2.2　函数的单调性与最值讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数单调性与最值核心考点，按定义判断、复合函数、分段函数等七大题型系统梳理知识，通过知识回顾夯实基础，方法技巧提炼规律，真题典例强化应用，构建“考点-方法-训练”一体化复习体系。 讲义突出数学思维与数学眼光培养，如在分段函数单调性题型中，结合2024新课标真题分析参数范围，引导学生抽象数量关系、推理逻辑条件。设置分层练习与即时反馈，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

2.2　函数的单调性与最值 目录 题型一：单调性的定义及判断 3 题型二：复合函数单调性的判断 5 题型三：分段函数的单调性 7 题型四：利用函数单调性求函数值域（最值） 10 题型五：利用函数单调性求参数的范围 12 题型六：利用函数单调性解不等式 13 题型七：利用函数的单调性比较函数值大小 14 01 知识回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. （3）单调性技巧 （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 2.函数的最值 前提 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 02 必做典例 题型一：单调性的定义及判断 【方法技巧】 函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． 1. (多选)下列说法中，正确的是(　　) A.函数y=e-x-在(-∞，0)上单调递减 B.函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞，-1] C.函数y=的单调递增区间为[1，+∞) D.函数y=2x+2cos x是增函数 答案　ABD 解析　函数y=e-x与y=-在(-∞，0)上都单调递减， 所以y=e-x-在(-∞，0)上单调递减，故A正确； 作出函数y=2|x+1|的图象，如图所示， 由图象可知，函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞，-1]，故B正确； 由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得y=的单调递增区间为(-∞，1]，故C错误； 因为y'=2-2sin x≥0，所以y=2x+2cos x是R上的增函数，故D正确. 2. 讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性. 【解析】方法一:任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,易知f(x)==a, 则f(x1)-f(x2)=a-a=, 又x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(-1,1)上单调递减; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 方法二:因为f'(x)=,所以当a>0时,f'(x)<0在(-1,1)上恒成立,所以函数f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f'(x)>0在(-1,1)上恒成立,所以函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 【练习】(多选题)下列函数在其定义域内是增函数的为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=|x2-2x| B.y=ex-e-x C.y=log0.5(x+1) D.y=x+cos x 【答案】BD　 [解析] 对于A,画出函数y=|x2-2x|的图象,如图所示,易知函数y=|x2-2x|在其定义域内不是增函数,故A错误;对于B,因为函数y=ex是R上的增函数,y=e-x是R上的减函数,所以y=ex-e-x是R上的增函数,故B正确;对于C,函数y=log0.5x在其定义域上是减函数,而y=x+1在其定义域上为增函数,所以函数y=log0.5(x+1)在定义域(-1,+∞)上为减函数,故C错误;对于D,y=x+cos x的定义域为R,y'=1-sin x≥0在R上恒成立,故y=x+cos x是R上的增函数,故D正确.故选BD. 题型二：复合函数单调性的判断 【方法技巧】 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： 1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； 2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 3. 函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增， 而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A 4. 函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， ，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上为增函数， 由复合函数单调性可得的单调递减区间为. 故选：C. 5. 函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 解得或， 由图象的对称轴为， 则在上单调递增， 故的单调递减区间为， 故选：C 题型三：分段函数的单调性 【方法技巧】 函数，在上为增函数，则： ①在上单调递增；②在上单调递增；③． 函数，在上为减函数，则： ①在上单调递减；②在上单调递减；③． 6. 已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是定义在上的增函数， 所以，解得. 故选：B 7. 已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于函数是定义在R上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数， 函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 8. 　(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A.(-∞，0] B.[-1，0] C.[-1，1] D.[0，+∞) 答案　B 解析　因为f(x)在R上单调递增， 且x≥0时，f(x)=ex+ln(x+1)单调递增， 则需满足解得-1≤a≤0， 即a的取值范围是[-1，0]. 9. (2025·成都模拟)已知函数f(x)=满足对任意实数x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则实数a的取值范围是(　　) A.(0，4] B.[2，+∞) C.[2，4] D.(0，+∞) 答案　C 解析　由对任意实数x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0，可知函数f(x)在R上单调递减， 则有解得2≤a≤4，所以实数a的取值范围为[2，4]. 题型四：利用函数单调性求函数值域（最值） 【方法技巧】 求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题. (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域. (3)数形结合法. (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”. (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式. 10. (多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A.当x∈[0，3)时，函数y=x2-2x+3的值域为[2，6) B.函数y=的值域为R C.函数y=2x-的值域为 D.函数y=+的值域为[，+∞) 答案　ACD解析　对于A，(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2， 由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6). 对于B，(分离常数法)y===2+，显然≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(-∞，2)∪(2，+∞). 对于C，(换元法)设t=，则x=t2+1，且t≥0，∴y=2(t2+1)-t=2+， 由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为. 对于D，函数的定义域为[1，+∞)， ∵y=与y=在[1，+∞)上均单调递增，∴y=+在[1，+∞)上为增函数， ∴当x=1时，ymin=，即函数的值域为[，+∞). 11. (2025·青海省部分学校联考)已知函数f(x)=在区间[0，1]上的最大值为5，则a的值为(　　) A.3 B.4 C. D.2 答案　A 解析　因为f(x)=a+在区间[0，1]上单调递减，所以f(0)=a+2=5，解得a=3. 12. 若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，，， 因为函数在 的最大值为2，， 所以，解得：， 当时，函数在上先递减再递增， 而， 所以，，且，即函数在 的最大值为2，符合题意； 当时，函数在上递减，所以， 而，所以函数在 的最大值为2，符合题意， 综上，． 故答案为： 题型五：利用函数单调性求参数的范围 【方法技巧】 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． 1、若在上恒成立在上的最大值． 2、若在上恒成立在上的最小值． 13. (2026·大连模拟)已知函数f(x)=在区间(-∞，-1)上单调递减，则实数m的取值范围是(　　) A.(-2，2) B.(-2，+∞) C.(-∞，-2) D.(-∞，-2)∪(2，+∞) 答案　C 解析　由题意得，f(x)===m+. ∵函数f(x)=在区间(-∞，-1)上单调递减， ∴-m-2>0，解得m<-2，即m的取值范围是(-∞，-2). 14. 若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得，解之得，即的定义域为， 又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性， 可得：，解得． 故选：D 15. 若函数f(x)=4|x-a|+3在区间[1，+∞)上不单调，则a的取值范围是　　　　　　.  答案　(1，+∞) 解析　因为函数f(x)=4|x-a|+3在(-∞，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增， 又函数f(x)在区间[1，+∞)上不单调，所以a>1. 题型六：利用函数单调性解不等式 【方法技巧】 利用函数单调性解不等式的具体步骤: (1) 将不等式转化成f(x1)>f(x2)(或f(x1)<f(x2))的形式; (2) 确定函数f(x)的单调性; (3) 根据函数f(x)的单调性去掉符号“f”,转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的常规不等式,从而得解. 16. 已知函数f(x)=则不等式f(x+2)<f(x2+2x)的解集是　　　　　　　　　　.  答案　(-∞，-2)∪(1，+∞) 解析　函数f(x)= 显然y=ln(x+1)在[0，+∞)上单调递增，y=-2x2在(-∞，0)上单调递增， 且ln(0+1)=-2×02=0，所以f(x)在R上单调递增， 不等式f(x+2)<f(x2+2x)可化为x+2<x2+2x，即x2+x-2>0，解得x>1或x<-2， 则原不等式的解集为(-∞，-2)∪(1，+∞). 17. 已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足：∀x1，x2∈(0，+∞)(x1≠x2)，恒有>0，若f(2)=4，则不等式f(x)-2x≤0的解集为　　　　　.  答案　(0，2] 解析　设g(x)=(x>0)， 又x1，x2∈(0，+∞)，所以>0可化为>0，即>0， 所以g(x)在定义域(0，+∞)上为增函数， 不等式f(x)-2x≤0(x>0)可化为≤2，又g(2)==2， 所以不等式≤2等价于g(x)≤g(2)，故0<x≤2， 所以不等式f(x)-2x≤0的解集为(0，2]. 题型七：利用函数的单调性比较函数值大小 【方法技巧】 1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决. 18. (2025·日照模拟)定义在R上的函数y=f(x)满足以下条件：①f(-x)-f(x)=0；②对任意x1，x2∈[0，+∞)，当x1≠x2时，都有>0.则f(-)，f(π)，f(-3)的大小关系是(　　) A.f(π)>f(-3)>f(-) B.f(π)>f(-)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-) D.f(π)<f(-)<f(-3) 答案　A 解析　因为定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(-x)-f(x)=0，所以函数f(x)是偶函数， 对任意x1，x2∈[0，+∞)，当x1≠x2时，都有>0， 因此函数f(x)在[0，+∞)上单调递增， 又因为函数f(x)是偶函数，所以f(-)=f()，f(-3)=f(3)， 因为π>3>>0，所以f(π)>f(3)>f()，即f(π)>f(-3)>f(-). 19. 函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，易知在上单调递增． 因为， 所以，所以， 即. 故选：D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2　函数的单调性与最值 目录 题型一：单调性的定义及判断 3 题型二：复合函数单调性的判断 5 题型三：分段函数的单调性 7 题型四：利用函数单调性求函数值域（最值） 10 题型五：利用函数单调性求参数的范围 12 题型六：利用函数单调性解不等式 13 题型七：利用函数的单调性比较函数值大小 14 01 知识回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. （3）单调性技巧 （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 2.函数的最值 前提 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 02 必做典例 题型一：单调性的定义及判断 【方法技巧】 函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． 1. (多选)下列说法中，正确的是(　　) A.函数y=e-x-在(-∞，0)上单调递减 B.函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞，-1] C.函数y=的单调递增区间为[1，+∞) D.函数y=2x+2cos x是增函数 2. 讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性. 【练习】(多选题)下列函数在其定义域内是增函数的为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=|x2-2x| B.y=ex-e-x C.y=log0.5(x+1) D.y=x+cos x 题型二：复合函数单调性的判断 【方法技巧】 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： 1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； 2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 3. 函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4. 函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 5. 函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 题型三：分段函数的单调性 【方法技巧】 函数，在上为增函数，则： ①在上单调递增；②在上单调递增；③． 函数，在上为减函数，则： ①在上单调递减；②在上单调递减；③． 6. 已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7. 已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8. 　(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A.(-∞，0] B.[-1，0] C.[-1，1] D.[0，+∞) 9. (2025·成都模拟)已知函数f(x)=满足对任意实数x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则实数a的取值范围是(　　) A.(0，4] B.[2，+∞) C.[2，4] D.(0，+∞) 题型四：利用函数单调性求函数值域（最值） 【方法技巧】 求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题. (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域. (3)数形结合法. (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”. (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式. 10. (多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A.当x∈[0，3)时，函数y=x2-2x+3的值域为[2，6) B.函数y=的值域为R C.函数y=2x-的值域为 D.函数y=+的值域为[，+∞) 11. (2025·青海省部分学校联考)已知函数f(x)=在区间[0，1]上的最大值为5，则a的值为(　　) A.3 B.4 C. D.2 12. 若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 . 题型五：利用函数单调性求参数的范围 【方法技巧】 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． 1、若在上恒成立在上的最大值． 2、若在上恒成立在上的最小值． 13. (2026·大连模拟)已知函数f(x)=在区间(-∞，-1)上单调递减，则实数m的取值范围是(　　) A.(-2，2) B.(-2，+∞) C.(-∞，-2) D.(-∞，-2)∪(2，+∞) 14. 若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15. 若函数f(x)=4|x-a|+3在区间[1，+∞)上不单调，则a的取值范围是　　　　　　.  题型六：利用函数单调性解不等式 【方法技巧】 利用函数单调性解不等式的具体步骤: (1) 将不等式转化成f(x1)>f(x2)(或f(x1)<f(x2))的形式; (2) 确定函数f(x)的单调性; (3) 根据函数f(x)的单调性去掉符号“f”,转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的常规不等式,从而得解. 16. 已知函数f(x)=则不等式f(x+2)<f(x2+2x)的解集是　　　　　　　　　　.  17. 已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足：∀x1，x2∈(0，+∞)(x1≠x2)，恒有>0，若f(2)=4，则不等式f(x)-2x≤0的解集为　　　　　.  题型七：利用函数的单调性比较函数值大小 【方法技巧】 1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决. 18. (2025·日照模拟)定义在R上的函数y=f(x)满足以下条件：①f(-x)-f(x)=0；②对任意x1，x2∈[0，+∞)，当x1≠x2时，都有>0.则f(-)，f(π)，f(-3)的大小关系是(　　) A.f(π)>f(-3)>f(-) B.f(π)>f(-)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-) D.f(π)<f(-)<f(-3) 19. 函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $