2.2 函数的单调性及最值 学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数单调性及最值专题，将单调性四大判定方法（定义法、导数法、图像法、复合函数法）与最值六种判定方法（导数法、配方法等）按“方法梳理-题型应用”架构整合，通过课前预习问题链和课堂题型解题步骤引导学生自主构建知识网络，体现考点梳理的系统性和层次性。 亮点在于“方法-题型-训练”三阶自主学习设计，如课前设置单调性判定步骤填空任务，课堂提供导数法判断单调区间五步模板，培养学生数学思维与推理能力。当堂训练题覆盖定义证明、导数应用等类型，助力学生自主诊断薄弱点，教师可依据学情精准指导，有效提升备考实效。

2026-2027学年 高三一轮复习 第二章第 2 讲 函数的单调性及最值学案 第一部分 课前预习・知识梳理 一、单调性四大判定方法 1. 定义法（一般用于证明题） 步骤：任取 → 作差 → 因式分解 / 通分变形 → 判断符号 → 下结论 增函数：；减函数： 2. 导数法（解答题首选） 区间内 ，且 不在任意子区间恒为 严格递增； 区间内 ，且 不在任意子区间恒为 严格递减。 解题步骤： ① 写出定义域；② 求导并因式分解；③ 解方程 求临界点； ④ 划分区间判断导函数符号；⑤ 写出单调区间。 3. 图像法（选择填空速判） 图像从左到右上升：递增；图像从左到右下降：递减。 4. 复合函数同增异减 解题步骤： ① 求整体定义域；② 拆分内层 、外层 ； ③ 分别写出内外层单调区间；④ 区间取交集，增减性相同则增，相反则减。 二、最值判定方法 1. 导数法（解答题） 适用于三次、指对、超越函数，极值+端点对比得全局最值。 2. 配方法（二次专用） 配方顶点式，讨论对称轴与区间位置关系。 3. 单调性法（基础速解） 单调区间直接端点取最值。 4. 基本不等式法 一正二定三相等，求解分式、整式最值。 5. 换元法 根式、三角、分式换元，化繁为简。 6. 数形结合法 图像直观求解分段、绝对值函数最值。 第二部分 课堂精讲 题型 1：基础初等函数单调区间判定 解题步骤： 优先求定义域 → 借助基本函数图像 → 判断升降 → 逗号书写区间 函数类型 函数解析式 单调递增区间 单调递减区间 一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 对数函数 题型 2：定义法证明单调性 例1：用定义法证明f(x)=x+在(,+∞)上单调递增 题型 3：导数法判断单调区间 例2：求 在R上的单调性 题型 4：复合函数同增异减 例3：求 的单调递减区间 题型 5：分段函数单调性+简单含参 题型 6：图像法求单调性 题型 7：同构构造 + 单调性比大小 题型 8：新定义单调性题型 题型 9-1：单调性+奇偶性比大小 题型 9-2：恒成立、存在性求参数 必背等价转化 1. 恒成立： 2. 恒成立： 3. 存在性： 4. 存在性： 题型 9-3：含参二次函数闭区间最值 例10：，求最小值。 题型 9-4：导数型闭区间最值 例11：求 最值。 第三部分 当堂训练 1. 求函数 的单调递增区间； 2. 用定义证明 在 上单调递减； 3. 用配方法求在上的最值； 4. 用导数法求的单调区间； 5. 利用导数求的单调性； 6.已知若恒成立，求的范围。 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高三一轮复习 第二章第2讲函数的单调性及最值学案 第一部分课前预习·知识梳理 一、单调性四大判定方法 1.定义法（一般用于证明题) 步骤：任取x1<x2∈D→作差f(x1)-f(x2)→因式分解/通分形→判断符号→下 结轮 增函数：x1<x2→f(x1)<f(x2)；减函数：x1<x2→f(x1)>f(x2) 2.导数法（解答题首选） 区间内f(x)≥0，且f(x)不在任意子区间恒为0→格增： 区间内f(x)≤0，且f(x)不在任意子区间恒为0→严格递减。 解题步骤： ①写出定义域；②求导并因式分解；③解方程f(x)=0求临界点； ④划分区间判断导函数符号；⑤写出单调区间。 3.图像法（选择填空速判） 图像从左到右上升：递增；图像从左到佑下降：递减。 4.复合函数同增异减 解题步骤： ①求整体定义域；②拆分内层u=gx人、外层y=fu); ③分别写出内外层单调区间；④区间取交集，增减性相同则增，相反则减。 二、最值判定方法 1.导数法（解答题） 适用于三次、指、超越函数，极 +端点对比得全局最值。 2.配方法（二次专用）配方顶点式，讨论对称轴与区间位置关系。 3.单调性法（基础速解） 单调区间直接端点取最值。 4.基本不等式法一正二定三相等，求解分式、整式最值。 5.换元法根式、三角、分式换元，化繁为简。 6.数形结合法图像直观求解分段、绝对值函数最值。 第二部分课堂精讲 题型1：基础初等函数单调区间判定 解题步骤： 优先求定义域→借助基本函数图像→判断升降→逗号书写区间 函数类型 函数解析式 单调递增区间 单调递减区间 备注 次函数 y=@x+b(k≠0） R(k>0) R(k<0) 全局单调，无 分段 a>0: a>0: y=ax2+bx+c 二次函数 a≠0) (-00,- b 以对称轴分界 2a 反比例函 y=k(k≠0】 k<0:(-0o,0), k>0:(-0,0), 区间不可用并 数 X (0,+∞】 (0,+00) 集 y=a 定义域全体实 指数函数 a>1:R 0<a<1:R a>0,a≠1) 数 y=logax 0<a<1: 定义域 对数函数 a>1:(0,+o a>0,a≠1 (0,+00】 x>0 题型2：定义法证明单调性 例1：用定义法证明x)x+在(2，+)上单调递增 0☐Vx1,x2∈(/2，+o∞)，V2<x1<x2, 2 2_2 -fx=义+之-+2x-x 乙 x1-x)+2-4=x-k1 2 X1X2 =(xx出2 X1X2 2<x1<x2.x1-x2<0,x1x2-2>0,X1x2>0,f(x1<f(x2 ∴f(x)=x+2在(2，+0)上单调递增 题型3：导数法判断单调区间 例2：求f(x)=x+cosx在R上的单调性 解：f(x)=1-sinx,在Rx)=1-sinx≥0恒成立， ”(x)=0,X=乃+2，k∈Z,导数仅在高散点处等于0， 并非区间内恒为0，所(x)=x+cosx在R上单调递增 变式1：（含参数）判断x)=e-ax的单调 解：定义域为Rf'(x)=e-a,当a≤0时，f'(x)>0恒成立， f(x)在R上单调递增a>0时，f'(x)=0,x=lna, x<lna时，f'(x)<0,f(x)单调递减； x>lna时，f'(x)>0,f(x)单调递增。 综上，当知≤0时，f(x)在R上单调递增当a>0时， f(x)在(-o,lna)递减，在(lna,+o)递增。 题型4：复合函数同增异减 例3：求fx)=log (x2-2x-3) 的单调递减区间 解：x2-2x-3>0,解得x-1或>3。 外层引u=lg1u,外层单调递减，内层：x2-2x-3=(x-12-4, 故u(x)在(-oo,-1)单调递减，u(x)在(3，+oo)单调递增。 求单调递减区间，外层递减内层递增才可以，[(x)的单调递减区间(3，+∞) 3 题型5：分段函数单调性+简单含参 例4：(x)= e-ax,x≥0折(x)在R上单调递增，求实数ah -x2+2a,x<0 取值范围 解：x≥0时，f'(x)=e-a,(x)在[0，+oo)单调递增， 昕'(x)≥0对vx≥0恒成立，即e-a≥0恒成立，得≤1。 x<0时，f'(x)=-2x>0,所'(x)>0恒成立，不受a约束 新(x)在R上单调递增，需limf(x)=2a≤f(0)=e°-a0=1 x_0 刷s参上，a 题型6：图像法求单调性 例5：f(x)是R上单调递增函数f(4x+2)<f(6),求x取值范 解，f(x)在R上单调递增f(4x+2)<f(6) ∴.4x+2<6,解得x1,放x的取值范围为-o,1) 题型7：同构构造+单调性比大小 例6：已知m+1)3+2(m+1)<n3+2n,比铰m的大 解：构造函数t)=t+2t,定义域为Rf'(t)=3t+2 .t≥0，∴.f'(t)=3t+2>0恒成立∴.f(t)在R上单调递增 所以m1<n,m<n 题型8：新定义单调性题型 例7：定义新运算：*(a)=a3+2a,已知*(x-1)<*(2),求x6 取值范围。 解：构造函数t)=t3+2t,定义域为Rf'(t)=3t2+2>0恒成立 ∴.f(t)在R上单调递增*（x-1)<*(2),昕(x-1)<f(2), 根据单调性得x1<2,解得κ3. 题型9-1：单调性+奇偶性比大小 例8：已知偶函数x)定义域为R在[0，+o∞)上单调递减， 比较-4)，f(2),f(1)的大小。 解：.f(x)是偶函数∴.f(-4)=f4) f(x)在[0，+o)上单调递减，1<2<4，∴.f1)>f(2)>f(4) 回代得到：1)>f(2)>f(-4) 题型9-2：恒成立、存在性求参数 必背等价转化 1.恒成立：x∈D,f（x)≥m=f(x)mn≥m 2.恒成立：Vx∈D,fx)≤m一f(x)max≤m 3.存在性：3x∈D,f(x)≥m=f(x)max≥m 4.存在性：3x∈D,f(x)≤m=f(xmn≤m 例9：x≥0时，f(x)=e-x2-ax≥1恒成立，求a的取值范围 解：x0时，f(0)=1≥1恒成立，此时ER >0时，f(x)=e-x2-ax≥1恒成立，分离参数a as广-1成立，g(xe产-1，照≤gx如 X X >0时，g(x)=e-2x小x-(e-x2-11-(x-1le-(x+1 X h(x)=e-（x+1),h'(x)=e-1, x>0时，h'(x)>0,h(x)在(0，+oo)单调递增，h(x)>h(0)=0, 即e'-(x+1)>0在x>0时恒成立。 g'(x)=0,x=1,x>1时，g'(x)>0,g(x)单调递增： 当0<x<1时，g'(x)<0,g(x)单调递减。 gx)mn口=g(1)=e-2,a≤e-2. 题型9-3：含参二次函数闭区间最值 例10：f(x)=x2-2ax+3,x∈[1,3]，求最小值。 解析：开口向上，对称轴x=a ①a≤1：对称轴在区间左侧，区间递增，fmn=f(1)=4-2a ②1<a<3:对称轴在区间内，fm=f(a)=3-a2 ③a≥3：对称轴在区间右侧，区间递减，fmin=f(3)=12-6a 综上： 4-2a, a≤1 f(x)min= 3-a2,1<a<3 12-6a,a≥3 题型9-4：导数型闭区间最值 通用四步模板： ①定定义域；②求导找驻点；③计算割驻点+端点函数值；④对比最值。 例11：求f(x)=x3-3x+1,x∈[-2,2]最值。 解析： f(x)=3(x+1)(x-1),驻点x=-1,x=1 求值：f-2)=-1,f-1)=3,f（1)=-1,f(2)=3 得：fmax=3,fmin=-1。 第三部分当堂训练 1.求函数f(x)=log2-4的单调递增区间； 解：定义域x2-4>0→x<-2或>2。外层l0g2u递增， 内层：x2-4在(2，+o0)递增，同增异减，递增区间：（2，+o)。 2.用定义证明f(x)=-3x+2在R上单调递减； 解：任取x<x2∈R, f(x1)-f(x2)=-3x1+2-(-3x2+2)=-3(x1-x2)。 x1-X2<0→-3(x1-X2)>0→f(x1)>fx2),.fx)在R递减 3.用配方法求y=-x+6x在[0,4]上的最值； 解：配方产-(x-32+9,开口向下，对称轴旅3∈[0,4]。 在x=3时，yma口=9；在端点x0时，ymn口=0。 4用导数法求x)父-父-3×*1的单调区间： 解：P(x)=x2-2x-3=（x-3)(x+1),f'(x)=0→x=-1或3. x∈（-o,-1)时f(x)递增：∈(-1,3)时f(x)递减： x∈(3，+oo)时f(x)递增 f(x)递增区间为-o,-1),(3,+∞，f(x)递减区间为-1,3) 5.利用导数求f(x)=x3-3ax+1的单调性； 解：f(x)=3x2-3a=3(x2-a) a≤0：f'(x)≥0，R单调递增a>0:极值点x=±Va, 6 (-o,-Va)递增，(-Va,Va)递减，(Va,+oo)递增。 6.已知f(x)=lnx-ax,若fx)≤0恒成立，求的范围。 解：e0,a≥nx恒成立。g(x)=x,g(x)=1-nx. X x2 xe0,e)递，xe(e,+w递减，9=nge)=。∴a≥是