5.4.1 反函数的概念 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

**基本信息** 以“概念理解-性质应用-综合探究”为分层逻辑，通过基础题巩固核心概念，中档题强化辨析能力，提升题培养推理与应用意识，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|反函数存在条件、定义域值域关系、图像对称性|填空题1-4直接考查定义，如“一一对应”“关于y=x对称”，夯实抽象能力| |中档|反函数存在性判断、简单求法、性质辨析|选择题9-12辨析“单调函数与反函数关系”，填空题5-8判断函数是否存在反函数，培养推理意识| |提升|含参数反函数求法、存在性区间分析、图像交点探究|解答题15-16结合单调性判断反函数存在区间，分析图像交点，发展应用意识与创新思维|

第五章 函数的概念、性质及应用 5.4.1 反函数的概念 同步练习卷 考试时长：45分钟　　满分：100分 姓名：__________　　班级：__________　　得分：__________ 一、填空题（本大题共8题，1—4题每题4分，5—8题每题5分，共36分） 1. 函数存在反函数的充要条件是：函数必须是______，即对于定义域内任意两个不同的自变量，对应的函数值也______。 2. 若函数 与 互为反函数，则 的______与 的______相同； 的______与 的______相同。 3. 函数 与它的反函数 的图像关于直线______对称。 4. 已知 ，则 ______。 5. 下列函数中，在定义域上存在反函数的是______。（填序号） ① （）　　② （）　　③ 6. 函数 的反函数为 ______。 7. 已知点 在函数 的图像上，则点______在反函数 的图像上。 8. 函数 在区间______上存在反函数。（写出一个使函数存在反函数的区间） 二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分。每题只有一个正确选项） 9. 下列说法中，正确的是（　） A. 任意函数都有反函数 B. 反函数的定义域是原函数的值域 C. 原函数与反函数的图像关于 轴对称 D. 单调函数一定没有反函数 10. 下列各组函数中，互为反函数的是（　） A. 与 　　　B. 与 C. 与 　　　D. 与 11. 已知 ，则 （　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 12. 下列说法中，错误的是（　） A. 若函数存在反函数，则原函数与反函数图像关于 对称 B. 原函数与反函数的单调性相同 C. 若 ，则 D. 任意单调函数都存在反函数 三、解答题（本大题共4题，13—14题每题10分，15—16题每题14分，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13.（本题10分） 已知函数 。 （1）求函数 的反函数 ； （2）求 的值。 14.（本题10分） 已知函数 。 （1）求 的值； （2）利用反函数性质求 的值。 15.（本题14分） 已知函数 。 （1）判断函数在 上是否存在反函数，并说明理由； （2）若函数在区间 上存在反函数，求其反函数 ，并写出定义域。 16.（本题14分） 已知函数 （）。 （1）求函数 的反函数 ； （2）判断点 是否在 与 的图像交点处，并说明理由。 参考答案与解析 一、填空题（共36分） 第1题（4分） 【答案】一一对应；不同 【解析】函数存在反函数的充要条件是函数必须是一一对应，即定义域内任意两个不同的自变量，对应的函数值也不同。 第2题（4分） 【答案】值域；定义域；定义域；值域 【解析】原函数与反函数的定义域、值域互换：原函数的值域 = 反函数的定义域；原函数的定义域 = 反函数的值域。 第3题（4分） 【答案】 【解析】原函数与反函数的图像关于直线 对称。 第4题（4分） 【答案】 【解析】由 ，令 ，解得 ，故 。 第5题（5分） 【答案】② 【解析】① 在 上不单调，无反函数；② 在 上单调递增，存在反函数；③ 为常函数，不是一一对应，无反函数。 第6题（5分） 【答案】 【解析】，解出 ，互换 得 。 第7题（5分） 【答案】 【解析】原函数与反函数图像关于 对称，点 关于 的对称点为 。 第8题（5分） 【答案】（答案不唯一， 也可） 【解析】 在 上单调递增，存在反函数。 二、选择题（共16分） 题号 9 10 11 12 答案 B A A D 第9题（4分） 【解析】A错误，只有一一对应的函数才有反函数；B正确；C错误，关于 对称；D错误，严格单调函数一定有反函数。故选B。 第10题（4分） 【解析】A中 的反函数为 ，正确；B中 在 上无反函数；C中两函数斜率相同，不是反函数；D中 的反函数为 ，不是 。故选A。 第11题（4分） 【解析】由 ，令 ，解得 ，故 。故选A。 第12题（4分） 【解析】D错误，常数函数虽单调但无反函数，准确说法应为“严格单调函数一定存在反函数”。A、B、C均正确。故选D。 三、解答题（共48分） 第13题（10分） 【答案与评分细则】 （1），解出 。…………（3分） 互换 得 。…………（4分） （2）。…………（3分） 第14题（10分） 【答案与评分细则】 （1）。…………（4分） （2）由 ，根据反函数性质 ，得 。…………（6分） 第15题（14分） 【答案与评分细则】 （1）。…………（2分） 在 上不是一一对应（如 ，），故在 上不存在反函数。…………（4分） （2）在区间 上，函数单调递增，存在反函数。…………（2分） 令 ，。…………（2分） 因为 ，所以 ，。…………（2分） 互换 得 ，定义域为 。…………（2分） 第16题（14分） 【答案与评分细则】 （1），，，，解出 。…………（4分） 互换 得 （）。…………（4分） （2）由（1）可知 ，两函数图像重合（除去 处）。…………（2分） 但 ，即点 在图像上，而点 不在图像上。…………（2分） 故点 不在 与 的图像交点处。…………（2分） 学科网（北京）股份有限公司 $