经过面ABC与面ACD,且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处,求彩带的最小长度; 将面ABC与面ACD沿AC展开成如图所示的平面图形,连接BD,由(1) 知,∠ACD=90°,因为AB⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,所以AB⊥BC,因为AB=BC=CD=1,所以∠ACB=,故展开后∠BCD=π,所以彩带的最小长度 解 为此平面图中BD长.由余弦定理得:BD= = =,所以彩带的最小长度为. (3)若在此四面体中任取两条棱,记它们互相垂直的概率为P1;任取两个面,记它们互相垂直的概率为P2;任取一个面和不在此面上的一条棱,记它们互相垂直的概率为P3.试比较概率P1,P2,P3的大小. 6条棱中任选2条,共有=15种情况,其中AB⊥BC,AB⊥BD,AB⊥CD,AC ⊥CD,BC⊥CD,所以P1==,四个面任取两个面,共有=6种情况,其中平面ABC⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ACD,平面ABD⊥平面BCD,故P2==,任取一个面和不在此面上的一条棱,先从四个平面任选一个平 面,有种情况,再从不在此面上的三条棱中选1条,有种情况,故共有=12种情况,其中满足垂直关系的有2种,分别为平面BCD和棱AB,平面ABC和棱CD,故P3==,所以P3<P1<P2. 解 【例5】　为提高科技原创能力,抢占科技创新制高点,某企业锐意创新,开发了一款新产品,并进行大量试产. (1)现从试产的新产品中取出了5件产品,其中恰有2件次品,但不能确定哪2件是次品,需对5件产品依次进行检验,每次检验后不放回,当能确定哪2件是次品时即终止检验,记终止时一共检验了X次,求随机变量X的分布列与期望; 视角五 概率、统计与函数 解 (2)设每件新产品为次品的概率都为p(0<p<1),且各件新产品是否为次品相互独立.记“从试产的新产品中随机抽取50件,其中恰有2件次品”的概率为f(p),问p取何值时,f(p)最大. 由题意可得,f(p)=p2(1-p)48(0<p<1),f'(p)=[2p(1-p)48-48p2(1-p)47]=·2p(1-p)47·(1-25p),令f'(p)=0,解得p=,因为当0<p<时,f'(p)>0,所以f(p)为单调递增函数,因为当<p<1时,f'(p)<0,所以f(p)为单调递减函数,所以当p=时,f(p)取得最大值. 解 视角六 概率、统计与数列 【例6】　学校食堂为了减少排队时间,从开学第1天起,每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐,若他前1天中午选择了米饭套餐,则第2天中午选择米饭套餐的概率为;若他前1天中午选择了面食套餐,则第2天中午选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为. (1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率; 设Ai=“第i天中午选择米饭套餐”(i=1,2),则=“第i天中午选择面食套餐”,根据题意P(A1)=,P()=,P(A2|A1)=,P(A2|)=,由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=×+×=. 解 (2)记该同学开学第n(n∈N*)天中午选择米饭套餐的概率为Pn.证明:当n≥2时,Pn≤. 设An=“第n天中午选择米饭套餐”(n∈N*),则Pn=P(An),P()=1-Pn,P(An+1|An)=,P(An+1|)=,由全概率公式,得P(An+1)=P(An)· P(An+1|An)+P()P(An+1|)=-Pn+,即Pn+1=-Pn+,所以Pn+1-= 证明 -,因为P1-=,所以为首项,-为公比的等比数列,可得Pn=+×(n∈N*).当n为大于1的奇数时,Pn=+×+×=;当n为偶数时,Pn=-×<<,综上所述,当n≥2时,Pn≤. 证明 1.(2026·正定模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,0),在圆x2+y2=1上任取一点P,则的概率为(　　) A. B. C. D. 由数量积的定义可得,=||||cos∠AOP=cos∠AOP≤,又∠AOP∈[0,π],所以≤∠AOP≤π,即当动点 P在上运动时,才满足, 所以=. 解析 2.(2026·锦州模拟)在区间(0,4)内随机抽取一个实数k,则事件“直线l:y=kx+1与双曲线E:x2-=1的两个交点分别在双曲线左、右两支上”发生的概率为(　　) A.1 B. C. D. 解析 3.(2026·秦皇岛模拟)如图,已知面积为4的正三角形ABC三边的中点分别为D,E,F,从A,B,C,D,E,F六个点中任取三个不同的点,所构成的三角形的面积为ξ(三点共线时,规定ξ=0),则概率p(ξ≤1)=_____________;其数学期望E(ξ)=_____________. 从六点中任取三个不同的点共有=20个基本事件,不满足事件“ξ≤1”即ACD,ACF,BCD,BCE,ABE,ABF,ABC七种情况,事件“ξ≤1”所含基本事件有13个,从而P(ξ≤1)==.由题知,ξ可能的取值为:0,1,2,4,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=4)=. 解析 ξ的分布列为: 解析 ξ 0 1 2 4 P 则E(ξ)=0×+1×+2×+4×==. 4.“冰雪同梦,亚洲同心”,2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办,本次赛事共有6个大项,11个分项,64个小项,有来自34个国家和地区,1 200多名运动员参赛,是一场令人回味无穷的冬季体育盛会.亚冬会圆满结束后,某校团委组织学生参加与亚冬会有关的知识竞赛.为鼓励学生积极参加此项活动,比赛规定:答对一题得2分,答错一题得分,选手不放弃任何一次答题机会.已知小明报名参加比赛,每道题回答是否正确相互独立,且每次答对的概率不一定相等. (1)若前三道试题,小明每道试题答对的概率均为p. ①设p=,记小明答完前三道题的得分为X,求随机变量X的分布列和数学期望; 解 ②若小明答完前四道题得8分的概率为,求小明答完前四道题时至少答对三道题的概率的最小值. 因为前四道试题得8分,即全对的概率为,所以第四道试题答对的概率为.所以小明答完前四道题时至少答对三道题的概率为f(p)=+p3+p2(1-p)·=p3+-.则f'(p)=3p2- 解 ==.故当0<p<时,f'(p)<0,函数f(p)单调递减;当<p<1时,f'(p)>0,函数f(p)单调递增.所以f(p)min=f=,即小明答完前四道题时至少答对三道题的概率的最小值为. 解 (2)若小明答对每道题的概率均为,因为小明答对第一题或前两题都答错,均可得到两分,称此时小明答题累计得分为2,记小明答题累计得分为n的概率为Pn,求数列{Pn}的通项公式. 解 因为=||·||cos 60°=<,=||·||cos 30°=>,=||·||cos 0°=2>,=||·||cos 30°=>,=||·||cos 60°=<,所以P2,P3,P4,P5,P6五个点中有两个点满足题意,所以概率为. ξ的可能取值为0,1,2,4.P(ξ=0)=1-=,P(ξ=1)==,P(ξ=2)=+=,P(ξ=4)==. ξ的分布列为 ξ 0 1 2 4 P 则E(ξ)=0×+1×+2×+4×=. 函数f(x)=sin+1向右平移个单位长度得到函数g(x)=sin+1=sin+1,由函数g(x)的一个对称中心为,可得2×+ξ-=kπ,即ξ=6k-2,k∈Z,又ξ的取值为0,1,2,4,则ξ=4,则P(C)=. 根据题意可知X的取值可能为2,3,4,则P(X=2)==,P(X=3)= ×+=,P(X=4)==,则X的分布列为 X 2 3 4 P 所以E(X)=2×+3×+4×=. 联立方程组整理得(4-k2)x2-2kx-5=0,因为直线与双曲线的左右两支有两个交点,则方程有异号的两实数根,所以解得-2<k<2,又因为实数k为区间(0,4)内的实数,由几何概型的概率计算公式得所求概率为=. 由题意可知,随机变量X的可能取值为3,4,5,6.所以P(X=3)==; P(X=4)=××=;P(X=5)=××=;P(X=6)==.所以随机变量X的分布列如表所示: X 3 4 5 6 P 所以E(X)=3×+4×+5×+6×=5. 依题意得P1=,P2=+=,当n≥3时,有Pn=Pn-1+Pn-2.所以Pn-Pn-1= -(Pn-1-Pn-2),且P2-P1=,所以{Pn+1-Pn}是首项为,公比为-的等比数列,故Pn+1-Pn=×=.由累加法得Pn-P1=(P2-P1)+(P3-P2)+…+(Pn-Pn-1)=++…+=.解得Pn=+即为所求. $