精品解析：上海市闵行区2023-2024学年高三下学期学业质量调研（二）数学试卷

2023学年第二学期高三年级学业质量调研（二） 数学试卷 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 2.本试卷分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 一、填空题（本大题满分54分，共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1. 已知集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集运算求解. 【详解】因为集合， 所以， 故答案为： 2. 不等式的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式后可求原不等式的解. 【详解】不等式的解即为， 故原不等式的解为， 故答案为： 3. 若复数满足其中为虚数单位，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据实虚部分别相等可解. 【详解】解: ，则 所以，， ， 故答案为： 【点睛】根据复数相等求复数，解决的关键是实虚部分别相等求解；基础题. 4. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 【答案】20 【解析】 【分析】写出展开式通项公式，求得所在项数后可得． 【详解】的展开式中第项为， 令得：的系数为. 故答案为：20． 【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键． 5. 在中，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算即得. 【详解】在中，由，，得， 由正弦定理得，. 故答案为： 6. 已知实数、满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可求最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 7. 从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm，最小值152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据组距即可求解. 【详解】第一组下限为151.5，组距为3，所以， 故第11组的下限为181.5，因此组数为11， 故答案为：11 8. 在正四面体中，点是的中心，若（），则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】连接并延长交于点，连接，可得，，结合图形将用表示即得. 【详解】 如图，在正四面体中，连接并延长交于点，连接， 则，， 于是 ， 即得，故. 故答案为：. 9. 若，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出分段函数的解析式，再求不等式的解集. 【详解】时，， 时，， ， ∴ 由得，，①或② 不等式组①无解； 不等式组②的解集为 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 10. 如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的定义得到方程，解出即可. 【详解】分别过点作的垂线，垂足分别为， 则根据正切函数的定义得，， 则，解得. 故答案为：. 11. 记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出，令，，利用三角恒等变换结合正弦型函数的有界性可求得该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值. 【详解】因为二次函数为偶函数， 则该函数的对称轴为直线，可得， 令，， 则， 因此，该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为. 故答案为：. 12. 已知是从大到小连续的正整数，且，则的最小值为__________. 【答案】100000 【解析】 【分析】令，根据给定信息列出不等式，求出的范围即可得解. 【详解】设，依题意，，， 由，得，解得，因此， 则，，所以的最小值为100000. 故答案为：100000 二、选择题（本大题满分18分，共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分．） 13. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义及基本函数的性质逐个判断即可. 【详解】对于A，的定义域为R，且，所以为奇函数， 又是严格增函数，正确； 对于B，的定义域为R，且，所以不为奇函数，错误； 对于C，的定义域为，不关于原点对称， 所以不具有奇偶性，是严格增函数，错误； 对于D，的定义域为R，且，所以为奇函数， 但为周期函数，不是定义域R上的严格增函数，错误. 故选：A 14. 设、为两条直线，、为两个平面，且．下述四个命题中为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则或 【答案】B 【解析】 【分析】选项A，利用线面垂直的性质，即可求解；选项B，在正方体中，通过取特例，即可求解；选项C和D，利用线面平行的性质和判定，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以，又，所以，故选项A是真命题， 对于选项B，如图，取平面为，平面为，则直线为直线，取为直线， 显然有，但与异面，所以选项B为假命题， 对于选项C，在内任取不在直线上的一点，过确定，则，因为，所以， 同理可得，，所以，又，故， 又，所以，得到，故选项C为真命题， 对于选项D，因为，所以，，若，因为，则， 若，易知，又，，所以，故选项D为真命题， 故选：B. 15. 设，满足的x的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦的和角公式及辅助角公式结合三角函数的图象与性质计算即可. 【详解】由可得， 即，其中， 所以原方程化为，即， 不妨令，因为，所以， 易知时，成立，即满足题意； 又的周期为，且， 所以在区间上还有一个根，如图所示， 故选：C 16. 在四棱锥中，，则该四棱锥的高为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求出平面的一个法向量，再利用点到平面的距离公式即可得到答案. 【详解】设平面的一个法向量， 则，令，则，即， 所以该四棱锥的高. 故选：C. 三、解答题（本大题满分78分，共5题．） 17. 在中，已知点D是BC边上一点，且，. （1）若，且，求AD的长； （2）若，，求AD的长（结果精确到0.01）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合角的关系，利用二倍角的正切公式列式求解即可. （2）先利用正弦定理求得AC，再利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，， 又，所以 即，解得. 【小问2详解】 在中，，由正弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得 . 18. 如图，已知为圆柱底面圆的直径，，母线长为3，点为底面圆的圆周上一点． （1）若，求三棱锥的体积； （2）若，求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】（1）4； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等体积法求出三棱锥的体积. （2）作出母线，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦. 【小问1详解】 依题意，平面，由，得， 所以三棱锥的体积. 【小问2详解】 过点作圆柱的母线，连接， 则，于是四边形为平行四边形，， 因此是异面直线与所成的角或其补角， 由，得，，， 则，， 由平面，得， 在中，， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 19. 为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. （1）学校高中三个年级一共有多少个学生？ （2）若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. （3）从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1个数据来自高三学生的概率. 【答案】（1）1600 （2） （3） 【解析】 【分析】根据分层抽样，按比例抽取即可得到答案． 根据极差可得，再结合学生总数量为100，可求出，再根据求第百分位数的方法即可求得. 根据古典概型的概率计算，如果一次实验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件包含的结果有个，那么事件的概率为，即可解得. 【小问1详解】 设学校高中三个年级一共有个学生, 因为采用分层抽样法抽取一个容量为100的样本， 在高一年级抽取了35人，高二年级抽取了33人， 所以高三抽取的人数为：人， 又因为高三年级一共512人，所以有：，解得. 所以学校高中三个年级一共有1600个学生. 【小问2详解】 因为抽取100名学生的样本极差为2，所以 又因为，所以样本的第40百分位数为： 【小问3详解】 因为100名学生的样本中随机抽取三个学生的总情况数为： 其中至少有1个数据来自高三学生的情况为： 所以至少有1个数据来自高三学生的概率为： 20. 双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点． （1）若，点的坐标为，求的值； （2）若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值； （3）设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立． 【答案】（1） （2） 依题意知，可设直线，代入中， 整理得：（*）， 如图，因，故点的横坐标为恰是方程（*）的解， 则， 整理得：，即， 因是等比数列，则，代入此式，可得，即得， 因过点的直线与右支在轴上方交于点，故得，即直线的斜率为定值； （3） 【解析】 【分析】（1）将值和点坐标代入双曲线方程求出值，即可求得值； （2）设直线，与双曲线方程联立消元，得关于的方程，依题方程有解为，代入整理方程后，借助于，可推得，即得证； （3）利用双曲线定义化简得到，，设，利用余弦定理求出的值，结合图形和题意，确定其范围，即得关于的不等式，解之即得. 【小问1详解】 依题意，将，代入中， 解得，则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，因点在双曲线右支上，则，即， 故由可得, 又因点直线与左支的交点,故，则， 在中，设，由余弦定理，， 因为，所以， 所以， 故当且仅当满足时，存在直线，使得成立. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，属于难题. 解题的关键在于对双曲线定义的理解掌握，在处理相关的焦半径问题时，要有转化思想，结合图形和定义，将其化简为常量或最值问题，即可解决. 21. 如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. 求证： （1）是型函数； （2）型函数在上为增函数； （3）对于型函数，有（为正整数）. 【答案】（1）证明如下： 记； 对任意的，有； 对于任意的， 若， 则， 即. 故函数是型函数. （2）证明如下： 设，且，则. 因此 ， 可知在上为增函数. （3）证明如下： 因为， 所以 【解析】 【分析】（1）根据指数函数性质和型函数的定义即可证明； （2）取值，则，再结合型函数的定义即可证明； （3）放缩得，再不断放缩有，结合等比数列的求和公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用型函数的性质放缩得，最后再不断放缩，结合等比数列求和公式即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期高三年级学业质量调研（二） 数学试卷 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 2.本试卷分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 一、填空题（本大题满分54分，共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1. 已知集合，则__________. 2. 不等式的解为__________． 3. 若复数满足其中为虚数单位，则_____. 4. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 5. 在中，，，，则__________． 6. 已知实数、满足，则的最小值为__________． 7. 从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm，最小值152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为________． 8. 在正四面体中，点是的中心，若（），则__________. 9. 若，则不等式的解集为________． 10. 如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离__________. 11. 记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为__________. 12. 已知是从大到小连续的正整数，且，则的最小值为__________. 二、选择题（本大题满分18分，共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分．） 13. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是（ ） A. B. C. D. 14. 设、为两条直线，、为两个平面，且．下述四个命题中为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则或 15. 设，满足的x的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 16. 在四棱锥中，，则该四棱锥的高为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 三、解答题（本大题满分78分，共5题．） 17. 在中，已知点D是BC边上一点，且，. （1）若，且，求AD的长； （2）若，，求AD的长（结果精确到0.01）. 18. 如图，已知为圆柱底面圆的直径，，母线长为3，点为底面圆的圆周上一点． （1）若，求三棱锥的体积； （2）若，求异面直线与所成的角的余弦值． 19. 为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. （1）学校高中三个年级一共有多少个学生？ （2）若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. （3）从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1个数据来自高三学生的概率. 20. 双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点． （1）若，点的坐标为，求的值； （2）若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值； （3）设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立． 21. 如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. 求证： （1）是型函数； （2）型函数在上为增函数； （3）对于型函数，有（为正整数）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $