1.3.2《矩形的判定》分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册1.3矩形的判定第2课时同步练，通过基础、进阶、中考三层设计，实现从判定方法识别到综合应用的梯度巩固，培养推理意识与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|矩形判定定义、定理及简单应用|以选择、填空、基础证明为主，直接对应7个知识点，如“对角线相等的平行四边形是矩形”的识别与简单推理| |进阶思维题|判定与性质综合，结合全等、折叠、动点问题|含复杂证明（如“三线合一”证矩形）、动态几何（折叠后直角三角形存在性），培养逻辑推理与空间观念| |中考链接题|中考常考综合考点|精选各地中考真题，如“平行四边形+等边三角形证矩形”，对接测评要求，发展应用意识|

北师大版九年级上册 第1章 特殊平行四边形 1.3矩形的性质与判定 第2课时 矩形的判定 本节知识点总结 1. 定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2. 判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形。 3. 判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。 4. 判定思路： 方法一：先证四边形是平行四边形，再证一个角是直角（或对角线相等） 方法二：直接证明四边形有三个角是直角 5. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形（常用推论）。 6. 矩形的判定常与全等三角形、等腰三角形、平行四边形等知识综合应用。 7. 证明矩形的一般步骤：先证平行四边形，再证直角或对角线相等。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 矩形判定方法的识别与判断 1．（2024秋·江苏南京·单元测）下列条件中，能判定一个四边形是矩形的是（　　） A．对角线互相平分的四边形 B．对角线相等且互相平分的四边形 C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线互相垂直且平分的四边形 【答案】B 【分析】对角线相等且互相平分的四边形是矩形。A是平行四边形，C无法判定，D是菱形。 【详解】解： A. 对角线互相平分只能判定是平行四边形，不一定是矩形； B. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确； C. 对角线互相垂直无法判定特殊平行四边形； D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。 故选：B。 2．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是矩形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【分析】考查矩形的三种判定方法，注意前提条件。 【详解】解： A. 错误，是平行四边形； B. 错误，必须是平行四边形+一个直角才是矩形； C. 正确，有三个角是直角的四边形是矩形； D. 错误，必须是平行四边形+对角线相等才是矩形。 故选：C。 3．（2024秋·山东济南·月考）平行四边形ABCD中，添加下列条件能判定它是矩形的是（　　） A．AB = BC B．AC = BD C．AC⊥BD D．AB = CD 【答案】B 【分析】已知是平行四边形，只需添加一个直角或对角线相等即可判定矩形。 【详解】解：已知四边形ABCD是平行四边形， A. AB = BC可判定是菱形； B. AC = BD，对角线相等的平行四边形是矩形，正确； C. AC⊥BD可判定是菱形； D. AB = CD是平行四边形本身就有的性质。 故选：B。 题型02 利用定义判定矩形（平行四边形+一直角） 4．（2024-2025九年级上·湖北武汉·单元测）在平行四边形ABCD中，∠A = 90°，则四边形ABCD一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【答案】A 【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形。 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A = 90°， ∴根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴四边形ABCD是矩形。 故选：A。 5．（2024秋·湖南长沙·期中）已知平行四边形ABCD，∠A = 90°，AB = 3，BC = 4，则对角线AC = ___5_____。 【答案】5 【分析】先判定是矩形，再用勾股定理求对角线。 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A = 90°， ∴四边形ABCD是矩形（定义判定）， ∴AC = = = = 5。 故答案为：5。 6．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠A = ∠B。求证：四边形ABCD是矩形。 【答案】见详解 【分析】利用平行四边形邻角互补，结合∠A = ∠B，得∠A = 90°。 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠A + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵∠A = ∠B， ∴∠A = ∠B = 90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 题型03 利用对角线相等判定矩形 7．（2024秋·河北石家庄·期末）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC = BD，则四边形ABCD是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法确定 【答案】A 【分析】对角线相等的平行四边形是矩形。 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC = BD， ∴根据判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形。 故选：A。 8．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）四边形ABCD中，对角线AC、BD相等且互相平分，则这个四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】对角线互相平分是平行四边形，再加相等就是矩形。 【详解】解：∵对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵对角线相等， ∴平行四边形ABCD是矩形。 故选：B。 9．（2024秋·辽宁沈阳·期中）如图，M是平行四边形ABCD边AD的中点，且MB = MC。求证：四边形ABCD是矩形。 【答案】见详解 【分析】先证△ABM ≌ △DCM，得∠A = ∠D，再利用平行四边形邻角互补得∠A = 90°。 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = DC，AB∥DC， ∴∠A + ∠D = 180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵M是AD中点，∴AM = DM， 在△ABM和△DCM中： AB = DC，AM = DM，MB = MC， ∴△ABM ≌ △DCM（SSS）， ∴∠A = ∠D， 又∵∠A + ∠D = 180°， ∴∠A = ∠D = 90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 题型04 利用三个角是直角判定矩形 10．（2024秋·重庆渝中·月考）四边形ABCD中，∠A = ∠B = ∠C = 90°，则这个四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】有三个角是直角的四边形是矩形。 【详解】解：根据矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形。 故选：B。 11．（2024-2025九年级上·天津南开·期末）下列条件能判定四边形是矩形的是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．三个角都是直角 D．四条边都相等 【答案】C 【分析】三个角都是直角直接判定矩形，不需要平行四边形前提。 【详解】解： A. 对角线相等无法判定； B. 对角线互相垂直无法判定； C. 有三个角是直角的四边形是矩形，正确； D. 四条边都相等是菱形。 故选：C。 12．（2024秋·四川成都·单元测）如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD于E。求证：四边形ADCE是矩形。 【答案】见详解 【分析】利用等腰三角形性质和矩形判定可证。 【详解】证明：∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∠ADC=90°。 ∵AE⊥AD， ∴AE∥CD。 ∵CE∥AD， ∴四边形ADCE是平行四边形。 ∴∠ADC=90°， ∴平行四边形ADCE是矩形， 题型05 矩形判定证明题 13．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，△AOB是等边三角形。求证：平行四边形ABCD是矩形。 【答案】见详解 【分析】由等边三角形得OA = OB，从而AC = BD，对角线相等的平行四边形是矩形。 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA = OC = ½AC，OB = OD = ½BD， ∵△AOB是等边三角形， ∴OA = OB， ∴AC = BD， ∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。 14．（2024秋·福建福州·月考）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接BE、DF，且BE = DF。求证：四边形ABCD是矩形。 【答案】见详解 【分析】先证四边形BEDF是平行四边形，再由BE = DF证是矩形，最后得ABCD是矩形。 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD = BC， ∵E、F分别是AD、BC的中点， ∴DE = ½AD，BF = ½BC， ∴DE = BF，又DE∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形， 又∵BE = DF， ∴平行四边形BEDF是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）， ∴∠ABC = 90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 15．（2024-2025九年级上·江西南昌·期末）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF = BD，连接BF。 （1）求证：BD = CD； （2）如果AB = AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。 【答案】（1）见详解；（2）四边形AFBD是矩形 【分析】（1）证△AEF ≌ △DEC，得AF = CD，再由AF = BD得BD = CD；（2）先证是平行四边形，再证直角。 【详解】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE = ∠DCE， ∵E是AD中点，∴AE = DE， 又∵∠AEF = ∠DEC， ∴△AEF ≌ △DEC（AAS）， ∴AF = CD， 又∵AF = BD， ∴BD = CD。 （2）四边形AFBD是矩形，证明如下： ∵AF∥BD，AF = BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵AB = AC，BD = CD， ∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）， ∴∠ADB = 90°， ∴平行四边形AFBD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 题型06 矩形性质与判定综合应用 16．（2024秋·北京海淀·单元测）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA = OB =3 ，则平行四边形ABCD是（　　） A．矩形 B．菱形 C．梯形 D．无法确定 【答案】A 【分析】先由OA=OB得对角线相等，判定是矩形。 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA = OC，OB = OD， ∵OA = OB = 3，∴AC = BD = 6， ∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。 ∴矩形ABCD是正方形。 故选：A。 17．（2024-2025九年级上·上海浦东·期中）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，若AB = 5，AC = 6，BD = 8，则这个平行四边形的面积为___24_____。 【答案】24 【分析】先由对角线和边长用勾股定理逆定理证对角线垂直，得菱形，再算面积。 【详解】解：OA = 3，OB = 4，AB = 5， ∵OA² + OB² = 9 + 16 = 25 = AB²， ∴∠AOB = 90°，∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）， 面积 = × AC × BD = × 6 × 8 = 24。 故答案为：24。 18．（2024秋·广东深圳·月考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点。 （1）求证：四边形EFGH是矩形； （2）若AB = 6，BC = 8，求四边形EFGH的周长。 【答案】（1）见详解；（2）周长 = 14 【分析】（1）利用中位线证平行四边形，再证对角线相等；（2）用中位线求各边长。 【详解】（1）证明：∵E、F分别是OA、OB的中点， ∴EF是△OAB的中位线， ∴EF∥AB，EF = AB， 同理：GH∥CD，GH = CD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB = CD， ∴EF∥GH，EF = GH， ∴四边形EFGH是平行四边形。 又∵矩形ABCD中，AC = BD， ∴EG = OE + OG = AC，FH = OF + OH = BD， ∴EG = FH， ∴平行四边形EFGH是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。 （2）解：∵EF = AB = 3，FG = BC = 4， ∴周长 = 2(EF + FG) = 2(3 + 4) = 14。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）下列命题中，真命题是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【分析】考查各种特殊四边形的判定定理，注意前提条件。 【详解】解： A. 错误，必须是平行四边形+对角线相等才是矩形； B. 错误，必须是平行四边形+对角线垂直才是菱形； C. 正确，对角线互相平分的四边形是平行四边形； D. 错误，必须是平行四边形+对角线垂直且相等才是正方形。 故选：C。 2．（2024秋·湖南长沙·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AC = BD B．∠ABC = 90° C．AB = AD D．∠BAD = ∠ADC 【答案】C 【分析】AB = AD判定的是菱形，不是矩形。 【详解】解： A. 对角线相等→矩形； B. 一个角是直角→矩形； C. 邻边相等→菱形，不是矩形； D. ∠BAD = ∠ADC，又∠BAD + ∠ADC = 180°，所以∠BAD = 90°→矩形。 故选：C。 3．（2024-2025九年级上·河南郑州·期末）四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列条件中能判定它是矩形的是（　　） A．AO = CO，BO = DO B．AO = BO = CO = DO C．AO = CO，BO = DO，AC⊥BD D．AB = BC，AO = CO 【答案】B 【分析】AO = BO = CO = DO说明对角线相等且互相平分，是矩形。 【详解】解： A. 对角线互相平分→平行四边形； B. AO = BO = CO = DO，即AC = BD且互相平分→矩形； C. 对角线互相平分且垂直→菱形； D. 条件不足，无法判定。 故选：B。 4．（2024秋·河北唐山·期末）如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形． 【解答】 四边形是平行四边形，，， 对角线上的两点、满足， ，即， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 故选：． 5．（2024-2025九年级上·陕西西安·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，且AE = DE，BE = CE。下列结论正确的是（　　） A．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD是菱形 C．AE⊥DE D．以上都不对 【答案】A 【分析】证△ABE ≌ △DCE，得∠B = ∠C，再由平行四边形邻角互补得∠B = 90°。 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = DC，∠B + ∠C = 180°， 在△ABE和△DCE中： AB = DC，BE = CE，AE = DE， ∴△ABE ≌ △DCE（SSS）， ∴∠B = ∠C， 又∵∠B + ∠C = 180°， ∴∠B = ∠C = 90°， ∴平行四边形ABCD是矩形。 故选：A。 6．（2024秋·辽宁大连·期末）如图，矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，将△BCD沿BD翻折，点C落在点E处，BE交AD于F。则下列说法错误的是（　　） A．BF = DF B．△BDF是等腰三角形 C．四边形AEBD是等腰梯形 D．AF = 2 【答案】D 【分析】折叠后∠EBD = ∠CBD = ∠ADB，所以BF = DF，△BDF是等腰三角形。设AF = x，列方程求解。 【详解】解：由折叠：∠EBD = ∠CBD， ∵AD∥BC，∴∠ADB = ∠CBD， ∴∠EBD = ∠ADB，∴BF = DF， ∴△BDF是等腰三角形，A、B正确。 设AF = x，则DF = 4 - x = BF， 在Rt△ABF中：BF² = AB² + AF²， (4-x)² = 9 + x²， 16 - 8x + x² = 9 + x²， 8x = 7，x = 7/8。 ∴AF = 7/8 ≠ 2，D错误。 故选：D。 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AC = 6，BD = 8，AB = 5，则平行四边形ABCD的面积为___24_____。 【答案】24 【分析】由勾股定理逆定理证对角线垂直，得菱形，再算面积。 【详解】解：OA = 3，OB = 4，AB = 5， ∵OA² + OB² = 9 + 16 = 25 = AB²， ∴∠AOB = 90°，∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 面积 = × AC × BD = × 6 × 8 = 24。 故答案为：24。 8．（2024秋·天津和平·期末）在平行四边形ABCD中，AB = 3，BC = 4，对角线AC = 5，则平行四边形ABCD是___矩_____形，面积为____12____。 【答案】矩；12 【分析】由勾股定理逆定理得∠B = 90°，判定是矩形。 【详解】解：∵AB = 3，BC = 4，AC = 5， ∴AB² + BC² = 9 + 16 = 25 = AC²， ∴∠B = 90°， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， 面积 = 3 × 4 = 12。 故答案为：矩；12。 9．（2024-2025九年级上·四川绵阳·期末）在矩形ABCD中，AB = 6，BC = 8，点P在BC上，BP = 2，则△ABP的面积为___6_____。 【答案】6 【分析】直接用三角形面积公式计算。 【详解】解：S△ABP = × AB × BP = × 6 × 2 = 6。 故答案为：6。 10．（2024秋·山东青岛·期末）如图，在矩形ABCD中，AB = 6，BC = 8，E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A落在点F处，当△DEF是直角三角形时，AE的长为____3或6____。 【答案】3或6 【分析】分情况讨论，当∠DFE = 90°时，B、F、D共线，设AE = x列方程。当∠DEF = 90°时，点F在BC上。 【详解】解：（1）当∠DFE = 90°时，B、F、D共线， 设AE = x，则DE = 8 - x， 由折叠：BF = AB = 6，EF = AE = x，∠BFE = 90°， 当∠DFE = 90°时，B、F、D三点共线， BD = √(6² + 8²) = 10， DF = BD - BF = 10 - 6 = 4， 在Rt△DEF中：DE² = EF² + DF²， (8-x)² = x² + 16， 64 - 16x + x² = x² + 16， 16x = 48，x = 3。 ∴AE = 3。 （2）当∠DEF = 90°时，点F在BC上， 此时四边形ABF二为正方形，AE=AF=6. 故答案为：3或6。 11．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD = 2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点。下列结论：① BE⊥AC；② EG = EF；③ GF平分∠AGE；④ EF⊥GE。其中正确的是___①②③_____。 【答案】①②③ 【分析】由BD = 2AD得AD = OD，△AOD是等腰三角形，E是OC中点，BE是等腰三角形三线合一。 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD = BC，AB = CD，OB = OD = ½BD， ∵BD = 2AD，∴AD = OD， ∴△AOD是等腰三角形， 同理△BOC也是等腰三角形，BO = BC， ∵E是OC中点，∴BE⊥OC（等腰三角形三线合一）， 即BE⊥AC，①正确。 ② ∵E、F分别是OC、OD中点， ∴EF是△OCD的中位线，EF = ½CD = ½AB， ∵G是AB中点，在Rt△ABE中，EG = AB， ∴EG = EF，②正确。 ③ ∵EG = AB = AG，∴△AGE是等腰三角形， 又∵EF∥CD∥AB，∴∠EFG = ∠AGF， ∵EG = EF，∴∠EGF = ∠EFG = ∠AGF， ∴GF平分∠AGE，③正确。 ④ EF与GE不一定垂直，④错误。 故答案为：①②③。 （三）解答题 12．（2024秋·浙江宁波·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F。 （1）求证：AB = CF； （2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形？并说明理由。 【答案】（1）见详解；（2）当BC = AF时，四边形ABFC是矩形 【分析】（1）证△ABE ≌ △FCE；（2）先证是平行四边形，再加对角线相等条件得矩形。 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，∴∠BAE = ∠CFE， ∵E是BC中点，∴BE = CE， 又∵∠AEB = ∠FEC， ∴△ABE ≌ △FCE（AAS）， ∴AB = CF。 （2）当BC = AF时，四边形ABFC是矩形。理由如下： ∵AB = CF，AB∥CF， ∴四边形ABFC是平行四边形， 又∵BC = AF， ∴平行四边形ABFC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。 13．（2024-2025九年级上·广东广州·期末）如图，在△ABC中，O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。 （1）求证：OE = OF； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。 【答案】（1）见详解；（2）当O是AC中点时，四边形AECF是矩形 【分析】（1）利用角平分线和平行线得等角，从而等边；（2）先证平行四边形，再证直角。 【详解】（1）证明：∵CE平分∠BCA，∴∠BCE = ∠OCE， ∵MN∥BC，∴∠BCE = ∠OEC， ∴∠OCE = ∠OEC，∴OE = OC， 同理：OF = OC， ∴OE = OF。 （2）当O是AC中点时，四边形AECF是矩形。证明如下： ∵O是AC中点，∴OA = OC， 又∵OE = OF， ∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分）。 ∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACD， ∴∠ACE = ½∠BCA，∠ACF = ½∠ACD， ∴∠ECF = ∠ACE + ∠ACF = ½(∠BCA + ∠ACD) = ½ × 180° = 90°， ∴平行四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 14．（2024秋·福建福州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB = 1，BC = ，对角线AC、BD交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于E、F。 （1）求证：△AOF ≌ △COE； （2）当旋转角为多少度时，四边形ABEF是矩形？并说明理由。 【答案】（1）见详解；（2）当旋转角为90°时，四边形ABEF是矩形 【分析】（1）用ASA证全等；（2）先证平行四边形，再加直角得矩形。 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA = OC，AD∥BC， ∴∠OAF = ∠OCE， 又∵∠AOF = ∠COE， ∴△AOF ≌ △COE（ASA）。 （2）当旋转角为90°时，四边形ABEF是矩形。理由如下： ∵AB⊥AC，∴∠BAC = 90°， 当旋转角为90°时，∠AOF = 90°，即EF⊥AC， ∴AB∥EF（都垂直于AC）， 又∵AF∥BE（AD∥BC）， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又∵∠BAC = 90°， ∴平行四边形ABEF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 15．（2024-2025九年级上·北京海淀·期末）如图，在矩形ABCD中，AB = 8，BC = 6，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A的方向在矩形边上运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒。 （1）当t = 3时，求△APD的面积； （2）当△APD是等腰直角三角形时，求t的值。 【答案】（1）S = 18；（2）t = 3 或 t = 8 【分析】（1）t=3时P在AB上，AP=6；（2）分P在AB、CD上讨论。 【详解】（1）解：当t = 3时，AP = 2 × 3 = 6， 此时P在AB边上， S△APD = × AP × AD = × 6 × 6 = 18。 （2）解：△APD是等腰直角三角形， 情况一：P在AB上，∠A = 90°，则AP = AD = 6， t = 6 ÷ 2 = 3秒。 情况二：P在CD上，∠D = 90°，则DP = AD = 6， DP = 6，CP = CD - DP = 8 - 6 = 2， 总路程 = AB + BC + CP = 8 + 6 + 2 = 16， t = 16 ÷ 2 = 8秒。 情况三：P在BC或DA上时，不能构成等腰直角三角形。 综上，t = 3 或 t = 8。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都·中考）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AC = BD B．∠ABC = 90° C．AB = AD D．∠BAD = ∠ABC 【答案】C 【分析】AB = AD判定的是菱形，不是矩形。 【详解】解： A. 对角线相等的平行四边形是矩形； B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形； C. 邻边相等的平行四边形是菱形，不是矩形； D. ∠BAD = ∠ABC，又∠BAD + ∠ABC = 180°，所以∠BAD = 90°，是矩形。 故选：C。 2．（2024·江苏苏州·中考）如图，在△ABC中，AB = AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形。求证：四边形ADCE是矩形。 【答案】见详解 【分析】先证四边形ADCE是平行四边形，再证一个角是直角。 【详解】证明：∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE∥BC，AE = BD， ∵D是BC中点，∴BD = CD， ∴AE = CD，又AE∥CD， ∴四边形ADCE是平行四边形。 ∵AB = AC，D是BC中点， ∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）， ∴∠ADC = 90°， ∴平行四边形ADCE是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 3．（2024·浙江杭州·中考）下列命题中，是真命题的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】考查特殊四边形的判定定理。 【详解】解： A. 错误，可能是等腰梯形； B. 错误，必须是平行四边形+对角线相等才是矩形； C. 错误，必须是平行四边形+对角线垂直才是菱形； D. 正确，有一个角是直角的平行四边形是矩形。 故选：D。 4．（2024·山东济南·中考）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接DE、BF、BD。 （1）求证：△ADE ≌ △CBF； （2）若AD⊥BD，则四边形DEBF是什么特殊四边形？请证明你的结论。 【答案】（1）见详解；（2）四边形DEBF是菱形 【分析】（1）用SAS证全等；（2）先证平行四边形，再由直角三角形斜边中线得邻边相等。 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD = BC，∠A = ∠C，AB = CD， ∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴AE = ½AB，CF = ½CD， ∴AE = CF， 在△ADE和△CBF中： AD = CB，∠A = ∠C，AE = CF， ∴△ADE ≌ △CBF（SAS）。 （2）四边形DEBF是菱形，证明如下： ∵E是AB中点，AD⊥BD， ∴DE = ½AB = BE（直角三角形斜边中线等于斜边一半）， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB = CD， ∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴BE = AB，DF = CD， ∴BE = DF，BE∥DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， 又∵DE = BE， ∴平行四边形DEBF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 5．（2024·湖北武汉·中考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB = CD，对角线AC、BD交于点O，且OA = OD。求证：四边形ABCD是矩形。 【答案】见详解 【分析】先证是平行四边形，再由OA = OD得对角线相等，判定矩形。 【详解】证明：∵AB∥CD，AB = CD， ∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等）， ∴OA = OC = AC，OB = OD = BD， ∵OA = OD，∴AC = BD， ∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。 6．（2024·陕西·中考）如图，在平行四边形ABCD中，O是BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD、EC。 （1）求证：△BOE ≌ △COD； （2）若∠BED = 90°，求证：四边形BECD是矩形。 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）用AAS证全等；（2）先证平行四边形，再证直角。 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠OEB = ∠ODC， ∵O是BC中点，∴BO = CO， 又∵∠BOE = ∠COD， ∴△BOE ≌ △COD（AAS）。 （2）证明：由（1）知△BOE ≌ △COD， ∴OE = OD，又BO = CO， ∴四边形BECD是平行四边形（对角线互相平分）。 又∵∠BED = 90°， ∴平行四边形BECD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 7．（2024·重庆·中考）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且BE = DF。 （1）求证：平行四边形ABCD是菱形； （2）若AB = 5，AC = 6，求平行四边形ABCD的面积。 【答案】（1）见详解；（2）面积 = 24 【分析】（1）证△ABE ≌ △ADF，得AB = AD；（2）用勾股定理求另一条对角线。 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B = ∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB = ∠AFD = 90°， 在△ABE和△ADF中： ∠B = ∠D，BE = DF，∠AEB = ∠AFD， ∴△ABE ≌ △ADF（ASA）， ∴AB = AD， ∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA = AC = 3， 在Rt△AOB中，OB = = = 4， ∴BD = 2OB = 8， S菱形ABCD = × AC × BD = × 6 × 8 = 24。 8．（2024·广东·中考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AO、AD的中点，连接EF。若AB = 6，BC = 8，则EF的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】EF是△AOD的中位线，EF = ½OD = ¼BD。 【详解】解：∵E、F分别是AO、AD的中点， ∴EF是△AOD的中位线， ∴EF = OD， ∵矩形ABCD中，BD = = 10， ∴OD = BD = 5， ∴EF = × 5 = 2.5。 故选：A。 9．（2024·上海·中考）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，能判定它是矩形的是（　　） A．AB = BC B．AC⊥BD C．∠ABC = 90° D．AC平分∠BAD 【答案】C 【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形。 【详解】解： A. AB = BC→菱形； B. AC⊥BD→菱形； C. ∠ABC = 90°→矩形； D. AC平分∠BAD→菱形。 故选：C。 10．（2024·北京·中考）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF = BD。 （1）求证：BD = CD； （2）如果AB = AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。 【答案】（1）见详解；（2）四边形AFBD是矩形 【分析】（1）证△AEF ≌ △DEC；（2）先证平行四边形，再证直角。 【详解】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE = ∠DCE， ∵E是AD中点，∴AE = DE， 又∵∠AEF = ∠DEC， ∴△AEF ≌ △DEC（AAS）， ∴AF = CD， 又∵AF = BD， ∴BD = CD。 （2）四边形AFBD是矩形，证明如下： ∵AF∥BD，AF = BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵AB = AC，BD = CD， ∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）， ∴∠ADB = 90°， ∴平行四边形AFBD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册 第1章 特殊平行四边形 1.3矩形的性质与判定 第2课时 矩形的判定 本节知识点总结 1. 定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2. 判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形。 3. 判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。 4. 判定思路： 方法一：先证四边形是平行四边形，再证一个角是直角（或对角线相等） 方法二：直接证明四边形有三个角是直角 5. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形（常用推论）。 6. 矩形的判定常与全等三角形、等腰三角形、平行四边形等知识综合应用。 7. 证明矩形的一般步骤：先证平行四边形，再证直角或对角线相等。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 矩形判定方法的识别与判断 1．（2024秋·江苏南京·单元测）下列条件中，能判定一个四边形是矩形的是（　　） A．对角线互相平分的四边形 B．对角线相等且互相平分的四边形 C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线互相垂直且平分的四边形 2．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是矩形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 3．（2024秋·山东济南·月考）平行四边形ABCD中，添加下列条件能判定它是矩形的是（　　） A．AB = BC B．AC = BD C．AC⊥BD D．AB = CD 题型02 利用定义判定矩形（平行四边形+一直角） 4．（2024-2025九年级上·湖北武汉·单元测）在平行四边形ABCD中，∠A = 90°，则四边形ABCD一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 5．（2024秋·湖南长沙·期中）已知平行四边形ABCD，∠A = 90°，AB = 3，BC = 4，则对角线AC = ________。 6．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠A = ∠B。求证：四边形ABCD是矩形。 题型03 利用对角线相等判定矩形 7．（2024秋·河北石家庄·期末）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC = BD，则四边形ABCD是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法确定 8．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）四边形ABCD中，对角线AC、BD相等且互相平分，则这个四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 9．（2024秋·辽宁沈阳·期中）如图，M是平行四边形ABCD边AD的中点，且MB = MC。求证：四边形ABCD是矩形。 题型04 利用三个角是直角判定矩形 10．（2024秋·重庆渝中·月考）四边形ABCD中，∠A = ∠B = ∠C = 90°，则这个四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 11．（2024-2025九年级上·天津南开·期末）下列条件能判定四边形是矩形的是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．三个角都是直角 D．四条边都相等 12．（2024秋·四川成都·单元测）如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD于E。求证：四边形ADCE是矩形。 题型05 矩形判定证明题 13．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，△AOB是等边三角形。求证：平行四边形ABCD是矩形。 14．（2024秋·福建福州·月考）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接BE、DF，且BE = DF。求证：四边形ABCD是矩形。 15．（2024-2025九年级上·江西南昌·期末）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF = BD，连接BF。 （1）求证：BD = CD； （2）如果AB = AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。 题型06 矩形性质与判定综合应用 16．（2024秋·北京海淀·单元测）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA = OB =3 ，则平行四边形ABCD是（　　） A．矩形 B．菱形 C．梯形 D．无法确定 17．（2024-2025九年级上·上海浦东·期中）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，若AB = 5，AC = 6，BD = 8，则这个平行四边形的面积为________。 18．（2024秋·广东深圳·月考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点。 （1）求证：四边形EFGH是矩形； （2）若AB = 6，BC = 8，求四边形EFGH的周长。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）下列命题中，真命题是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2．（2024秋·湖南长沙·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AC = BD B．∠ABC = 90° C．AB = AD D．∠BAD = ∠ADC 3．（2024-2025九年级上·河南郑州·期末）四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列条件中能判定它是矩形的是（　　） A．AO = CO，BO = DO B．AO = BO = CO = DO C．AO = CO，BO = DO，AC⊥BD D．AB = BC，AO = CO 4．（2024秋·河北唐山·期末）如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是（       ） A. B. C. D. 5．（2024-2025九年级上·陕西西安·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，且AE = DE，BE = CE。下列结论正确的是（　　） A．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD是菱形 C．AE⊥DE D．以上都不对 6．（2024秋·辽宁大连·期末）如图，矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，将△BCD沿BD翻折，点C落在点E处，BE交AD于F。则下列说法错误的是（　　） A．BF = DF B．△BDF是等腰三角形 C．四边形AEBD是等腰梯形 D．AF = 2 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AC = 6，BD = 8，AB = 5，则平行四边形ABCD的面积为________。 8．（2024秋·天津和平·期末）在平行四边形ABCD中，AB = 3，BC = 4，对角线AC = 5，则平行四边形ABCD是________形，面积为________。 9．（2024-2025九年级上·四川绵阳·期末）在矩形ABCD中，AB = 6，BC = 8，点P在BC上，BP = 2，则△ABP的面积为________。 10．（2024秋·山东青岛·期末）如图，在矩形ABCD中，AB = 6，BC = 8，E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A落在点F处，当△DEF是直角三角形时，AE的长为________。 11．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD = 2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点。下列结论：① BE⊥AC；② EG = EF；③ GF平分∠AGE；④ EF⊥GE。其中正确的是________。 （三）解答题 12．（2024秋·浙江宁波·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F。 （1）求证：AB = CF； （2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形？并说明理由。 13．（2024-2025九年级上·广东广州·期末）如图，在△ABC中，O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。 （1）求证：OE = OF； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。 【答案】（1）见详解；（2）当O是AC中点时，四边形AECF是矩形 14．（2024秋·福建福州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB = 1，BC = ，对角线AC、BD交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于E、F。 （1）求证：△AOF ≌ △COE； （2）当旋转角为多少度时，四边形ABEF是矩形？并说明理由。 15．（2024-2025九年级上·北京海淀·期末）如图，在矩形ABCD中，AB = 8，BC = 6，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A的方向在矩形边上运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒。 （1）当t = 3时，求△APD的面积； （2）当△APD是等腰直角三角形时，求t的值。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都·中考）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AC = BD B．∠ABC = 90° C．AB = AD D．∠BAD = ∠ABC 2．（2024·江苏苏州·中考）如图，在△ABC中，AB = AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形。求证：四边形ADCE是矩形。 3．（2024·浙江杭州·中考）下列命题中，是真命题的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形 4．（2024·山东济南·中考）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接DE、BF、BD。 （1）求证：△ADE ≌ △CBF； （2）若AD⊥BD，则四边形DEBF是什么特殊四边形？请证明你的结论。 5．（2024·湖北武汉·中考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB = CD，对角线AC、BD交于点O，且OA = OD。求证：四边形ABCD是矩形。 6．（2024·陕西·中考）如图，在平行四边形ABCD中，O是BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD、EC。 （1）求证：△BOE ≌ △COD； （2）若∠BED = 90°，求证：四边形BECD是矩形。 7．（2024·重庆·中考）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且BE = DF。 （1）求证：平行四边形ABCD是菱形； （2）若AB = 5，AC = 6，求平行四边形ABCD的面积。 8．（2024·广东·中考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AO、AD的中点，连接EF。若AB = 6，BC = 8，则EF的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 9．（2024·上海·中考）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，能判定它是矩形的是（　　） A．AB = BC B．AC⊥BD C．∠ABC = 90° D．AC平分∠BAD 10．（2024·北京·中考）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF = BD。 （1）求证：BD = CD； （2）如果AB = AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。 学科网（北京）股份有限公司 $