第5章函数的概念、性质及应用单元检测·巩固篇-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

**基本信息** 2026-2027学年高中数学沪教版必修第一册第5章函数单元巩固卷，90分钟150分，覆盖函数概念、性质及应用核心知识点，通过基础题与综合题梯度设计，适配单元复习，培养数学抽象、推理及表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|定义域（1、8）、单调性（4、9、11）、奇偶性（5、10）|分层计分（1-6题4分，7-12题5分），基础概念与抽象函数（7）结合| |选择题|4/18|函数性质判断（14）、二次函数最值（15）|选项设置区分易混点，如奇偶性与单调性综合判断（14）| |解答题|5/78|定义证明单调性（19）、图像应用（21）、奇偶性综合（20）|注重逻辑推理（19证明）与数学表达（21作图分析），体现“用数学思维思考、语言表达”素养|

2026-2027学年高中数学沪教版必修第一册 第5章函数的概念、性质及应用单元检测·巩固篇（原卷版） 考试时间：90分钟 满分：150分 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分。） 1.（4分）函数 的定义域为__________。 2.（4分）已知 ，则 __________。 3.（4分）函数 的值域为__________。 4.（4分）已知函数 在 上单调递减，且 ，则实数 的取值范围为__________。 5.（4分）已知函数 ，则函数 的奇偶性为__________。（填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶”） 6.（4分）已知函数 ，则 的图像与 的图像关于__________对称。 7.（5分）已知函数 对任意实数 ，都有 ，且 ，则 __________。 8.（5分）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为__________。 9.（5分）已知一次函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围为__________。 10.（5分）已知函数 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减，若 ，则 。（填“”“”或“”） 11.（5分）已知二次函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为__________。 12.（5分）已知函数 ，则函数 的值域为__________。 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 13.（4分）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A.   B.   C.   D. 14.（4分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（　　） A. B. C. D. 15.（5分）已知二次函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的值为（　　） A.   B.   C.   D. 16.（5分）已知函数 ，则下列说法正确的是（　　） A. 函数的值域为   B. 函数为偶函数 C. 函数在 上单调递增  D. 函数的图像关于原点对称 三、解答题（本大题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（14分） 求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）。 18.（14分） 已知函数 。 （1）求 、、 的值； （2）求函数 的值域。 19.（14分） 已知函数 。 （1）用定义证明函数 在 上单调递增； （2）利用单调性解不等式 。 20.（18分） 已知函数 是定义在 上的奇函数，且对任意 ，都有 。 （1）求 的值； （2）判断并证明函数 的奇偶性； （3）若 ，判断函数 在 上的单调性，并用定义证明。 21.（18分） 已知函数 。 （1）作出函数 的图像，并写出函数的单调区间； （2）利用函数图像，解不等式 ； （3）求函数 在区间 上的最大值和最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高中数学沪教版必修第一册第5章函数的概念、性质及应用单元检测·巩固篇（解析版） 考试时间：90分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分。） 1.（4分）函数 的定义域为__________。 答案： 解析： 被开方数 ，得 ；分母 ，得 。故定义域为 。 易错点提醒： 多个限制条件需同时满足，取交集。 2.（4分）已知 ，则 __________。 答案： 解析： 。 易错点提醒： 整体代换时，将括号内的表达式作为一个整体代入。 3.（4分）函数 的值域为__________。 答案： 解析： 。 易错点提醒： 配方法是求二次函数值域的基本方法。 4.（4分）已知函数 在 上单调递减，且 ，则实数 的取值范围为__________。 答案： 解析： 因为 在 上单调递减，所以 等价于 ，解得 。 易错点提醒： 利用单调性解不等式时，不等号方向与函数单调性相反。 5.（4分）已知函数 ，则函数 的奇偶性为__________。（填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶”） 答案： 奇函数 解析： 当 时，；当 时，；且 。故为奇函数。 易错点提醒： 分段函数奇偶性需分段验证，注意 的情况。 6.（4分）已知函数 ，则 的图像与 的图像关于__________对称。 答案： 轴 解析： 的图像是 的图像关于 轴对称得到的。 易错点提醒： 与 的图像关于 轴对称。 7.（5分）已知函数 对任意实数 ，都有 ，且 ，则 __________。 答案： 解析： 令 ，得 ；令 ，得 ，故 ，解得 。 易错点提醒： 抽象函数问题需通过赋值法逐步推导。 8.（5分）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为__________。 答案： 解析： 由 ，解得 。 易错点提醒： 抽象复合函数定义域由内层表达式落在原函数定义域内确定。 9.（5分）已知一次函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围为__________。 答案： 解析： 一次函数单调递减需斜率 ，即 ，解得 。 易错点提醒： 一次函数单调性由一次项系数决定。 10.（5分）已知函数 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减，若 ，则。（填“”“”或“”） 答案： 解析： 奇函数在 上单调递减，且 ，故 。 易错点提醒： 奇函数图像关于原点对称，单调性在对称区间上一致。 11.（5分）已知二次函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为__________。 答案： 解析： 对称轴为 ，开口向上。在 上单调递增，需对称轴在区间左侧，即 。 易错点提醒： 二次函数单调性由开口方向和对称轴与区间的位置关系共同决定。 12.（5分）已知函数 ，则函数 的值域为__________。 答案： 解析： 当 时，；当 时，。取并集得 。 易错点提醒： 分段函数值域需分别求出各段值域再取并集。 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 13.（4分）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A.   B.   C.   D. 答案： B 解析： 由 ，解得 。 易错点提醒： 抽象复合函数定义域由内层表达式落在原函数定义域内确定。 14.（4分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（　　） A. B. C. D. 答案： B 解析： 逐项判断： A项： 为偶函数，不是奇函数，排除； B项：，为奇函数；且在 上单调递增，符合题意； C项： 为奇函数，但在 和 上分别单调递减，不符合“增函数”要求； D项： 为偶函数，不是奇函数，排除。 故答案为B。 易错点提醒： 判断奇偶性需验证 与 的关系；判断单调性需注意反比例函数在定义域上不单调，需分区间讨论。 15.（5分）已知二次函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的值为（　　） A.   B.   C.   D. 答案： C 解析： 对称轴 。当 时，最小值为 ，不符；当 时，最小值为 ，得 ；当 时，最小值为 ，得 ，不符。故 。 易错点提醒： 含参二次函数最值需根据对称轴与区间位置分类讨论。 16.（5分）已知函数 ，则下列说法正确的是（　　） A. 函数的值域为   B. 函数为偶函数 C. 函数在 上单调递增  D. 函数的图像关于原点对称 答案： A 解析： 当 时，；当 时，。故值域为 。B、C、D均错误。 易错点提醒： 分段函数需分别分析各段再综合判断。 三、解答题（本大题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（14分） 求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）。 答案： （1）；（2）；（3）。 解析： （1）；，故定义域为 .........（5分） （2）；，故定义域为 .........（5分） （3）零次幂底数不为0：；根式被开方数大于0：，故定义域为 .........（4分） 易错点提醒： 多个限制条件需同时满足，取交集。 18.（14分） 已知函数 。 （1）求 、、 的值； （2）求函数 的值域。 答案： （1），，；（2）。 解析： （1），故 .........（3分） ，故 .........（3分） ，故 .........（3分） （2）当 时，，值域 ；当 时，；当 时，，值域 。取并集得 .........（5分） 易错点提醒： 分段函数值域需取各段值域并集，注意端点。 19.（14分） 已知函数 。 （1）用定义证明函数 在 上单调递增； （2）利用单调性解不等式 。 答案： （1）证明见解析；（2）。 解析： （1）任取 ，且 .........（2分） 则 因为 ，且 ，故 ，即 .........（7分） 所以函数在 上单调递增 .........（2分） （2）由单调性需满足 且 ，解得 .........（3分） 易错点提醒： 利用单调性解不等式时必须保证自变量在单调区间内。 20.（18分） 已知函数 是定义在 上的奇函数，且对任意 ，都有 。 （1）求 的值； （2）判断并证明函数 的奇偶性； （3）若 ，判断函数 在 上的单调性，并用定义证明。 答案： （1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增，证明见解析。 解析： （1）令 ，得 .........（4分） （2）令 ，得 ，故 ，函数为奇函数 .........（6分） （3）任取 ，令 ，则： 由 ，结合加性函数性质，对任意正实数 ， .........（4分） 所以 ，函数在 上单调递增 .........（4分） 易错点提醒： 抽象函数单调性证明需利用加性性质，将差转化为函数值。 21.（18分） 已知函数 。 （1）作出函数 的图像，并写出函数的单调区间； （2）利用函数图像，解不等式 ； （3）求函数 在区间 上的最大值和最小值。 答案： （1）图像见解析，单调递增区间 ，单调递减区间 ，单调递增区间 ；（2）；（3）最大值3，最小值-1。 解析： （1）作图关键点标注： · 左段 ：，为斜率为 -1 的直线，端点趋近 （取不到） · 右段 ：，顶点 ，与 轴交于 和 由图像可得：在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增 .........（6分） （2）由图像可得： 的解集为 .........（6分） （3）在区间 上： 当 时，；当 时，。 取并集得最大值3，最小值-1 .........（6分） 易错点提醒： 分段函数作图需注意分段点的连接情况。当 时 ，而 ，故 处为跳跃间断点。 学科网（北京）股份有限公司 $