2.7探索勾股定理同步训练 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 本同步练习以勾股定理为核心，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从概念辨析到实际应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理判定与基本计算|选择1-3直接考查直角三角形判定，填空9-10结合数轴与面积| |中档|图形变换与公式应用|选择4-6涉及网格图形与折叠，填空11-12深化赵爽弦图| |提升|综合探究与实际建模|解答13-18含施工支架与最短路径问题，综合证明与面积计算|

2.7探索勾股定理同步训练浙教版2026—2027学年八年级数学上册 一、选择题 1．以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，要从电线杆离地面5米的点处向地面拉一根钢缆，地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为12米，则这根钢缆长为（     ） A．13米 B．12米 C．11米 D．10米 3．如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 4．如图，网格中的的顶点都在格点上，若小方格边长均为1，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 5．直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（     ） A．12 B．13 C．14 D．21 7．祁连山脚下的生态防护林，其横截面为三角形，已知该三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（     ） A．13cm B． C．8cm D． 二、填空题 9．如图，为数轴原点，点表示的数为，过点作数轴的垂线，在垂线上取点，使得，以原点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点表示的数为________． 10．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，，若，，则_________． 11．如图，已知在长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则_______． 12．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若，小正方形的面积为1，则大正方形的面积为__________． 三、解答题 13．如图，有一块凹四边形余料，量得，，，且，．求这块凹四边形余料的面积． 14．如图，这是建筑工人搭建的临时施工支架，竖直立柱垂直地面于点A，斜梁为斜边．初始时立柱顶端B离地面的距离，斜梁的长度比水平距离多．立柱位置不动，斜梁长度保持不变，现将立柱顶端竖直向下降低至点D． (1)求初始状态下的水平距离的长． (2)当立柱顶端竖直向下降低至点D时，求斜梁落点C在水平方向向外移动的距离．（结果保留根号） 15．如图，和都是等腰直角三角形，，D为边上一点． (1)求证：； (2)若，，求长． 16．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如图1所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图2是由个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为，，，请回答以下问题： (1)正方形的面积是_____，正方形的面积是_____，正方形的面积是_____；（用含，的式子表示）； (2)若正方形的面积是，正方形的面积为，求正方形的边长； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，若的周长为，求的面积． 17．如图，，，以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接，过点作于． (1)求证：． (2)连接，若，求的长． 18．我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 参考答案 1．D 2．A 3．D 4．A 5．C 6．B 7．D 8．B 9． 10． 11． 12．13 13．【详解】解：连接， ，，， 中，， ，， ，，， ， 是直角三角形， ， 答：这块凹四边形余料的面积是． 14．【详解】（1）解：设初始状态下的水平距离为，则斜梁的长为． ， 为直角三角形， 解得， 答：初始状态下的水平距离的长为； （2）解：由于斜梁的长度比水平距离多， ∴斜梁的长为， 由题意得，降低后竖直高度为． 在中，， 解得． ∴斜梁底部移动距离为， 答：斜梁落点C向外移动了． 15．(1)证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∴， 如图，连接， 在中，，，， ∴． 16．【详解】（1）解：正方形的面积是， 正方形的面积是， 正方形的面积是， 故答案为：，，； （2）解：正方形的面积是，正方形的面积是， ， ， ， ， ， 正方形的面积是， 正方形的边长为； （3）解：设，，则， ， ， ， ； （4）解：设的两直角边分别为，， ，的周长为， ， 在中，，， ，即， ， 的面积为． 17．(1)证明：∵以点B为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：， 由（1）得， ， ， ∵， ∴， 在中， ． 18．(1)证明：由图可得，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴， ∴， ∴． （2）解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，， ∴，，， ∴ ． （3）解：如图，延长交于点， ∵正方形的边长为10， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴在中，． 学科网（北京）股份有限公司 $