2.8　直角三角形全等的判定 教学设计 2025-2026学年浙教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦直角三角形全等的HL判定定理，通过回顾一般三角形全等的SSS、SAS、ASA、AAS判定方法，再特殊化情境提问“直角三角形中添加斜边和直角边能否全等”，构建从一般到特殊的学习支架。 亮点在于以“做一做”小组作图探究培养几何直观，通过勾股定理和构造等腰三角形两种证法发展推理能力，结合例题与达标测评提升应用意识，助力学生建立知识网络，教师可高效开展结构化教学。

2.8　直角三角形全等的判定 课题 2.8　直角三角形全等的判定 授课人 教 学 目 标 1.探索两个直角三角形全等的条件. 2.掌握两个直角三角形全等的判定定理(HL). 3.探索并证明定理:角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 4.培养几何推理意识,激发学生的求知欲,感悟几何思维的内涵. 教学 重点 　　直角三角形全等的判定定理(HL). 教学 难点 　　直角三角形全等的判定定理(HL)的证明是构造法,学生缺乏此类经验,是本节教学难点. 授课 类型 新授课 课时 教具 三角尺、直尺、圆规、多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 问题1:判定两个三角形全等的方法有哪几种? 问题2:如图2-8-14,已知∠CAB=∠DBA,要使△ACB≌△BDA,还需要添加什么条件?请说明理由. 问题3:若添加条件AD=BC,能否证明△ACB≌△BDA? 图2-8-14 　　回顾所学判定三角形全等的方法,使学生系统地把握前面所学的知识,并为后续问题的探究做铺垫. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 在上面的“回顾”中,如果∠CAB=∠DBA=90°,那么再添加条件AD=BC,能否证明△ACB≌△BDA? 　　从学生已有的知识出发,利用多媒体,激发学生强烈的好奇心和求知欲,使学生感受从一般到特殊的探究过程. 活动 二: 探究 与 应用 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 做一做(小组合作完成) 1.如图2-8-15,已知线段a,c(a<c),直角α. 求作:Rt△ABC,使∠C=∠α,BC=a,AB=c. 图2-8-15 2.小组完成后,让学生比较作出的三角形是否全等. 3.由此你是否能发现判定直角三角形全等的一种“特有”方法?请尝试用规范的数学语言概括你的发现,并证明它的正确性. 【探究2】 证明定理 证明命题:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(课件展示) 1.分析该命题的条件和结论: 这个命题的条件是　　　　　　　　,结论是　　　　　　　　.  2.先画出图形,再依据图形用符号语言写出“已知”“求证”. 已知:如图2-8-16,在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=Rt∠,AB=A'B',AC=A'C'.求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 图2-8-16 证法一:可以通过勾股定理来证明. 在△ABC中,因为∠C=90°, 所以BC2=AB2-AC2(勾股定理). 同理,B'C'2=A'B'2-A'C'2. 因为AB=A'B',AC=A'C',所以BC=B'C'. 又因为AC=A'C',AB=A'B',所以△ABC≌△A'B'C'(SSS). 师:你还有其他的证明方法吗? 生:利用拼接的方法,把两个三角形组成一个等腰三角形,利用“三线合一”来证. 证法二:如图2-8-17,延长BC至点D,使CD=B'C',连结AD. 图2-8-17 在△ADC和△A'B'C'中, 由AC=A'C'(已知),∠ACD=Rt∠=∠C', 得△ADC≌△A'B'C'(SAS), 故有AD=A'B'(全等三角形的对应边相等). 因为A'B'=AB(已知),所以AD=AB. 又因为AC⊥BD,AC是等腰三角形ABD的高线, 所以BC=DC(等腰三角形三线合一). 而AC=AC(公共边), 可得△ADC≌△ABC(SSS),所以△ABC≌△A'B'C'. 得出定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 符号表示: 如图2-8-16,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°, 因为AB=A'B',AC=A'C'(已知), 所以Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL). 　　1.巩固三角形的画法,培养学生的归纳、概括能力. 2.操作探究活动的设计不仅让学生直观地感受了“斜边、直角边”可以确定一个直角三角形的大小和形状,而且也让学生较好地感悟到了“斜边、直角边”可以判定两个直角三角形全等. 3.通过动手操作,学生能感受到自己对课程知识的理解和掌握,能够促进学生抽象思维的形成,提高学生的实践能力以及增强学生的团队合作精神. 4.数学是一门严谨的学科,它要求每个结论都必须经过严格的逻辑推理和证明.让学生通过自主证明,感受数学的严谨性,提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力. 活动 二: 探究 与 应用 　　例　已知:如图2-8-18,P是∠AOB内一点,PD⊥OA,PE⊥OB,D,E分别是垂足,且PD=PE. 求证:点P在∠AOB的平分线上. 图2-8-18 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以转化为证明射线OP平分∠AOB. 证明:如图2-8-19,作射线OP. 图2-8-19 由PD⊥OA,PE⊥OB(已知),可得∠PDO=∠PEO=Rt∠. 又因为OP=OP(公共边),PD=PE(已知), 所以Rt△PDO≌Rt△PEO(HL),所以∠1=∠2, 即点P在∠AOB的平分线上(角平分线的定义). 由此,我们可得到角平分线性质定理的逆定理: 角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 教师提问:角平分线的性质定理是什么? 学生回答:角平分线上的点到角两边的距离相等. 　　5.规范使用“HL”判定定理证明直角三角形全等的书写格式.在证明两个直角三角形全等时,要防止学生使用“SSA”来证明. 6.例题的设计在巩固新知识的同时也有效地培养了学生运用新知识解决问题的能力. 【应用举例】 例　如图2-8-20,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E. (1)若点B,C在DE的同侧(如图①),且AD=CE,求证:AB⊥AC. (2)若点B,C在DE的两侧(如图②),且AD=CE,AB与AC仍垂直吗?若垂直,请给予证明;若不垂直,请说明理由. 图2-8-20 　　“HL”仅适用于判定直角三角形全等,但判定直角三角形全等并不局限于“HL”,一般三角形的判定方法“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”也适用于直角三角形. 活动 三: 课堂 总结 反思 活动 三: 课堂 总结 反思 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.如图2-8-21,O是∠BAC内一点,且点O到AB,AC的距离相等,即OE=OF,则直接判定△AEO≌△AFO的依据是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图2-8-21 A.HL B.SAS C.SSS D.ASA 2.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是 (　　) A.两条直角边对应相等 　　　 B.斜边和一条直角边对应相等 C.一条边和一锐角对应相等 　　　 D.一条边和一个角对应相等 3.如图2-8-22,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM,其中正确的结论是　　　　.(填序号)  图2-8-22 4.如图2-8-23,已知AD为△ABC的高线,E为AC上一点,BE交AD于点F,且有BF=AC,FD=CD.求证:BE⊥AC. 图2-8-23 达标测评,及时反馈学习效果. 　　 【课堂总结】 这节课你有什么收获?与你的同伴进行交流,通过今天的学习和对前面三角形全等条件的探求,可知判定直角三角形全等有五种方法.(教师让学生讨论归纳) 　　课堂总结,发展潜能,提高学生的归纳能力及语言表达能力. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【作业布置】 教材P88作业题第1,2,3,4,5题. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课教学主要是让学生在回顾全等三角形判定方法的基础上,进一步研究直角三角形全等的判定方法,让学生充分认识特殊与一般的关系,加深他们对定理的多层次的理解. ②[讲授效果反思] 在教学过程中,让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学思维方法,一步步培养他们的逻辑推理能力. ③[师生互动反思] 新课程标准强调“从具体的情境或前提出发进行合情推理,从单纯的几何推理价值转向更全面的几何的教育价值”,为了体现这一理念,让学生在不同的情境中探求新知,用直接感受去理解和把握空间关系,极大地激发了学生的学习欲望,加深了师生互动的力度,课堂效益比较明显. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　通过反思,更进一步提升教师教学的能力. 学科网（北京）股份有限公司 $