第30章直线与圆的位置关系典例精讲与课后巩固-2026-2027学年人教版 数学九年级上册

本讲义聚焦直线与圆的位置关系核心知识点，系统梳理相离、相切、相交的判定，切线的性质与证明，三角形内切圆及正多边形与圆的性质应用，形成从基础判定到综合应用的递进学习支架。 资料亮点在于典例精讲分题型设计，如切线证明题结合角平分线与垂径定理培养推理能力（数学思维），正多边形题目通过中心角计算提升几何直观（数学眼光）。课后巩固覆盖多样题型，解析含思路细节，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺。

第30章直线与圆 年数 题型1：直线与 在△ABC中，AB=5cm, (1)若以点C为圆心，2cn (2)若线段AB与半径为" 题型2：圆的切 如图，AB是⊙0的直径 垂线，交AC的延长线于 E A (I)求证：BD=CD: 的位置关系典例精讲与课后巩固-2026-2027学 学九年级上册人教版（新教材） ○典例精讲 圆相离、相切、相交 3C=4cm,AC=3cm】 长为半径画⊙C,则直线AB与⊙C的位置关系如何？ 的⊙C有唯一公共点，求r的取值范围. 线 C点在O0上，AD平分∠BAC交OO于D,过D作直线AC的 E,连接BD,CD B 试卷第1页，共3页 (2)求证：直线DE是⊙O的切线； ③若D6=5,AB=4,求4D的长 题型3：三角形的内切圆 己知⊙0内接四边形ABCD中，BD平分∠ABC. 图1 图2 图3 (I)如图1，若AC,BD相交于E,求证：∠AEB=∠BCD. (2)如图2，连接0D交AC于F.若AC=16,AD=10,求⊙0的半径. )如图3，若4C为o0直径，8=3BD=7 2,求△ABC的内心与点O的距离. 题型4：正多边形与圆 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,连接AD、FD, 试卷第2页，共3页 I)若P是 D上的动点，连接BP、FP,求∠BPF的度数： (2)若△ADF 的面积为25，求O0的面积。《结果保留”) .⊙0 。课后巩固 一、单选题 1.下列命题是假命题的是() A.三角形的内心到三角形三边的距离相等 B.到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D.两角和夹边对应相等的两个三角形全等 2.若直线1与半径为5的⊙0相离，则圆心O与直线1的距离d为() A.d<5 B.d>5 c.d=5 D.ds5 3.如图，直线AB与OO相切于点A,线段AC,CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB:若 ⊙0 ,10CD=16 AC 的半径为， ，则弦的长为() 试卷第3页，共3页 A A20 B.16 c,&5 D.85 4.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C,点D在AB的延长线上，若 ∠A=25°，则∠D的度数为() 0 A.40° B.50° C.60° D.70 5.以坐标原点0为圆心，作半径为4的圆，若直线y=~x+b与⊙O相交，则b的取值范 围是() A.0≤22 B.-412sbs4 c.-2W2<b<22 D.-4W2<b<42 6.如图，正五边形 ABCDE 内接于o0,P为C上的-点（点P不与点C重合），则 C ∠CPD的度数为() B ○ D A.360 B.45° C.60° D.72 试卷第4页，共3页 7.如图，PA、PB分别与⊙0相切于A、B,∠P=60°，C为⊙0上一点，则∠ACB的度 数为() B A.110° B.120° C.125° D.130° 8.如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积( ) A.54v5-9玩 B.27V3+4n 27V5-4元 54V3+9元 D 9.如图，起00（不完整）分成相等的m段弧，其中44,4是其中的三个等分点， 连接44,41.若A41=18 依次连接各等分点得到的图形为() A.正十边形 B.正九边形 C.正八边形 D.正六边形 10.如图，以点O为圆心，4为半径作扇形AOB,已知AO⊥BO,点E在OA上，且 OE=2√3C 垂直平分OB D ,动点P在线段C 上运动（不与点D重合），设△ODP 的外 心为I, 结论I:四边形EODC为矩形； 试卷第5页，共3页 结论Ⅱ：E1的最小值为2 对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是() B A.I和Ⅱ都对B.I和Ⅱ都不对 C.I不对Ⅱ对 D.I对Ⅱ不对 二、填空题 11.如图，多边形ABCDEFGH是正八边形，点M是DE延长线上一点，连接AE,则 ∠AEM的度数为 B M 12.如图，己知∠BOA=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M.点 M在射线OB上运动，当OM=4cm时，⊙M与直线OA的位置关系是」 B M 13.如图，△ABC的周长为17，点O为△ABC的内心，连接OB、OC,OD⊥BC于点D, 若OD=2,则△ABC的面积是 A D 试卷第6页，共3页 14.如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙0上，连接OC、AC,过点B作⊙O的切线交OC 的延长线于点D.若OC=CD,则∠ACO的大小为一· B D l5.如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB,BC,CA的切点分别为D,E,F,若 ∠BDE+∠CFE=110°，则∠A的度数是 A E 16.拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井一一天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角 攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中△OCD是由△OAB绕着点O按逆 时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为 G F E B 三、解答题 17.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D为AC的中点.请仅用无 刻度的直尺按照下列要求作图（保留作图痕迹）， 试卷第7页，共3页 D D 图1 图2 (1)在图1中，作出∠ABC的平分线： (2)在图2中，作出△ABC的内心. 18.如图，△ABC是以AB为直径的⊙O的内接三角形，BD与O0相切于点B,与AC的延 长线交于点D,E是BD的中点，延长EC,交BA的延长线于点F. B D 0FC与00有样的位强关系并说明理血： EF 3 (②)若BD=8,BE2,求BF的长和O0的半径. 19.知图、4B是O0的直径，射线BC交O0于点D.B是劣4D上-点，且 E=DE 过点E作EF⊥BC于点F,延长FE和BA的延长线交于点G. G (1)证明：GF是⊙0的切线： ②若4G=6,66=65,求00的半径. 20.在圆内接正六边形ABCDEF中，AC,EC分别交BD于点H,G. 试卷第8页，共3页 B ① ② (I)如图①，求证：点H,G三等分BD: (2)如图②，过点O作AC的垂线，垂足为K,以点O为圆心，OK的长为半径作圆：（保 留作图痕迹，不写作法) (3)在(2)所作图形中，求证：CE是所作圆的切线 21.已知4B是o0的直径，4C,BC是O0的弦，D为1C的中点，OD与 C交于点E. (1)如图O,若∠BOD=128°，连接BD,求∠BAC和∠CBD的大小： B E C D 图① (2)如图②，过点C作⊙0的切线与OD的延长线交于点F,若DC∥AB,半径为2，求 CF,DF的长. B E D F 图② 试卷第9页，共3页 ®典例精讲解析 题型1：直线与圆相离、相切、相交 在△ABC中，AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm (1)若以点C为圆心，2cm长为半径画⊙C,则直线AB与⊙C的位置关系如何？ (2)若线段AB与半径为”的⊙C有唯一公共点，求r的取值范围. 【答案】(1)直线AB与⊙C相离. (2)r的取值范围是3cm<r≤4cm或r=2.4cm 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系和半径的取值范围： (0) 先依据勾股定理的逆定理确定△1BC为直角三角形，再用等面积法求出直角三角形的高， 通过直线与圆的位置关系，即可求解； (2)分类时论：当半径为3cm,4cm,2.4cm时，0C与4B交点的个数，即可求出半径的 取值范围. 【详解】(1)解：在△ABC中， AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm, 可得32+42=52， .AC2+BC2=AB2 △ABC为直角三角形，且∠ACB=90°， 如图，过点C作CD⊥AB于点D, AB·CDAC·BC 则。ABC的面积为： 2 2 答案第1页，共2页 5CD3×4 即2 2 ∴CD=2.4cm, 2cm<2.4cm, ∴直线AB与OC相离. (2)解：若线段AB与半径为r的⊙C有唯一公共点， 如图所示： 当r=AC=3cm时，⊙C与AB有两个交点， 当r=BD=4cm时，⊙C与AB有一个交点， 当r=CD=2.4cm时，⊙C与AB有一个交点， 综上所述：r的取值范围是3cm<r≤4cm或r=2.4cm. 【点睛】本题考查了直角三角形的判定、点到直线的距离以及直线与圆的位置关系，利用 勾股定理的逆定理判定直角三角形，再结合面积法求出点到直线的距离，熟练掌握直线与 圆的位置关系是解题关键. 题型2：圆的切线 如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于D,过D作直线AC的 垂线，交AC的延长线于E,连接BD,CD 答案第2页，共2页 (I)求证：BD=CD: (2)求证：直线DE是⊙O的切线： 6)若DE=5,4B=4,求4D的长 【答案】(I)证明：：在⊙0中，AD平分∠BAC, .∠CAD=∠BAD, :BD=CD; (2)证明：连接半径OD,如图1所示： 图1 则OD=OA, .∠OAD=∠ODA, ·DE⊥AC于E, 在Rt△ADE中，∠EAD+∠ADE=90°， 由(1)知∠EAD=∠BAD, ∴.∠BAD+∠ADE=90°， .∠ODA+∠ADE=90°， .OD⊥DE, 答案第3页，共2页 ∴.DE是OO的切线： 623 【分析】(1)证∠CAD=∠BAD,根据圆中弧、弦、角的关系即可求解： (2)连接半径OD,可得∠OAD=∠ODA;根据∠EAD+∠ADE=90°、∠EAD=∠BAD即 可求证： (3)过点D作DF1AB于R,可得 DF=DE =3RtAODF °，在 中求出OF 可推出 ∠ODF=30°，∠DOB=60°，据此即可求解. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：过点D作DF⊥AB于F,如图2所示： 图2 :AD平分∠BAC交OO于D,DE⊥AC于E, DF=DE=3 AB=4, .半径OD=2. 在RtAODF中，0F=VOD-DF2=1 .∠0DF=30°， .∠D0B=60°， .OD=OB .△OBD是等边三角形， 答案第4页，共2页 ..OF FB=1. ∴.AF=AB-FB=4-1=3」 在Rt△ADF中，AD=√AF+DF=25 题型3：三角形的内切圆 已知⊙O内接四边形ABCD中，BD平分∠ABC 图1 图2 图3 (I)如图1，若AC,BD相交于E,求证：∠AEB=∠BCD (2)如图2，连接OD交AC于F.若AC=16,AD=10,求⊙0的半径. (3)如图3，若AC为⊙0直径， 4B=3.BD= 2,求△ABC的内心与点O的距离. 【答案】(1)见解析 5 (2)3 5 (3)2 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与外接圆综合，圆内接四边形的性质，弧与弦之间 的关系，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线 是解题的关键。 (1)由角平分线的定义得到∠ACD=∠ABD,由同弧所对的圆周角相等可得 ∠ACD=∠ABD,则∠ACD=∠CBD,再由角的和差关系和三角形外角的性质可证明结论： (2四连接0，先证明而-历：白毫径定理得到00L4C,4一号4C=8,由匀股定理 得DF=6,设OA=OD=x,则OF=OD-DF=x-6,由勾股定理得=8+(x-6,解 方程即可得到答案； (3)过点D作DE⊥BA交BA延长线于E,DH⊥BC于H,可求出∠ABC=90°，则 答案第5页，共2页 乙48D4C=45,可E明。B0E是等服直知=角形，符到BE=DE·测则可求出 BE=DE子，AE=BE-AB:证明四边形EBD是矩形，得到DH=BE=2DE, BH=DE-子：正联ADEADHC(AS,得到CH=4E 2,则BC=BH+CH=4: AC=VAB+BC=5,设△MBC的内心为1，设OI分别与MB,BC,AC相切于D、B、 R,连接M,DMB队，E弘C,O,F,根据S 量Sc=Sam+Sac+Sa4c,可求出F=l 再证明四边形BDIE是矩形，得到BD=IE=1,则AF=AD=3-1=2,再利用勾股定理求 出O1的长即可得到答案， 【详解】(1)证明：：BD平分∠ABC, .∠ABD=∠CBD, ∠ACD=∠ABD .∠ACD=∠CBD, :∠AEB=∠ACB+∠CBD,∠BCD=∠ACD+∠ACB, .∠AEB=∠BCD: (2)解：如图所示，连接OA, BD平分∠ABC, .∠ABD=LCBD, 4D-CD :ODLAC.AF-14C=8, “在R△1DF中，由勾股定理得DF=VD-AF=6, 设OA=OD=x,则OF=OD-DF=x-6, 在RtAAOF中，由勾股定理得OA=AF2+OF2, :=82+(k-6} 答案第6页，共2页 25 解得x= 3 ..OA= 2 25 3,即o0的半径为3： A 图2 (3)解；如图3所示，过点D作DE⊥BA交BA延长线于E, B 图3 ,AC为⊙0直径， .∠ABC=90°， BD平分∠ABC, 2ABD48c=45 .△BDE是等腰直角三角形， .BE=DE, BD-BE+DE-BE-72 2, :BE=DE= , AE=BE-AB=1 2； :DE⊥BE,DH⊥BC,∠EBH=90°， ,四边形EBHD是矩形， .DH-BE-7-DE.BH-DE-7 7 : ,四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 答案第7页，共2页 H壬ogt Ha ∴.∠BAD+∠BCD=180° ,∠BAD+∠EAD=180°， ∴.∠EAD=∠HCD」 又：∠DEA=∠DHC=90°， △DE.A≌△DHC(AAS) CH=AE=1 2 .BC=BH+CH=4, AC=AB+BC=5 如图4所示，设△ABC的内心为I,设⊙I分别与AB,BC, A Al,DI,BI,EI,CI,OI,FI, 图4 ,ID=IF=IE,ID⊥AB,IE⊥BC,IF⊥AC, SA4BC=SAAB+SBc+SAAIC ÷4B8c-4BD+acE+54Cr、 2×3x4=1x 1 1 1 ×5IF+ ×4IF+二×3IF 2 .IF=1: .ID=IE=1, .ID⊥AB,IE⊥BC,∠DBE=90°， ∴.四边形BDIE是矩形， .BD IE =1, .AF=AD=3-1=2, 0A=4C= 5 2 2 答案第8页，共2页 C相切于D、E、F,连接 0F=0A-AF= 2, ,o1=V7F2+0F= 2, 5 .△ABC的内心与点O的距离为2 题型4：正多边形与圆 如图，正六边形ABCDEF内接于OO,连接AD、FD D ()若P是C 上的动点，连接BP、FP, 求∠BPF 的度数： (2)若△AD 的面积为25，求0 的面积。（结果保留”） 【答案】(1)60 (2)4π 【分析】此题考查了圆内接正六边形问题，解题的关键是掌握圆内接正六边形的性质及弦 和圆周角之间的关系. (1)连接AP、FO,利用弦和圆周角的关系即可求出∠BPF的值； (2)证明△10F是等边三角形，利用三角函数求 DP=5AF,AD=2AF,再根据 △ADF 25 的面积为求出圆的半径，即可求出面积. 【详解】(1)如图所示，连接AP、F0, 答案第9页，共2页 :六边形ABCDEF是正六边形， 六AF=AB, ∠A0F=360 6 =60° :∠APF=;∠A0F=30e 2 AF=AB, .∠APB=∠APF=30° .∠BPF=∠APB+∠APF=60°， (2):∠AOF=60°，A0=F0. ∴△AOF是等边三角形， .∠DAF=60°： DF-V3AF AD-2AF S.o-AFxDF-R2 2 .AF=2, 即⊙0的半径为2. 面积为：π×22=4元 ®课后巩固解析 1.c 【分析】从正方形的判定条件入手判断假命题. 【详解】解：A、B、D均为真命题 C为假命题，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，还需满足对角线互相平分. 2.B 答案第10页，共2页 【分析】一条直线与一个圆相离，那么该圆的圆心到该直线的距离大于该圆的半径，据此 可得答案. 【详解】解：直线与半径为5的⊙0相离， .圆心0与直线l的距离d>5. 3.C 【分析】连接AO并延长，交CD于点E,连接OC,根据切线的性质和平行线的性质可知 AE⊥CD,由垂径定理可知CE=8,利用勾股定理求出OE=6,再利用勾股定理求出AC 的长度即可. 【详解】解：如下图所示，连接AO并延长，交CD于点E,连接OC, :直线AB与⊙O相切于点A, .OA⊥AB :CD‖AB .AE⊥CD CD=16. .CECD-5. ⊙0的半径为10， ..OC=04=10 .0E=V0C2-CE2=V102-82=6 .AE=OA+OE=10+6=16, AC=VCE2+AE2=V82+162=85 E D B 答案第11页，共2页 4.A 【分析】连接OC.利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到 ∠DOC=∠A+∠OCA=50°，再根据切线的性质得到∠OCD=90°，然后利用直角三角形的 两个锐角互余求解即可. 【详解】解：连接OC D .OC=0A, .∠0CA=∠A=25° .∠DOC=∠A+∠OCA=50°， .CD是⊙O的切线， .OC⊥CD, .∠OCD=90°， ,∠D=90°-∠D0C=40° 5.D 【详解】解：当直线y=-x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图： 在卫=-x+ b中，令x=0时，y=b,则与y轴的交点是 (0,b) 当=0时，X=b,则与轴的交点是46,0)， 则OA=OB=b,即△OAB是等腰直角三角形， 在RtAOAB中，AB=VOAP+OB2=VB2+b=V2b 答案第12页，共2页 连接圆心O和切点C,则OC=4,OC⊥AB, :S.0m=040B=0c4B 2 :4=01-0B6-6 AB √2b' 则64V3 同理，当直线少=-x+b。 与圆相切，且函数经过二、三、四象限时， b=-4V2 y=-x+b -4W2<b<4V2 则若直线 与⊙O相交，则b的取值范围是 6.A 【分析】先求得中心角∠COD=72°，进而根据圆周角定理，即可求解. 【详解】解：，正五边形ABCDE内接于⊙O, A∠C0D=5×360=72】 :∠CPD与∠COD CD 别是所对的圆周角和圆心角， ..<CPD=1 ∠COD=36° 7.B 【分析】连接OA,OB,在优弧AB上取点D,连接AD,BD,根据切线的性质，圆周角定理 以及圆内接四边形的性质，进行求解即可· 【详解】解：如图所示，连接OA,OB，在优弧AB上取点D,连接AD,BD, 是 切线， B :APBP⊙O ∴.∠OAP=∠OBP=90° .∠A0B=360°-90°-90°-60°=120°， 答案第13页，共2页 ÷∠ADB=∠A0B=60, 2 又，圆内接四边形的对角互补， .∠ACB=180°-∠ADB=180°-60°=120° 8.A 【分析】由正六边形的性质得出正六边形可以分成面积相等的6个等边三边形，过点O作 1 OM1AI,则M=21L=2×6=3,根据勾股定理求出OM,求出So,进而可得出正 2 2 六边形的面积，最后根据正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积 即可得到结果. 【详解】解：正六边形AKJBLI如下图： ,又 ∠AOI=360°÷6=609 AO=10 ∴.△AOI是等边三角形， 同理可知：正六边形可以分成面积相等的6个等边三角形， 过点O作OM⊥A 1 5×6=3 :OM=VA0-AM2=V36-9=3V5 ÷5m-4x0M=x6x35=5, 6×9V5=54v5 正六边形的面积为： 六个小半圆的面积为：π·32×3=27π，中间大圆的面积为：π62=36π， 54V5+27π-36π=54V3-9元 所以阴影部分的面积为： 9.A 答案第14页，共2页 ∠A0An=2∠44，An=36° 【分析】根据圆周角定理可得 即正多边形的中心角，进而求得 边数，即可求解 A0,A0 【详解】解：如图，连接 A n+ A 4A=4d :∠40A,=2∠A44=36° 360 依题意，依次连接各等分点得到的图形为正n边形，其中”= 36 =10,即正十边形 10.A 【分折11：连接0C,CE,证明∠CD0=90,求出CD=0E=25,正明CD∥40， 则四边形EODC是平行四边形，即可证明四边形EODC为矩形；Ⅱ：先判断EI最短时，I 的位置，过I作H⊥OA于H,过1作G⊥OB于G,利用三角形的中位线的性质与勾股定 理求解即可. 【详解】解：连接OC,CE,则OC=OB=4, D B ,CD垂直平分OB, A0D=DB=2B0=2,∠CD0=90 :CD=V0C2-0D=VF-2=25 答案第15页，共2页 :CD=0E=2V5 :CD垂直平分OB,AO⊥BO, .CD∥AO, ∴.四边形EODC是平行四边形， .:∠CD0=909 .四边形EODC为矩形： 故结论I正确： 如图，：△OCD为直角三角形 △OCD的外心是OP的中点， 当P,C重合时， EI O1=C1=2, 最短， 过I作H⊥OA于H,过I作IG⊥OB于G, 垂直平分 OG D B·CD OB, ∴.OD=BD=2,IG∥CD, ∴.OG=DG=1, .G=3, :∠AOB=90°，IG⊥OB,IH⊥OA, .四边形OGH为矩形， OH=1G=V3,HⅢ=0G=1, :0E=2V5, :.HE=, .EI=VW32+1P=2 即EI的最小值为2. 答案第16页， 共2页 故Ⅱ正确. 11.112.5/112.5度 【分析】设点O为正八边形的外接圆圆心，连接OD,则OD=OE,求出正八边形中心角 ∠ODE=360°÷8=45°，再利用三角形内角和定理求出 ∠0ED=∠0DE=80°-∠D0B)=67,5,最后再利用平角的定义求解即可. 【详解】解：如图所示，设点O为正八边形的外接圆圆心，连接OD, M 则OD=OE .∠0DE=360°÷8=45°， ∠0D=∠0DE=080°-∠D0E)=675, .∠AEM=180°-∠OED=112.5° 12. 相切 【分析】先作MC⊥OA,再根据直角三角形的性质得出CM=2cm,然后根据⊙M的半径 是2cm可得答案， 【详解】解：过点M作MC⊥OA,交OA于点C, 在RtAOMC中，OM=4cm,∠BOA=30°， CM=号oM=2cm ,⊙M的半径是2cm,点M到直线OA的距离是2cm, :.⊙M与直线OA的位置关系是相切. 答案第17页，共2页 13.17 【分析】连接OA,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,由内心的定义和角平分 线的性质可得OD=OB=OF=2,根 SAc=Su0s+Soc+Saoc,即可解决问题. 【详解】解：如图，连接OA,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F, E 点为 内心， B D O△ABC OA,OB,OC分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB, OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC, ∴OD=OE=OF=2, .S.ARC=S.408+S.A0C+S.BOc -号4a0e+4c-0r+ac0n 2 =OD(AB+AC+BC) =17. 14.30°130度 【分析】连接BC,由愿意易得∠08D=90,∠AC8=90,则有BC=0C=CD0D 2 然后可得△OBC是等边三角形，进而问题可求解. 【详解】解：连接BC,如图所示： 答案第18页，共2页 ,过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点D, .∠OBD=90°， .OC CD BC-OC-CD-1OD 2 OB=OC, ..OB=OC=BC, .△OBC是等边三角形， ∠0CB=60°， AB为⊙O的直径， .∠ACB=90° ∴.∠ACO=∠ACB-∠OCB=30° 15.40°/40 【分析】根据切线长定理得到BD=BE,CE=CF,然后结合等边对等角和三角形内角和定 理求解。 【详解】解：⊙0是△ABC的内切圆，与AB,BC,CA的切点分别为D,E,F, .BD=BE,CE=CF, ∴.∠BDE=∠BED,∠CFE=∠CEF, .∠BDE+∠CFE=110°， ∴.∠BED+∠CEF=110° ∴.∠BDE+∠CFE+∠BED+∠CEF=220° :.∠B+∠C=360°-（∠BDE+∠CFE+∠BED+∠CEF)=140: :∠A=180°-（∠B+∠C)=40 16.90 【分析】根据正八边形的性质求出中心角的度数，结合旋转的性质确定旋转角为∠AOC, 即可求解. 【详解】解：，俯视图呈正八边形， 360° .正八边形的中心角为8 =45° 答案第19页，共2页 即∠AOB=∠BOC=∠COD=45°， ,△OCD是由△OAB绕着点O按逆时针方向旋转得到的， ∴.线段OA旋转后的对应线段为OC,线段OB旋转后的对应线段为OD ∴.旋转角为∠AOC, .旋转角∠A0C=∠AOB+∠B0C=45°+45°=90° 17.(1)如图，BE即为所求： B (2)如图，点M即为所求： E G 图2 【分析】(1)连接OD并延长交⊙0于点E,连接BE,根据中位线定理可得OD/BC,进 而得∠OEB=∠CBE,由OB=OE得∠OEB=∠OBE,代换得∠OBE=∠CBE,故BE即为 所求： (2)连接OC、BD交于点F,连接AF并延长交BC于点G,连接OG并延长交⊙O于点 H,连接AH交BE于点M,由OC、BD是△ABC的中线可得AG也是△ABC的中线，同 (1)可证AH平分∠BAC,故点M即为所求. 【详解】(1)解：如图，连接OD并延长交⊙O于点E,连接BE,BE即为所求： 答案第20页，共2页 ,点D是AC的中点，O是AB中点， .OD/IBC. ∴.∠OEB=∠CBE, .OB=OE. .∠OEB=∠OBE .LOBE=∠CBE. .BE平分∠ABC: (2)解：如图，在(1)的基础上，连接OC、BD交于点F,连接AF并延长交BC于点 G,连接OG并延长交⊙O于点H,连接AH交BE于点M,点M即为所求. E M 之 G引 H 图2 ,点D是AC的中点，O是AB中点，即OC、BD是△ABC的中线， .AG是△ABC的中线，即点G是BC中点， ..OGII AC, .∠OHA=∠CAH, OA=OH, ∴.∠OHA=∠OAH .∠OAH=∠CAH」 .AH平分∠BAC, 又：BE平分∠ABC,AH交BE于点M, 答案第21页，共2页 .点M是△ABC的内心. 18.(1)解：FC与⊙0相切.理由如下： 如图，连接OC, B :BD与⊙O相切于点B,, .OB⊥BD,即∠OBD=90°， ,AB为⊙O的直径， ,∠ACB=∠DCB=90°， E是BD的中点， CE-BE-BD .∠ECB=∠EBC, OB=OC, ∴.∠OCB=∠OBC, ∴.∠OCE=∠OBD=90,OC⊥FC, ,OC是⊙0的半径， .FC与⊙O相切： 45 (2)BF=25,⊙0的半径为 【分析】(1)连接OC,证明LOCE=∠OBD=90,OC⊥FC,可得证： C2)根据题京，求得EF=6,BF=EF-BE=25,设OC=,则 OF=BF-OB-25-x ,利用勾股定理解答即可 【详解】(1)略 (2)解：BD=8,∠DCB=90°，E是BD的中点， 答案第22页，共2页 .CE=BE= D4, EF 3 :BE2' .EF=6, .FC=EF-EC=6-4=2, 在Rt△FBE中，BF=VEF2-BE=V6F2-4=2W5 由(1)得∠OCF=∠ABD=90°， 设0C=,则9 OF=BF-OB=25-x OF2=0C2+FC2, (25-x=2+22 s45 解得： 5, 45 .⊙0的半径为5. 19.(1)证明：如图，连接OE, E G AE=DE ∠ABE=∠CBE, ..OE OB, .∠OBE=∠OEB, .∠OEB=∠FBE, .BF∥OE, 答案第23页，共2页 EF⊥BC, .∠BFE=90°， LBFE=LOEG=90°， .OE⊥GE, ∴.GF是⊙O的切线 (2)3 【分析】(1)连接OE,因为AE=DE,所以对应的圆周角相等，可推出OE与BC的平 行关系；又因为EF⊥BC,所以OE⊥EF,结合OE是半径，根据切线判定定理即可证明： (2)设⊙0半径为'，则G0=GA+A0=6+r,因为OE⊥GE,所以aGOE是直角三角形， 根据勾股定理列方程即可求解”. 【详解】(1)略. (2)解：设O0的半径为， AG=6,GE=6√2 .在Rt△GOE中，OE2+GE2=OG2, r2+(62=(6+r. 解得r=3, 即⊙0的半径为3. 20.(1)证明见解析 (2)作图见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)先由正六边形的性质、等腰三角形的性质得到相关角度，再由两个三角形全 等的判定定理得到 CDG≌aCBH(ASA),则CG=CH,进而由等边三角形的判定定理得 到△CGH是等边三角形，由全等三角形性质及等边三角形性质即可得到 CG=HG=DG=CH=BH,从而得证： (2)由尺规作图，过点O作线段AC的垂直平分线即可得到答案； (3)过点O作OP⊥CE,垂足为P,连接OC,如图所示，由切线的判定方法求证即可得 答案第24页，共2页 到答案。 【详解】(I)证明：在圆内接正六边形ABCDEF中，CD=BC=AB=DE, ∠CDE=∠DCB=∠ABC=120° .∠CDB=∠CBD=∠ACB=∠DCE=30° ∴.∠ACE=120°-30°-30°=60°，CG=DG,CH=BH, 在△CDG和△CBH中， ∠CDG=∠CBH CD=CB ∠DCG=∠BCH' ∴.ACDG≌ACBH(ASA) ∴CG=CH, :∠ACE=60°， ∴△CGH是等边三角形， ∴.CG=HG=DG=CH=BH. “点H,G三等分BD: (2)解：如图所示： 即为所求； ..OB⊙O (3)证明：过点O作OP⊥CE,垂足为P,连接OC,如图所示： E 则∠DC0=∠BC0=60°， 答案第25页，共2页 由(1)知∠ECD=∠ACB=30°， ∴.∠PCO=∠KC0=30° OK⊥AC,OP⊥CE, .OP=OK, ∴.OP为所作圆的半径， ∴.CE是所作圆的切线， 【点睛】本题考查圆与多边形综合，涉及圆的基本性质、圆内接正六边形性质、等腰三角 形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、尺规作图-作垂直平分线、 圆的切线的判定等知识，熟记圆与多边形相关性质是解决问题的关键. 21.(1)∠BAC=38°，∠CBD=26° (2CF=25DF=2 【分析】(1)由垂径定理推论可得OD⊥AC,求出∠AOE=52°，即可求出 ∠B4C=90°-52-38，再利用圆周角定理可得∠4BD∠10E=26,进而可得 2 ∠CBD=∠ABD=26°： (2)先证明四边形BODC是平行四边形，再结合OB=OD证得四边形BODC是菱形，得 到OD=CD,连接OC,推出aODC是等边三角形，得到∠DOC=∠OCD=60°， 根据切线的性质可得∠OCF=90°，进而得到∠DCF=90°-60°=30°， ∠F=90°-∠DOC=30°，再利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可. 【详解】(1)解：：D为1C 的中点， .OD⊥AC,即∠AEO=90°， .∠B0D=128°， .∠A0E=52°， ·∠B4C=90-52=38,∠ABD-40E=26， :D为AC的中点，即AD=CD」 .∠CBD=∠ABD=26°： (2)解：：AB是⊙O的直径， 答案第26页，共2页 .∠ACB=90°， .∠AE0=90°， ..ODI BC. :DC∥AB, 四边形BODC是平行四边形， .OB=OD ∴四边形BODC是菱形， .'.OD=CD 连接OC，如图②， 则OD=CD=OC=2, ∴，△ODC是等边三角形， .∠DOC=∠OCD=60°， :CF是⊙O的切线， .∠OCF=90° ∴.∠DCF=90°-60°=30°，∠F=90°-∠D0C=30°， .OF=2OC=4,∠F=∠DCF=30°， :.CF=V4-2=25.DF=cD=2 B E F 图② 答案第27页，共2页