函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数不等式恒成立与能成立（有解）问题核心知识点，系统梳理恒成立（定义域内任意自变量满足）与能成立（至少存在一个自变量满足）的定义、常见模型及解题方法，通过对比两者最值条件（恒成立抓最坏情况、能成立抓最好情况）构建知识支架，明确逻辑脉络。 资料以真实情境例题（如广西河池、云南玉溪等地阶段检测题）为载体，通过分离参数、直接求最值等方法培养学生数学思维（逻辑推理、运算能力），对比辨析深化数学眼光（发现问题本质），课中辅助教师授课，课后变式训练助力学生查漏补缺，强化知识应用。

2026年初升高暑假数学 暑假预习：函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题讲义 考点目录 函数不等式恒成立问题 函数不等式能成立（有解）问题 考点一 函数不等式恒成立问题 【知识点解析】 一、核心知识点 恒成立：对定义域内 任意一个 自变量，不等式都成立。 常见模型： 1. 在区间 上恒成立 1. 在区间 上恒成立 解题常用方法：① 最值法；② 分离参数法；③ 图像法；④ 二次函数分类讨论。 二、解题原理 1. 看清题目给定区间 ，确定研究范围； 1. 方法一（分离参数）：把参数与变量拆分，化为 恒成立 ； 恒成立 ； 1. 方法二（直接求最值）：不分离参数，直接求含参函数在区间上的最值，列不等式求解参数； 1. 二次型恒成立：对 ， 恒成立，分 、、 讨论；给定区间上二次恒成立，结合对称轴与区间位置关系； 1. 求出参数范围后检验端点。 易错：混淆最大最小值；分离参数时，两边同除以代数式，不判断正负，不等号方向出错；二次问题漏掉二次项系数为0的情况。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·广西河池·阶段检测）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，证明如下： 任取，且，. 则， ，且， ，， ，即， 所以函数在上单调递减. (2) 【分析】（1）判断函数的单调性，利用函数单调性定义即可证明； （2）利用函数的单调性，求出函数在给定区间上的最大值，即可得答案. 【详解】（1）略 （2）由对任意恒成立得， 由（1）知在上单调递减， 函数在上的最大值为，， 即所求实数的取值范围为. 例2．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知函数，不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若对，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由不等式与方程的关系，根据一元二次方程的解与系数关系，可得答案； （2）根据不等式恒成立，结合二次函数的单调性求得最值，可得答案. 【详解】（1）因为的解集为， 所以的两根为和3， 所以解得. （2）由（1）得， ，，即， 因为当时，单调递增， 所以，即，解得. 例3．（25-26高二下·广西玉林·期末）已知一次函数在上单调递减，且满足，． (1)求的解析式； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用待定系数法设一次函数，复合展开后对比系数列方程，再用单调性筛根. （2）整理不等式，再分类讨论，时，直接验证，时，用基本不等式求分离后函数的最小值，得到参数范围. 【详解】（1）设，， 由可得， 即，所以， 解得或， 又在上单调递减，所以， 因此． （2）由（1）得， 则题干可转化为不等式在时恒成立． 当时，，为任意值时都满足题意. 当时，不等式可化为在时恒成立， ，当且仅当，即时，等号成立， 因此，     所以，即实数的取值范围为． 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知函数． (1)请用定义证明函数在上单调递减； (2)若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明：任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数在上单调递减. (2) 【分析】（1）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （2）根据题意，转化为任意，使得恒成立，由（1），得到函数在为单调递减函数，求得，即可求解. 【详解】（1）略； （2）解：因为任意，使得恒成立， 即任意，使得恒成立， 由（1）知，函数在为单调递减函数， 当时，可得，所以， 所以实数a的取值范围． 变式2．（25-26高一上·北京·期中）若二次函数满足，且 (1)确定函数的解析式； (2)若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）依题意，问题转化为则在上恒成立，令，利用单调性求最小值即可. 【详解】（1）设二次函数， 则，                 已知，所以，解得， 又，得， . （2）在区间上不等式恒成立，则在上恒成立， 令，可知在上单调递减， 则，得 所以实数的取值范围为. 变式3．（25-26高一上·北京·期中）已知 (1)求在区间上的最小值的表达式； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可得出的表达式； （2）由参变量分离法可得对任意的恒成立，结合基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】（1）函数的图象开口向上，对称轴为直线. 当时，函数在上单调递增，此时； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； 当时，函数在上单调递减，此时. 综上所述，. （2）对任意的，恒成立，即， 当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故，即. 因此，实数的取值范围是. 考点二 函数不等式能成立（有解）问题 【知识点解析】 一、核心知识点 能成立（有解）：在区间 上，至少存在一个 自变量，使不等式成立。 常见模型： 1. 在区间 上能成立 1. 在区间 上能成立 核心对比： 恒成立：全都要满足，抓 最坏情况（最小，最大）； 能成立：只要有一个满足，抓 最好情况（最大，最小）。 二、解题原理 1. 确定研究区间 ； 1. 分离参数： 能成立 ； 能成立 ； 1. 不分离参数：求函数在区间上最值，转化为最值不等式； 1. 解不等式得到参数范围，检验边界。 易错：把能成立和恒成立的最值条件记反；忽略函数取不到最值的情况（开区间）。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题为假，则命题为真，再结合，，及二次函数性质计算可得； （2）将不等式转化为，再通过换元并结合对勾函数的性质可得. 【详解】（1）由已知命题为假，则恒成立， 当时，，显然在上不恒成立； 当时，此时为开口向下，故不等式在上不恒成立； 当时，则，即. 综上，的取值范围是． （2）由不等式，即，即． 由恒成立，则在时有解， 即， 设，有， 而在上单调递增，则， 所以，故，所以. 因此，实数的取值范围为． 例2．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知，不等式的解集是． (1)求的解析式； (2)若不等式在上有解，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得0和4是方程的两根，由韦达定理可得b，c的值，即可得到的解析式． （2）由题意可得在上有解，利用二次函数求出的最大值即可得到所求范围． 【详解】（1）因为的解集是，则的两根是0和4， 可得，解得， 所以. （2）不等式在上有解，等价于在上有解， 可得， 因为开口向下，对称轴为， 当时，取到最大值是， 所以， 故t的取值范围． 例3．（25-26高一上·安徽·期中）若函数的图象过原点且关于直线对称，最小值为. (1)求函数的的解析式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，，且，根据求出的值，由此可得出函数的解析式； （2）由参变量分离法可知，存在，使得，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数的图象关于直线对称，最小值为. 则，根据二次函数的顶点式可知，， 因为函数的图象过原点，则，解得， 所以，. （2）由题意知，存在，使得，即， 即， 令，其中，则函数在上为增函数， 所以，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·云南昆明·期中）若函数． (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)求关于的不等式的解集； (3)若在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)当，解集为； 当，，解集为； 当，解集为. (3) 【分析】（1）解不等式可得答案； （2），然后讨论与1的大小关系可得答案； （3）由可得，求出即可得答案. 【详解】（1）时，， 故不等式解集为：； （2）. 当，解集为； 当，，解集为； 当，解集为. （3）, 则，因，则. 故，要使在区间上有解， 则，其中. 令，则. 因函数在上递减，在上递增. 又，则. 故实数的取值范围为. 变式2．（25-26高一上·河北衡水·期中）已知函数，，. (1)求的单调区间和最小值； (2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)递减区间，递增区间，最小值 (2) 【分析】（1）根据二次函数的对称轴和开口方向分析单调区间和最小值； （2）先将问题转化为“在上的值域是在上的值域的子集”，根据对勾函数性质分析出的值域，再对进行分类讨论求解出的范围. 【详解】（1）因为的对称轴为且开口向上， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 由单调性可知. （2）因为对于任意，总存在，使得成立， 所以在上的值域是在上的值域的子集； 因为， 令，由对勾函数单调性可知在上单调递减， 所以， 所以，所以的值域为； 又因为， 当时，显然，此时的值域不可能是的子集，不符合； 当时，显然，此时的值域不可能是的子集，不符合； 当时，对称轴且，此时，若要满足条件只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 变式3．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知 (1)当，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为. (2) 【分析】（1）分类讨论当、、、情况下，解一元二次不等式即可； （2）将原不等式转化为，利用分离参数法可得，结合换元法和对勾函数的性质求出的最大值即可. 【详解】（1）若即，原不等式为，解得， 即原不等式的解集为； 若即，方程的解为和， 当时，，原不等式的解集为或； 当时，，原不等式的解集为； 当即时，，原不等式的解集为. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为. （2）由，得， 对于方程，， 所以在R上恒成立，故， 令，则，得可变形为，即， 对于对勾函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，为， 所以在上的最大值为， 得. 综上，a的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年初升高暑假数学 暑假预习：函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题讲义 考点目录 函数不等式恒成立问题 函数不等式能成立（有解）问题 考点一 函数不等式恒成立问题 【知识点解析】 一、核心知识点 恒成立：对定义域内 任意一个 自变量，不等式都成立。 常见模型： 1. 在区间 上恒成立 1. 在区间 上恒成立 解题常用方法：① 最值法；② 分离参数法；③ 图像法；④ 二次函数分类讨论。 二、解题原理 1. 看清题目给定区间 ，确定研究范围； 1. 方法一（分离参数）：把参数与变量拆分，化为 恒成立 ； 恒成立 ； 1. 方法二（直接求最值）：不分离参数，直接求含参函数在区间上的最值，列不等式求解参数； 1. 二次型恒成立：对 ， 恒成立，分 、、 讨论；给定区间上二次恒成立，结合对称轴与区间位置关系； 1. 求出参数范围后检验端点。 易错：混淆最大最小值；分离参数时，两边同除以代数式，不判断正负，不等号方向出错；二次问题漏掉二次项系数为0的情况。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·广西河池·阶段检测）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 例2．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知函数，不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若对，恒成立，求实数k的取值范围. 例3．（25-26高二下·广西玉林·期末）已知一次函数在上单调递减，且满足，． (1)求的解析式； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知函数． (1)请用定义证明函数在上单调递减； (2)若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围． 变式2．（25-26高一上·北京·期中）若二次函数满足，且 (1)确定函数的解析式； (2)若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围. 变式3．（25-26高一上·北京·期中）已知 (1)求在区间上的最小值的表达式； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 考点二 函数不等式能成立（有解）问题 【知识点解析】 一、核心知识点 能成立（有解）：在区间 上，至少存在一个 自变量，使不等式成立。 常见模型： 1. 在区间 上能成立 1. 在区间 上能成立 核心对比： 恒成立：全都要满足，抓 最坏情况（最小，最大）； 能成立：只要有一个满足，抓 最好情况（最大，最小）。 二、解题原理 1. 确定研究区间 ； 1. 分离参数： 能成立 ； 能成立 ； 1. 不分离参数：求函数在区间上最值，转化为最值不等式； 1. 解不等式得到参数范围，检验边界。 易错：把能成立和恒成立的最值条件记反；忽略函数取不到最值的情况（开区间）。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 例2．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知，不等式的解集是． (1)求的解析式； (2)若不等式在上有解，求t的取值范围． 例3．（25-26高一上·安徽·期中）若函数的图象过原点且关于直线对称，最小值为. (1)求函数的的解析式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·云南昆明·期中）若函数． (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)求关于的不等式的解集； (3)若在区间上有解，求实数的取值范围． 变式2．（25-26高一上·河北衡水·期中）已知函数，，. (1)求的单调区间和最小值； (2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 变式3．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知 (1)当，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $