第26章二次函数典例精讲与课后巩固2026-2027学年数学九年级上册人教版

**基本信息** 以二次函数三种形式为核心，通过5类典例系统构建“概念-性质-应用”方法体系，融合数形结合与模型思想，培养推理能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |y=ax²图象性质|1|待定系数法/性质应用|基础形式引入| |y=a(x-h)²+k图象性质|1|图象绘制与性质分析|顶点式深化| |y=ax²+bx+c图象性质|1|顶点式/根与系数关系|一般式综合| |二次函数与一元二次方程|1|联立方程/判别式|代数几何衔接| |实际问题与二次函数|1|函数建模与最值求解|实际应用拓展|

第26章二次函数典例精讲与课后巩固-2026-2027学年数学九年级上册人教版（新教材） 典例精讲 题型1：二次函数y=ax²的图象和性质 已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 题型2：二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 已知二次函数 … … … … (1)在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象．（标准图） (2)根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向和增减性； 题型3：二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 在平面直角坐标系中，抛物线l：（）与x轴分别相交于、两点（点在点的左侧），与y轴相交于点，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点，且． (1)求m的值； (2)将抛物线向上平移3个单位，得到抛物线，设点、是抛物线上在第一象限内不同的两点，射线、分别交直线于点、，设、的横坐标分别为、，且，求证：直线经过定点． 题型4：二次函数与一元二次方程 对于平面直角坐标系中的函数图象M和多边形P，若多边形P的每条边均与图象M有公共点，则称图象M和多边形P是交错的；若多边形P的每条边均与图象M有两个公共点，则称图象M和多边形P是双重交错的，设，，，． (1)设一次函数的图象为图象M，下面的多边形中，M和______是交错的（填所有满足要求的多边形的序号）； ①，②，③，④四边形； (2)设二次函数的图象为图象M． ①若，，将M向右平移个单位长度得到图象，若图象和是双重交错的，则d的取值范围是______； ②若存在实数c使得图象M和是双重交错的，直接写出a的取值范围． 题型5：实际问题与二次函数 今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数2月份为4万人，4月份为万人． (1)若设月平均增长率相同，则该景区游客人数平均每月增长百分之几？ (2)若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 100元/人 80元/人 160元/人 据预测，5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有3万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． ①若丙种门票价格下降10元，求景区5月份的门票总收入； ②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区5月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 课后巩固 一、单选题 1．二次函数的图像过点，，若，则的值可能为（     ） A． B．2 C．3 D．4 2．将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是(    ) A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象经过第一、第二、第四象限，则下列选项中的结论正确的是(     ) A． B． C． D． 4．二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，则（     ） A． B． C． D． 5．已知二次函数（且为常数），当时的函数值，则当时的函数值与的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能确定 6．已知二次函数的图像经过点，，且与y轴交于点．若该函数图像上有一点P到x轴的距离等于到y轴的距离，则所有满足条件的点P的横坐标之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（     ） A．函数图象开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，函数值随的增大而减小 D．函数的最小值等于 8．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，是边上一动点，过点作，交于点，连接，设，的面积为，则关于的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 10．如图1是某地的一座桥塔，它的外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，A、B为该抛物线桥塔与桥面所在平面的两个交点（点A与点B关于该抛物线的对称轴对称），点O在的延长线上，以所在直线为x轴，抛物线所在平面内过点O且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式，若点P在抛物线上，且在对称轴的右侧，点P到x轴的距离为，则点P到y轴的距离为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．二次函数的最大值是___________． 12．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 13．已知函数的图象与坐标轴有两个交点，则的值为____． 14．已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 15．公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②．喷头高5m时，水柱落点距O点5m；喷头高8m时，水柱落点距O点6m．现要使水柱落点距O点8m，则喷头高应调整为______m． 16．已知抛物线（是常数，）的顶点为．小明同学得出以下结论，其中一定正确的是___________．（填序号） ①；②；③抛物线是由抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的． 三、解答题 17．已知抛物线． (1)当时，求抛物线与x轴的交点坐标； (2)已知，，且，求的取值范围． 18．某文具专卖店专销某种品牌的钢笔，进价12元/支，售价20元/支．为了促销，专卖店决定：凡是一次性购买超过10支的，每超过一支，所购钢笔每支售价就降低0.20元，但是每支售价不能低于16元．如图线段和是购买钢笔的单价y（元/支）与购买数量x（支）的函数图象的一部分． (1)顾客要想以最低价购买，需要一次至少购买_________支（填最后结果）； (2)当顾客一次购买x支时，求专卖店的利润w（元）与购买数量x（支）之间的函数关系式； (3)求顾客一次购买多少支时，专卖店的利润是123.2元？ 19．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，若，求点的坐标． 20．已知二次函数的图象经过，两点． (1)求和的值； (2)在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象． 21．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标； (3)图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例精讲解析 题型1：二次函数y=ax²的图象和性质 已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 【答案】(1)，． (2)当时，二次函数的函数值随的增大而增大． (3)点的坐标为． 【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）联立两函数解析式，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴，即， 把点A的坐标代入得， ∴； （2）解：由（1）得二次函数的解析式为， ∴对称轴为y轴，函数图象开口向下， ∴当时，二次函数的函数值随的增大而增大； （3）解：联立，解得或， ∴点B的坐标为． 题型2：二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 已知二次函数 … … … … (1)在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象．（标准图） (2)根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向和增减性； 【答案】(1) 解：填表如下， … 0 1 … … 0 2 0 … (2)解：顶点坐标，对称轴是直线，开口向下，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小． 【详解】（1）略； （2）略． 题型3：二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 在平面直角坐标系中，抛物线l：（）与x轴分别相交于、两点（点在点的左侧），与y轴相交于点，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点，且． (1)求m的值； (2)将抛物线向上平移3个单位，得到抛物线，设点、是抛物线上在第一象限内不同的两点，射线、分别交直线于点、，设、的横坐标分别为、，且，求证：直线经过定点． 【答案】(1) (2)由（1）得 如图，将抛物线向上平移3个单位后得到抛物线：， ∵点、是抛物线上在第一象限内不同的两点， ∴设点，， 由，分别可求得：， ∵点、在直线上， ∴点，， ∵ ∴，即，整理得， 设直线的解析式为，与联立得： ，， 整理得， 由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为，， ∴当时，， ∴直线经过定点． 【分析】（1）由顶点式求得对称轴，由x=0处函数值求得C点坐标，根据列方程求解即可； （2）设点，，由原点可得直线PO、QO的解析式，再由y=-2可得点、横坐标，由可得；设直线的解析式为，与联立可得，利用根与系数的关系可得，，代入求得，于是直线为经过定点． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 在中，令，则， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； （2）略 题型4：二次函数与一元二次方程 对于平面直角坐标系中的函数图象M和多边形P，若多边形P的每条边均与图象M有公共点，则称图象M和多边形P是交错的；若多边形P的每条边均与图象M有两个公共点，则称图象M和多边形P是双重交错的，设，，，． (1)设一次函数的图象为图象M，下面的多边形中，M和______是交错的（填所有满足要求的多边形的序号）； ①，②，③，④四边形； (2)设二次函数的图象为图象M． ①若，，将M向右平移个单位长度得到图象，若图象和是双重交错的，则d的取值范围是______； ②若存在实数c使得图象M和是双重交错的，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)② (2)①；② 【分析】（1）逐一判断每个多边形的每一条边所在线段与直线是否有公共点，可通过将线段端点代入直线方程两侧或联立求交点坐标来判定，排除那些存在某条边与直线无交点的多边形，最终只需找出三条边均与直线有公共点的那个多边形即可； （2）①平移后的抛物线要与三角形每一边都有两个交点，关键在于确定临界状态，即抛物线与某条边恰好相切（一个交点）时的值，通过联立方程并令判别式为零求出临界，再结合图形位置确定满足“两个交点”的取值范围； ②若存在实数使得抛物线与三角形三边均有两个交点，可先确定临界情形，即抛物线过顶点且与对边相切，将的坐标代入抛物线可得的关系式，由的坐标得出边所在直线解析式之后结合抛物线与相切的临界状态得出的另一个关系式，两式联立即可解出,结合双重交错的定义以及函数图象，即可确定满足条件的的取值范围． 【详解】（1）如图，在同一坐标系中画出，以及，，，四边形， 与中， 边与无交点，四边形ABCD中， ，边与无交点，均不符合题意， 三边均与相交，因此图象和是交错的. （2）①，， 二次函数解析式为， 如图1，平移之前函数与每边均有两个交点， 将M向右平移个单位长度得到图象， 所以平移后的二次函数解析式为， 若图象和是双重交错的， 二次函数与线段均有两个交点， 如图2 ，为临界状态，此时图象和边相切， 设线段所在直线解析式为， 代入，解得， 所以线段所在直线解析式为 联立二次函数与线段所在直线解析式 得， 整理得， 所以， 解得， 所以要使图象和是双重交错的，则d的取值范围是． ②若存在实数c使得图象M和是双重交错的， 如图3，临界状态为抛物线过点且与线段相切，则 设线段所在直线解析式为， 将，代入解得， 所以线段所在直线解析式为， 当抛物线过点时，代入得， 解得：①， 当抛物线与线段相切时， 联立抛物线与解析式消去得， 整理得， 当时， 解得②， 由①②得：， 整理得，解得， ∴ 因为与线段必须有两个交点， 所以抛物线的对称轴须在之间， 即， ∴， 综上所述，若存在实数c使得图象M和是双重交错的，则． 【点睛】本题以“双重交错”这一新定义为载体，核心考查一次函数与二次函数的图象性质（平移、对称轴、开口方向），以及直线与抛物线交点个数的代数判定方法（联立方程、判别式 ），解题的关键在熟悉一次函数与二次函数的图像以及性质，特别是通过数形结合找到临界状态——当图象与某条边相切或经过顶点时，交点个数发生会发生变化，通过联立方程并令可求出参数的临界值，但必须进一步验证切点或交点是否在线段上，且需结合对称轴位置（如第（2）②问中需满足 ）确保抛物线与三条线段同时满足双交点条件，而非仅与所在直线相交，整个过程体现了数形结合、分类讨论以及临界分析的核心思想． 题型5：实际问题与二次函数 今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数2月份为4万人，4月份为万人． (1)若设月平均增长率相同，则该景区游客人数平均每月增长百分之几？ (2)若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 100元/人 80元/人 160元/人 据预测，5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有3万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． ①若丙种门票价格下降10元，求景区5月份的门票总收入； ②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区5月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 【答案】(1) (2)①898万元；②当丙种门票价格降低24元时，景区5月份的门票总收入有最大值，为917.6万元 【分析】（1）设该景区游客人数的月平均增长率为，则三月份的游客为万人，四月份的游客为万 人，再列方程，解方程可得答案； （2）①分别计算购买甲，乙，丙三种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案； ②设丙种门票价格降低元，景区5月份的门票总收入为万元，再列出与的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大利润即可得到答案． 【详解】（1）解：设该景区游客人数的月平均增长率为， 由题意，得， 解这个方程，得（舍去） 答：该景区游客人数平均每月增长率为． （2）解：①由题意，得： （万元）， 答：景区5月份的门票总收入为898万元． ②设丙种门票价格降低元，景区5月份的门票总收入为万元， 由题意，得： ， ， 当时，取最大值，为元，即万元． 答：当丙种门票价格降低24元时，景区5月份的门票总收入有最大值，为万元． 课后巩固解析 1．B 【分析】将两点坐标代入二次函数得到，结合得到关于的不等式，根据确定的取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵二次函数的图像过点，， ∴， ∵ ∴ 整理得 ∴ 方程的两根为和 ∵ ∴，即 ∴的解集为 结合，可知只有满足条件，均不满足条件． 2．C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则计算即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 ∵抛物线向左平移2个单位，根据平移规则“左加右减自变量”，得平移后解析式为 再将得到的抛物线向下平移3个单位，根据平移规则“上加下减常数项”，得最终解析式为． 3．C 【分析】根据二次函数的图象性质，判断开口方向，对称轴位置，与轴交点，判别式，逐一分析选项即可得到结论． 【详解】解：∵二次函数 的图象经过第一，第二，第四象限， 若开口向下，图象必然经过第三象限， ∴，对称轴为， ∵对称轴在轴右侧， ∴， 又∵得， ∴，选项A错误； 当时，，即函数与轴交点为， 若图象只经过第一，第二，第四象限，则交点不在轴负半轴，即 ， ∴，选项C正确； ∵图象经过第四象限，说明二次函数与轴有两个不同交点， ∴判别式 ，选项D错误； 对于选项B，举反例：取，， ，二次函数 符合过第一，第二，第四象限的要求，此时 ，故B错误． 综上，答案选C． 4．C 【分析】根据二次函数图像的性质，由开口方向确定 的符号，由对称轴确定 与 的关系，由与 轴交点确定 的符号，结合特殊点的函数值进行判断． 【详解】解： 抛物线开口向下， ． 对称轴是直线 ， ，即 ， ，故 C 选项正确． ， ． 抛物线与 轴交点在 轴上方， ． ，故 A 选项错误． 由图可知，当 时，， 即 ． 将 代入得 ，即 ，故 D 选项错误． 根据抛物线的对称性，当 时，，则当 时 ， 即 ，故 B 选项错误． 5．A 【分析】利用二次函数图象的开口方向、与轴两个交点的距离判断的位置，进而判断函数值符号． 【详解】解：已知二次函数，配方可得， ∵二次项系数为， ∴抛物线开口向上， ∵时， ∴抛物线与轴有两个不同交点， ∴判别式，得，结合已知，可得， 解方程， 可得两个根为，， 两根的距离为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，可得，则， 又∵， ∴， ∵抛物线开口向上，当时，函数值大于， ∴． 6．B 【分析】先根据已知点坐标求出二次函数解析式，设点坐标为，再根据点P到x轴、y轴距离相等得到或，分两种情况联立方程，计算所有满足条件的横坐标之和即可． 【详解】解：∵二次函数经过，，， ∴将三点坐标代入解析式得， 解得， ∴二次函数解析式为， 设点坐标为， ∵点P到x轴的距离等于到y轴的距离， ， ∴或 ①当时，得， 整理得， ∴该方程两根之和为； ②当时，得， 整理得， ∴该方程两根之和为， 两个方程无公共根， ∴所有满足条件的点的横坐标之和为． 7．D 【分析】先选取表格中三个点代入解析式求出系数，得到顶点式后根据函数性质逐一判断选项即可． 【详解】解：选取表格中三组对应值，，代入， 得， 解得， ∴二次函数解析式为，配方得， 选项A：∵，∴抛物线开口向上，故A错误，该选项不符合题意； 选项B：对称轴为直线，故B错误，该选项不符合题意； 选项C：∵开口向上，对称轴为，∴当时，随的增大而增大，因此时，随的增大而增大，故C错误，该选项不符合题意； 选项D：∵抛物线开口向上，顶点纵坐标为，∴函数的最小值为，故D正确，该选项符合题意． 8．B 【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：设，则， 墙长，， ，， 解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 9．C 【分析】根据的面积，列出关于的函数，再由函数类型判断图象即可． 【详解】由题意，当在线段边上运动时（不含两点），，， ， 为等腰直角三角形， ，且， 为等腰直角三角形， ， 的面积为， 关于的函数为二次函数，函数图象为开口向下的抛物线， 只有选项C的图象符合． 10．D 【分析】确定抛物线的对称轴为直线，解方程，结合已知求解即可； 【详解】解：因为抛物线关系式为， 所以抛物线的对称轴为直线， 因为点P在抛物线上，且在对称轴的右侧， 所以点P的横坐标大于32， 因为点P到x轴的距离为， 所以， 整理，得， 解得，24小于32，24舍去； 故点P到y轴的距离为； 11．5 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先判断开口方向，再分别计算当时和当时的函数值，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数， ∴抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，顶点横坐标，在内． 当时，； 当时，． ∴最大值为5． 故答案为5． 12． 【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为，12月份产量为，从而得到函数关系式． 【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 13．0，1，2或3 【分析】本题主要考查一元二次方程与函数的关系，分两种情况讨论：①函数为一次函数；②函数为二次函数，其中又分两种子情况：与x轴有一个交点，或图象经过原点．针对每一种情况，分别求出a的值． 【详解】解：当函数为一次函数时，二次项系数为零，即，解得，此时，与坐标轴有两个交点，符合条件． 当函数为二次函数时（），需进一步讨论： ①若图象与x轴有一个交点，则判别式 ， 即， 解得或； ②若图象经过原点，则当时，，解得，此时，与坐标轴有两个交点，符合条件． 综上，的值为0，1，2或3． 故答案为：0，1，2或3． 14． 【分析】本题考查了二次函数的性质．函数的图象和函数的图象交点的横坐标就是关于的一元二次方程的解，据此求解即可． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线， 函数的图象和函数的图象一个交点的横坐标为， ∴一个交点的横坐标为， ∴关于的一元二次方程的解是． 故答案为：． 15．16 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设，将代入解析式得出；喷头高时，可设；将代入解析式得，联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为，将代入可求出． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，即抛物线的二次项系数和一次项系数不会发生变化， 当喷头高时，可设， 将代入解析式得出， 整理得①； 喷头高时，可设； 将代入解析式得②， 联立①②可求出， 设喷头高为时，水柱落点距点， 此时的解析式为， 将代入可得， 解得， ∴喷头高应调整为。 故答案为：． 16．② 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，根据抛物线顶点坐标求出b和c用a表示的表达式，再逐一分析各结论． 【详解】解：∵顶点为，， ∴原抛物线为 ∴，， 根据题意无法判断c的符号 ∴①不一定成立； ∵ ∴抛物线开口向下， ∵顶点为，在第一象限 ∴抛物线与x轴有两个交点 ∴，故②正确； ∵顶点为， ∵原抛物线为 ∴抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的表达式为，故③错误． 故答案为：②． 17．(1) (2)或 【分析】（1）把代入，然后令求解即可； （2）先求出对称轴为直线，然后分当时和当时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 当时， ， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 当时，抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴． 综上可知，的取值范围或． 18．(1) (2)且为整数 (3)顾客一次购买支或支时，专卖店利润为元 【分析】（1）设需要一次购买支，根据一次性购买超过10支的，每超过一支，所购钢笔每支售价就降低0.20元，但是每支售价不能低于16元，列出一元一次不等式，求解即可； （2）分，，三种情况讨论，根据利润购买的支数（购买单价进价）列出关系式即可； （3）由（2）中关系式，分别计算即可． 【详解】（1）解：设需要一次购买支， 根据题意得：， 解得：， 则需要一次购买支； （2）解：根据题意， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，且为整数； （3）解：由（2）知专卖店的利润w（元）与购买数量x（支）之间的函数关系式为且为整数， 当时，最大，不符合题意； 当时，令， 整理得：， 解得或，符合题意； 当时，令，解得，不是整数，不符合题意； 答：顾客一次购买支或支时，专卖店利润为元． 19．(1) (2)或 【分析】（1）将抛物线化为顶点式，求出抛物线的顶点坐标即可； （2）先求出点，再求出点B的坐标，求出，根据，得出，设点P的纵坐标为m，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：把代入，得： ， ∴， ∵轴， ∴点C与点B纵坐标相等， 把代入，得： ， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点P的纵坐标为m，则： ， 解得：， 令， 解得：，， ∴点P的坐标为：或． 20．(1)， (2)见解析 【分析】（1）将点、的坐标代入解析式即可求解； （2）根据列表、描点、连线即可画出图象． 【详解】（1）解：将，两点代入解析式， 得， 解得， ，． （2）解：由（1）得二次函数的解析式是， 列表， 描点、连线， 21．(1) (2) (3)存在；点M的坐标为或或 【分析】（1）将A的坐标，点C的坐标代入，即可得抛物线的解析式为； （2）过P作轴于D，交于Q，过P作于H，由可得，故，是等腰直角三角形，可证明是等腰直角三角形，即知，当最大时，最大，待定系数法求出直线解析式为，设，则，，故当时，最大，即点P到直线的距离最大，此时； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设，，而，，分三种情况：①以、为对角线；②以、为对角线；③以、为对角线，分别根据中点坐标公式列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：将A的坐标，点C的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过P作轴于D，交于Q，过P作于H，如图所示： 在中，令得：， 解得：或， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为，将代入得， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴时，最大，即点P到直线的距离最大，此时； （3）解：存在，理由如下： 抛物线对称轴为直线， 设，，而，， ①以、为对角线，则、的中点重合，如图： ∴， 解得：， ∴； ②以、为对角线，则、的中点重合，如图所示： ∴， 解得， ∴； ③以、为对角线，则、中点重合，如图所示： ， 解得， ∴； 综上所述，M的坐标为：或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $