暑假预习：基本不等式的恒成立问题、由基本不等式证明不等关系讲义-2026年初升高暑假数学（人教A版）

暑假预习：基本不等式的恒成立问题、由基本不等式证明不等关系讲义 暑假预习：基本不等式的恒成立问题、由基本不等式证明不等关系讲义 考点目录 基本不等式的恒成立问题 由基本不等式证明不等关系 考点一 基本不等式的恒成立问题 【知识点解析】 一、前置必备知识 已知 ，则 。 使用三条件： 一正、二定、三相等； 恒成立通用逻辑： · 恒成立 · 恒成立 此外还有常用变形：。 二、核心知识点 1. 题型结构 给出含参数不等式对规定范围内所有变量恒成立，求参数取值范围；变量大多满足 。 · 两类主流形式： · ① 恒成立； · ② 恒成立； 1. 解题核心逻辑： 恒成立问题转化为函数最值问题： · 要让参数始终大于等于式子：参数 式子的最大值 · 要让参数始终小于等于式子：参数 式子的最小值 1. 常结合技巧： 乘“1”法、消元法配凑和定/积定结构求最值。 1. 边界说明： 最值可以取到时，参数带等号；取不到最值则端点开区间。 三、解题原理（标准四步流程） 1. 确定变量范围（），满足基本不等式使用前提； 1. 利用已知约束条件，借助基本不等式求出代数式的最大/最小值； 1. 对照恒成立规则，列出参数不等式； 1. 解不等式，写出参数取值范围。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 例2．（25-26高二下·天津河西·期末）已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 例3．（25-26高一上·天津·期中），，且满足，若恒成立，则的取值范围为______ 例4．（25-26高一上·湖南长沙·期中）设，，且，若恒成立，则实数的最大值为________. 例5．（25-26高一上·广东广州·期中）设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·河北衡水·期中）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 变式2．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 变式3．（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 变式4．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 变式5．（24-25高一上·山东潍坊·阶段检测）已知都是正数，且恒成立，求m的取值范围. 考点二 由基本不等式证明不等关系 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 证明目标： 不给具体数值，依托 推导整式、分式不等式成立； 1. 常用基础不等式（可直接作为证明依据）： · ① · ② （全体实数都成立） · ③ （平方平均 算术平均 几何平均 调和平均） 1. 常见出题形式： · 已知 定值，证明 某常数； · 已知 定值，证明 某常数； · 多个正数相加、相乘结构不等式放缩证明； · 条件等式约束下证明分式不等式。 二、解题原理（证明通用步骤） 1. 观察不等式两侧结构，确定选用哪个均值不等式； 1. 验证所有变量均为正数，满足“一正”条件； 1. 直接套用公式放缩，或者配凑常数构造和定、积定； 1. 必要时多次使用基本不等式，注意每一步取等条件必须一致； 1. 顺着推导方向，从已知条件逐步推出要证的结论。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）（1）已知实数均大于0，证明：. （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是. 例2．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题． 例如此题：正实数，，满足，求的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当即且时，即时等号成立． 这种解题方法叫作“1”的代换，利用上述求解方法解决下列问题： (1)正数，满足，求的最小值； (2)已知，，均为正实数，且，求证：； (3)已知，，，均为正实数，且，求证：． 例3．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知是正实数． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，求的最小值． 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·湖南·阶段检测）（1）已知，证明：． （2）已知均为正数，证明：． 变式2．（25-26高一上·河南平顶山·阶段检测）对于题目：已知，，且，求最小值. 甲同学的解法：因为，，所以，， 从而，所以的最小值为. 乙同学的解法：因为，，所以. 所以的最小值为. (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？错误的请说明理由. (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）已知，，且，求的最小值； （ii）设，，都是正数，求证：. 变式3．（25-26高一上·江西景德镇·阶段检测）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，且. 求证：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：基本不等式的恒成立问题、由基本不等式证明不等关系讲义 暑假预习：基本不等式的恒成立问题、由基本不等式证明不等关系讲义 考点目录 基本不等式的恒成立问题 由基本不等式证明不等关系 考点一 基本不等式的恒成立问题 【知识点解析】 一、前置必备知识 已知 ，则 。 使用三条件： 一正、二定、三相等； 恒成立通用逻辑： · 恒成立 · 恒成立 此外还有常用变形：。 二、核心知识点 1. 题型结构 给出含参数不等式对规定范围内所有变量恒成立，求参数取值范围；变量大多满足 。 · 两类主流形式： · ① 恒成立； · ② 恒成立； 1. 解题核心逻辑： 恒成立问题转化为函数最值问题： · 要让参数始终大于等于式子：参数 式子的最大值 · 要让参数始终小于等于式子：参数 式子的最小值 1. 常结合技巧： 乘“1”法、消元法配凑和定/积定结构求最值。 1. 边界说明： 最值可以取到时，参数带等号；取不到最值则端点开区间。 三、解题原理（标准四步流程） 1. 确定变量范围（），满足基本不等式使用前提； 1. 利用已知约束条件，借助基本不等式求出代数式的最大/最小值； 1. 对照恒成立规则，列出参数不等式； 1. 解不等式，写出参数取值范围。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 例2．（25-26高二下·天津河西·期末）已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】化简，，结合基本不等式求其最小值，结合条件求的范围可得结论. 【详解】令， 展开可得，即，其中， 因为，，由基本不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立， 由不等式对于任意的恒成立，可得， 所以正实数的最大值为. 例3．（25-26高一上·天津·期中），，且满足，若恒成立，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用基本不等式中“1”的代换求得，进而，解不等式即可. 【详解】， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 又恒成立，所以， 即，解得， 所以k的取值范围为. 故答案为： 例4．（25-26高一上·湖南长沙·期中）设，，且，若恒成立，则实数的最大值为________. 【答案】27 【分析】利用基本不等式和“1”的妙用求解即可. 【详解】，即， 且， 当且仅当时，等号成立，所以. 故实数的最大值为27. 故答案为：27 例5．（25-26高一上·广东广州·期中）设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】 【分析】利用换元法，将不等式左边转化为 的表达式，再多次利用基本不等式求得其最小值，从而得解. 【详解】因为，，所以，， 令，，则，，，， 所以 ， 当且仅当且且且，即， 即，时，等号成立， 又不等式恒成立，所以，即的最大值为. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·河北衡水·期中）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据均值不等式即可求解. 【详解】由可得， 不等式可化为，所以. 故选：A 变式2．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解． 【详解】由两个正实数满足， 即，， 所以， 当且仅当时等号成立， 又恒成立， 所以，解得． 故选：C． 变式3．（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出的最小值为，最后得到，求解参数范围即可. 【详解】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 变式4．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 变式5．（24-25高一上·山东潍坊·阶段检测）已知都是正数，且恒成立，求m的取值范围. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可. 【详解】正数，且，则， 当且仅当时取等号，又恒成立，则， 所以m的取值范围是. 考点二 由基本不等式证明不等关系 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 证明目标： 不给具体数值，依托 推导整式、分式不等式成立； 1. 常用基础不等式（可直接作为证明依据）： · ① · ② （全体实数都成立） · ③ （平方平均 算术平均 几何平均 调和平均） 1. 常见出题形式： · 已知 定值，证明 某常数； · 已知 定值，证明 某常数； · 多个正数相加、相乘结构不等式放缩证明； · 条件等式约束下证明分式不等式。 二、解题原理（证明通用步骤） 1. 观察不等式两侧结构，确定选用哪个均值不等式； 1. 验证所有变量均为正数，满足“一正”条件； 1. 直接套用公式放缩，或者配凑常数构造和定、积定； 1. 必要时多次使用基本不等式，注意每一步取等条件必须一致； 1. 顺着推导方向，从已知条件逐步推出要证的结论。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）（1）已知实数均大于0，证明：. （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）由不等式（当且仅当时等号成立）及不等式性质可得； （2）直接根据充分必要条件的充分性和必要性分别证明即可. 【详解】证明：因为（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）.又实数均大于0， 所以，，，再由不等式性质得， ,当且仅当时等号成立. 所以(当且仅当时等号成立) （2）充分性：因为， 所以，代入方程，得，即. 所以方程有一个根为1. 必要性：因为方程有一个根为1，所以满足方程， 所以，即. 故关于的方程有一个根为1的充要条件是. 例2．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题． 例如此题：正实数，，满足，求的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当即且时，即时等号成立． 这种解题方法叫作“1”的代换，利用上述求解方法解决下列问题： (1)正数，满足，求的最小值； (2)已知，，均为正实数，且，求证：； (3)已知，，，均为正实数，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“1”的变形技巧，利用基本不等式求解； （2）根据“1”的变形技巧，可得，利用基本不等式证明即可； （3）根据“1”的变形技巧，可得，化简后由基本不等式证明即可. 【详解】（1）, 当且仅当即且时，即时等号成立. （2），当且仅当即且时，即时等号成立. 故可得. （3） ， 当且仅当且时，即时等号成立. 故可得. 例3．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知是正实数． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）利用基本不等式进行累加求和证明即可； （2）利用三元完全平方和公式来进行证明即可； （3）利用代换法，结合均值不等式即可证明. 【详解】（1）由基本不等式可得， 累加得， 即，当且仅当时取等号； （2）由（1）得， 变形得 配方得， 因为，所以，当且仅当取等号； （3）因为，所以 ， 因为是正实数，所以，同理可得， 即， 当且仅当时取等号. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·湖南·阶段检测）（1）已知，证明：． （2）已知均为正数，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）先利用不等式的乘法法则得，然后利用不等式的加法法则证明即可； （2）结合不等式的加法法则，利用基本不等式证明即可. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以， 所以. （2）因为，所以，当且仅当时，等号成立. 同理，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当时，等号成立. 变式2．（25-26高一上·河南平顶山·阶段检测）对于题目：已知，，且，求最小值. 甲同学的解法：因为，，所以，， 从而，所以的最小值为. 乙同学的解法：因为，，所以. 所以的最小值为. (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？错误的请说明理由. (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）已知，，且，求的最小值； （ii）设，，都是正数，求证：. 【答案】(1) 甲错误，乙正确，理由如下： 同学甲的解法中，取等号时，，此时，不符合要求，故错误. 同学乙恒等变换后，直接用基本不等式，满足基本不等式的使用条件“一正”“二定”“三相等”解法正确； (2)（i）； （ii）因为，，为正数，结合基本不等式， ，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， 以上三式相加有， 即，当且仅当时取等号. 【分析】（1）根据使用基本不等式的前提及等号成立条件判断甲乙解法是否正确即可； （2）（i）由题设，且，应用基本不等式求最小值，注意取值条件；（ii）利用基本不等式证明不等式即可. 【详解】（1）略 （2）（i），则， ， 当且仅当，即时等号成立； （ii）略 变式3．（25-26高一上·江西景德镇·阶段检测）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，且. 求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据不等式，可得，，，相加后化简即可得证； （2）将等式两边平方，整理得，再根据不等式，， 即，解不等式即可得证. 【详解】（1）因为，，， 所以，，， 所以， 即，故， 当且仅当，即时，等号成立． （2）由，两边平方得， 故， 所以 其中， 即，解得. 当且仅当时，等号成立. 2 学科网（北京）股份有限公司 $