第二十七章 反比例函数（解答题30题）热点题型专练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦反比例函数核心素养，以30道解答题构建从概念到综合应用的递进训练，覆盖中考高频考法，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|题1|定义辨析|从反比例函数定义出发，夯实概念理解| |图像性质|题2、7|面积计算、增减性判断|结合图像探究性质，建立数形联系| |函数综合|题5、16|与一次函数交点及不等式|融合函数关系，培养综合分析能力| |实际应用|题3、14|药物浓度、杠杆平衡|构建数学模型，发展应用意识| |几何综合|题20、30|与四边形、图形变换结合|渗透几何直观，提升推理能力|

第二十七章 反比例函数（解答题30题） 1．已知函数是反比例函数，求m的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义可得出，解出m的值，再结合，即可得出合适的m的值． 【详解】解：由题意，得，解得． 又当时，，所以． 所以m的值为1． 2．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数相交于点和点，过点作轴，过点作轴，与相交于点． (1)求的面积； (2)若点在正比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，且，试判断与的大小关系，并通过计算进行证明． 【答案】(1)4 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据比例函数与反比例函数相交于点和点，将点A代入正比例函数，求得的坐标，进而根据中心对称求得B的坐标，根据题意求得点C的坐标，即可求解． （2）将点M，N分别代入y=-2x和，可得m=-2a，n=，再比较m-n与0的大小即可得出答案． 【详解】（1）解：∵比例函数与反比例函数相交于点和点， ∴ 比例函数与反比例函数的图象关于原点对称， ∵AC⊥x轴，BC⊥y轴， ∴点C的坐标为（-1，-2）， ∴AC=4，BC=2， ∴△ABC的面积为×2×4=4． （2）∵点M（a，m）在正比例函数y=-2x的图象上，点N（a，n）在反比例函数的图象上， ∴ ∴ ∵0＜a＜1， ∴0＜a2＜1， ∴a2-1＜0，则-2（a2-1）＞0， ∴ 即m＞n． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，分式的计算，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解答本题的关键． 3．某企业员工感冒后，到药店买了一种新型感冒药，按使用说明书服用后，血液中的约物浓度（微克/毫升）与服药后时间（小时）之间的函数关系如下图所示，其中，当时，满足的关系式；当时，与成反比例．    (1)求的值，并求当时，与的函数关系式； (2)若血液中药物浓度不低于微克/毫升的持续时间超过5.5小时，则称药物治疗有效，请通过计算说明用这种新药治疗是否有效吗？ 【答案】(1)， (2)这种新药治疗有效，见解析 【分析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可； （2）把分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案． 【详解】（1）由图象可知，将代入函数， 得， 解得， 当时，设与的函数关系式为 将代入，得， , （2）将代入函数得， 解得， 将代入函数得， 解得， 这种新药治疗有效． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用以及待定系数法求函数解析式，读懂题意是解题关键． 4．已知函数(是常数，)，函数 (1)若函数和函数的图象交于点，点． 求，的值； 当时，直接写出的取值范围； (2)若点在函数的图象上，点先向下平移个单位，再向左平移个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求的值． 【答案】(1)，；或； (2)． 【分析】（）采用待定系数法即可求出； 采用数形结合的方法，求出两个解析式的交点，结合图像即可求出； （）结合题意，表示出点的坐标，然后将，两点代入到中即可求出； 本题主要考查了待定系数法，坐标的平移，反比例函数和一次函数的图象和性质，巧妙的运用数形结合的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入到中，得：，解得：， 把代入到中，得：，解得：， ∴， 综上：，； 如图所示： ∵，，结合图象， ∴当时，的取值范围是：或； （2）解：根据题意，， ∴， 把点，代入到中，得： ，解得：， 综上：． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点是轴上一点，且，求点坐标． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式． （1）把点代入，解得，即可求得反比例函数的解析式以及B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式． （2）根据求得，进而即可求得D的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， 反比例函数的解析式为， 点的横坐标为， 将代入，得， ． 将，代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； （2）由可知， ， ， 或． 6．如图，在等腰中，，，点，分别在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，到达点时停止运动，设点的运动时间为秒，的面积记为． (1)请求出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)若函数，结合函数图像，请直接写出时对应的的取值． 【答案】(1) (2)或6 【分析】本题主要考查了一次函数解析式、一次函数与反比例函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）分点在线段上和点在线段上两种情况，分别求解即可； （2）画出函数、的图像，结合图像即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，，，， ∴，， 当点在线段上时，可有，， 此阶段 ∴的面积； 当点在线段上时，如下图， 可有，， ∴， ∴的面积． 综上所述，关于的函数表达式为； （2）结合（1），画出函数图像如下图所示， 由图像可知，当时，或6． 7．在平面直角坐标系xOy中，对于函数y（x＞0），它的图象是双曲线在第一象限内的一部分，如图1，这条曲线将第一象限分成了三个部分，即曲线上方、曲线下方和曲线上． (1)对于函数y（x＞0）的图象而言， ①点P（3，1）在　 　（填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）． ②横、纵坐标满足不等式y的点在　 　（填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）． (2)已知m＞0，将在第一象限内满足不等式组的所有点组成的区域记为W． ①当m＝1时，请在图2中画出区域W（用阴影部分标示）； ②若A（1，2），B（2，4）两点恰有一个点在区域W内，结合图象，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①曲线上方；②曲线下方 (2)①见解析；②1＜m＜8且m≠2 【分析】（1）①把相应坐标代入函数式即可得到答案；②根据函数图象可得到答案； （2）①根据题意得不等式组，根据轨迹可得答案；②分当点A（1，2）在区域W内时，当点B（2，4）在区域W内时，两种情况得不等式组，求解可得答案． 【详解】（1）解：①在函数y图象上，当x＝3时，y， ∴点P（3，1）在曲线上方； ②y为曲线，横、纵坐标满足不等式y的点在曲线下方． 故答案为：①曲线上方；②曲线下方． （2）解：①由题意知，区域W满足， ∴区域W满足在y的上方且在y＝x+1的下方，如图： ②当点A（1，2）在区域W内时，， 得1＜m＜2， 当点B（2，4）在区域W内时，， 得2＜m＜8， ∴m的取值范围为1＜m＜8且m≠2． 【点睛】此题考查的是函数的轨迹问题，掌握反比例函数性质及数形结合思想的应用是解决此题关键． 8．苏科版数学七（下）教材中有这样一段阅读材料： 著名的反例：公元1640年，著名数学家费马发现： ，，，， 而3、5、17、257、65537都是质数，于是费马猜想：对于一切自然数n，都是质数．可是，到了1732年，数学家欧拉发现：． 这说明了是个合数，从而否定了费马的猜想． 这个故事告诉我们，举反例是说明一个数学命题不成立的常用方法． (1)代数中的反例： ①用举反例说明“”是个假命题时，a的取值范围是______． ②请你举反例说明“反比例函数，y随x的增大而减小”是个假命题． (2)几何中的反例： 学习全等三角形判定时，我们知道“两边相等和一相等边所对的角也相等的两个三角形不一定全等”，即“SSA”不全等．请借助已给的，用三种方法在图形基础上构造一个三角形，使得构造出的三角形满足以下三个条件： ①有两边分别与AC和BC相等； ②与BC相等边所对的角等于； ③构造出的三角形与不全等． 要求：①用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，并写出必要的文字说明； ②不可借助已构造出符合条件的三角形利用全等变换作图． 【答案】(1)① ；②举例见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）①当时，则 解得：或 再分别在小于0，大于0小于1，大于1的范围内举例即可；②举例：当时， 当时， 发现自变量变大，函数值也变大，从而可作判断； （2）方法一：利用等腰三角形的性质构建三角形即可；方法二：利用角平分线的定义构建三角形即可；方法三：利用对顶角相等，结合等腰三角形构建三角形即可． 【详解】（1）解：①当时，则 解得：或 当时， 此时 当时， 此时 当时， 此时 所以“”是个假命题时，a的取值范围是 ②对于反比例函数 当时， 当时， 发现自变量变大，函数值也变大， 所以“反比例函数，y随x的增大而减小”是个假命题． （2）解：方法一：如图，延长，以为圆心，为半径画弧，交的延长线于， 连接CD， 则中，满足 但是两个三角形不全等． 方法二：以A为圆心，适当的长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点F， 以点M为圆心，MF为半径画弧，与前弧在AB的另一侧交于点G， 作射线AG， 以点A为圆心，AC长为半径画弧，交射线AG于点D， 以D为圆心，BC长为半径画弧，交AB的延长线于点E， 连接DE，得三角形ADE， 则中，满足 但是两个三角形不全等． 方法三：以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AC的反向延长线于点D， 以点D为圆心，BC长为半径画弧，交AB的反向延长线于点M，E（点E在外侧） 连接DE，得三角形ADE， 则中，满足 但是两个三角形不全等． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，举反例的应用，全等三角形的判定，复杂的作图，特别是掌握两个三角形中满足两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等是解本题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是一次函数和反比例函数图象的两个交点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图①中，画出一个平行四边形，使点A，B都是该平行四边形的顶点； （2）在图②中，画出一个菱形，使点A在该菱形一边所在的直线上． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）根据平行四边形的性质对角线互相平分即可得出； （2）根据菱形的性质对角线垂直平分即可得出． 【详解】解：（1）连接BO并延长交反比例函数的第二象限的线于点； 连接AO并延长交反比例函数的第二象限的线于点； 根据反比例函数图象性质，两条曲线关于原点中心对称，故,, 因为两条直线互相平分，故四边形为平行四边形； （2）如图，四边形CDEF为菱形； 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象性质及平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质，熟练掌握性质是解题的关键． 10．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点. (1)求的值，并在图中画出函数的图象； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点是点关于原点的对称点，连接、，求的面积. 【答案】(1)，图见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）将点代入一次函数得出点的坐标为，代入反比例函数求得反比例函数解析式； （2）根据函数图象以及交点的横坐标即可求解． （3）根据题意求得点的坐标，根据反比例函数图象的性质求得点的坐标，进而即可求解． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得， ∴ ∴点的坐标为. 把点代入反比例函数得，解得. ∴反比例函数的解析式为 ∴反比例函数的图象如下图， （2）由，，根据函数图象可得： 不等式的解集为：或 （3）将点代入反比例函数得，； ∵点C是点B关于原点的对称点， ∴点C的坐标为； ∴的面积 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，掌握一次函数与反比例函数图象的性质是解题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，连接． (1)尺规作图：在第一象限作点B，使得，；（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注点B） (2)求线段的解析式； (3)若反比例函数的图象经过点A．点B是否在反比例函数的函数图象上？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点B不在反比例函数上，理由见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法即可得到答案． （2）过点A作直线交y轴于点N，交过点B于y轴的平行线于点M，根据题中条件证明，从而求出点B的坐标，即可得出答案． （3）根据点A的坐标先求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入验证即可． 【详解】（1）解：过点A作圆弧交和的延长线于点G、H，分别以点G、H为圆心大于的长度为半径作画弧交于点R，连接，以点A为圆心长度为半径作弧交于点B，则，； （2）解：如上图，过点A作直线交y轴于点N，交过点B与y轴的平行线于点M， ∵，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴点， 设直线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； （3）解：即点B不在反比例函数上，理由： 将点A的坐标代入反比例函数表达式得：， 即反比例函数表达式为：， 当时，，即点B不在反比例函数上． 【点睛】本题考查了垂直平分线的作图方法，三角形全等的判定和性质以及求一次函数和反比例函数的解析式，灵活运用所学知识是解题关键． 12．我们研究反比例函数图象平移后的性质． 初步探究 (1)将反比例函数的图象向左平移一个单位，可以得到函数的图象（如图①），观察图象，判断以下结论是否正确（正确的打“”，错误的打“”）： ①该函数图象与y轴的交点坐标是；（_________） ②该函数图象是中心对称图形，对称中心是；（_________） ③当时，y随x的增大而减小；（_________）    (2)在图②中画出函数的图象，根据图象回答下列问题：    ①该函数图象是中心对称图形，对称中心是（________，________） ②当时，则y的范围是______________； ③当时，则x的范围是______________； 问题解决 (3)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求m的值； 深入思考 (4)对于任意正数k，方程均无解，直接写出b，k满足的数量关系． 【答案】(1)①；②；③ (2)函数图象见解析；①；②；③或 (3) (4) 【分析】（1）通过观察图象，分析图象性质即可判断是否正确； （2）在坐标轴上描点即可作图，根据图象回答问题即可； （3）通过化简运算，结合题意，即可求m的值； （4）由反比例函数无解时的性质，即可写出b，k满足的数量关系． 【详解】（1）解：①观察图可得，该函数图象与y轴的交点坐标是，故①； ②根据函数图象可知，该函数图象是中心对称图形，对称中心是，故②； ③当时，y随x的增大而减小，当，y随x的增大而减小，但，故③； 故答案为：①；②；③； （2）解：函数图象，如图所示：    ① 该函数图象是中心对称图形，对称中心是； ② 根据函数图象可知，当时，则y的范围是； ③ 根据函数图象可知，当时，则x的范围是或； 故答案为：①；②；③或． （3）解：， ∵函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， ∴， 解得． （4）解：， ， ， ∵对于任意k，方程均无解，当时分式无意义， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质；正确作图、理解题意、综合分析是本题解题的关键． 13．综合与实践 问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑． 实测数据：以地面为轴、竖直方向为轴，原点为基准点建立平面直角坐标系．矩形为核心观景平台区域，曲线段为反比例函数图象的一部分(连接高低平台的景观步道)．经现场实测，获取关键数据：米，米，点在轴上． (1)数学建模：根据实测数据及几何模型特征，求曲线段所在反比例函数的表达式(无需写出自变量取值范围)． (2)问题解决：步道终点为下层观景出口，经施工校准，其距离地面的竖直高度为米．结合已建立的数学模型，求两点间的水平距离． (3)安全评估：为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于3米．若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为2米，结合数学模型验证该位置是否符合安全设置要求，并说明理由． (4)工程设计：工程团队拟在地面上距原点水平距离米处新增观景点，为实现步道无缝衔接，需确定衔接点高度．过点作轴的垂线，交曲线的延长线于点，结合已建立的数学模型，直接写出点距地面的竖直高度． 【答案】(1)； (2)米； (3)符合安全设置要求，理由见解析； (4)米 【分析】（1）利用待定系数法代入点坐标求反比例函数解析式； （2）根据点纵坐标代入解析式求横坐标，计算横坐标差得到水平距离； （3）求出点横坐标，代入得纵坐标，和安全要求比较验证； （4）将点横坐标代入解析式，求出纵坐标即为竖直高度． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，已知，， ∴点坐标为． 设反比例函数表达式为， 将代入得：，解得， ∴曲线段所在反比例函数的表达式为． （2）解：∵点距离地面竖直高度为米， ∴点纵坐标， 将代入得：，解得， ∵点横坐标为， ∴、两点水平距离为(米)． 答：、两点间的水平距离为米． （3）解：该位置符合安全设置要求，理由如下： ∵，，点到的水平距离为米， ∴点横坐标， 将代入得， ∵，满足“距地面竖直高度不低于3米”的要求， ∴该位置符合安全设置要求． （4）解：由题意，点的横坐标为， 将代入得： ， 因此点距地面的竖直高度为米． 14．【实验与探究】 在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格： 托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40 托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15 (1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式； (2)当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离； (3)已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出解析式并利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出函数值为10时的自变量的值即可得到答案； （3）求出自变量的值为120时的函数值，再判断出函数的增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由表格中的数据可知，当时，， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，， ∴当砝码的总质量为时，托盘B与点O之间的距离为； （3）解：在中，当时，， ∵， ∴在第一象限内，y随x增大而减小， ∴当时，， ∴装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量为． 15．如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点处左侧固定位置并悬挂重物，在中点处右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．他把5组实验数据记录如下： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 5 5 4 3 小华与小组成员讨论后发现，他有一组数据记录时出现了错误 (1)小华第__________组数据的记录出现了错误． (2)求与之间的函数关系表达式． (3)若弹簧秤的示数为，求此时弹簧秤与点的距离． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涵盖了反比例函数表达式求解、代入求值等知识，同时结合了物理中的杠杆平衡原理． （1）分别计算每组数据的乘积，对比发现只有第5组的乘积不等于，从而得出结论； （2）由（1）可知与成反比例关系，因此设函数表达式为，代入一组正确的数据即可求出的值； （3）已知弹簧秤的示数，将其代入已求出的函数表达式，即可解出对应的值． 【详解】（1）解：观察计算每组数据的乘积： 第1组：； 第2组：； 第3组：； 第4组：； 第5组：； 故第5组数据记录出现了错误； 故答案为：5； （2）解：通过（1）的计算，发现大部分弹簧秤与点的距离与观察弹簧秤的示数之积相等，所以与成反比例关系，设函数表达式为； 将第1组数据代入，得，解得； 因此与之间的函数表达式为； （3）解：将代入，得； 解得； 故此时弹簧秤与点的距离为． 16．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式； (2)对于反比例函数，当时，写出x的取值范围； (3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围，以及利用割补法求面积． （1）利用反比例函数求出交点A、点B的坐标分别为，，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式． （2）当时，即为B点右侧图象，观察图象，从而得出此段图象对应的自变量的取值范围为． （3）先求出的面积为1，从而确定的面积为，再通过点P的不同的位置，设点P的坐标为，根据图形面积列出方程，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，﹣2； ∴A，B； 把A、B的坐标代入得； 解得； ∴一次函数的解析式为． （2）∵； 由图象可知，当时，． （3）∵一次函数为； ∴D； ∵A， ∴； ∴， 设点P的坐标为： ，； ∴，； 当P在直线下方时，如图1，则； ； 解得； ∴点P． 当P在直线AB的上方时，如图2，则； ； 解得； ∴点P； 综上可得：点P的坐标为： 或 ． 17．如图，点A、B分别在反比例函数（）和反比例函数的图象上，轴，求的面积． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，延长交y轴于C，得到轴，设，则，即可得到，，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于C， ∵轴， ∴轴， 设，则， ∴，， ∴． 18．某文具店销售一款笔记本，进价为每本10元，售价不低于进价，不高于成本价的5倍．根据市场调研： 当售价不超过20元时，每天的销售量（本）与售价x（元）满足一次函数关系： ； 当售价超过20元时，每天的销售量（本）与售价x（元）满足反比例函数关系： ． (1)分别求售价为15元和25元时，每天的销售量； (2)设每天的利润为w元，分别写出两种售价区间内w与x的函数关系式； (3)若每天的利润不低于300元，求售价x的取值范围． 【答案】(1)售价为15元时，销售量为75本；售价为25元时，销售量为48本 (2)时，；时， (3) 【分析】（1）把和分别代入函数关系式即可求解； （2）分和进行分类讨论即可求解； （3）分和进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：当时， （本）； ·当时， （本）． ∴售价为15元时，销售量为75本；售价为25元时，销售量为48本； （2）解：当时， ； 当时， ． （3）解：①当时， 令，化简得， 令， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线的图象开口向上， ∴的解集为， ∵， ∴ ②时， 令，整理得，且， 解得， ∵， ∴． 又售价不低于进价，不高于成本价的5倍， ∴， ∴， 综上所述，． 19．已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点． （1）如图1，过点作轴于点，连结． ①若，求证：四边形是平行四边形； ②连结，若，求的面积． （2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由． 【答案】（1）①证明见解析，②1；（2）不改变，见解析 【分析】（1）①计算得出，利用平行四边形的判定方法即可证明结论； ②证明，利用反比例函数的几何意义求得，即可求解； （2）点的坐标为，点的坐标为，可知四边形是平行四边形，由，利用相似三角形的性质得到关于的一元二次方程，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）①证明：设点的坐标为， 则当时，点的坐标为， ， 轴， ， ∴四边形是平行四边形； ②解：过点作轴于点， 轴， ， ， ， ∴当时，则，即． ； （2）解  不改变． 理由如下： 过点作轴于点与轴交于点， 设点的坐标为，点的坐标为， 则，OH=b， 由题意，可知四边形是平行四边形， ∴OG=AE=a，∠HPG=∠OEG=∠EOA，且∠PHG=∠OEA=90°， ∴， ， 即， ∴， ， 解得， 异号，， ， ． ∴对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化． ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 20．如图，正方形的边长为4，反比例函数的图象过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）反比例函数的图象与线段交于点D，直线过点D，与线段相交于点F，求点F的坐标； （3）连，探究与的数量关系并证明（提示：）． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，把点E（3，4）代入即可求出k的值，进而得出结论； （2）由正方形AOCB的边长为4，故可知点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4．由于点D在反比例函数的图象上，所以点D的纵坐标为3，即D（4，3），由点D在直线y=x+b上可得出b的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标； （3）在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG，△EGB≌△HGC（ASA），故可得出EG=HG，BE=CH=1，故可得出H点的坐标，在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5，可知OH=OE，即OG是等腰三角形底边EF上的中线．所以OG是等腰三角形顶角的平分线，由此即可得出结论． 【详解】（1）设反比例函数的解析式， ∵反比例函数的图象过点E（3，4）， ∴，即k=12． ∴反比例函数的解析式为； （2）∵正方形的边长为4， ∴点的横坐标为4，点的纵坐标为4． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为3，即， ∵点在直线上， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 将代入， 得，解得， ∴点的坐标为； （3）． 证明如下：如图，在上截取，连接，连接并延长交轴于点． ∵， ∴△OAF≌△OCG（SAS）． ∴． ∵， ∴△EGB≌△HGC（ASA）． ∴． 设直线的解析式为， ∵， ∴，解得． ∴直线的解析式为． 令，得． ∴． 在中，，根据勾股定理得． ∴， ∴是等腰底边上的中线， ∴是等腰顶角的平分线， ∴． ∴， 即． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到正方形的性质、用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、等腰三角形三线合一的性质等相关知识．解答关键是应用数形结合思想解答问题. 21．已知是的反比例函数，是的正比例函数． (1)当时，．当时，．求与之间的函数关系式； (2)证明：是的反比例函数． 【答案】(1)与之间的函数关系式为； (2)证明见解析． 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）根据反比例函数的定义即可求证； 本题考查了求正比例函数解析式，反比例函数定义及求解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】（1）解：∵是的反比例函数，是的正比例函数， 设，， ∴， ∵时，， ∴，解得：， 当时，， ∴，解得：， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）∵是的反比例函数，是的正比例函数， 设，， ∴， ∴是的反比例函数． 22．对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则．如图2，直线与双曲线交于点，点是双曲线上的一个动点，点的横坐标分别为，直线分别与轴于点； (1)点A的坐标为_____，点B的坐标为_____． (2)求证：直线与直线为“等腰三角线”； (3)如图3，轴于点G，是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； (4)如图4，过点作轴的垂线，在直线上存在一点；连接，当时，直接写出线段的值_____（用含的代数式表示） 【答案】(1)， (2)见解析 (3)为定值2 (4) 【分析】（1）联立即可求解； （2）过点作交于点，设点，，，已知，则可求出直线、直线的解析式，从而得到点，所以，可推出垂直平分，则，则结论可得； （3）由（2）有，，可推出点，，则结论可得； （4）过点作交于点，根据点，，，，可求出，所以可得．因为是等腰三角形，，可利用等面积法求得，根据求得的值．因为，可得 ，则问题可解． 【详解】（1）解：联立， 解得或， ． （2）解：过点作交于点，如图． 设点，，， ， ，， ，， ；， 当时，；， 解得：；， ， ． ， 垂直平分， ， 直线与直线为“等腰三角线”． （3）解：轴于点， 由（2）有， ， ， 为定值2． （4）解：过点作交于点，如图． ，，， ， ． ， 是等腰三角形，． ， ， ． ， ． ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，一次函数于反比例函数焦点问题，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23．已知反比例函数，反比例函数，点是反比例函数图象上的一点． (1)如图1，已知点，直线轴，交反比例函数的图象于点，直线轴，交反比例函数的图象于点，直线轴，直线轴，两直线交于点． ①求． ②求直线的函数表达式，判断点是否始终在直线上，并说明理由． (2)如图2，对于任意点，直线轴，交反比例函数的图象于点，直线轴，交于点，直线轴，交于点．试证明． 【答案】(1)①；②，在；理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）①将代入，可求的值；②设直线的函数表达式为，将代入求值，进而可得直线的函数表达式，令，则，，，，然后将点代入直线解析式求解判断即可； （2）由在上，得，则，，，分别表示，然后作商求解即可． 【详解】（1）①解：将代入得，，解得， ∴； ②解：设直线的函数表达式为， 将代入得，， ∴直线的函数表达式为， 令，则， 将代入，得， ∴， 当，， ∴， ∴， 将代入，得， ∴始终在直线上； ∴直线的函数表达式为，始终在直线上； （2）解：由在上，得， 根据题意得：，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合．解题的关键在于确定各点坐标． 24．如图，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为B，C，连接交于点D，反比例函数（）的图象经点D，与，分别相交于点E，F，连接并延长交x轴于点G； (1)填空：______； (2)求证：四边形为平行四边形. 【答案】(1)2 (2)详见解析 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合、矩形的性质与判定及平行四边形的判定，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得四边形是矩形，然后根据矩形的性质及中点坐标公式可进行求解； （2）由题意易得，然后可得直线的解析式为，则有，进而问题可求证． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即点D为的中点， ∵，， ∴，即， ∵点D在反比例函数上， ∴； 故答案为2； （2）证明：∵点，轴，轴， ∴，， 把代入，解得， ∴ ∴ 把代入，解得， ∴ 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，代入，解得， ∴， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形． 25．已知y是x的反比例函数，并且当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了求反比例函数的解析式，求函数值，正确掌握待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出解析式； （2）将代入求出函数值． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把，代入，得． 解得． 所以关于的函数解析式为． （2）当时，． 26．已知反比例函数与正比例函数的图象都经过点． (1)求k的值； (2)点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）先把代入正比例函数求出的值，进而可求出点坐标，再把此点坐标代入反比例例函数，即可求出的值； （2）先根据，求出的长度，再根据点在轴上即可确定点的坐标． 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，难度适中． 【详解】（1）解： 的图象经过点， ， ， ． 反比例函数的图象经过点， ； （2）解：， ， ， ， 点在轴上， 点的坐标为或 27．如图，在直角坐标系中，点和点是一次函数和反比例函数图象的交点．    (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标． (2)连接，求出的面积． (3)利用图象，直接写出当时，的取值范围 ． 【答案】(1)， (2)4 (3)或 【分析】（1）首先将将点代入一次函数求出，然后将代入求解即可； （2）首先求出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）将点代入一次函数，得， ∴点A的坐标为 将点代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式为． 解得，． ∴点的坐标为． （2）如图所示，      当时， ∴ ∴的面积； （3）不等式的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方时，x的取值范围， 由图象可得或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，三角形面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求． 28．如图，矩形的边长为8，点的坐标为，点的坐标为，点是的中点.反比例函数的图像经过点，与边交于点． (1)求的值； (2)求点坐标； (3)连接矩形两对边与的中点、．设线段与反比例函数图像交于点，将线段沿轴向右平移个单位，若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，将其代入反比例函数表达式中即可求出k； （2）因为F在AB上所以其横坐标已知，将横坐标代入反比例函数即可求出F坐标； （3）找出平移后，，假设，因为，可知，再利用P在上即可求出n的范围． 【详解】（1）解：∵矩形ABCD的AB边长为8，点C的坐标为 ∴， ∵E点是DC的中点， ∴， ∵反比例函数的图像经过点E， ∴， ∴ ． （2）解：∵点F在AB上， ∴， ∵在上， ∴， ∴． （3）解：∵矩形ABCD的AB边长为8，点B的坐标为， ∴， ∵M、N是AD、BC的中点， ∴点M的坐标为，点N的坐标为， ∴平移后的点M的坐标为，平移后点N的坐标为， 设点P的坐标为， ∵点P在MN上，且， ∴，即： ∵点P在反比例函数的图象上且在第二象限内， ∴且 ∴，即：，解得：． 【点睛】本题考查矩形，反比例函数以及平移，利用矩形性质和已知条件求出点E的坐标是求k的关键；利用矩形的性质找到F的横坐标是求其坐标的关键；找出平移后M、N、P点的坐标，利用的性质得到是求n的范围的关键． 29．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和点，求m的值． 【答案】-3 【分析】由反比例函数的图象及其性质将A、B点代入反比例函数即可求得m的值为-3． 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：． 故m的轴为-3． 【点睛】本题考查了反比例函数值的求法，明确图象上点的坐标和解析式的关系是解题的关键． 30．小星将“赵爽弦图”置于如图所示的平面直角坐标系中（“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成），点A与点重合，点B的横坐标为3，点E，H在x轴上，小正方形的边长为2．反比例函数的图象经过点B，C． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一次函数与反比例函数（）的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上点B，C之间的部分时（点M可与点B，C重合），求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形性质、待定系数法求反比例函数表达式及一次函数与反比例函数综合， （1）先求出，再用待定系数法求表达式即可； （2）先求出，把，代入一次函数表达式计算即可； 【详解】（1）解：∵点A与点重合，点B的横坐标为3， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故反比例函数的表达式为． （2）解：由（1）知，， ∴点C的横坐标为． 当时，， ∴， 当，时，， 则； 当，时，， 则； 综上所述，m的取值范围是． 1．已知函数是反比例函数，求m的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义可得出，解出m的值，再结合，即可得出合适的m的值． 【详解】解：由题意，得，解得． 又当时，，所以． 所以m的值为1． 2．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数相交于点和点，过点作轴，过点作轴，与相交于点． (1)求的面积； (2)若点在正比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，且，试判断与的大小关系，并通过计算进行证明． 【答案】(1)4 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据比例函数与反比例函数相交于点和点，将点A代入正比例函数，求得的坐标，进而根据中心对称求得B的坐标，根据题意求得点C的坐标，即可求解． （2）将点M，N分别代入y=-2x和，可得m=-2a，n=，再比较m-n与0的大小即可得出答案． 【详解】（1）解：∵比例函数与反比例函数相交于点和点， ∴ 比例函数与反比例函数的图象关于原点对称， ∵AC⊥x轴，BC⊥y轴， ∴点C的坐标为（-1，-2）， ∴AC=4，BC=2， ∴△ABC的面积为×2×4=4． （2）∵点M（a，m）在正比例函数y=-2x的图象上，点N（a，n）在反比例函数的图象上， ∴ ∴ ∵0＜a＜1， ∴0＜a2＜1， ∴a2-1＜0，则-2（a2-1）＞0， ∴ 即m＞n． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，分式的计算，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解答本题的关键． 3．某企业员工感冒后，到药店买了一种新型感冒药，按使用说明书服用后，血液中的约物浓度（微克/毫升）与服药后时间（小时）之间的函数关系如下图所示，其中，当时，满足的关系式；当时，与成反比例．    (1)求的值，并求当时，与的函数关系式； (2)若血液中药物浓度不低于微克/毫升的持续时间超过5.5小时，则称药物治疗有效，请通过计算说明用这种新药治疗是否有效吗？ 【答案】(1)， (2)这种新药治疗有效，见解析 【分析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可； （2）把分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案． 【详解】（1）由图象可知，将代入函数， 得， 解得， 当时，设与的函数关系式为 将代入，得， , （2）将代入函数得， 解得， 将代入函数得， 解得， 这种新药治疗有效． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用以及待定系数法求函数解析式，读懂题意是解题关键． 4．已知函数(是常数，)，函数 (1)若函数和函数的图象交于点，点． 求，的值； 当时，直接写出的取值范围； (2)若点在函数的图象上，点先向下平移个单位，再向左平移个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求的值． 【答案】(1)，；或； (2)． 【分析】（）采用待定系数法即可求出； 采用数形结合的方法，求出两个解析式的交点，结合图像即可求出； （）结合题意，表示出点的坐标，然后将，两点代入到中即可求出； 本题主要考查了待定系数法，坐标的平移，反比例函数和一次函数的图象和性质，巧妙的运用数形结合的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入到中，得：，解得：， 把代入到中，得：，解得：， ∴， 综上：，； 如图所示： ∵，，结合图象， ∴当时，的取值范围是：或； （2）解：根据题意，， ∴， 把点，代入到中，得： ，解得：， 综上：． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点是轴上一点，且，求点坐标． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式． （1）把点代入，解得，即可求得反比例函数的解析式以及B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式． （2）根据求得，进而即可求得D的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， 反比例函数的解析式为， 点的横坐标为， 将代入，得， ． 将，代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； （2）由可知， ， ， 或． 6．如图，在等腰中，，，点，分别在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，到达点时停止运动，设点的运动时间为秒，的面积记为． (1)请求出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)若函数，结合函数图像，请直接写出时对应的的取值． 【答案】(1) (2)或6 【分析】本题主要考查了一次函数解析式、一次函数与反比例函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）分点在线段上和点在线段上两种情况，分别求解即可； （2）画出函数、的图像，结合图像即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，，，， ∴，， 当点在线段上时，可有，， 此阶段 ∴的面积； 当点在线段上时，如下图， 可有，， ∴， ∴的面积． 综上所述，关于的函数表达式为； （2）结合（1），画出函数图像如下图所示， 由图像可知，当时，或6． 7．在平面直角坐标系xOy中，对于函数y（x＞0），它的图象是双曲线在第一象限内的一部分，如图1，这条曲线将第一象限分成了三个部分，即曲线上方、曲线下方和曲线上． (1)对于函数y（x＞0）的图象而言， ①点P（3，1）在　 　（填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）． ②横、纵坐标满足不等式y的点在　 　（填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）． (2)已知m＞0，将在第一象限内满足不等式组的所有点组成的区域记为W． ①当m＝1时，请在图2中画出区域W（用阴影部分标示）； ②若A（1，2），B（2，4）两点恰有一个点在区域W内，结合图象，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①曲线上方；②曲线下方 (2)①见解析；②1＜m＜8且m≠2 【分析】（1）①把相应坐标代入函数式即可得到答案；②根据函数图象可得到答案； （2）①根据题意得不等式组，根据轨迹可得答案；②分当点A（1，2）在区域W内时，当点B（2，4）在区域W内时，两种情况得不等式组，求解可得答案． 【详解】（1）解：①在函数y图象上，当x＝3时，y， ∴点P（3，1）在曲线上方； ②y为曲线，横、纵坐标满足不等式y的点在曲线下方． 故答案为：①曲线上方；②曲线下方． （2）解：①由题意知，区域W满足， ∴区域W满足在y的上方且在y＝x+1的下方，如图： ②当点A（1，2）在区域W内时，， 得1＜m＜2， 当点B（2，4）在区域W内时，， 得2＜m＜8， ∴m的取值范围为1＜m＜8且m≠2． 【点睛】此题考查的是函数的轨迹问题，掌握反比例函数性质及数形结合思想的应用是解决此题关键． 8．苏科版数学七（下）教材中有这样一段阅读材料： 著名的反例：公元1640年，著名数学家费马发现： ，，，， 而3、5、17、257、65537都是质数，于是费马猜想：对于一切自然数n，都是质数．可是，到了1732年，数学家欧拉发现：． 这说明了是个合数，从而否定了费马的猜想． 这个故事告诉我们，举反例是说明一个数学命题不成立的常用方法． (1)代数中的反例： ①用举反例说明“”是个假命题时，a的取值范围是______． ②请你举反例说明“反比例函数，y随x的增大而减小”是个假命题． (2)几何中的反例： 学习全等三角形判定时，我们知道“两边相等和一相等边所对的角也相等的两个三角形不一定全等”，即“SSA”不全等．请借助已给的，用三种方法在图形基础上构造一个三角形，使得构造出的三角形满足以下三个条件： ①有两边分别与AC和BC相等； ②与BC相等边所对的角等于； ③构造出的三角形与不全等． 要求：①用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，并写出必要的文字说明； ②不可借助已构造出符合条件的三角形利用全等变换作图． 【答案】(1)① ；②举例见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）①当时，则 解得：或 再分别在小于0，大于0小于1，大于1的范围内举例即可；②举例：当时， 当时， 发现自变量变大，函数值也变大，从而可作判断； （2）方法一：利用等腰三角形的性质构建三角形即可；方法二：利用角平分线的定义构建三角形即可；方法三：利用对顶角相等，结合等腰三角形构建三角形即可． 【详解】（1）解：①当时，则 解得：或 当时， 此时 当时， 此时 当时， 此时 所以“”是个假命题时，a的取值范围是 ②对于反比例函数 当时， 当时， 发现自变量变大，函数值也变大， 所以“反比例函数，y随x的增大而减小”是个假命题． （2）解：方法一：如图，延长，以为圆心，为半径画弧，交的延长线于， 连接CD， 则中，满足 但是两个三角形不全等． 方法二：以A为圆心，适当的长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点F， 以点M为圆心，MF为半径画弧，与前弧在AB的另一侧交于点G， 作射线AG， 以点A为圆心，AC长为半径画弧，交射线AG于点D， 以D为圆心，BC长为半径画弧，交AB的延长线于点E， 连接DE，得三角形ADE， 则中，满足 但是两个三角形不全等． 方法三：以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AC的反向延长线于点D， 以点D为圆心，BC长为半径画弧，交AB的反向延长线于点M，E（点E在外侧） 连接DE，得三角形ADE， 则中，满足 但是两个三角形不全等． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，举反例的应用，全等三角形的判定，复杂的作图，特别是掌握两个三角形中满足两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等是解本题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是一次函数和反比例函数图象的两个交点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图①中，画出一个平行四边形，使点A，B都是该平行四边形的顶点； （2）在图②中，画出一个菱形，使点A在该菱形一边所在的直线上． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）根据平行四边形的性质对角线互相平分即可得出； （2）根据菱形的性质对角线垂直平分即可得出． 【详解】解：（1）连接BO并延长交反比例函数的第二象限的线于点； 连接AO并延长交反比例函数的第二象限的线于点； 根据反比例函数图象性质，两条曲线关于原点中心对称，故,, 因为两条直线互相平分，故四边形为平行四边形； （2）如图，四边形CDEF为菱形； 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象性质及平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质，熟练掌握性质是解题的关键． 10．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点. (1)求的值，并在图中画出函数的图象； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点是点关于原点的对称点，连接、，求的面积. 【答案】(1)，图见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）将点代入一次函数得出点的坐标为，代入反比例函数求得反比例函数解析式； （2）根据函数图象以及交点的横坐标即可求解． （3）根据题意求得点的坐标，根据反比例函数图象的性质求得点的坐标，进而即可求解． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得， ∴ ∴点的坐标为. 把点代入反比例函数得，解得. ∴反比例函数的解析式为 ∴反比例函数的图象如下图， （2）由，，根据函数图象可得： 不等式的解集为：或 （3）将点代入反比例函数得，； ∵点C是点B关于原点的对称点， ∴点C的坐标为； ∴的面积 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，掌握一次函数与反比例函数图象的性质是解题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，连接． (1)尺规作图：在第一象限作点B，使得，；（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注点B） (2)求线段的解析式； (3)若反比例函数的图象经过点A．点B是否在反比例函数的函数图象上？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点B不在反比例函数上，理由见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法即可得到答案． （2）过点A作直线交y轴于点N，交过点B于y轴的平行线于点M，根据题中条件证明，从而求出点B的坐标，即可得出答案． （3）根据点A的坐标先求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入验证即可． 【详解】（1）解：过点A作圆弧交和的延长线于点G、H，分别以点G、H为圆心大于的长度为半径作画弧交于点R，连接，以点A为圆心长度为半径作弧交于点B，则，； （2）解：如上图，过点A作直线交y轴于点N，交过点B与y轴的平行线于点M， ∵，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴点， 设直线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； （3）解：即点B不在反比例函数上，理由： 将点A的坐标代入反比例函数表达式得：， 即反比例函数表达式为：， 当时，，即点B不在反比例函数上． 【点睛】本题考查了垂直平分线的作图方法，三角形全等的判定和性质以及求一次函数和反比例函数的解析式，灵活运用所学知识是解题关键． 12．我们研究反比例函数图象平移后的性质． 初步探究 (1)将反比例函数的图象向左平移一个单位，可以得到函数的图象（如图①），观察图象，判断以下结论是否正确（正确的打“”，错误的打“”）： ①该函数图象与y轴的交点坐标是；（_________） ②该函数图象是中心对称图形，对称中心是；（_________） ③当时，y随x的增大而减小；（_________）    (2)在图②中画出函数的图象，根据图象回答下列问题：    ①该函数图象是中心对称图形，对称中心是（________，________） ②当时，则y的范围是______________； ③当时，则x的范围是______________； 问题解决 (3)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求m的值； 深入思考 (4)对于任意正数k，方程均无解，直接写出b，k满足的数量关系． 【答案】(1)①；②；③ (2)函数图象见解析；①；②；③或 (3) (4) 【分析】（1）通过观察图象，分析图象性质即可判断是否正确； （2）在坐标轴上描点即可作图，根据图象回答问题即可； （3）通过化简运算，结合题意，即可求m的值； （4）由反比例函数无解时的性质，即可写出b，k满足的数量关系． 【详解】（1）解：①观察图可得，该函数图象与y轴的交点坐标是，故①； ②根据函数图象可知，该函数图象是中心对称图形，对称中心是，故②； ③当时，y随x的增大而减小，当，y随x的增大而减小，但，故③； 故答案为：①；②；③； （2）解：函数图象，如图所示：    ① 该函数图象是中心对称图形，对称中心是； ② 根据函数图象可知，当时，则y的范围是； ③ 根据函数图象可知，当时，则x的范围是或； 故答案为：①；②；③或． （3）解：， ∵函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， ∴， 解得． （4）解：， ， ， ∵对于任意k，方程均无解，当时分式无意义， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质；正确作图、理解题意、综合分析是本题解题的关键． 13．综合与实践 问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑． 实测数据：以地面为轴、竖直方向为轴，原点为基准点建立平面直角坐标系．矩形为核心观景平台区域，曲线段为反比例函数图象的一部分(连接高低平台的景观步道)．经现场实测，获取关键数据：米，米，点在轴上． (1)数学建模：根据实测数据及几何模型特征，求曲线段所在反比例函数的表达式(无需写出自变量取值范围)． (2)问题解决：步道终点为下层观景出口，经施工校准，其距离地面的竖直高度为米．结合已建立的数学模型，求两点间的水平距离． (3)安全评估：为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于3米．若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为2米，结合数学模型验证该位置是否符合安全设置要求，并说明理由． (4)工程设计：工程团队拟在地面上距原点水平距离米处新增观景点，为实现步道无缝衔接，需确定衔接点高度．过点作轴的垂线，交曲线的延长线于点，结合已建立的数学模型，直接写出点距地面的竖直高度． 【答案】(1)； (2)米； (3)符合安全设置要求，理由见解析； (4)米 【分析】（1）利用待定系数法代入点坐标求反比例函数解析式； （2）根据点纵坐标代入解析式求横坐标，计算横坐标差得到水平距离； （3）求出点横坐标，代入得纵坐标，和安全要求比较验证； （4）将点横坐标代入解析式，求出纵坐标即为竖直高度． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，已知，， ∴点坐标为． 设反比例函数表达式为， 将代入得：，解得， ∴曲线段所在反比例函数的表达式为． （2）解：∵点距离地面竖直高度为米， ∴点纵坐标， 将代入得：，解得， ∵点横坐标为， ∴、两点水平距离为(米)． 答：、两点间的水平距离为米． （3）解：该位置符合安全设置要求，理由如下： ∵，，点到的水平距离为米， ∴点横坐标， 将代入得， ∵，满足“距地面竖直高度不低于3米”的要求， ∴该位置符合安全设置要求． （4）解：由题意，点的横坐标为， 将代入得： ， 因此点距地面的竖直高度为米． 14．【实验与探究】 在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格： 托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40 托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15 (1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式； (2)当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离； (3)已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出解析式并利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出函数值为10时的自变量的值即可得到答案； （3）求出自变量的值为120时的函数值，再判断出函数的增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由表格中的数据可知，当时，， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，， ∴当砝码的总质量为时，托盘B与点O之间的距离为； （3）解：在中，当时，， ∵， ∴在第一象限内，y随x增大而减小， ∴当时，， ∴装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量为． 15．如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点处左侧固定位置并悬挂重物，在中点处右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．他把5组实验数据记录如下： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 5 5 4 3 小华与小组成员讨论后发现，他有一组数据记录时出现了错误 (1)小华第__________组数据的记录出现了错误． (2)求与之间的函数关系表达式． (3)若弹簧秤的示数为，求此时弹簧秤与点的距离． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涵盖了反比例函数表达式求解、代入求值等知识，同时结合了物理中的杠杆平衡原理． （1）分别计算每组数据的乘积，对比发现只有第5组的乘积不等于，从而得出结论； （2）由（1）可知与成反比例关系，因此设函数表达式为，代入一组正确的数据即可求出的值； （3）已知弹簧秤的示数，将其代入已求出的函数表达式，即可解出对应的值． 【详解】（1）解：观察计算每组数据的乘积： 第1组：； 第2组：； 第3组：； 第4组：； 第5组：； 故第5组数据记录出现了错误； 故答案为：5； （2）解：通过（1）的计算，发现大部分弹簧秤与点的距离与观察弹簧秤的示数之积相等，所以与成反比例关系，设函数表达式为； 将第1组数据代入，得，解得； 因此与之间的函数表达式为； （3）解：将代入，得； 解得； 故此时弹簧秤与点的距离为． 16．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式； (2)对于反比例函数，当时，写出x的取值范围； (3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围，以及利用割补法求面积． （1）利用反比例函数求出交点A、点B的坐标分别为，，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式． （2）当时，即为B点右侧图象，观察图象，从而得出此段图象对应的自变量的取值范围为． （3）先求出的面积为1，从而确定的面积为，再通过点P的不同的位置，设点P的坐标为，根据图形面积列出方程，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，﹣2； ∴A，B； 把A、B的坐标代入得； 解得； ∴一次函数的解析式为． （2）∵； 由图象可知，当时，． （3）∵一次函数为； ∴D； ∵A， ∴； ∴， 设点P的坐标为： ，； ∴，； 当P在直线下方时，如图1，则； ； 解得； ∴点P． 当P在直线AB的上方时，如图2，则； ； 解得； ∴点P； 综上可得：点P的坐标为： 或 ． 17．如图，点A、B分别在反比例函数（）和反比例函数的图象上，轴，求的面积． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，延长交y轴于C，得到轴，设，则，即可得到，，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于C， ∵轴， ∴轴， 设，则， ∴，， ∴． 18．某文具店销售一款笔记本，进价为每本10元，售价不低于进价，不高于成本价的5倍．根据市场调研： 当售价不超过20元时，每天的销售量（本）与售价x（元）满足一次函数关系： ； 当售价超过20元时，每天的销售量（本）与售价x（元）满足反比例函数关系： ． (1)分别求售价为15元和25元时，每天的销售量； (2)设每天的利润为w元，分别写出两种售价区间内w与x的函数关系式； (3)若每天的利润不低于300元，求售价x的取值范围． 【答案】(1)售价为15元时，销售量为75本；售价为25元时，销售量为48本 (2)时，；时， (3) 【分析】（1）把和分别代入函数关系式即可求解； （2）分和进行分类讨论即可求解； （3）分和进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：当时， （本）； ·当时， （本）． ∴售价为15元时，销售量为75本；售价为25元时，销售量为48本； （2）解：当时， ； 当时， ． （3）解：①当时， 令，化简得， 令， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线的图象开口向上， ∴的解集为， ∵， ∴ ②时， 令，整理得，且， 解得， ∵， ∴． 又售价不低于进价，不高于成本价的5倍， ∴， ∴， 综上所述，． 19．已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点． （1）如图1，过点作轴于点，连结． ①若，求证：四边形是平行四边形； ②连结，若，求的面积． （2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由． 【答案】（1）①证明见解析，②1；（2）不改变，见解析 【分析】（1）①计算得出，利用平行四边形的判定方法即可证明结论； ②证明，利用反比例函数的几何意义求得，即可求解； （2）点的坐标为，点的坐标为，可知四边形是平行四边形，由，利用相似三角形的性质得到关于的一元二次方程，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）①证明：设点的坐标为， 则当时，点的坐标为， ， 轴， ， ∴四边形是平行四边形； ②解：过点作轴于点， 轴， ， ， ， ∴当时，则，即． ； （2）解  不改变． 理由如下： 过点作轴于点与轴交于点， 设点的坐标为，点的坐标为， 则，OH=b， 由题意，可知四边形是平行四边形， ∴OG=AE=a，∠HPG=∠OEG=∠EOA，且∠PHG=∠OEA=90°， ∴， ， 即， ∴， ， 解得， 异号，， ， ． ∴对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化． ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 20．如图，正方形的边长为4，反比例函数的图象过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）反比例函数的图象与线段交于点D，直线过点D，与线段相交于点F，求点F的坐标； （3）连，探究与的数量关系并证明（提示：）． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，把点E（3，4）代入即可求出k的值，进而得出结论； （2）由正方形AOCB的边长为4，故可知点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4．由于点D在反比例函数的图象上，所以点D的纵坐标为3，即D（4，3），由点D在直线y=x+b上可得出b的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标； （3）在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG，△EGB≌△HGC（ASA），故可得出EG=HG，BE=CH=1，故可得出H点的坐标，在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5，可知OH=OE，即OG是等腰三角形底边EF上的中线．所以OG是等腰三角形顶角的平分线，由此即可得出结论． 【详解】（1）设反比例函数的解析式， ∵反比例函数的图象过点E（3，4）， ∴，即k=12． ∴反比例函数的解析式为； （2）∵正方形的边长为4， ∴点的横坐标为4，点的纵坐标为4． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为3，即， ∵点在直线上， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 将代入， 得，解得， ∴点的坐标为； （3）． 证明如下：如图，在上截取，连接，连接并延长交轴于点． ∵， ∴△OAF≌△OCG（SAS）． ∴． ∵， ∴△EGB≌△HGC（ASA）． ∴． 设直线的解析式为， ∵， ∴，解得． ∴直线的解析式为． 令，得． ∴． 在中，，根据勾股定理得． ∴， ∴是等腰底边上的中线， ∴是等腰顶角的平分线， ∴． ∴， 即． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到正方形的性质、用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、等腰三角形三线合一的性质等相关知识．解答关键是应用数形结合思想解答问题. 21．已知是的反比例函数，是的正比例函数． (1)当时，．当时，．求与之间的函数关系式； (2)证明：是的反比例函数． 【答案】(1)与之间的函数关系式为； (2)证明见解析． 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）根据反比例函数的定义即可求证； 本题考查了求正比例函数解析式，反比例函数定义及求解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】（1）解：∵是的反比例函数，是的正比例函数， 设，， ∴， ∵时，， ∴，解得：， 当时，， ∴，解得：， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）∵是的反比例函数，是的正比例函数， 设，， ∴， ∴是的反比例函数． 22．对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则．如图2，直线与双曲线交于点，点是双曲线上的一个动点，点的横坐标分别为，直线分别与轴于点； (1)点A的坐标为_____，点B的坐标为_____． (2)求证：直线与直线为“等腰三角线”； (3)如图3，轴于点G，是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； (4)如图4，过点作轴的垂线，在直线上存在一点；连接，当时，直接写出线段的值_____（用含的代数式表示） 【答案】(1)， (2)见解析 (3)为定值2 (4) 【分析】（1）联立即可求解； （2）过点作交于点，设点，，，已知，则可求出直线、直线的解析式，从而得到点，所以，可推出垂直平分，则，则结论可得； （3）由（2）有，，可推出点，，则结论可得； （4）过点作交于点，根据点，，，，可求出，所以可得．因为是等腰三角形，，可利用等面积法求得，根据求得的值．因为，可得 ，则问题可解． 【详解】（1）解：联立， 解得或， ． （2）解：过点作交于点，如图． 设点，，， ， ，， ，， ；， 当时，；， 解得：；， ， ． ， 垂直平分， ， 直线与直线为“等腰三角线”． （3）解：轴于点， 由（2）有， ， ， 为定值2． （4）解：过点作交于点，如图． ，，， ， ． ， 是等腰三角形，． ， ， ． ， ． ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，一次函数于反比例函数焦点问题，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23．已知反比例函数，反比例函数，点是反比例函数图象上的一点． (1)如图1，已知点，直线轴，交反比例函数的图象于点，直线轴，交反比例函数的图象于点，直线轴，直线轴，两直线交于点． ①求． ②求直线的函数表达式，判断点是否始终在直线上，并说明理由． (2)如图2，对于任意点，直线轴，交反比例函数的图象于点，直线轴，交于点，直线轴，交于点．试证明． 【答案】(1)①；②，在；理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）①将代入，可求的值；②设直线的函数表达式为，将代入求值，进而可得直线的函数表达式，令，则，，，，然后将点代入直线解析式求解判断即可； （2）由在上，得，则，，，分别表示，然后作商求解即可． 【详解】（1）①解：将代入得，，解得， ∴； ②解：设直线的函数表达式为， 将代入得，， ∴直线的函数表达式为， 令，则， 将代入，得， ∴， 当，， ∴， ∴， 将代入，得， ∴始终在直线上； ∴直线的函数表达式为，始终在直线上； （2）解：由在上，得， 根据题意得：，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合．解题的关键在于确定各点坐标． 24．如图，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为B，C，连接交于点D，反比例函数（）的图象经点D，与，分别相交于点E，F，连接并延长交x轴于点G； (1)填空：______； (2)求证：四边形为平行四边形. 【答案】(1)2 (2)详见解析 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合、矩形的性质与判定及平行四边形的判定，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得四边形是矩形，然后根据矩形的性质及中点坐标公式可进行求解； （2）由题意易得，然后可得直线的解析式为，则有，进而问题可求证． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即点D为的中点， ∵，， ∴，即， ∵点D在反比例函数上， ∴； 故答案为2； （2）证明：∵点，轴，轴， ∴，， 把代入，解得， ∴ ∴ 把代入，解得， ∴ 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，代入，解得， ∴， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形． 25．已知y是x的反比例函数，并且当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了求反比例函数的解析式，求函数值，正确掌握待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出解析式； （2）将代入求出函数值． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把，代入，得． 解得． 所以关于的函数解析式为． （2）当时，． 26．已知反比例函数与正比例函数的图象都经过点． (1)求k的值； (2)点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）先把代入正比例函数求出的值，进而可求出点坐标，再把此点坐标代入反比例例函数，即可求出的值； （2）先根据，求出的长度，再根据点在轴上即可确定点的坐标． 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，难度适中． 【详解】（1）解： 的图象经过点， ， ， ． 反比例函数的图象经过点， ； （2）解：， ， ， ， 点在轴上， 点的坐标为或 27．如图，在直角坐标系中，点和点是一次函数和反比例函数图象的交点．    (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标． (2)连接，求出的面积． (3)利用图象，直接写出当时，的取值范围 ． 【答案】(1)， (2)4 (3)或 【分析】（1）首先将将点代入一次函数求出，然后将代入求解即可； （2）首先求出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）将点代入一次函数，得， ∴点A的坐标为 将点代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式为． 解得，． ∴点的坐标为． （2）如图所示，      当时， ∴ ∴的面积； （3）不等式的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方时，x的取值范围， 由图象可得或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，三角形面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求． 28．如图，矩形的边长为8，点的坐标为，点的坐标为，点是的中点.反比例函数的图像经过点，与边交于点． (1)求的值； (2)求点坐标； (3)连接矩形两对边与的中点、．设线段与反比例函数图像交于点，将线段沿轴向右平移个单位，若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，将其代入反比例函数表达式中即可求出k； （2）因为F在AB上所以其横坐标已知，将横坐标代入反比例函数即可求出F坐标； （3）找出平移后，，假设，因为，可知，再利用P在上即可求出n的范围． 【详解】（1）解：∵矩形ABCD的AB边长为8，点C的坐标为 ∴， ∵E点是DC的中点， ∴， ∵反比例函数的图像经过点E， ∴， ∴ ． （2）解：∵点F在AB上， ∴， ∵在上， ∴， ∴． （3）解：∵矩形ABCD的AB边长为8，点B的坐标为， ∴， ∵M、N是AD、BC的中点， ∴点M的坐标为，点N的坐标为， ∴平移后的点M的坐标为，平移后点N的坐标为， 设点P的坐标为， ∵点P在MN上，且， ∴，即： ∵点P在反比例函数的图象上且在第二象限内， ∴且 ∴，即：，解得：． 【点睛】本题考查矩形，反比例函数以及平移，利用矩形性质和已知条件求出点E的坐标是求k的关键；利用矩形的性质找到F的横坐标是求其坐标的关键；找出平移后M、N、P点的坐标，利用的性质得到是求n的范围的关键． 29．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和点，求m的值． 【答案】-3 【分析】由反比例函数的图象及其性质将A、B点代入反比例函数即可求得m的值为-3． 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：． 故m的轴为-3． 【点睛】本题考查了反比例函数值的求法，明确图象上点的坐标和解析式的关系是解题的关键． 30．小星将“赵爽弦图”置于如图所示的平面直角坐标系中（“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成），点A与点重合，点B的横坐标为3，点E，H在x轴上，小正方形的边长为2．反比例函数的图象经过点B，C． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一次函数与反比例函数（）的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上点B，C之间的部分时（点M可与点B，C重合），求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形性质、待定系数法求反比例函数表达式及一次函数与反比例函数综合， （1）先求出，再用待定系数法求表达式即可； （2）先求出，把，代入一次函数表达式计算即可； 【详解】（1）解：∵点A与点重合，点B的横坐标为3， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故反比例函数的表达式为． （2）解：由（1）知，， ∴点C的横坐标为． 当时，， ∴， 当，时，， 则； 当，时，， 则； 综上所述，m的取值范围是． 1．已知函数是反比例函数，求m的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义可得出，解出m的值，再结合，即可得出合适的m的值． 【详解】解：由题意，得，解得． 又当时，，所以． 所以m的值为1． 2．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数相交于点和点，过点作轴，过点作轴，与相交于点． (1)求的面积； (2)若点在正比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，且，试判断与的大小关系，并通过计算进行证明． 【答案】(1)4 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据比例函数与反比例函数相交于点和点，将点A代入正比例函数，求得的坐标，进而根据中心对称求得B的坐标，根据题意求得点C的坐标，即可求解． （2）将点M，N分别代入y=-2x和，可得m=-2a，n=，再比较m-n与0的大小即可得出答案． 【详解】（1）解：∵比例函数与反比例函数相交于点和点， ∴ 比例函数与反比例函数的图象关于原点对称， ∵AC⊥x轴，BC⊥y轴， ∴点C的坐标为（-1，-2）， ∴AC=4，BC=2， ∴△ABC的面积为×2×4=4． （2）∵点M（a，m）在正比例函数y=-2x的图象上，点N（a，n）在反比例函数的图象上， ∴ ∴ ∵0＜a＜1， ∴0＜a2＜1， ∴a2-1＜0，则-2（a2-1）＞0， ∴ 即m＞n． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，分式的计算，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解答本题的关键． 3．某企业员工感冒后，到药店买了一种新型感冒药，按使用说明书服用后，血液中的约物浓度（微克/毫升）与服药后时间（小时）之间的函数关系如下图所示，其中，当时，满足的关系式；当时，与成反比例．    (1)求的值，并求当时，与的函数关系式； (2)若血液中药物浓度不低于微克/毫升的持续时间超过5.5小时，则称药物治疗有效，请通过计算说明用这种新药治疗是否有效吗？ 【答案】(1)， (2)这种新药治疗有效，见解析 【分析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可； （2）把分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案． 【详解】（1）由图象可知，将代入函数， 得， 解得， 当时，设与的函数关系式为 将代入，得， , （2）将代入函数得， 解得， 将代入函数得， 解得， 这种新药治疗有效． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用以及待定系数法求函数解析式，读懂题意是解题关键． 4．已知函数(是常数，)，函数 (1)若函数和函数的图象交于点，点． 求，的值； 当时，直接写出的取值范围； (2)若点在函数的图象上，点先向下平移个单位，再向左平移个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求的值． 【答案】(1)，；或； (2)． 【分析】（）采用待定系数法即可求出； 采用数形结合的方法，求出两个解析式的交点，结合图像即可求出； （）结合题意，表示出点的坐标，然后将，两点代入到中即可求出； 本题主要考查了待定系数法，坐标的平移，反比例函数和一次函数的图象和性质，巧妙的运用数形结合的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入到中，得：，解得：， 把代入到中，得：，解得：， ∴， 综上：，； 如图所示： ∵，，结合图象， ∴当时，的取值范围是：或； （2）解：根据题意，， ∴， 把点，代入到中，得： ，解得：， 综上：． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点是轴上一点，且，求点坐标． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式． （1）把点代入，解得，即可求得反比例函数的解析式以及B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式． （2）根据求得，进而即可求得D的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， 反比例函数的解析式为， 点的横坐标为， 将代入，得， ． 将，代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； （2）由可知， ， ， 或． 6．如图，在等腰中，，，点，分别在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，到达点时停止运动，设点的运动时间为秒，的面积记为． (1)请求出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)若函数，结合函数图像，请直接写出时对应的的取值． 【答案】(1) (2)或6 【分析】本题主要考查了一次函数解析式、一次函数与反比例函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）分点在线段上和点在线段上两种情况，分别求解即可； （2）画出函数、的图像，结合图像即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，，，， ∴，， 当点在线段上时，可有，， 此阶段 ∴的面积； 当点在线段上时，如下图， 可有，， ∴， ∴的面积． 综上所述，关于的函数表达式为； （2）结合（1），画出函数图像如下图所示， 由图像可知，当时，或6． 7．在平面直角坐标系xOy中，对于函数y（x＞0），它的图象是双曲线在第一象限内的一部分，如图1，这条曲线将第一象限分成了三个部分，即曲线上方、曲线下方和曲线上． (1)对于函数y（x＞0）的图象而言， ①点P（3，1）在　 　（填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）． ②横、纵坐标满足不等式y的点在　 　（填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）． (2)已知m＞0，将在第一象限内满足不等式组的所有点组成的区域记为W． ①当m＝1时，请在图2中画出区域W（用阴影部分标示）； ②若A（1，2），B（2，4）两点恰有一个点在区域W内，结合图象，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①曲线上方；②曲线下方 (2)①见解析；②1＜m＜8且m≠2 【分析】（1）①把相应坐标代入函数式即可得到答案；②根据函数图象可得到答案； （2）①根据题意得不等式组，根据轨迹可得答案；②分当点A（1，2）在区域W内时，当点B（2，4）在区域W内时，两种情况得不等式组，求解可得答案． 【详解】（1）解：①在函数y图象上，当x＝3时，y， ∴点P（3，1）在曲线上方； ②y为曲线，横、纵坐标满足不等式y的点在曲线下方． 故答案为：①曲线上方；②曲线下方． （2）解：①由题意知，区域W满足， ∴区域W满足在y的上方且在y＝x+1的下方，如图： ②当点A（1，2）在区域W内时，， 得1＜m＜2， 当点B（2，4）在区域W内时，， 得2＜m＜8， ∴m的取值范围为1＜m＜8且m≠2． 【点睛】此题考查的是函数的轨迹问题，掌握反比例函数性质及数形结合思想的应用是解决此题关键． 8．苏科版数学七（下）教材中有这样一段阅读材料： 著名的反例：公元1640年，著名数学家费马发现： ，，，， 而3、5、17、257、65537都是质数，于是费马猜想：对于一切自然数n，都是质数．可是，到了1732年，数学家欧拉发现：． 这说明了是个合数，从而否定了费马的猜想． 这个故事告诉我们，举反例是说明一个数学命题不成立的常用方法． (1)代数中的反例： ①用举反例说明“”是个假命题时，a的取值范围是______． ②请你举反例说明“反比例函数，y随x的增大而减小”是个假命题． (2)几何中的反例： 学习全等三角形判定时，我们知道“两边相等和一相等边所对的角也相等的两个三角形不一定全等”，即“SSA”不全等．请借助已给的，用三种方法在图形基础上构造一个三角形，使得构造出的三角形满足以下三个条件： ①有两边分别与AC和BC相等； ②与BC相等边所对的角等于； ③构造出的三角形与不全等． 要求：①用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，并写出必要的文字说明； ②不可借助已构造出符合条件的三角形利用全等变换作图． 【答案】(1)① ；②举例见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）①当时，则 解得：或 再分别在小于0，大于0小于1，大于1的范围内举例即可；②举例：当时， 当时， 发现自变量变大，函数值也变大，从而可作判断； （2）方法一：利用等腰三角形的性质构建三角形即可；方法二：利用角平分线的定义构建三角形即可；方法三：利用对顶角相等，结合等腰三角形构建三角形即可． 【详解】（1）解：①当时，则 解得：或 当时， 此时 当时， 此时 当时， 此时 所以“”是个假命题时，a的取值范围是 ②对于反比例函数 当时， 当时， 发现自变量变大，函数值也变大， 所以“反比例函数，y随x的增大而减小”是个假命题． （2）解：方法一：如图，延长，以为圆心，为半径画弧，交的延长线于， 连接CD， 则中，满足 但是两个三角形不全等． 方法二：以A为圆心，适当的长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点F， 以点M为圆心，MF为半径画弧，与前弧在AB的另一侧交于点G， 作射线AG， 以点A为圆心，AC长为半径画弧，交射线AG于点D， 以D为圆心，BC长为半径画弧，交AB的延长线于点E， 连接DE，得三角形ADE， 则中，满足 但是两个三角形不全等． 方法三：以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AC的反向延长线于点D， 以点D为圆心，BC长为半径画弧，交AB的反向延长线于点M，E（点E在外侧） 连接DE，得三角形ADE， 则中，满足 但是两个三角形不全等． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，举反例的应用，全等三角形的判定，复杂的作图，特别是掌握两个三角形中满足两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等是解本题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是一次函数和反比例函数图象的两个交点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图①中，画出一个平行四边形，使点A，B都是该平行四边形的顶点； （2）在图②中，画出一个菱形，使点A在该菱形一边所在的直线上． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）根据平行四边形的性质对角线互相平分即可得出； （2）根据菱形的性质对角线垂直平分即可得出． 【详解】解：（1）连接BO并延长交反比例函数的第二象限的线于点； 连接AO并延长交反比例函数的第二象限的线于点； 根据反比例函数图象性质，两条曲线关于原点中心对称，故,, 因为两条直线互相平分，故四边形为平行四边形； （2）如图，四边形CDEF为菱形； 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象性质及平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质，熟练掌握性质是解题的关键． 10．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点. (1)求的值，并在图中画出函数的图象； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点是点关于原点的对称点，连接、，求的面积. 【答案】(1)，图见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）将点代入一次函数得出点的坐标为，代入反比例函数求得反比例函数解析式； （2）根据函数图象以及交点的横坐标即可求解． （3）根据题意求得点的坐标，根据反比例函数图象的性质求得点的坐标，进而即可求解． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得， ∴ ∴点的坐标为. 把点代入反比例函数得，解得. ∴反比例函数的解析式为 ∴反比例函数的图象如下图， （2）由，，根据函数图象可得： 不等式的解集为：或 （3）将点代入反比例函数得，； ∵点C是点B关于原点的对称点， ∴点C的坐标为； ∴的面积 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，掌握一次函数与反比例函数图象的性质是解题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，连接． (1)尺规作图：在第一象限作点B，使得，；（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注点B） (2)求线段的解析式； (3)若反比例函数的图象经过点A．点B是否在反比例函数的函数图象上？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点B不在反比例函数上，理由见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法即可得到答案． （2）过点A作直线交y轴于点N，交过点B于y轴的平行线于点M，根据题中条件证明，从而求出点B的坐标，即可得出答案． （3）根据点A的坐标先求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入验证即可． 【详解】（1）解：过点A作圆弧交和的延长线于点G、H，分别以点G、H为圆心大于的长度为半径作画弧交于点R，连接，以点A为圆心长度为半径作弧交于点B，则，； （2）解：如上图，过点A作直线交y轴于点N，交过点B与y轴的平行线于点M， ∵，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴点， 设直线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； （3）解：即点B不在反比例函数上，理由： 将点A的坐标代入反比例函数表达式得：， 即反比例函数表达式为：， 当时，，即点B不在反比例函数上． 【点睛】本题考查了垂直平分线的作图方法，三角形全等的判定和性质以及求一次函数和反比例函数的解析式，灵活运用所学知识是解题关键． 12．我们研究反比例函数图象平移后的性质． 初步探究 (1)将反比例函数的图象向左平移一个单位，可以得到函数的图象（如图①），观察图象，判断以下结论是否正确（正确的打“”，错误的打“”）： ①该函数图象与y轴的交点坐标是；（_________） ②该函数图象是中心对称图形，对称中心是；（_________） ③当时，y随x的增大而减小；（_________）    (2)在图②中画出函数的图象，根据图象回答下列问题：    ①该函数图象是中心对称图形，对称中心是（________，________） ②当时，则y的范围是______________； ③当时，则x的范围是______________； 问题解决 (3)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求m的值； 深入思考 (4)对于任意正数k，方程均无解，直接写出b，k满足的数量关系． 【答案】(1)①；②；③ (2)函数图象见解析；①；②；③或 (3) (4) 【分析】（1）通过观察图象，分析图象性质即可判断是否正确； （2）在坐标轴上描点即可作图，根据图象回答问题即可； （3）通过化简运算，结合题意，即可求m的值； （4）由反比例函数无解时的性质，即可写出b，k满足的数量关系． 【详解】（1）解：①观察图可得，该函数图象与y轴的交点坐标是，故①； ②根据函数图象可知，该函数图象是中心对称图形，对称中心是，故②； ③当时，y随x的增大而减小，当，y随x的增大而减小，但，故③； 故答案为：①；②；③； （2）解：函数图象，如图所示：    ① 该函数图象是中心对称图形，对称中心是； ② 根据函数图象可知，当时，则y的范围是； ③ 根据函数图象可知，当时，则x的范围是或； 故答案为：①；②；③或． （3）解：， ∵函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， ∴， 解得． （4）解：， ， ， ∵对于任意k，方程均无解，当时分式无意义， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质；正确作图、理解题意、综合分析是本题解题的关键． 13．综合与实践 问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑． 实测数据：以地面为轴、竖直方向为轴，原点为基准点建立平面直角坐标系．矩形为核心观景平台区域，曲线段为反比例函数图象的一部分(连接高低平台的景观步道)．经现场实测，获取关键数据：米，米，点在轴上． (1)数学建模：根据实测数据及几何模型特征，求曲线段所在反比例函数的表达式(无需写出自变量取值范围)． (2)问题解决：步道终点为下层观景出口，经施工校准，其距离地面的竖直高度为米．结合已建立的数学模型，求两点间的水平距离． (3)安全评估：为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于3米．若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为2米，结合数学模型验证该位置是否符合安全设置要求，并说明理由． (4)工程设计：工程团队拟在地面上距原点水平距离米处新增观景点，为实现步道无缝衔接，需确定衔接点高度．过点作轴的垂线，交曲线的延长线于点，结合已建立的数学模型，直接写出点距地面的竖直高度． 【答案】(1)； (2)米； (3)符合安全设置要求，理由见解析； (4)米 【分析】（1）利用待定系数法代入点坐标求反比例函数解析式； （2）根据点纵坐标代入解析式求横坐标，计算横坐标差得到水平距离； （3）求出点横坐标，代入得纵坐标，和安全要求比较验证； （4）将点横坐标代入解析式，求出纵坐标即为竖直高度． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，已知，， ∴点坐标为． 设反比例函数表达式为， 将代入得：，解得， ∴曲线段所在反比例函数的表达式为． （2）解：∵点距离地面竖直高度为米， ∴点纵坐标， 将代入得：，解得， ∵点横坐标为， ∴、两点水平距离为(米)． 答：、两点间的水平距离为米． （3）解：该位置符合安全设置要求，理由如下： ∵，，点到的水平距离为米， ∴点横坐标， 将代入得， ∵，满足“距地面竖直高度不低于3米”的要求， ∴该位置符合安全设置要求． （4）解：由题意，点的横坐标为， 将代入得： ， 因此点距地面的竖直高度为米． 14．【实验与探究】 在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格： 托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40 托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15 (1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式； (2)当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离； (3)已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出解析式并利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出函数值为10时的自变量的值即可得到答案； （3）求出自变量的值为120时的函数值，再判断出函数的增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由表格中的数据可知，当时，， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，， ∴当砝码的总质量为时，托盘B与点O之间的距离为； （3）解：在中，当时，， ∵， ∴在第一象限内，y随x增大而减小， ∴当时，， ∴装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量为． 15．如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点处左侧固定位置并悬挂重物，在中点处右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．他把5组实验数据记录如下： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 5 5 4 3 小华与小组成员讨论后发现，他有一组数据记录时出现了错误 (1)小华第__________组数据的记录出现了错误． (2)求与之间的函数关系表达式． (3)若弹簧秤的示数为，求此时弹簧秤与点的距离． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涵盖了反比例函数表达式求解、代入求值等知识，同时结合了物理中的杠杆平衡原理． （1）分别计算每组数据的乘积，对比发现只有第5组的乘积不等于，从而得出结论； （2）由（1）可知与成反比例关系，因此设函数表达式为，代入一组正确的数据即可求出的值； （3）已知弹簧秤的示数，将其代入已求出的函数表达式，即可解出对应的值． 【详解】（1）解：观察计算每组数据的乘积： 第1组：； 第2组：； 第3组：； 第4组：； 第5组：； 故第5组数据记录出现了错误； 故答案为：5； （2）解：通过（1）的计算，发现大部分弹簧秤与点的距离与观察弹簧秤的示数之积相等，所以与成反比例关系，设函数表达式为； 将第1组数据代入，得，解得； 因此与之间的函数表达式为； （3）解：将代入，得； 解得； 故此时弹簧秤与点的距离为． 16．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式； (2)对于反比例函数，当时，写出x的取值范围； (3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围，以及利用割补法求面积． （1）利用反比例函数求出交点A、点B的坐标分别为，，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式． （2）当时，即为B点右侧图象，观察图象，从而得出此段图象对应的自变量的取值范围为． （3）先求出的面积为1，从而确定的面积为，再通过点P的不同的位置，设点P的坐标为，根据图形面积列出方程，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，﹣2； ∴A，B； 把A、B的坐标代入得； 解得； ∴一次函数的解析式为． （2）∵； 由图象可知，当时，． （3）∵一次函数为； ∴D； ∵A， ∴； ∴， 设点P的坐标为： ，； ∴，； 当P在直线下方时，如图1，则； ； 解得； ∴点P． 当P在直线AB的上方时，如图2，则； ； 解得； ∴点P； 综上可得：点P的坐标为： 或 ． 17．如图，点A、B分别在反比例函数（）和反比例函数的图象上，轴，求的面积． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，延长交y轴于C，得到轴，设，则，即可得到，，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于C， ∵轴， ∴轴， 设，则， ∴，， ∴． 18．某文具店销售一款笔记本，进价为每本10元，售价不低于进价，不高于成本价的5倍．根据市场调研： 当售价不超过20元时，每天的销售量（本）与售价x（元）满足一次函数关系： ； 当售价超过20元时，每天的销售量（本）与售价x（元）满足反比例函数关系： ． (1)分别求售价为15元和25元时，每天的销售量； (2)设每天的利润为w元，分别写出两种售价区间内w与x的函数关系式； (3)若每天的利润不低于300元，求售价x的取值范围． 【答案】(1)售价为15元时，销售量为75本；售价为25元时，销售量为48本 (2)时，；时， (3) 【分析】（1）把和分别代入函数关系式即可求解； （2）分和进行分类讨论即可求解； （3）分和进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：当时， （本）； ·当时， （本）． ∴售价为15元时，销售量为75本；售价为25元时，销售量为48本； （2）解：当时， ； 当时， ． （3）解：①当时， 令，化简得， 令， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线的图象开口向上， ∴的解集为， ∵， ∴ ②时， 令，整理得，且， 解得， ∵， ∴． 又售价不低于进价，不高于成本价的5倍， ∴， ∴， 综上所述，． 19．已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点． （1）如图1，过点作轴于点，连结． ①若，求证：四边形是平行四边形； ②连结，若，求的面积． （2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由． 【答案】（1）①证明见解析，②1；（2）不改变，见解析 【分析】（1）①计算得出，利用平行四边形的判定方法即可证明结论； ②证明，利用反比例函数的几何意义求得，即可求解； （2）点的坐标为，点的坐标为，可知四边形是平行四边形，由，利用相似三角形的性质得到关于的一元二次方程，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）①证明：设点的坐标为， 则当时，点的坐标为， ， 轴， ， ∴四边形是平行四边形； ②解：过点作轴于点， 轴， ， ， ， ∴当时，则，即． ； （2）解  不改变． 理由如下： 过点作轴于点与轴交于点， 设点的坐标为，点的坐标为， 则，OH=b， 由题意，可知四边形是平行四边形， ∴OG=AE=a，∠HPG=∠OEG=∠EOA，且∠PHG=∠OEA=90°， ∴， ， 即， ∴， ， 解得， 异号，， ， ． ∴对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化． ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 20．如图，正方形的边长为4，反比例函数的图象过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）反比例函数的图象与线段交于点D，直线过点D，与线段相交于点F，求点F的坐标； （3）连，探究与的数量关系并证明（提示：）． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，把点E（3，4）代入即可求出k的值，进而得出结论； （2）由正方形AOCB的边长为4，故可知点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4．由于点D在反比例函数的图象上，所以点D的纵坐标为3，即D（4，3），由点D在直线y=x+b上可得出b的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标； （3）在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG，△EGB≌△HGC（ASA），故可得出EG=HG，BE=CH=1，故可得出H点的坐标，在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5，可知OH=OE，即OG是等腰三角形底边EF上的中线．所以OG是等腰三角形顶角的平分线，由此即可得出结论． 【详解】（1）设反比例函数的解析式， ∵反比例函数的图象过点E（3，4）， ∴，即k=12． ∴反比例函数的解析式为； （2）∵正方形的边长为4， ∴点的横坐标为4，点的纵坐标为4． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为3，即， ∵点在直线上， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 将代入， 得，解得， ∴点的坐标为； （3）． 证明如下：如图，在上截取，连接，连接并延长交轴于点． ∵， ∴△OAF≌△OCG（SAS）． ∴． ∵， ∴△EGB≌△HGC（ASA）． ∴． 设直线的解析式为， ∵， ∴，解得． ∴直线的解析式为． 令，得． ∴． 在中，，根据勾股定理得． ∴， ∴是等腰底边上的中线， ∴是等腰顶角的平分线， ∴． ∴， 即． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到正方形的性质、用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、等腰三角形三线合一的性质等相关知识．解答关键是应用数形结合思想解答问题. 21．已知是的反比例函数，是的正比例函数． (1)当时，．当时，．求与之间的函数关系式； (2)证明：是的反比例函数． 【答案】(1)与之间的函数关系式为； (2)证明见解析． 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）根据反比例函数的定义即可求证； 本题考查了求正比例函数解析式，反比例函数定义及求解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】（1）解：∵是的反比例函数，是的正比例函数， 设，， ∴， ∵时，， ∴，解得：， 当时，， ∴，解得：， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）∵是的反比例函数，是的正比例函数， 设，， ∴， ∴是的反比例函数． 22．对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则．如图2，直线与双曲线交于点，点是双曲线上的一个动点，点的横坐标分别为，直线分别与轴于点； (1)点A的坐标为_____，点B的坐标为_____． (2)求证：直线与直线为“等腰三角线”； (3)如图3，轴于点G，是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； (4)如图4，过点作轴的垂线，在直线上存在一点；连接，当时，直接写出线段的值_____（用含的代数式表示） 【答案】(1)， (2)见解析 (3)为定值2 (4) 【分析】（1）联立即可求解； （2）过点作交于点，设点，，，已知，则可求出直线、直线的解析式，从而得到点，所以，可推出垂直平分，则，则结论可得； （3）由（2）有，，可推出点，，则结论可得； （4）过点作交于点，根据点，，，，可求出，所以可得．因为是等腰三角形，，可利用等面积法求得，根据求得的值．因为，可得 ，则问题可解． 【详解】（1）解：联立， 解得或， ． （2）解：过点作交于点，如图． 设点，，， ， ，， ，， ；， 当时，；， 解得：；， ， ． ， 垂直平分， ， 直线与直线为“等腰三角线”． （3）解：轴于点， 由（2）有， ， ， 为定值2． （4）解：过点作交于点，如图． ，，， ， ． ， 是等腰三角形，． ， ， ． ， ． ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，一次函数于反比例函数焦点问题，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23．已知反比例函数，反比例函数，点是反比例函数图象上的一点． (1)如图1，已知点，直线轴，交反比例函数的图象于点，直线轴，交反比例函数的图象于点，直线轴，直线轴，两直线交于点． ①求． ②求直线的函数表达式，判断点是否始终在直线上，并说明理由． (2)如图2，对于任意点，直线轴，交反比例函数的图象于点，直线轴，交于点，直线轴，交于点．试证明． 【答案】(1)①；②，在；理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）①将代入，可求的值；②设直线的函数表达式为，将代入求值，进而可得直线的函数表达式，令，则，，，，然后将点代入直线解析式求解判断即可； （2）由在上，得，则，，，分别表示，然后作商求解即可． 【详解】（1）①解：将代入得，，解得， ∴； ②解：设直线的函数表达式为， 将代入得，， ∴直线的函数表达式为， 令，则， 将代入，得， ∴， 当，， ∴， ∴， 将代入，得， ∴始终在直线上； ∴直线的函数表达式为，始终在直线上； （2）解：由在上，得， 根据题意得：，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合．解题的关键在于确定各点坐标． 24．如图，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为B，C，连接交于点D，反比例函数（）的图象经点D，与，分别相交于点E，F，连接并延长交x轴于点G； (1)填空：______； (2)求证：四边形为平行四边形. 【答案】(1)2 (2)详见解析 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合、矩形的性质与判定及平行四边形的判定，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得四边形是矩形，然后根据矩形的性质及中点坐标公式可进行求解； （2）由题意易得，然后可得直线的解析式为，则有，进而问题可求证． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即点D为的中点， ∵，， ∴，即， ∵点D在反比例函数上， ∴； 故答案为2； （2）证明：∵点，轴，轴， ∴，， 把代入，解得， ∴ ∴ 把代入，解得， ∴ 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，代入，解得， ∴， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形． 25．已知y是x的反比例函数，并且当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了求反比例函数的解析式，求函数值，正确掌握待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出解析式； （2）将代入求出函数值． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把，代入，得． 解得． 所以关于的函数解析式为． （2）当时，． 26．已知反比例函数与正比例函数的图象都经过点． (1)求k的值； (2)点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）先把代入正比例函数求出的值，进而可求出点坐标，再把此点坐标代入反比例例函数，即可求出的值； （2）先根据，求出的长度，再根据点在轴上即可确定点的坐标． 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，难度适中． 【详解】（1）解： 的图象经过点， ， ， ． 反比例函数的图象经过点， ； （2）解：， ， ， ， 点在轴上， 点的坐标为或 27．如图，在直角坐标系中，点和点是一次函数和反比例函数图象的交点．    (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标． (2)连接，求出的面积． (3)利用图象，直接写出当时，的取值范围 ． 【答案】(1)， (2)4 (3)或 【分析】（1）首先将将点代入一次函数求出，然后将代入求解即可； （2）首先求出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）将点代入一次函数，得， ∴点A的坐标为 将点代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式为． 解得，． ∴点的坐标为． （2）如图所示，      当时， ∴ ∴的面积； （3）不等式的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方时，x的取值范围， 由图象可得或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，三角形面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求． 28．如图，矩形的边长为8，点的坐标为，点的坐标为，点是的中点.反比例函数的图像经过点，与边交于点． (1)求的值； (2)求点坐标； (3)连接矩形两对边与的中点、．设线段与反比例函数图像交于点，将线段沿轴向右平移个单位，若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，将其代入反比例函数表达式中即可求出k； （2）因为F在AB上所以其横坐标已知，将横坐标代入反比例函数即可求出F坐标； （3）找出平移后，，假设，因为，可知，再利用P在上即可求出n的范围． 【详解】（1）解：∵矩形ABCD的AB边长为8，点C的坐标为 ∴， ∵E点是DC的中点， ∴， ∵反比例函数的图像经过点E， ∴， ∴ ． （2）解：∵点F在AB上， ∴， ∵在上， ∴， ∴． （3）解：∵矩形ABCD的AB边长为8，点B的坐标为， ∴， ∵M、N是AD、BC的中点， ∴点M的坐标为，点N的坐标为， ∴平移后的点M的坐标为，平移后点N的坐标为， 设点P的坐标为， ∵点P在MN上，且， ∴，即： ∵点P在反比例函数的图象上且在第二象限内， ∴且 ∴，即：，解得：． 【点睛】本题考查矩形，反比例函数以及平移，利用矩形性质和已知条件求出点E的坐标是求k的关键；利用矩形的性质找到F的横坐标是求其坐标的关键；找出平移后M、N、P点的坐标，利用的性质得到是求n的范围的关键． 29．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和点，求m的值． 【答案】-3 【分析】由反比例函数的图象及其性质将A、B点代入反比例函数即可求得m的值为-3． 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：． 故m的轴为-3． 【点睛】本题考查了反比例函数值的求法，明确图象上点的坐标和解析式的关系是解题的关键． 30．小星将“赵爽弦图”置于如图所示的平面直角坐标系中（“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成），点A与点重合，点B的横坐标为3，点E，H在x轴上，小正方形的边长为2．反比例函数的图象经过点B，C． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一次函数与反比例函数（）的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上点B，C之间的部分时（点M可与点B，C重合），求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形性质、待定系数法求反比例函数表达式及一次函数与反比例函数综合， （1）先求出，再用待定系数法求表达式即可； （2）先求出，把，代入一次函数表达式计算即可； 【详解】（1）解：∵点A与点重合，点B的横坐标为3， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故反比例函数的表达式为． （2）解：由（1）知，， ∴点C的横坐标为． 当时，， ∴， 当，时，， 则； 当，时，， 则； 综上所述，m的取值范围是． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数（解答题30题） 1．已知函数是反比例函数，求m的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数相交于点和点，过点作轴，过点作轴，与相交于点． (1)求的面积； (2)若点在正比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，且，试判断与的大小关系，并通过计算进行证明． 3．某企业员工感冒后，到药店买了一种新型感冒药，按使用说明书服用后，血液中的约物浓度（微克/毫升）与服药后时间（小时）之间的函数关系如下图所示，其中，当时，满足的关系式；当时，与成反比例．    (1)求的值，并求当时，与的函数关系式； (2)若血液中药物浓度不低于微克/毫升的持续时间超过5.5小时，则称药物治疗有效，请通过计算说明用这种新药治疗是否有效吗？ 4．已知函数(是常数，)，函数 (1)若函数和函数的图象交于点，点． 求，的值； 当时，直接写出的取值范围； (2)若点在函数的图象上，点先向下平移个单位，再向左平移个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求的值． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点是轴上一点，且，求点坐标． 6．如图，在等腰中，，，点，分别在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，到达点时停止运动，设点的运动时间为秒，的面积记为． (1)请求出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)若函数，结合函数图像，请直接写出时对应的的取值． 7．在平面直角坐标系xOy中，对于函数y（x＞0），它的图象是双曲线在第一象限内的一部分，如图1，这条曲线将第一象限分成了三个部分，即曲线上方、曲线下方和曲线上． (1)对于函数y（x＞0）的图象而言， ①点P（3，1）在　 　（填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）． ②横、纵坐标满足不等式y的点在　 　（填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）． (2)已知m＞0，将在第一象限内满足不等式组的所有点组成的区域记为W． ①当m＝1时，请在图2中画出区域W（用阴影部分标示）； ②若A（1，2），B（2，4）两点恰有一个点在区域W内，结合图象，直接写出m的取值范围． 8．苏科版数学七（下）教材中有这样一段阅读材料： 著名的反例：公元1640年，著名数学家费马发现： ，，，， 而3、5、17、257、65537都是质数，于是费马猜想：对于一切自然数n，都是质数．可是，到了1732年，数学家欧拉发现：． 这说明了是个合数，从而否定了费马的猜想． 这个故事告诉我们，举反例是说明一个数学命题不成立的常用方法． (1)代数中的反例： ①用举反例说明“”是个假命题时，a的取值范围是______． ②请你举反例说明“反比例函数，y随x的增大而减小”是个假命题． (2)几何中的反例： 学习全等三角形判定时，我们知道“两边相等和一相等边所对的角也相等的两个三角形不一定全等”，即“SSA”不全等．请借助已给的，用三种方法在图形基础上构造一个三角形，使得构造出的三角形满足以下三个条件： ①有两边分别与AC和BC相等； ②与BC相等边所对的角等于； ③构造出的三角形与不全等． 要求：①用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，并写出必要的文字说明； ②不可借助已构造出符合条件的三角形利用全等变换作图． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是一次函数和反比例函数图象的两个交点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图①中，画出一个平行四边形，使点A，B都是该平行四边形的顶点； （2）在图②中，画出一个菱形，使点A在该菱形一边所在的直线上． 10．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点. (1)求的值，并在图中画出函数的图象； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点是点关于原点的对称点，连接、，求的面积. 11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，连接． (1)尺规作图：在第一象限作点B，使得，；（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注点B） (2)求线段的解析式； (3)若反比例函数的图象经过点A．点B是否在反比例函数的函数图象上？说明理由． 12．我们研究反比例函数图象平移后的性质． 初步探究 (1)将反比例函数的图象向左平移一个单位，可以得到函数的图象（如图①），观察图象，判断以下结论是否正确（正确的打“”，错误的打“”）： ①该函数图象与y轴的交点坐标是；（_________） ②该函数图象是中心对称图形，对称中心是；（_________） ③当时，y随x的增大而减小；（_________）    (2)在图②中画出函数的图象，根据图象回答下列问题：    ①该函数图象是中心对称图形，对称中心是（________，________） ②当时，则y的范围是______________； ③当时，则x的范围是______________； 问题解决 (3)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求m的值； 深入思考 (4)对于任意正数k，方程均无解，直接写出b，k满足的数量关系． 13．综合与实践 问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑． 实测数据：以地面为轴、竖直方向为轴，原点为基准点建立平面直角坐标系．矩形为核心观景平台区域，曲线段为反比例函数图象的一部分(连接高低平台的景观步道)．经现场实测，获取关键数据：米，米，点在轴上． (1)数学建模：根据实测数据及几何模型特征，求曲线段所在反比例函数的表达式(无需写出自变量取值范围)． (2)问题解决：步道终点为下层观景出口，经施工校准，其距离地面的竖直高度为米．结合已建立的数学模型，求两点间的水平距离． (3)安全评估：为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于3米．若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为2米，结合数学模型验证该位置是否符合安全设置要求，并说明理由． (4)工程设计：工程团队拟在地面上距原点水平距离米处新增观景点，为实现步道无缝衔接，需确定衔接点高度．过点作轴的垂线，交曲线的延长线于点，结合已建立的数学模型，直接写出点距地面的竖直高度． 14．【实验与探究】 在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格： 托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40 托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15 (1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式； (2)当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离； (3)已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量． 15．如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点处左侧固定位置并悬挂重物，在中点处右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．他把5组实验数据记录如下： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 5 5 4 3 小华与小组成员讨论后发现，他有一组数据记录时出现了错误 (1)小华第__________组数据的记录出现了错误． (2)求与之间的函数关系表达式． (3)若弹簧秤的示数为，求此时弹簧秤与点的距离． 16．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式； (2)对于反比例函数，当时，写出x的取值范围； (3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标． 17．如图，点A、B分别在反比例函数（）和反比例函数的图象上，轴，求的面积． 18．某文具店销售一款笔记本，进价为每本10元，售价不低于进价，不高于成本价的5倍．根据市场调研： 当售价不超过20元时，每天的销售量（本）与售价x（元）满足一次函数关系： ； 当售价超过20元时，每天的销售量（本）与售价x（元）满足反比例函数关系： ． (1)分别求售价为15元和25元时，每天的销售量； (2)设每天的利润为w元，分别写出两种售价区间内w与x的函数关系式； (3)若每天的利润不低于300元，求售价x的取值范围． 19．已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点． （1）如图1，过点作轴于点，连结． ①若，求证：四边形是平行四边形； ②连结，若，求的面积． （2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由． 20．如图，正方形的边长为4，反比例函数的图象过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）反比例函数的图象与线段交于点D，直线过点D，与线段相交于点F，求点F的坐标； （3）连，探究与的数量关系并证明（提示：）． 21．已知是的反比例函数，是的正比例函数． (1)当时，．当时，．求与之间的函数关系式； (2)证明：是的反比例函数． 22．对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则．如图2，直线与双曲线交于点，点是双曲线上的一个动点，点的横坐标分别为，直线分别与轴于点； (1)点A的坐标为_____，点B的坐标为_____． (2)求证：直线与直线为“等腰三角线”； (3)如图3，轴于点G，是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； (4)如图4，过点作轴的垂线，在直线上存在一点；连接，当时，直接写出线段的值_____（用含的代数式表示） 23．已知反比例函数，反比例函数，点是反比例函数图象上的一点． (1)如图1，已知点，直线轴，交反比例函数的图象于点，直线轴，交反比例函数的图象于点，直线轴，直线轴，两直线交于点． ①求． ②求直线的函数表达式，判断点是否始终在直线上，并说明理由． (2)如图2，对于任意点，直线轴，交反比例函数的图象于点，直线轴，交于点，直线轴，交于点．试证明． 24．如图，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为B，C，连接交于点D，反比例函数（）的图象经点D，与，分别相交于点E，F，连接并延长交x轴于点G； (1)填空：______； (2)求证：四边形为平行四边形. 25．已知y是x的反比例函数，并且当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 26．已知反比例函数与正比例函数的图象都经过点． (1)求k的值； (2)点在轴上，且，求点的坐标． 27．如图，在直角坐标系中，点和点是一次函数和反比例函数图象的交点．    (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标． (2)连接，求出的面积． (3)利用图象，直接写出当时，的取值范围 ． 28．如图，矩形的边长为8，点的坐标为，点的坐标为，点是的中点.反比例函数的图像经过点，与边交于点． (1)求的值； (2)求点坐标； (3)连接矩形两对边与的中点、．设线段与反比例函数图像交于点，将线段沿轴向右平移个单位，若，求的取值范围． 29．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和点，求m的值． 30．小星将“赵爽弦图”置于如图所示的平面直角坐标系中（“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成），点A与点重合，点B的横坐标为3，点E，H在x轴上，小正方形的边长为2．反比例函数的图象经过点B，C． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一次函数与反比例函数（）的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上点B，C之间的部分时（点M可与点B，C重合），求m的取值范围． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $