5.3.1 函数关系的建立 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

**基本信息** 练习以“函数关系的建立”为核心，分层设计从概念理解到综合应用，梯度合理，通过基础巩固、情境建模到问题解决的路径，适配新授课知识内化与数学建模能力初步培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|概念与简单应用|填空题1-4题考查步骤与定义域，选择题9-12题强化基础辨析，培养抽象能力| |中档|分段函数与情境建模|填空题5-8题引入出租车计费等分段情境，解答题13-14题训练规范建模，发展模型意识| |提升|综合应用与最值探究|解答题15-16题结合阶梯水价、面积最值，融合推理与运算，提升应用意识与理性思维|

第五章 函数的概念、性质及应用 5.3.1 函数关系的建立 同步练习卷 考试时长：45分钟　　满分：100分 姓名：__________　　班级：__________　　得分：__________ 一、填空题（本大题共8题，1—4题每题4分，5—8题每题5分，共36分） 1. 建立函数关系的基本步骤为：（1）审题设元；（2）______；（3）______；（4）写出函数模型。 2. 在建立实际问题的函数关系时，自变量的取值必须满足______，不能直接照搬全体实数。 3. 某商品单价为 元/件，销售量为 件，则销售额 （元）与 的函数关系式为______，定义域为______。 4. 一个长方形的长为 米，宽为 米，则其面积 （平方米）与 的函数关系式为______。 5. 下列情境中，适合用分段函数模型表示的是______。（填序号） ① 某商品单价固定，销售额随销量变化　　② 出租车计费：起步价+超出部分加价 ③ 匀速直线运动的路程与时间关系　　④ 水费按阶梯价格收费 6. 某城市出租车收费标准为：起步价 元（ 千米以内），超过 千米的部分每千米 元。若行驶里程为 千米（），则车费 （元）与 的函数关系式为______。 7. 某物体从静止开始做匀加速直线运动，测得时间 （秒）与速度 （米/秒）的部分数据如下表： （秒） 0 1 2 3 （米/秒） 0 2 4 6 则速度 关于时间 的函数关系式为______。 8. 某工厂用长度为 米的铁丝围成一个矩形花园，一边长为 米，则矩形面积 （平方米）关于 的函数关系式为______，定义域为______。 二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分。每题只有一个正确选项） 9. 某商店销售一种商品，进价为每件 元，售价为每件 元，每天销售量为 件，则每天利润 （元）与 的函数关系式为（　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 10. 在建立实际问题函数模型时，下列定义域写法正确的是（　） A. 矩形的长为 米，宽为 米，定义域为 B. 汽车行驶时间为 小时，路程为 ，定义域为 C. 某商品销量 件，定义域为 D. 长方形周长为 ，一边长为 ，定义域为 11. 用长度为 米的篱笆围成一个矩形菜园，一边长为 米，面积为 平方米，则 关于 的函数关系式为（　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 12. 下列说法中，错误的是（　） A. 一般先建立函数关系式，再结合实际意义确定定义域 B. 实际问题的定义域必须满足实际意义 C. 同一情境中，自变量取值范围改变时，函数关系可能需要分段表示 D. 只要列出解析式，函数模型就完整了 三、解答题（本大题共4题，13—14题每题10分，15—16题每题14分，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13.（本题10分） 某工厂生产一种产品，每件成本为 元，售价为每件 元，每月固定成本为 元。 （1）写出每月利润 （元）与月产量 （件）之间的函数关系式； （2）写出函数的定义域； （3）求月产量为 件时的月利润。 14.（本题10分） 用长度为 米的篱笆围成一个矩形花圃，一边靠墙（墙足够长），垂直于墙的一边长为 米。 （1）写出矩形面积 （平方米）关于 的函数关系式； （2）写出函数的定义域。 15.（本题14分） 某市自来水收费实行阶梯水价：每户每月用水量不超过 吨的部分，按每吨 元收费；超过 吨但不超过 吨的部分，按每吨 元收费；超过 吨的部分，按每吨 元收费。 （1）写出每户每月水费 （元）与用水量 （吨）之间的函数关系式； （2）求某户当月用水量为 吨时的水费。 16.（本题14分） 某农户计划用总长为 米的篱笆围成一个矩形养殖场，一边靠墙（墙足够长），垂直于墙的一边长为 米。 （1）写出矩形面积 （平方米）关于 的函数关系式； （2）写出函数的定义域； （3）当 取何值时，矩形面积最大？最大面积是多少？ 参考答案与解析 一、填空题（共36分） 第1题（4分） 【答案】建立关系式；确定定义域 【解析】建立函数关系的基本步骤为：（1）审题设元；（2）建立关系式；（3）确定定义域；（4）写出函数模型。 第2题（4分） 【答案】实际意义 【解析】在建立实际问题的函数关系时，自变量的取值必须满足实际意义，不能直接照搬全体实数。 第3题（4分） 【答案】；（或 为正整数） 【解析】销售额 单价 销量，，销量 为正整数。 第4题（4分） 【答案】（或 ） 【解析】矩形面积 长 宽，故 。 第5题（5分） 【答案】②④ 【解析】①③均为一次函数模型；②出租车计费涉及起步价与超出部分不同单价，④阶梯水费涉及不同用量区间不同单价，均适合用分段函数模型。故填②④。 第6题（5分） 【答案】（） 【解析】起步价10元（3千米以内），超过部分每千米2.4元，故 ，定义域为 。 第7题（5分） 【答案】 【解析】由表可知速度随时间均匀增加，每1秒增加2米/秒，故 。 第8题（5分） 【答案】； 【解析】铁丝长20米围成矩形，一边为 ，则另一边为 ，面积 ，边长须为正数，故 。 二、选择题（共16分） 题号 9 10 11 12 答案 C A B D 第9题（4分） 【解析】每件利润为 元，每天利润 。故选C。 第10题（4分） 【解析】A中矩形长 ，宽 ，需 且 ，即 ，正确； B中汽车行驶时间 实际应为 ； C中销量 应为非负整数； D中周长20，一边 ，则另一边为 ，定义域应为 。 故选A。 第11题（4分） 【解析】篱笆长30米，一边为 ，则另一边为 ，面积 。故选B。 第12题（4分） 【解析】A错误，一般先建立函数关系式，再结合实际意义确定定义域；B正确；C正确；D错误，完整的函数模型既要写出解析式，也要标明定义域，仅列出解析式是不完整的。故选D。 三、解答题（共48分） 第13题（10分） 【答案与评分细则】 （1）每件利润 元，扣除固定成本： 。…………（4分） （2）月产量 为正整数，故定义域为 。…………（3分） （3）当 时，（元）。…………（3分） 第14题（10分） 【答案与评分细则】 （1）垂直于墙的一边长为 ，则平行于墙的一边长为 ，面积： 。…………（5分） （2）需满足 且 ，即 。…………（5分） 第15题（14分） 【答案与评分细则】 （1）分三段： 当 时：。…………（4分） 当 时：。…………（4分） 当 时：。…………（4分） 故： （2）当 时，，（元）。…………（2分） 第16题（14分） 【答案与评分细则】 （1）垂直于墙的一边长为 ，则平行于墙的一边长为 ，面积： 。…………（4分） （2）需满足 且 ，即 。…………（4分） （3）。…………（4分） 当 时， 取得最大值 平方米。…………（2分） 学科网（北京）股份有限公司 $