集合与简易逻辑-2027届高三数学一轮复习阶段测试卷

**基本信息** 聚焦集合与简易逻辑一轮复习，基础题巩固集合运算、充要条件等核心概念，创新题（如高斯函数、“好子集”定义）提升数学抽象与逻辑推理能力，适配高三复习查漏补缺需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合关系（1-2题）、充要条件（3/5/7题）、命题否定（10题）|基础题占比60%，多选题结合逻辑推理（如10题充分条件判断）| |填空题|3题15分|集合运算（12题）、命题真假（13题）、新定义集合（14题）|注重概念辨析，14题新定义集合考查数学语言表达| |解答题|5题77分|集合子集关系（15题）、充要条件应用（16-18题）、创新定义“好子集”（19题）|19题以“好子集”定义为载体，考查数学抽象与逻辑推理，呼应高考创新题型趋势|

2027高三一轮复习阶段测试卷 （范围：集合与简易逻辑） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．若集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知a，b为实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 7．设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 8．若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合，，若，则符合条件的实数的值可能为（   ） A． B． C． D．0 10．下列说法正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．“”是“”成立的充分不必要条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 11．，表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数．人们有时也称之为“向下取整函数”．则下列命题中正确的是（    ） A．， B．，， C．，，若，则 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 13．已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 14．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数是__________，子集的个数是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 16．设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的值． 17．已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 18．已知：，，：或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 19．已知集合（且），，且．若对任意，，当时，存在使得，则称A是S的m元好子集． (1)判断下列集合是否是的3元好子集：①；②；（直接写出结果，不需要说明理由） (2)若是的4元好子集，求的最小值； (3)若是（且）的m元好子集．求证：，并指出等号成立的条件． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C B A B C ABD BD 题号 11 答案 BD 1．C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确. 2．C 【详解】因为，即，解得， 则，故. 3．A 【详解】取，满足，但，故不能得到， 若，则，故， 综上可得“”是“”的充分不必要条件. 4．C 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 5．B 【详解】若，，满足，但. 若，因为，所以成立. 所以是必要不充分条件. 6．A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 7．B 【详解】集合， 集合， 当时，，； 当时，； 若，则； 若，则； 若，推不出. 所以是的充要条件； 是的必要不充分条件； 和都是的既不充分也不必要条件. 所以的一个必要不充分条件是. 8．C 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 9．ABD 【分析】讨论集合中的参数和，再利用子集关系求解. 【详解】由，可知. 当时，，此时，满足条件. 当时，，则有或， 解得或. 10．BD 【分析】利用全称量词命题的否定可判定A，利用充分条件、必要条件的定义结合反例可判定B、C、D. 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故A错误； 对于B，由可知，满足充分性， 而推不出，比如，不满足必要性，故B正确； 对于C，由不能推出，故C错误； 对于D，若，则方程判别式， 有两个不等根，且，所以两个根异号，满足充分性， 若方程有一正一负根，则需， 解之得，满足必要性，故D正确. 故选：BD 11．BD 【分析】根据的定义，逐一分析各个选项即可判断得解. 【详解】对于A，由，得恒成立，A错误； 对于B，，，则， 当时，，有； 当时，，因此，，B正确； 选项C，取，满足，而，C错误； 对于D，，当时，，则， 即有，又，因此； 当时，，则，即有， 又，因此，D正确. 故选：BD 12． 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 13． 【详解】因为，且， 若命题p：是真命题，则，即. 命题q：为假命题， 则，即， 综合可得，所以实数a的取值范围是. 14． 3 8 【分析】根据条件求出，进而可得结果. 【详解】按的定义，中元素为，共3个，子集个数为个. 故答案为：①3②8. 15．(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 16．(1)； (2)． 【分析】（1）先分别求解集合和集合，再根据交集的定义求出； （2）先分别求解集合和集合，再根据逻辑关系得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）当 时，集合， 分式不等式等价于：， 解得：，即 ， 因为集合 ， 由 ， 解得： 或 ，即 ， 因此：. （2）因为，则， 解得：，即 ， 则， 由题意，“”是“”的必要不充分条件， 即 ，且 ，则， 因此：， 解得：，所以 17．(1) (2) (3)或 【详解】（1）解不等式，得． 当时，，故． 因此． （2）“”是“”的必要不充分条件． 由题意得：，列不等式组：，解得， 所以实数m的取值范围为． （3）由，解得或， 命题p为真或， 即或得：或． 18．(1) (2) . 【分析】（1）先求，分和两种情况讨论，即可求解； （2）先求命题p为真命题时，的范围，再由q是p的必要不充分条件即可求解. 【详解】（1）：，， ∵是真命题，∴当时，显然成立； 当时，，∴. 综上所述，实数的取值范围是； （2）若为真命题，则当时，则，显然不成立； 当时，，解得或. ∴p为真命题时，或. ∵q是p的必要不充分条件，∴，且， ∴且，即， ∴实数的取值范围是 . 19．(1)不是的3元好子集，是的3元好子集. (2)20 (3)证明见解析，等号成立的条件为，且 【分析】（1）根据“好子集”的定义，检查集合中两个元素的和在不超过时是否仍属于该集合． （2）设，其中，按的取值分类讨论，求和的最小值． （3）先证明对任意，都有，再两两相加得到不等式．最后根据等号成立时的结构推出必为等差形式，并验证该形式满足条件． 【详解】（1）①因为，但，所以不是的元好子集． ②集合中，两数之和不超过的情况只有． 且，所以是的元好子集． （2）设. 若，则由好子集的定义可得. 再由. 可知至少含有这个元素，与是元集合矛盾． 故. 若，则，所以． 又，所以． 再由，得． 故. 因为是元集合，所以. 此时，并且满足好子集的定义，所以可以取到． 若，若，则由于中元素互不相同且递增，只可能有或. 当时，，但，不符合好子集的定义． 当时，，但，也不符合好子集的定义． 故当时，必有. 综上，的最小值为． （3）设. 先证明对任意，都有. 假设存在某个，使得. 则对，均有. 由好子集的定义可知都属于． 这些数两两不同，并且都大于，所以它们都只能出现在中． 但是前者共有个不同的数，后者只有个数，矛盾． 故. 于是 所以. 下面讨论等号成立的条件．若等号成立，则对任意，都有. 特别地，对，因为且为整数，所以. 由好子集的定义可知这个数两两不同，并且都大于，所以它们恰好是. 又因为随的增大而增大，所以. 于是，由，得. 所以. 因此等号成立时，必须有. 反过来，若，记. 任取，若. 则，由于为整数，得. 于是. 故是的元好子集，且. 所以等号成立的条件正是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $