2.2.1 开平方法和配方法 分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学北师大版九年级上册第2章2.2第1课时同步练，以“基础巩固-思维进阶-中考衔接”三层设计，覆盖开平方法与配方法全知识点，梯度递进培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|直接开平方法、配方填空、基础配方法|选择填空为主，巩固概念与步骤，如配方常数项补充、基础解方程| |进阶思维题|复杂配方、参数问题、综合应用|解答题占比高，提升推理能力，如含参数完全平方式、实际问题建模| |中考链接题|中考基础与综合考点|真题再现，对接测评要求，如配方法变形、根的情况判断|

北师大版九年级上册 第2章 一元二次方程 2.2一元二次方程的解法 第1课时 开平方法和配方法 本节知识点总结 1. 直接开平方法： 对于形如 x² = n 或 (x+m)² = n 的方程，当n ≥ 0时，两边同时开平方， 转化为一元一次方程求解。 ① x² = n (n ≥ 0) 的解为：x = ± ② (x+m)² = n (n ≥ 0) 的解为：x = -m ± 当n < 0时，方程无实数根。 2. 配方法： 通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种方法叫做配方法。 配方的依据是完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 3. 二次项系数为1时的配方： x² + bx → 两边同时加上 ()² 即：x² + bx + ()² = (x + )² 4. 二次项系数不为1时的配方： 先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1，再配方。 5. 配方法解一元二次方程的一般步骤： ① 移项：把常数项移到方程右边； ② 化1：二次项系数化为1（两边同除以二次项系数）； ③ 配方：两边同时加上一次项系数一半的平方； ④ 开平方：两边同时开平方； ⑤ 求解：解两个一元一次方程，得到原方程的根。 6. 配方填空规律： 对于 x² + px，加上 ()² 就构成完全平方式。 常数项 = 一次项系数一半的平方。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 直接开平方法解方程 1．（2024秋·北京海淀·单元测）方程 x² = 16 的解是（　　） A．x = 4 B．x = -4 C．x = ±4 D．x = ±8 【答案】C 【分析】直接开平方求解。 【详解】解：x² = 16 两边同时开平方，得： x = ± = ±4 ∴ x₁ = 4，x₂ = -4 故选：C。 2．（2024-2025九年级上·上海闵行·期中）方程 (x-1)² = 9 的解是（　　） A．x = 4 B．x = -2 C．x₁ = 4，x₂ = -2 D．x₁ = 4，x₂ = -4 【答案】C 【分析】将(x-1)看作整体，开平方求解。 【详解】解：(x-1)² = 9 两边同时开平方，得： x - 1 = ±3 当 x - 1 = 3 时，x = 4； 当 x - 1 = -3 时，x = -2。 ∴ x₁ = 4，x₂ = -2 故选：C。 3．（2024秋·广东广州·月考）方程 2x² - 8 = 0 的解是（　　） A．x = 2 B．x = -2 C．x = ±2 D．x = ±4 【答案】C 【分析】先移项、系数化1，再开平方。 【详解】解：2x² - 8 = 0 移项，得：2x² = 8 两边同时除以2，得：x² = 4 开平方，得：x = ±2 ∴ x₁ = 2，x₂ = -2 故选：C。 4．（2024-2025九年级上·江苏苏州·单元测）方程 (x+2)² = 5 的解是（　　） A．x = -2 + B．x = -2 - C．x₁ = -2 + ，x₂ = -2 - D．x₁ = 2 + ，x₂ = 2 - 【答案】C 【分析】将(x+2)看作整体，开平方求解。 【详解】解：(x+2)² = 5 两边同时开平方，得： x + 2 = ± ∴ x = -2 ± 即 x₁ = -2 + ，x₂ = -2 - 故选：C。 题型02 配方填空（补充完全平方式常数项） 5．（2024秋·浙江杭州·期中）填空：x² + 6x + __9____ = (x + ___3___)² 【答案】9；3 【分析】常数项等于一次项系数一半的平方。 【详解】解：一次项系数为6，一半为3，平方为9。 ∴ x² + 6x + 9 = (x + 3)² 故答案为：9；3。 6．（2024-2025九年级上·山东济南·月考）填空：x² - 8x + __16____ = (x - ___4___)² 【答案】16；4 【分析】常数项等于一次项系数一半的平方。 【详解】解：一次项系数为-8，一半为-4，平方为16。 ∴ x² - 8x + 16 = (x - 4)² 故答案为：16；4。 7．（2024秋·湖北武汉·期末）若 x² + 10x + m 是一个完全平方式，则 m 的值为（　　） A．10 B．20 C．25 D．100 【答案】C 【分析】常数项等于一次项系数一半的平方。 【详解】解：∵ x² + 10x + m 是完全平方式， ∴ m = ()² = 5² = 25。 故选：C。 8．（2024-2025九年级上·湖南长沙·期中）填空：x² - 5x + ______ = (x - ______)² 【答案】； 【分析】常数项等于一次项系数一半的平方。 【详解】解：一次项系数为-5，一半为-5/2，平方为。 ∴ x² - 5x + = (x - )² 故答案为：；。 题型03 二次项系数为1的配方法解方程 9．（2024秋·河南郑州·月考）用配方法解方程 x² + 4x - 5 = 0，下列配方正确的是（　　） A．(x+2)² = 1 B．(x+2)² = 9 C．(x-2)² = 1 D．(x-2)² = 9 【答案】B 【分析】移项后两边加一次项系数一半的平方。 【详解】解：x² + 4x - 5 = 0 移项，得：x² + 4x = 5 配方（两边加2²=4），得： x² + 4x + 4 = 5 + 4 即 (x+2)² = 9 故选：B。 10．（2024-2025九年级上·河北石家庄·期末）用配方法解方程 x² - 6x + 5 = 0，配方后得到的方程是（　　） A．(x-3)² = 4 B．(x-3)² = 14 C．(x+3)² = 4 D．(x+3)² = 14 【答案】A 【分析】移项后两边加一次项系数一半的平方。 【详解】解：x² - 6x + 5 = 0 移项，得：x² - 6x = -5 配方（两边加3²=9），得： x² - 6x + 9 = -5 + 9 即 (x-3)² = 4 故选：A。 11．（2024秋·陕西西安·单元测）用配方法解方程 x² + 2x - 3 = 0。 【答案】x₁ = 1，x₂ = -3 【分析】移项→配方→开平方→求解。 【详解】解：x² + 2x - 3 = 0 移项，得：x² + 2x = 3 配方（两边加1²=1），得： x² + 2x + 1 = 3 + 1 即 (x+1)² = 4 开平方，得：x + 1 = ±2 ∴ x₁ = 1，x₂ = -3 12．（2024-2025九年级上·辽宁沈阳·期中）用配方法解方程 x² - 4x - 1 = 0。 【答案】x₁ = 2 + ，x₂ = 2 - 【分析】移项→配方→开平方→求解。 【详解】解：x² - 4x - 1 = 0 移项，得：x² - 4x = 1 配方（两边加2²=4），得： x² - 4x + 4 = 1 + 4 即 (x-2)² = 5 开平方，得：x - 2 = ± ∴ x₁ = 2 + ，x₂ = 2 - 题型04 二次项系数不为1的配方法解方程 13．（2024秋·重庆渝中·月考）用配方法解方程 2x² - 4x - 6 = 0，先将二次项系数化为1，方程两边应同时除以（　　） A．2 B．-2 C．4 D．-4 【答案】A 【分析】二次项系数为2，两边同时除以2。 【详解】解：方程 2x² - 4x - 6 = 0 的二次项系数为2， 要将二次项系数化为1，方程两边应同时除以2。 故选：A。 14．（2024-2025九年级上·天津南开·期末）用配方法解方程 2x² + 4x - 1 = 0，配方正确的是（　　） A．(x+1)² = B．(x+1)² = C．(2x+1)² = D．(x+2)² = 【答案】A 【分析】先化二次项系数为1，再配方。 【详解】解：2x² + 4x - 1 = 0 两边同除以2，得：x² + 2x - = 0 移项，得：x² + 2x = 配方（两边加1²=1），得： x² + 2x + 1 = + 1 即 (x+1)² = 故选：A。 15．（2024秋·四川成都·期中）用配方法解方程 3x² - 6x + 1 = 0。 【答案】x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 【分析】先化二次项系数为1，再配方求解。 【详解】解：3x² - 6x + 1 = 0 两边同除以3，得：x² - 2x + = 0 移项，得：x² - 2x = - 配方（两边加1²=1），得： x² - 2x + 1 = - + 1 即 (x-1)² = 开平方，得：x - 1 = ± = ± ∴ x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 16．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期末）用配方法解方程 -2x² + 8x - 5 = 0。 【答案】x₁ = 2 + ，x₂ = 2 - 【分析】先化二次项系数为1（注意负号），再配方求解。 【详解】解：-2x² + 8x - 5 = 0 两边同除以-2，得：x² - 4x + = 0 移项，得：x² - 4x = - 配方（两边加2²=4），得： x² - 4x + 4 = - + 4 即 (x-2)² = 开平方，得：x - 2 = ±√(3/2) = ± ∴ x₁ = 2 + ，x₂ = 2 - 题型05 判断方程根的情况（根据n的正负） 17．（2024秋·福建福州·月考）方程 x² = -4 的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】负数没有平方根，所以方程无实数根。 【详解】解：∵ x² = -4， 而任何实数的平方都是非负数，不可能等于-4， ∴ 方程 x² = -4 没有实数根。 故选：C。 18．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）方程 (x-1)² = 0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】右边等于0，开平方后只有一个值，即两个相等的实数根。 【详解】解：(x-1)² = 0 开平方，得：x - 1 = 0 ∴ x₁ = x₂ = 1 即方程有两个相等的实数根。 故选：B。 19．（2024秋·山东青岛·期末）若方程 (x+m)² = n 有实数根，则 n 的取值范围是（　　） A．n > 0 B．n ≥ 0 C．n < 0 D．n ≤ 0 【答案】B 【分析】一个数的平方是非负数，所以右边n必须非负。 【详解】解：∵ (x+m)² ≥ 0（任何实数的平方都是非负数）， ∴ 方程 (x+m)² = n 要有实数根，必须 n ≥ 0。 当 n > 0 时，有两个不相等的实数根； 当 n = 0 时，有两个相等的实数根。 故选：B。 题型06 配方法的简单应用（实际问题） 20．（2024秋·江苏南京·单元测）一个正方形的面积为18，则它的边长在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】设边长为x，则x²=18，估算√18的范围。 【详解】解：设正方形的边长为x， 由题意得：x² = 18， ∴ x = （边长为正）。 ∵ 16 < 18 < 25， ∴ < < ， 即 4 < < 5。 ∴ 边长在4和5之间。 故选：C。 21．（2024-2025九年级上·浙江宁波·期中）一个长方形的长比宽多2，面积为80，则宽为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】设宽为x，长为x+2，列方程求解。 【详解】解：设长方形的宽为x，则长为(x+2)。 由题意得：x(x+2) = 80 整理，得：x² + 2x - 80 = 0 配方，得：x² + 2x + 1 = 81 即 (x+1)² = 81 开平方，得：x + 1 = ±9 ∴ x₁ = 8，x₂ = -10（舍去） ∴ 宽为8。 故选：B。 22．（2024秋·广东深圳·月考）已知 x² + y² + 4x - 6y + 13 = 0，则 x + y 的值为（　　） A．-1 B．1 C．5 D．7 【答案】B 【分析】将13拆成4+9，分别与x²+4x和y²-6y配成完全平方。 【详解】解：x² + y² + 4x - 6y + 13 = 0 将13拆成4+9，得： (x² + 4x + 4) + (y² - 6y + 9) = 0 即 (x+2)² + (y-3)² = 0 ∵ (x+2)² ≥ 0，(y-3)² ≥ 0， ∴ x + 2 = 0，y - 3 = 0， ∴ x = -2，y = 3， ∴ x + y = -2 + 3 = 1。 故选：B。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024秋·上海闵行·期末）用配方法解一元二次方程 x² - x - 1 = 0，配方正确的是（　　） A．(x - )² = B．(x - )² = C．(x + )² = D．(x - )² = 【答案】A 【分析】一次项系数为-，一半为-1/3，平方为1/9。 【详解】解：x² - x - 1 = 0 移项，得：x² - x = 1 配方（两边加()²=），得： x² - x + = 1 + 即 (x - )² = 故选：A。 2．（2024-2025九年级上·广州天河·期中）若 4x² - mx + 9 是一个完全平方式，则 m 的值为（　　） A．6 B．±6 C．12 D．±12 【答案】D 【分析】4x²=(2x)²，9=3²，所以中间项为±2·2x·3=±12x。 【详解】解：∵ 4x² - mx + 9 是完全平方式， 又∵ 4x² = (2x)²，9 = 3²， ∴ -mx = ±2·2x·3 = ±12x， ∴ m = ±12。 故选：D。 3．（2024秋·苏州吴中·月考）用配方法将方程 x² - 6x + 5 = 0 变形，正确的是（　　） A．(x-3)² = 14 B．(x+3)² = 14 C．(x-3)² = 4 D．(x+3)² = 4 【答案】C 【分析】移项后配方。 【详解】解：x² - 6x + 5 = 0 移项，得：x² - 6x = -5 配方（两边加9），得： x² - 6x + 9 = -5 + 9 即 (x-3)² = 4 故选：C。 4．（2024-2025九年级上·杭州西湖·期末）已知 x² - 4x + m = (x - n)²，则 m + n 的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】展开右边，对比系数求m和n。 【详解】解：∵ x² - 4x + m = (x - n)² = x² - 2nx + n²， ∴ -2n = -4，m = n²， 解得：n = 2，m = 4。 ∴ m + n = 4 + 2 = 6。 故选：B。 5．（2024秋·济南历下·期中）方程 (x-1)² = 1 - x 的根是（　　） A．x = 0 B．x₁ = 0，x₂ = 1 C．x = 1 D．x₁ = 1，x₂ = -1 【答案】B 【分析】移项后提取公因式，或直接分析。 【详解】解：(x-1)² = 1 - x 移项，得：(x-1)² + (x-1) = 0 提取公因式，得：(x-1)(x-1+1) = 0 即 x(x-1) = 0 ∴ x₁ = 0，x₂ = 1 故选：B。 6．（2024-2025九年级上·武汉江汉·月考）用配方法解方程 2x² - x - 1 = 0，配方结果正确的是（　　） A．(x - )² = B．(x - )² = C．(x + )² = D．(x - )² = 【答案】A 【分析】先化二次项系数为1，再配方。 【详解】解：2x² - x - 1 = 0 两边同除以2，得：x² - x - = 0 移项，得：x² - x = 配方（两边加()²=，得： x² - x + = + 即 (x - )² = 故选：A。 （二）填空题 7．（2024秋·长沙雨花·期末）方程 3(x-2)² = 12 的解为____x₁ = 4，x₂ = 0____。 【答案】x₁ = 4，x₂ = 0 【分析】先系数化1，再开平方。 【详解】解：3(x-2)² = 12 两边同除以3，得：(x-2)² = 4 开平方，得：x - 2 = ±2 ∴ x₁ = 4，x₂ = 0 故答案为：x₁ = 4，x₂ = 0。 8．（2024-2025九年级上·郑州金水·期中）若 x² + 2(m-3)x + 16 是完全平方式，则 m = ____7或-1____。 【答案】7或-1 【分析】16=4²，中间项为±2·x·4=±8x，所以2(m-3)=±8。 【详解】解：∵ x² + 2(m-3)x + 16 是完全平方式， 又∵ 16 = 4²， ∴ 2(m-3) = ±8， 当 2(m-3) = 8 时，m-3 = 4，m = 7； 当 2(m-3) = -8 时，m-3 = -4，m = -1。 ∴ m = 7 或 m = -1。 故答案为：7或-1。 9．（2024秋·石家庄长安·月考）用配方法解方程 x² + px + q = 0，配方后得到 (x + 2)² = 5，则 p = __4______，q = ____-1____。 【答案】4；-1 【分析】展开配方后的方程，与原方程对比系数。 【详解】解：(x + 2)² = 5 展开，得：x² + 4x + 4 = 5 整理，得：x² + 4x - 1 = 0 与 x² + px + q = 0 对比，得： p = 4，q = -1。 故答案为：4；-1。 10．（2024-2025九年级上·西安雁塔·期末）若 a² + b² + 2a - 4b + 5 = 0，则 a^b = ___1_____。 【答案】1 【分析】将5拆成1+4，分别配方，求出a和b。 【详解】解：a² + b² + 2a - 4b + 5 = 0 (a² + 2a + 1) + (b² - 4b + 4) = 0 即 (a+1)² + (b-2)² = 0 ∵ (a+1)² ≥ 0，(b-2)² ≥ 0， ∴ a + 1 = 0，b - 2 = 0， ∴ a = -1，b = 2， ∴ a^b = (-1)² = 1。 故答案为：1。 11．（2024秋·沈阳和平·期中）已知 x² - 5x + 1 = 0，则 x² + 1/x² = _____23___。 【答案】23 【分析】先求x + ，再利用完全平方公式。 【详解】解：∵ x² - 5x + 1 = 0，且 x ≠ 0， 两边同除以x，得：x - 5 + = 0 ∴ x + = 5。 两边平方，得：(x +)² = 25 即 x² + 2 + = 25 ∴ x² + = 23。 故答案为：23。 （三）解答题 12．（2024-2025九年级上·重庆渝中·期末）用配方法解下列方程： （1）x² + 6x - 7 = 0； （2）2x² - 4x - 1 = 0。 【答案】（1）x₁ = 1，x₂ = -7；（2）x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 【分析】（1）直接配方；（2）先化二次项系数为1再配方。 【详解】解：（1）x² + 6x - 7 = 0 移项，得：x² + 6x = 7 配方（两边加9），得： x² + 6x + 9 = 7 + 9 即 (x+3)² = 16 开平方，得：x + 3 = ±4 ∴ x₁ = 1，x₂ = -7 （2）2x² - 4x - 1 = 0 两边同除以2，得：x² - 2x - 1/2 = 0 移项，得：x² - 2x = 配方（两边加1），得： x² - 2x + 1 = + 1 即 (x-1)² = 开平方，得：x - 1 = ± = ± ∴ x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 13．（2024秋·成都锦江·期中）已知关于x的方程 x² - 2(k-1)x + k² = 0 有两个相等的实数根，求k的值。 【答案】k = 【分析】有两个相等的实数根说明配方后右边为0。 【详解】解：x² - 2(k-1)x + k² = 0 移项，得：x² - 2(k-1)x = -k² 配方（两边加(k-1)²），得： x² - 2(k-1)x + (k-1)² = -k² + (k-1)² 即 [x-(k-1)]² = -k² + k² - 2k + 1 = 1 - 2k ∵ 方程有两个相等的实数根， ∴ 右边等于0，即 1 - 2k = 0， 解得：k = 。 14．（2024-2025九年级上·天津和平·期末）一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为14cm²，求较长的直角边长。 【答案】7cm 【分析】设较长直角边为x，较短为x-3，利用面积公式列方程。 【详解】解：设较长的直角边长为x cm，则较短的直角边长为(x-3) cm。 由题意得： x(x-3) = 14 整理，得：x(x-3) = 28 x² - 3x - 28 = 0 配方，得：x² - 3x + = 28 + 即 (x - )² = 开平方，得：x - = ± ∴ x₁ = 7，x₂ = -4（舍去） 答：较长的直角边长为7cm。 15．（2024秋·南京鼓楼·月考）阅读材料：求代数式 x² + 4x + 5 的最小值。 解：x² + 4x + 5 = x² + 4x + 4 + 1 = (x+2)² + 1 ∵ (x+2)² ≥ 0，∴ (x+2)² + 1 ≥ 1， ∴ 当x = -2时，代数式有最小值1。 根据上述方法，求代数式 2x² - 8x + 3 的最小值。 【答案】最小值为-5 【分析】先提取二次项系数，再配方求最值。 【详解】解：2x² - 8x + 3 = 2(x² - 4x) + 3 = 2(x² - 4x + 4 - 4) + 3 = 2[(x-2)² - 4] + 3 = 2(x-2)² - 8 + 3 = 2(x-2)² - 5 ∵ (x-2)² ≥ 0， ∴ 2(x-2)² ≥ 0， ∴ 2(x-2)² - 5 ≥ -5， ∴ 当x = 2时，代数式有最小值-5。 三、中考链接题 1．（2024·北京·中考）方程 x² = 4 的解为（　　） A．x = 2 B．x = -2 C．x₁ = 2，x₂ = -2 D．x = 4 【答案】C 【分析】直接开平方求解。 【详解】解：x² = 4 开平方，得：x = ±2 ∴ x₁ = 2，x₂ = -2 故选：C。 2．（2024·上海·中考）用配方法解方程 x² + 2x - 3 = 0，配方后得到的方程是（　　） A．(x-1)² = 4 B．(x+1)² = 4 C．(x+1)² = 2 D．(x-1)² = 2 【答案】B 【分析】移项后配方。 【详解】解：x² + 2x - 3 = 0 移项，得：x² + 2x = 3 配方（两边加1），得： x² + 2x + 1 = 3 + 1 即 (x+1)² = 4 故选：B。 3．（2024·广东·中考）方程 (x-1)² = 4 的根是（　　） A．x₁ = 3，x₂ = -1 B．x₁ = 3，x₂ = 1 C．x₁ = -3，x₂ = 1 D．x₁ = -3，x₂ = -1 【答案】A 【分析】开平方求解。 【详解】解：(x-1)² = 4 开平方，得：x - 1 = ±2 ∴ x₁ = 3，x₂ = -1 故选：A。 4．（2024·江苏苏州·中考）已知 x² - 4x + m = (x - 2)²，则 m 的值为（　　） A．2 B．4 C．-2 D．-4 【答案】B 【分析】展开右边对比。 【详解】解：∵ (x - 2)² = x² - 4x + 4， 又∵ x² - 4x + m = (x - 2)²， ∴ m = 4。 故选：B。 5．（2024·浙江杭州·中考）若 x² + ax + 9 是完全平方式，则 a 的值为（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 【答案】D 【分析】9=3²，中间项为±2·x·3=±6x。 【详解】解：∵ x² + ax + 9 是完全平方式， 又∵ 9 = 3²， ∴ ax = ±2·x·3 = ±6x， ∴ a = ±6。 故选：D。 6．（2024·山东济南·中考）用配方法解一元二次方程 x² - 6x - 10 = 0，下列变形正确的是（　　） A．(x+3)² = 1 B．(x-3)² = 1 C．(x+3)² = 19 D．(x-3)² = 19 【答案】D 【分析】移项后配方。 【详解】解：x² - 6x - 10 = 0 移项，得：x² - 6x = 10 配方（两边加9），得： x² - 6x + 9 = 10 + 9 即 (x-3)² = 19 故选：D。 7．（2024·四川成都·中考）已知 x + = 3，则 x² + = ___7_____。 【答案】7 【分析】利用完全平方公式。 【详解】解：∵ x + = 3， 两边平方，得：(x + )² = 9 即 x² + 2 + = 9 ∴ x² + = 7。 故答案为：7。 8．（2024·湖北武汉·中考）将方程 x² - 4x + 1 = 0 化成 (x + m)² = n 的形式，则 m + n = ____1____。 【答案】1 【分析】配方后对比求m和n。 【详解】解：x² - 4x + 1 = 0 移项，得：x² - 4x = -1 配方，得：x² - 4x + 4 = -1 + 4 即 (x-2)² = 3 ∴ m = -2，n = 3， ∴ m + n = -2 + 3 = 1。 故答案为：1。 9．（2024·陕西·中考）解方程：x² - 2x = 3。 【答案】x₁ = 3，x₂ = -1 【分析】移项后配方求解。 【详解】解：x² - 2x = 3 移项，得：x² - 2x - 3 = 0 配方，得：x² - 2x + 1 = 3 + 1 即 (x-1)² = 4 开平方，得：x - 1 = ±2 ∴ x₁ = 3，x₂ = -1 10．（2024·重庆·中考）用配方法解方程：3x² - 6x - 1 = 0。 【答案】x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 【分析】先化二次项系数为1，再配方求解。 【详解】解：3x² - 6x - = 0 两边同除以3，得：x² - 2x - = 0 移项，得：x² - 2x = 配方（两边加1），得： x² - 2x + 1 = + 1 即 (x-1)² = 开平方，得：x - 1 = ± = ± ∴ x₁ = 1 + ，x₂ = 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册 第2章 一元二次方程 2.2一元二次方程的解法 第1课时 开平方法和配方法 本节知识点总结 1. 直接开平方法： 对于形如 x² = n 或 (x+m)² = n 的方程，当n ≥ 0时，两边同时开平方， 转化为一元一次方程求解。 ① x² = n (n ≥ 0) 的解为：x = ± ② (x+m)² = n (n ≥ 0) 的解为：x = -m ± 当n < 0时，方程无实数根。 2. 配方法： 通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种方法叫做配方法。 配方的依据是完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 3. 二次项系数为1时的配方： x² + bx → 两边同时加上 ()² 即：x² + bx + ()² = (x + )² 4. 二次项系数不为1时的配方： 先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1，再配方。 5. 配方法解一元二次方程的一般步骤： ① 移项：把常数项移到方程右边； ② 化1：二次项系数化为1（两边同除以二次项系数）； ③ 配方：两边同时加上一次项系数一半的平方； ④ 开平方：两边同时开平方； ⑤ 求解：解两个一元一次方程，得到原方程的根。 6. 配方填空规律： 对于 x² + px，加上 ()² 就构成完全平方式。 常数项 = 一次项系数一半的平方。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 直接开平方法解方程 1．（2024秋·北京海淀·单元测）方程 x² = 16 的解是（　　） A．x = 4 B．x = -4 C．x = ±4 D．x = ±8 2．（2024-2025九年级上·上海闵行·期中）方程 (x-1)² = 9 的解是（　　） A．x = 4 B．x = -2 C．x₁ = 4，x₂ = -2 D．x₁ = 4，x₂ = -4 3．（2024秋·广东广州·月考）方程 2x² - 8 = 0 的解是（　　） A．x = 2 B．x = -2 C．x = ±2 D．x = ±4 4．（2024-2025九年级上·江苏苏州·单元测）方程 (x+2)² = 5 的解是（　　） A．x = -2 + B．x = -2 - C．x₁ = -2 + ，x₂ = -2 - D．x₁ = 2 + ，x₂ = 2 - 题型02 配方填空（补充完全平方式常数项） 5．（2024秋·浙江杭州·期中）填空：x² + 6x + ______ = (x + ______)² 6．（2024-2025九年级上·山东济南·月考）填空：x² - 8x + ______ = (x - ______)² 7．（2024秋·湖北武汉·期末）若 x² + 10x + m 是一个完全平方式，则 m 的值为（　　） A．10 B．20 C．25 D．100 8．（2024-2025九年级上·湖南长沙·期中）填空：x² - 5x + _____ = (x - ______)² 题型03 二次项系数为1的配方法解方程 9．（2024秋·河南郑州·月考）用配方法解方程 x² + 4x - 5 = 0，下列配方正确的是（　　） A．(x+2)² = 1 B．(x+2)² = 9 C．(x-2)² = 1 D．(x-2)² = 9 10．（2024-2025九年级上·河北石家庄·期末）用配方法解方程 x² - 6x + 5 = 0，配方后得到的方程是（　　） A．(x-3)² = 4 B．(x-3)² = 14 C．(x+3)² = 4 D．(x+3)² = 14 11．（2024秋·陕西西安·单元测）用配方法解方程 x² + 2x - 3 = 0。 12．（2024-2025九年级上·辽宁沈阳·期中）用配方法解方程 x² - 4x - 1 = 0。 【答案】x₁ = 2 + ，x₂ = 2 - 题型04 二次项系数不为1的配方法解方程 13．（2024秋·重庆渝中·月考）用配方法解方程 2x² - 4x - 6 = 0，先将二次项系数化为1，方程两边应同时除以（　　） A．2 B．-2 C．4 D．-4 14．（2024-2025九年级上·天津南开·期末）用配方法解方程 2x² + 4x - 1 = 0，配方正确的是（　　） A．(x+1)² = B．(x+1)² = C．(2x+1)² = D．(x+2)² = 15．（2024秋·四川成都·期中）用配方法解方程 3x² - 6x + 1 = 0。 16．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期末）用配方法解方程 -2x² + 8x - 5 = 0。 题型05 判断方程根的情况（根据n的正负） 17．（2024秋·福建福州·月考）方程 x² = -4 的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 18．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）方程 (x-1)² = 0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 19．（2024秋·山东青岛·期末）若方程 (x+m)² = n 有实数根，则 n 的取值范围是（　　） A．n > 0 B．n ≥ 0 C．n < 0 D．n ≤ 0 题型06 配方法的简单应用（实际问题） 20．（2024秋·江苏南京·单元测）一个正方形的面积为18，则它的边长在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 21．（2024-2025九年级上·浙江宁波·期中）一个长方形的长比宽多2，面积为80，则宽为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 22．（2024秋·广东深圳·月考）已知 x² + y² + 4x - 6y + 13 = 0，则 x + y 的值为（　　） A．-1 B．1 C．5 D．7 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024秋·上海闵行·期末）用配方法解一元二次方程 x² - x - 1 = 0，配方正确的是（　　） A．(x - )² = B．(x - )² = C．(x + )² = D．(x - )² = 2．（2024-2025九年级上·广州天河·期中）若 4x² - mx + 9 是一个完全平方式，则 m 的值为（　　） A．6 B．±6 C．12 D．±12 3．（2024秋·苏州吴中·月考）用配方法将方程 x² - 6x + 5 = 0 变形，正确的是（　　） A．(x-3)² = 14 B．(x+3)² = 14 C．(x-3)² = 4 D．(x+3)² = 4 4．（2024-2025九年级上·杭州西湖·期末）已知 x² - 4x + m = (x - n)²，则 m + n 的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（2024秋·济南历下·期中）方程 (x-1)² = 1 - x 的根是（　　） A．x = 0 B．x₁ = 0，x₂ = 1 C．x = 1 D．x₁ = 1，x₂ = -1 6．（2024-2025九年级上·武汉江汉·月考）用配方法解方程 2x² - x - 1 = 0，配方结果正确的是（　　） A．(x - )² = B．(x - )² = C．(x + )² = D．(x - )² = （二）填空题 7．（2024秋·长沙雨花·期末）方程 3(x-2)² = 12 的解为________。 8．（2024-2025九年级上·郑州金水·期中）若 x² + 2(m-3)x + 16 是完全平方式，则 m = _______。 9．（2024秋·石家庄长安·月考）用配方法解方程 x² + px + q = 0，配方后得到 (x + 2)² = 5，则 p = _______，q = ________。 10．（2024-2025九年级上·西安雁塔·期末）若 a² + b² + 2a - 4b + 5 = 0，则 a^b = ________。 11．（2024秋·沈阳和平·期中）已知 x² - 5x + 1 = 0，则 x² + 1/x² = _______。 （三）解答题 12．（2024-2025九年级上·重庆渝中·期末）用配方法解下列方程： （1）x² + 6x - 7 = 0； （2）2x² - 4x - 1 = 0。 13．（2024秋·成都锦江·期中）已知关于x的方程 x² - 2(k-1)x + k² = 0 有两个相等的实数根，求k的值。 14．（2024-2025九年级上·天津和平·期末）一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为14cm²，求较长的直角边长。 15．（2024秋·南京鼓楼·月考）阅读材料：求代数式 x² + 4x + 5 的最小值。 解：x² + 4x + 5 = x² + 4x + 4 + 1 = (x+2)² + 1 ∵ (x+2)² ≥ 0，∴ (x+2)² + 1 ≥ 1， ∴ 当x = -2时，代数式有最小值1。 根据上述方法，求代数式 2x² - 8x + 3 的最小值。 三、中考链接题 1．（2024·北京·中考）方程 x² = 4 的解为（　　） A．x = 2 B．x = -2 C．x₁ = 2，x₂ = -2 D．x = 4 2．（2024·上海·中考）用配方法解方程 x² + 2x - 3 = 0，配方后得到的方程是（　　） A．(x-1)² = 4 B．(x+1)² = 4 C．(x+1)² = 2 D．(x-1)² = 2 3．（2024·广东·中考）方程 (x-1)² = 4 的根是（　　） A．x₁ = 3，x₂ = -1 B．x₁ = 3，x₂ = 1 C．x₁ = -3，x₂ = 1 D．x₁ = -3，x₂ = -1 4．（2024·江苏苏州·中考）已知 x² - 4x + m = (x - 2)²，则 m 的值为（　　） A．2 B．4 C．-2 D．-4 5．（2024·浙江杭州·中考）若 x² + ax + 9 是完全平方式，则 a 的值为（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 6．（2024·山东济南·中考）用配方法解一元二次方程 x² - 6x - 10 = 0，下列变形正确的是（　　） A．(x+3)² = 1 B．(x-3)² = 1 C．(x+3)² = 19 D．(x-3)² = 19 7．（2024·四川成都·中考）已知 x + = 3，则 x² + = ________。 8．（2024·湖北武汉·中考）将方程 x² - 4x + 1 = 0 化成 (x + m)² = n 的形式，则 m + n = ________。 9．（2024·陕西·中考）解方程：x² - 2x = 3。 10．（2024·重庆·中考）用配方法解方程：3x² - 6x - 1 = 0。 学科网（北京）股份有限公司 $