第27章反比例函数典例精讲与课后巩固2026-2027学年数学九年级上册人教版

**基本信息** 聚焦反比例函数概念-性质-应用逻辑链条，通过典例精讲与分层巩固，系统提炼待定系数法、几何性质综合等解题方法，培养数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|3个题型（概念/图象性质/实际应用）|待定系数法求解析式、点坐标代入验证、几何图形面积与函数关系转化、数据拟合建立反比例模型|从概念（定义）到图象性质（增减性/象限分布），再到实际应用（物理/生活问题建模），形成完整认知链| |课后巩固|21题（选择10/填空6/解答5）|函数图象上点的坐标特征应用、不等式与函数图象关系、k的几何意义综合、跨学科问题函数建模|覆盖基础巩固到综合拔高，强化概念理解→性质应用→综合创新的递进训练|

第27章反比例函数典例精讲与课后巩固-2026-2027学年数学九年级上册人教版（新教材） 典例精讲 题型1：反比例函数的概念 已知反比例函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 题型2：反比例函数的图象和性质 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． (1)求的值； (2)将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式． 题型3：实际问题与反比例函数 综合与实践 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 长度（） 振动频率（） 【探索发现】 (1)通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； (2)请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 表2  C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 【实际应用】 (3) 根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到） 课后巩固 一、单选题 1．若一个反比例函数的图象经过，两点，则m的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 2．下列各点在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．若点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 4．某实践小组进行溶液反应实验，向一定量的甲溶液中逐滴加入乙溶液，反应生成白色沉淀．实验发现：生成沉淀的质量（）与反应后剩余甲溶液的质量（）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（   ） 剩余甲溶液的质量 2 4 5 10 20 沉淀的质量 10 5 4 2 1 A． B． C． D． 5．汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中正确的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而增大 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 6．如图，点为反比例函数的图象上一点，过点向坐标轴作垂线围成矩形，设的长度为，矩形的周长为，当时，的范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知在中，，点B在y轴上，轴，反比例函数的图象经过点A和点C，若点A的横坐标为3，，则k的值为（   ） A．18 B． C．12 D．6 8．如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 9．已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，则下列结论：①k的值可以为；②；③若点，则的解集是或；④．其中结论正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 10．一次函数（）与反比例函数（，）的图象交于点P，点P的纵坐标为．过反比例函数图象上的点M（与点P不重合）作y轴垂线，垂足为点N，交的图象于点Q，其中O为坐标原点．若，则下列选项正确的是（   ） A． B．m的值为 C．当时，反比例函数的值大于一次函数的值 D．点M的坐标为 二、填空题 11．若反比例函数（k为常数，）的图象在第二、四象限内，则k的值可以是_________．（写出一个满足条件的值） 12．某反比例函数满足当自变量时，函数值随的增大而减小，写出一个满足条件的函数表达式：____________． 13．关于的不等式的解集为或，则________． 14．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻小于时，电流可能是________A． 15．如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为_______． 16．如图，在平面直角坐标系中，的两条边分别与坐标轴平行，过原点O，已知点A，B在反比例函数的图象上，过点C作直线，与该反比例函数的图象相交于点E，F．若，，则的长为______． 三、解答题 17．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． (1)求a、b的值； (2)若一次函数的图象也经过点A和点B，求这个一次函数的表达式． 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，与交于点E． (1)求k的值． (2)连接，，求证：． 19．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点． (1)若点A的横坐标为3，，直接写出的值______； (2)若，求出此时的值． 20．小明在野外考察时，准备利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，小明知道，当压力不变时，压强与受力面积存在一定的函数关系，为研究这个关系，小明借助自身体重，利用若干大小不同的木板（质量不计）和电子压强计进行实验，每次实验小明均竖直站立在木板上，用电子压强计测量木板对地面的压强，经过多次实验，得到了木板对地面的压强与木板面积的部分对应值，如下表： 木板面积 0.5 1 1.5 2 2.5 3 木板对地面的压强 600 300 150 120 100 (1)求与之间的函数关系式及表中的值． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象． (3)资料显示：这片烂泥湿地所能承受的最大压强为．小明若用一块面积为的木板，则他能否安全通过这片烂泥湿地？若能，求湿地所承受的压强；若不能，则木板面积至少需要比原来增加多少平方米才能安全通过？ 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点的坐标是． (1)分别求反比例函数和一次函数的表达式； (2)将一次函数的图象向右平移个单位，平移后的图象与反比例函数图象在第二象限内只有一个交点，求的值． (3)在（2）的条件下平移后的图像上有一点，平面内存在一个点，使得、、、所组成的四边形为矩形，请直接写出满足条件所有点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例精讲解析 题型1：反比例函数的概念 已知反比例函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：点在该函数图象上， 理由：由（1）得函数解析式为， 当时，，与点的纵坐标一致， ∴点在该函数图象上． 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． （1）将点代入函数解析式，即可求得m的值； （2）根据（1）中所求得到函数解析式，判断点是否满足该函数解析式即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得； （2）略 题型2：反比例函数的图象和性质 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． (1)求的值； (2)将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，即可求出的值； （2）根据，设直线的解析式为，根据平行线间距离相等得出，结合的面积为求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线过点， ， 解得：． （2）解：如图，连接， ∵将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点， ∴， ∴设直线的解析式为，， 当时，， ∴，， ∵的面积为， ∴，即， ， ， 直线的解析式为． 题型3：实际问题与反比例函数 综合与实践 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 长度（） 振动频率（） 【探索发现】 (1)通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； (2)请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 表2  C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 【实际应用】 (3)根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到） 【答案】(1)高； (2)函数图象，如图所示 反比例， (3)解：这批吸管制作的排箫不能吹出低音区的音． 由题可得，低音区的音频率为， 代入， ∴， ， ∴这批吸管制作的排箫不能吹出低音区的音． 【分析】（1）根据函数的增减性求解； （2）根据图象的特征及待定系数法求解； （3）根据y值代入求x值． 【详解】（1）解：通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高； 故答案为：高． （2）解：描点、连线略． 根据表格可知， ∴从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用反比例函数模型反映，该函数表达式为； （3）略 课后巩固解析 1．A 【分析】先利用点A的坐标求出，再代入点B的坐标列方程求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为． ∵反比例函数图象经过点． ∴． 又∵点也在反比例函数图象上． ∴． 解得． 2．C 【分析】本题考查判断点是否在反比例函数图象上，能够正确计算是解题的关键． 反比例函数图象上的点满足，只需计算各选项点横纵坐标的乘积，判断是否等于即可求解． 【详解】解：由得， A.，故不符合题意； B.，故不符合题意； C.，故符合题意； D.，故不符合题意． 3．B 【分析】根据的符号判断函数图象所在象限，再结合各象限内随的变化规律比较大小即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴点，都在第二象限， ∴， ∵， ∴点在第四象限， ∴， 综上可得． 4．A 【分析】由表格数据，推测与之间是反比例函数关系，并写出关系式即可． 【详解】解：由表格可知，为定值， ∴与之间是反比例函数关系， ∴． 5．D 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法错误，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法错误，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，不符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，符合题意 6．B 【分析】由题意得矩形的周长为，得到当且仅当即时，取得最小值为24；据此求解即可． 【详解】解：∵的长度为， ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴矩形的周长为， ∵， ∴当且仅当即时，取得最小值为24； 当时，； 当时，； ∴当时，的范围是． 7．C 【分析】添加辅助线，得到点C的横坐标，再根据三角形面积得到高的长度，设出点A坐标，结合点在反比例函数图象上求解即可． 【详解】解：如图，作于点D， ∵在中，，且点A的横坐标为3， ∴，即可得点C的横坐标为6． 由，解得． 设，则， ∵反比例函数的图象经过点A和点C， ∴，，即 解得，则． 8．A 【详解】解：连接、，线段交y轴于点D， ，， ， ， 由反比例函数中k的几何意义知，，， ． 9．D 【详解】解：结论①：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，，反比例函数图象在第一、三象限， ∴正比例函数的图象经过第一、三象限， ，故不可能为．①错误； 结论②：∵正比例函数与反比例函数图象的交点，关于原点对称，．②正确； 结论③：，点与点关于原点中心对称， 点， 当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方， 此时，或．③正确； 结论④：，两点关于原点对称， ，， 把代入反比例函数解析式得：，．④正确． 10．D 【分析】先根据已知线段长度确定Q点坐标，求出一次函数的k，再结合P点纵坐标求P点坐标，得到反比例函数的m，接着求出M点坐标，最后结合函数的图象性质判断各选项即可． 【详解】解：， ，， 轴，，点Q在上，， ， ，解得，故选项A错误，不符合题意； ， 一次函数解析式为， 点P是两函数图象的交点，且纵坐标为， 当时，，解得，即， 则，故选项B错误，不符合题意； 反比例函数解析式为， 则两函数图象如图所示， 交点， 由图可知，当时，反比例函数的值小于一次函数的值，故选项C错误，不符合题意； 点M与Q纵坐标相同，， ， 点M在反比例函数上， ，即，故选项D正确，符合题意． 11．（答案不唯一） 【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限内，则， ∴k的值可以是（答案不唯一）. 12．(答案不唯一) 【详解】解：设反比例函数的解析式为 ，由题意可知，当时，随的增大而减小，根据反比例函数的性质可得，取，可得满足条件的函数表达式为，答案不唯一． 13． 【分析】将不等式转化为直线与反比例函数的图象的交点问题，得到直线与反比例函数的图象的交点的横坐标为和，进而求出交点坐标，代入一次函数解析式，即可得出结果. 【详解】解：∵的解集为或， 即的解集为或， ∴直线与反比例函数的图象的交点的横坐标为和， 当时，，当时，， ∴两条图象的交点为， 把，代入，得. 14．5（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数图象判断即可． 【详解】解：由图象可知电流与电阻是反比例函数关系，电流随电阻的增大而减小，则当电阻R小于时，电流， 故可以是． 15．3 【分析】将点代入反比例函数解析式即可求出值，即可求解． 【详解】解：将点代入反比例函数解析式， 得：， 解得：， 则反比例函数的解析式为：， ∴ 设点， ∴，， ∴矩形的面积为：． 16． 【分析】设点的坐标为，则，，结合点A，B在反比例函数的图象上，且过原点O，求出，则，，待定系数法求出反比例函数为，设直线的解析式为，联立，计算即可得出结果． 【详解】解：设点的坐标为， ∵的两条边分别与坐标轴平行，，， ∴，， ∵点A，B在反比例函数的图象上，且过原点O， ∴， 解得：， ∴，， 将代入反比例函数可得，即， ∴反比例函数为， 设直线的解析式为， 将代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入可得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，可得， 解得：或， 设，，且，则， ∴， ∴． 17．(1)4，3 (2) 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，B都在反比例函数的图象上， ∴把，代入，得， 解得， 把，代入，得， 解得； （2）解：由（1）得点，， 把，和，代入， 得 解得 ∴这个一次函数的表达式为． 18．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质求得点的坐标，从而得到点的坐标，进而求解； （2）根据反比例函数的解析式求得点的坐标，从而得到是的中位线，进而求解． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为， ∴点B的坐标为， ∴的中点D的坐标为， ∴． （2）证明：∵反比例函数的表达式为， ∴当时，， ∴点E的坐标为， ∴E是的中点． 又∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据点的横坐标求出其纵坐标，结合已知条件即可求出点的横纵坐标，从而求出值． （2）利用点和点与各自函数的关系可求出其横纵坐标的乘积，将其转化成线段关系，利用三角形的面积公式，表示出和的面积，利用等底关系和结合，将其面积比转化为线段比，即可求出的值． 【详解】（1）解：横坐标是3，在反比例函数上， 的纵坐标为， ， ， 在第四象限， 的纵坐标为， ， 和的横坐标相等， 的横坐标为3， ， ． （2）解：连接，，如图所示， 轴，在反比例函数上， ， ， ， 同理，， ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数中点的坐标和值的关系，以及反比例函数中三角形面积问题，解题的关键在于点的坐标的乘积结果可以转化成面积的线段乘积关系． 20．(1)， (2)见解析 (3)不能，木板面积至少需要比原来增加才能安全通过 【分析】（1）根据表格中数据可判断与之间是反比例函数关系，设，代入一组对应值求得的值即可；将代入关系式，求的值． （2）根据表格中数据描点，用平滑曲线顺次连接这些点可得反比例函数的图象． （3）求出时的值，与最大压强比较，即可判断能否安全通过；求出时的值，进而计算木板面积的增加量． 【详解】（1）解：由表格中数据可知，与之间是反比例函数关系， 设与之间的函数关系式为， 把代入，得， 解得， 故与之间的函数关系式为． 当时， ； （2）解：描点、画出该函数图象如图所示． （3）解：不能． 将代入，得． ∴小明不能安全通过． 由（1）可知时，． 结合图象可知，当时，， 故木板面积最小为， ， 故木板面积至少需要比原来增加才能安全通过． 21．(1)， (2) (3)或或或 【分析】（1）将点的坐标分别代入函数表达式中即可求解； （2）求出平移后的一次函数表达式，联立反比例函数表达式，得到一元二次方程，根据求解即可； （3）分两种情况讨论，当为边时，当为对角线时，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：将点的坐标代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为：． 将点的坐标代入，得 ，解得， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：一次函数向右平移个单位后的表达式为：， 联立， 则， 整理得：， ∵平移后的图象与反比例函数图象在第二象限内只有一个交点， ， 解得或． 当时，，不经过第二象限，舍去． ∴． （3）解：当时，． 联立，解得或， ∴． 如图，点， 则直线的解析式为，， ． 设点， 则直线的解析式为，， ． ． ∴与直线垂直的直线为直线． 当为边时， 过点作的垂线，交直线于点， 由上可得直线的表达式为：， 将点代入，得 ，解得． ∴直线的表达式为：． 联立，解得， ∴点的坐标为：． 过点作的垂线，交直线于点， 同理可得，直线的表达式为：， 联立，解得， ∴点的坐标为：． 当为对角线时， 则， 设点， ， ， 解得或， ∴点的坐标为：或． 综上所述，点的坐标为：或或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $