第二十九章 圆（解答题30题） 2026-2027学年人教版九年级数学上册热点题型专练

**基本信息** 聚焦圆的性质应用与综合探究，覆盖计算、证明、作图及实际应用，注重几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆的基本性质与计算|8题（如1,3,25,29）|结合垂径定理、勾股定理的线段/角度/面积计算|从圆的定义出发，通过垂径定理、圆心角与圆周角关系构建计算体系，强化运算能力| |圆与几何图形综合|12题（如2,6,20,23）|切线性质判定、圆内接多边形、动态几何证明与计算|以圆为核心，关联三角形、四边形性质，通过推理意识建立图形间逻辑联系，发展理性思维| |实际应用与探究|6题（如4,15,16,18）|拱桥、挡雨棚等现实情境中的圆模型构建|从实际问题抽象圆的几何模型，运用模型意识解决问题，体现数学与现实世界的联系| |作图与创新|4题（如7,9,10,11）|无刻度直尺作图、位似与外接圆绘制|通过几何直观与空间观念，培养从数学角度观察与表达图形关系的能力|

第二十九章 圆（解答题30题） 1．（1）解方程：； （2）已知一个圆锥的母线长为6，底面圆的半径为2，求这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了一元二次方程的解法、圆锥的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据配方法解方程即可； （2）根据圆锥的性质进行计算． 【详解】（1）解： ， 解得：； （2）解：设这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为， 解得：， ∴这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为． 2．如图，直线经过点，与轴交于，为轴负半轴上的一点，且，以为直径作，连结． (1)求出b的值及直线的函数表达式． (2)在线段上取点，连结并延长交于点，连结交于点， ①若，求证：． ②当等于中的某一个角时，求的长． (3)点P关于直线的对称点P′恰好落在上时，请直接写出四边形的面积为______． 【答案】(1)5； (2)①证明见解析；②BP的长为5或 (3)60 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）①连接，利用平行线的性质，圆周角定理和全等三角形的判定与性质定理解答即可； ②利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：当时，利用对顶角的性质，圆周角定理，直角三角形的性质和等腰三角形的判定与性质解答即可；当时，利用圆周角定理，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例和勾股定理解答即可； （3）连接，利用轴对称的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质得到，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 直线的解析式为， 令，则， ． ． ， ， ， ． 设直线的函数表达式为， ， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）解：①连接，如图， ∵， ， ， ． 为的直径， ． 在和中， ， ， ． ， ； ②当时， ，， ， ， ． ． ， ， ， 即． ，，， ， ， ； 当时， ， ， ∴， ， ∴， ． ， ． 综上，当等于中的某一个角时，的长为5或； （3）解：连接，如图， 点关于直线的对称点恰好落在上， ． ，， ． 为的直径， ． 在和中， ， ， ， ． ， 四边形的面积为60． 故答案为：60． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，连接直径所对的圆周角和利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 3．孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉瑕丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为8cm的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为90°的最大扇形玉佩，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积计算以及圆周角定理，解答本题的关键根据圆周角定理由根据等腰直角三角形的性质得，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解．． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，是的直径． ∵， ∴， ∴， ∴ ． 4．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整． 如图2所示，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为． 作弦AB的垂线OC，D为垂足，则___________． 经测量，，则___________；用含r的代数式表示___________． 在中，由勾股定理可列出关于r的方程：___________．解得． 通过换算，车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为___________之轮．（填“兵车”或“田车”） 【答案】，，，，兵车 【分析】根据垂径定理，进行作答即可． 【详解】解：根据垂直弦的直径平分弦可知：， ∵， ∴，， ∴， 解得：， ∴此车轮为：兵车之轮； 故答案为：，，，，兵车． 【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握：垂直于弦的直径，平分弦，是解题的关键． 5．【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（1）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （2）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    【答案】 （1）作AB的垂直平分线交于点P，再以点P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点即可； （2）根据点的坐标可得，再算出，即可得出结论； （3）由点的坐标即可得出结果． 解题的关键是对一元二次方程的几何解法的理解和运用． （1）先在坐标系内找到，，连接 ，分别A，B为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点与交于点P，以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示：    （2）由题意得：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 与x轴有两个交点， 即与x轴相交； （3）由题意得，以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N， 则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是． 故答案为：． 6．如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，的半径为6，连接，．    (1)求； (2)连接，试判断和有什么特殊位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查正多边形与圆，涉及直径所对的圆周角为，扇形的面积，掌握直径所对的圆周角是直角是解题关键. （1）由正六边形的性质解得，，再根据扇形面积公式解答； （2）由直径所对的圆周角为解答； 【详解】（1）解：连接，    ∵正六边形为的内接正六边形， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下，连接，    由题意可得，点A，O，D共线，即为的直径， ∴， ∴． 7．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过A，B两个格点，C是与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)先画直径，再画圆心O； (2)在上画点M，使，在上画点F，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理．掌握90度角所对的弦为直径，垂直于弦的半径平分弦所对的弧以及等弧所对的圆周角相等，是解题的关键． （1）根据90度角所对的弦为直径，结合网格的特点确定点，使，连接即为直径，取的中点即为点； （2）利用垂径定理，取的中点，连接圆心与的中点，并延长，与圆的交点即为点，根据，得到点为的中点，取格点，利用格点的特征，得到为的中垂线，进而得到，延长，与的交点即为点． 【详解】（1）如图所示，直径 ，圆心O即为所求； （2）如图所示，点，即为所求． 8．如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画出的位似图形，使它与的相似比为； (2)画出的外接圆，写出的外心D的坐标，并计算出弧BC的长． 【答案】(1) 如图，或即为所求； (2)如图，即为所求外心，，弧的长为 【分析】本题考查作图位似变换，三角形的外接圆等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用位似变换的性质分别作出，，的对应点或即可； （2）线段的垂直平分线的交点即为的外心． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴弧的长． 9．如图，在的正方形网格中，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图1中找点D，使得线段是的中线； (2)在图2中找点O，使得点O为的外心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作出以为对角线的正方形的另一条对角线，交于点，连结即可； （2）分别作出，垂直平分线交点O． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求． （2）解：如图2，点即为所求． 【点睛】本题考查了三角形中线的意义，正方形的性质，三角形的外心，垂直平分线的性质，解题关键是掌握正方形的性质，垂直平分线的性质． 10．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过格点A，B，C．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图． (1)先画出圆心O，然后在该圆上画点D，使； (2)先在上画点E，使，然后在该圆上画点F，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，则它是直径，它与过C的直径的交点O即可为圆心；取格点M，连接，交于点D，则点D即为所求作的点； （2）取格点N，连接，交于点E，则；连接交于点P，连接交延长交于点F，连接，则． 【详解】（1）解：如图，点即为满足条件的点； （2）解：点E、即为所求作的满足条件的点与线段，如图． 【点睛】本题考查了作图：用无刻度直尺作图，垂径定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理逆定理等知识，综合性强，有一定难度． 11．如图，在中，，点O为边上一点．以O为圆心，为半径的与边相切于点D． （1）尺规作图：画出，并标出点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，若，且．求劣弧的长． 【答案】（1）作图见解析；（2） 【分析】（1）由于D点为的切点，即可得到，且，则可确定O点在的角平分线上，所以应先画出的角平分线，与的交点即为O点，再以O为圆心，为半径画出圆即可； （2）连接和，根据切线长定理，以及圆的基本性质，求出的度数，然后进一步求出的度数，并结合三角函数求出的长度，再运用弧长公式求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，先作的角平分线，交于O点，以O为圆心，为半径画出，点D即为所求； 过O作于点D， ∵平分，，， ∴； （2）如图所示，连接和， 由题意，为的切线， ∵，且为半径， ∴为的切线， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∵平分， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查复杂作图-作圆，以及圆的基本性质和切线长定理等，掌握圆的基本性质，切线的性质以及灵活运用三角函数求解是解题关键． 12．如图，已知Rt． (1)请利用没有刻度的直尺和圆规作出一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切．（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注） (2)在上题中，若已知，，求出所作的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】（1）根据切线的性质，角平分线的性质定理，可得作的角平分线即可求解； （2）设与相切于点，连接OD，可得，根据勾股定理可得．再由，即可求解． 【详解】（1）解∶作的角平分线交于点， 以为圆心为半径作圆，即为所作的圆； （2）解∶如图，设与相切于点，连接OD，则， ，，， ． ， ， ， ， 设半径为， ，解得：． 的半径为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，角平分线的性质定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意，作出正确的图形是解题的关键． 13．如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径的2倍多1米，如果圆环的面积等于平方米，求围成圆环铁丝的总长度.    【答案】 【分析】设小圆的半径为r，则大圆的半径为，根据，列方程求得大圆和小圆的半径，再计算大圆和小圆的周长之和即可求解． 【详解】解：设小圆的半径为r，则大圆的半径为， 由图可得，，即， 解得， （舍），， ∴， ∴， 答：围成圆环铁丝的总长度为． 14．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）．    (1)请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为___________；的半径为___________； (2)判断点与的位置关系； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 【答案】(1)，； (2)圆内； (3)． 【分析】本题考查了圆锥的计算，坐标与图形性质和垂径定理． （1）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为P点，再写出P点坐标，然后计算长得到的半径； （2）利用两点间的距离公式计算出，然后根据点与圆的位置关系的判断方法求解； （3）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，设该圆锥的底面圆的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则利用弧长公式得到，求出r即可． 【详解】（1）解：如图，点P为所作，P点坐标为， ， 即的半径为； 故答案为：，； （2）解：∵P，， ∴， ∵， ∴的长小于圆的半径， ∴点在内； （3）解：∵，， ∴， ∴为直角三角形，， 设该圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得， 解得． 15．上杭县紫金中学校园内未名湖中央有一座石拱桥，桥体呈抛物线形状，桥孔呈圆弧型，共同组成一个漂亮的轴对称图形．为进一步了解桥体，小明和小张同学带着一把皮尺和一根一端系着铅块的绳子（铅锤绳）来到石拱桥．首先他们利用皮尺测量了石拱桥点水平宽度（米），然后来到石拱桥最顶端O处，把铅锤绳的一端放在O处，含铅的一端自然下垂，经过调整让铅块落在直线上的C点处（此时），做好标记测量得到米，用同样的方法测得米．圆弧与交于M、N两点，在N点处测得米（此时垂直）．         根据以上数据，请你帮助他们处理下列问题： (1)根据图形，建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线解析式； (2)根据数据，请判断圆弧是否为半圆？说明理由； (3)请求出圆弧所在圆的半径． 【答案】(1) (2)圆弧不是半圆，理由见解析 (3) 【分析】（1）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图，由题意知，，，设抛物线的解析式为，待定系数法计算求解即可； （2）由题意知，，将代入，计算求得或，即，，由，可知圆弧不是半圆； （3）由，可知圆弧所在圆的圆心在的负半轴上，设圆心坐标为，由半径长度相等可得，，解得，，进而可求半径长． 【详解】（1）解：以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 由题意知，，， 设抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由题意知，， 将代入得，， 解得，或， ∴，， ∵， ∴圆弧不是半圆； （3）解：由（2）知，， ∵， ∴圆弧所在圆的圆心在的负半轴上， 设圆心坐标为， 由半径长度相等可得，， 解得，， ∴半径为， ∴圆弧所在圆的半径为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，圆，勾股定理，垂径定理等知识．熟练掌握二次函数的应用，圆，勾股定理，垂径定理是解题的关键． 16．某项目学习小组研究一款挡雨棚，首先将挡雨棚抽象为柱体，如图1所示，底面与全等且平行，与各边表示挡雨棚支架，支架，，垂直于平面．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（O，分别在，的延长线上）． (1)若，，，小组成员对曲线段有两种假设，分别为： ①挡雨板（曲面）的面积可以近似为线段与线段长的乘积，且． ②曲线近似为以点O为圆心的圆弧． 请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到）． (2)如图2，设垂直墙面（），支架线段下0.1米处有一矩形的窗，上、下窗框平行于，上、下窗框所在直线分别与相交于点E，F．若，窗的上、下框距离，请问下雨时，雨滴会打进窗内吗？若雨滴会打进窗内，请说明雨棚外沿需要加长多少米，才能使雨滴不会打进窗内；若雨滴不会打进窗内，请写出雨滴落点距点F的最小距离（参考数据：，精确到0.01m）． 【答案】(1)①；② (2)雨棚AB外沿需要加长0.04m，才能使雨滴不会打进窗内 【分析】（1）①根据“挡雨板（曲面的面积可以近似为线段与线段长的乘积”确定出的长即可； ②利用扇形的弧长公式求出的弧长，进而计算即可； （2）根据，，可得，根据，可以判断出下雨时，雨滴会打进窗内，设雨棚外沿加长m，若使雨滴不会打进窗内，即：，从而列出含的不等式解答即可． 【详解】（1）解：①，， 是直角三角形， ， 挡雨板的面积为：； ②由题意得：扇形的圆心角为， 的弧长为：， 挡雨板的面积为：； （2）解：如图，雨滴按照下落，与相交于点， ，， ， ， 下雨时，雨滴会打进窗内， 设雨棚外沿加长m，即：， 若使雨滴不会打进窗内，即：， ， ， 雨棚外沿加长0.04m，才能使雨滴不会打进窗内． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，直角三角形的判定，弧长公式，角的直角三角形的性质，熟练掌握模型思想是解答本题的关键． 17．乒乓球台（如图①）的支架可近似看成圆弧，其示意图如图②，与所在的直线过弧所在圆的圆心，直线AB与弧所在的圆相切于点，连接，且，．若弓形的高为，，且，求的长． 【答案】 【分析】延长，交于点O，则点O是弧所在圆的圆心，连接，，设与交于点H，根据的正切值求出半径的长，从而得到的长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长，交于点O，则点O是弧所在圆的圆心，连接，，设与交于点H， ∵直线与圆O相切于点G， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，弓形的高为， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 18．西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．摔碗酒瓷碗正面的形状如图所示，是的一部分，半径，垂足为点，连接，已知，碗深，求的半径． 【答案】的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的半径为，则． 半径， ， ， ， ， ， ， 解得：， 的半径为． 19．如图①，的半径为5，点A、B在上运动，以AB为边向圆心方向作正方形ABCD． (1)当时，判断并证明点D与的位置关系； (2)如图②，当直线CD与相切时，求AB的长； (3)请直接写出O、D两点距离的最小值． 【答案】(1)D在上，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先求解正方形的对角线的长，再证明在以对角线的交点为圆心，半径为5的圆上，从而可得答案； （2）如图，连接 交点为 记直线CD与相切的切点为 由正方形的对称性与圆的对称性可得：三点共线，延长交于 交于 设正方形的边长 则 求解 再利用勾股定理解方程即可. （3）设四边形AGEF是圆O的内接正方形，作点O关于AF的对称点Q，连接AQ，以点Q为圆心，AQ为半径画圆，延长AQ交圆Q于点H，连接DH，BE，可得点D在以Q为圆心，以AQ=AO=5为半径的圆上，运用点圆最短原理，确定最值即可． 【详解】（1）解：如图，，正方形 在以对角线的交点为圆心，半径为5的圆上， 在上，则在上. （2）解：如图，连接 交点为 记直线CD与相切的切点为 由正方形的对称性与圆的对称性可得：三点共线，延长交于 交于 是的切线，则 正方形 设正方形的边长 则 正方形 四边形为矩形， 而 解得：（不合题意舍去） 所以 （3）如图， 设四边形AGEF是圆O的内接正方形，作点O关于AF的对称点Q，连接AQ，以点Q为圆心，AQ为半径画圆，延长AQ交圆Q于点H，连接DH，BE， ∴∠ABE=∠DAB=∠HAE=90°，AH=AE， ∴∠HAE-∠DAE=∠DAB-∠DAE，即∠HAD=∠EAB， ∵AD=AB， ∴， ∴∠HDA=∠EBA=90°, ∴点D在以Q为圆心，以AQ=AO=5为半径的圆上， 连接QO交圆Q于点M，则是等腰直角三角形，DQ=， 根据点圆最短原理，当点D位于OQ与圆Q的交点M处时，OD最短，最小距离为线段OM的长度 ∵QM是圆Q的半径 ∴ ∴ ∴O、D两点距离的最小值为． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，切线的性质，垂径定理，勾股定理，点圆最短原理，熟练掌握圆的性质，准确确定点的运动轨迹是解题的关键． 20．如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点D，连接交于点H． (1)求证：； (2)已知，，劣弧的长度为，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵平分交于点D， ． (2)． 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，垂径定理，弧长的计算，熟练掌握垂径定理是 解题的关键． （1）根据垂径定理即可得到结论； （2）根据垂径定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解： 解得 设 ∵劣弧的长度为， ∴的度数为． 21．小华用一块角的三角板和一块量角器进行数学实践探究活动，如图，他将三角板的较短直角边和量角器（半圆O）的直径重合，斜边交于点C， 较长直角边交于点，根据量角器上的示数，可知点E为的中点． (1)连接交于点F， 求证：； (2)若，求三角板和量角器重合部分（阴影部分）的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由为的中点可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由直径所对的圆周角是直角可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由题意得，由邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，，然后由等角对等边即可得出结论； （2）连接，，由题意得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由为的中点可得，由垂径定理的推论可得，由直径所对的圆周角是直角可得，即，由垂直于同一直线的两直线平行可得，由两直线平行同位角相等可得，进而可得，，由三角形的面积公式可得，由，可得是等边三角形，于是可得，，由三角形的面积公式可得，由平角的定义可得，由扇形的面积公式可得，然后根据各部分之间的面积关系可得，由此即可求出三角板和量角器重合部分（阴影部分）的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 为的中点， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，，    由题意得：，， ， 为的中点， ， 为半径， ， 为的直径， ， 即：， ， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，解直角三角形的相关计算，求扇形面积，等边三角形的判定与性质，求不规则图形的面积，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等角对等边，三角形的面积公式，直角三角形的两个锐角互余，垂直于同一直线的两直线平行，两直线平行同位角相等，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 22．已知：内接于，半径，垂足为点H，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，点G为弧上一点，连接、，弧弧，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点O作，交于点E，交于点F，若，，求弦的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）如图，连接，则，再证明，即可得到结论； （2）如图，连接，先证明，，再利用圆周角定理可得结论； （3）如图，连接，过作于， 证明为等边三角形，可得，，再证明，设，而，，由可得：，可得， 过作于，设，可得，，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ∵， ∴， ∴； （2）如图，连接， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵弧弧， ∴； （3）如图，连接，过作于， 由（2）得：， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，而， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，设，而， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴由可得：， 解得：，（负根舍去）， ∴，，， 过作于， ∵， ∴， ∵，则， 设， ∴，， ∴， 解得：或（不符合题意舍去） ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，垂径定理的应用，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，圆心角，弧，弦之间的关系，锐角三角函数的应用，本题的综合程度高，难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23．如图，是的直径，C，D为上两点，平分，交于点E．过点C作的切线交的延长线于点P． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，弧与圆心角之间的关系，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）连接，先证明得到，则可证明，由切线的性质得到，再证明，得到，则可证明； （2）证明∴，得到，设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 24．如图，是的直径，弦于点，过点作交的延长线于点，点是延长线上一点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）连接，证明，，结合即可证明结论； （2）求出，则，根据勾股定理求出，，即可求出结论． 【详解】（1）证明：连接， 则， ， 于点， ， 交的延长线于点，点是延长线上一点， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：， ，， ， ， ∵在中，． ∴， ， ， ，， ， 解得， ∵在中，． ∴， ∴， 所以的长． 25．如图，O为半圆的圆心，直径，于点D，． (1)求弧的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图所示，连接，根据垂径定理和三角形中位线定理推出，则是等边三角形，得到，则，由此根据弧长公式求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解： 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，弧长公式，扇形面积，圆周角定理，正确作出辅助线求出是解题的关键． 26．如图，是的直径，弦交于点，，，，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质、勾股定理及垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键．根据线段的和差关系得出，，根据含角的直角三角形的性质得出，利用勾股定理得出，根据垂径定理即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，连接， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 27．在一节数学探究课上，小明将一条长度为20厘米的线段进行如下操作∶第一步∶如图1，取线段的中点O，将线段绕点O顺时针旋转一个角度得到∶第二步∶如图2，连接、，将三角形沿翻折得到三角形，连接． (1)若旋转的角度为，则图2中的大小为_______度； (2)在旋转过程中，小明发现随着旋转角度的变化，三角形的面积随之变化，那么三角形的面积最大为________平方厘米． 【答案】(1)40 (2)50 【分析】（1）根据旋转的性质可得的度数，从而得到的度数，再根据轴对称的性质得到，从而得到，即可求得的度数； （2）根据题意可得，即、、、四点共圆，根据等腰三角形性质，轴对称的性质和圆周角定理可得，从而可得，记、交点为，过点作垂直于延长线于点，再根据，可得，求得最大时的情况即为最大时的情况． 【详解】（1）解：旋转的角度为， ， ， 又三角形沿翻折得到三角形， ， ， ， 故答案为：40； （2）解：点O是线段的中点，为旋转所得，为三角形沿翻折所得， ，即、、、四点共圆， ，， ， 又， ， ， 如图，记、交点为，过点作垂直于延长线于点， 对于，， 对于，， ， ， 对于，则只有为高时最大，即时，最大， 此时（）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，四点共圆，圆周角定理，轴对称的性质，等腰三角形性质，平行线的判断与性质，解题的关键是熟练运用相关知识． 28．在正方形中，点是对角线上一点，连接（），过作交直线于点． (1)如图1，当时，求的长： (2)如图2，在边上有一点，连接，满足，试探究与的数量关系，并说明理由： (3)如图3，在（2）的条件下，若，为直线上一点，连接，将沿着翻折得到，连接，点为的中点，当最小时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作于点，则是等腰直角三角形，设，则，，根据已知条件得出，即可求解； （2）过点作于点，由已知条件，证明，得出，证明，得出，则，是等腰直角三角形，最后得出是等腰直角三角形，即可求解； （3）依题意得出的轨迹是在以为圆心，半径为的圆上运动，点在上运动，当三点共线时，取得最小值，然后勾股定理求得各线段的长，根据点到圆上的距离求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴ 则是等腰直角三角形，设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 中，， ∴， ∴； （2）如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是上一点， ，， 在与， ， ， ∴， ∴，， ， ∵四边形是正方形，是对角线，是上一点， ∴， 又， 则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，又， ∴， （3）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∵,设，则， ∵，∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 中，， 过点作，则四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴，则， 依题意，为直线上一点，连接，将沿着翻折得到， ∴ ∴在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵是的中点， ∴， 取的中点，连接    , ∴是的中位线， ∴，则点在上运动， 当三点共线时，取得最小值， 过点作，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴， 如图，当三点共线时， 中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，到圆上一点的距离，轴对称变换，中位线的性质与判定，平行线分线段成比例，根据题意作出图形，正确的添加辅助线是解题的关键． 29．如图， 为的直径，弦于E，已知，，求的直径 【答案】的直径为26 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，根据垂径定理得到，设的半径为，则，利用勾股定理求出，即可得到直径的长． 【详解】证明：∵为的直径，， ， 设的半径为， 则， 在中，， ， 解得：， ∴的半径为13， ∴的直径为26． 30．如图，的直径，CD是的弦，，垂足为P，且，求： (1)求的长， (2)弦与劣弧所围成的面积 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，求出，根据勾股定理求出，根据垂径定理得出； （2）首先解直角三角形求出，然后得到，然后根据弦与劣弧所围成的面积代数求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵的直径， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； （2）如图所示，连接 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴弦与劣弧所围成的面积． 【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，解直角三角形，求弓形面积，熟练掌握垂径定理的内容是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 圆（解答题30题） 1．（1）解方程：； （2）已知一个圆锥的母线长为6，底面圆的半径为2，求这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数． 2．如图，直线经过点，与轴交于，为轴负半轴上的一点，且，以为直径作，连结． (1)求出b的值及直线的函数表达式． (2)在线段上取点，连结并延长交于点，连结交于点， ①若，求证：． ②当等于中的某一个角时，求的长． (3)点P关于直线的对称点P′恰好落在上时，请直接写出四边形的面积为______． 3．孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉瑕丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为8cm的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为90°的最大扇形玉佩，求阴影部分的面积．（结果保留） 4．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整． 如图2所示，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为． 作弦AB的垂线OC，D为垂足，则___________． 经测量，，则___________；用含r的代数式表示___________． 在中，由勾股定理可列出关于r的方程：___________．解得． 通过换算，车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为___________之轮．（填“兵车”或“田车”） 5．【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    6．如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，的半径为6，连接，．    (1)求； (2)连接，试判断和有什么特殊位置关系，并说明理由． 7．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过A，B两个格点，C是与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)先画直径，再画圆心O； (2)在上画点M，使，在上画点F，连接，使． 8．如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画出的位似图形，使它与的相似比为； (2)画出的外接圆，写出的外心D的坐标，并计算出弧BC的长． 9．如图，在的正方形网格中，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图1中找点D，使得线段是的中线； (2)在图2中找点O，使得点O为的外心． 10．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过格点A，B，C．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图． (1)先画出圆心O，然后在该圆上画点D，使； (2)先在上画点E，使，然后在该圆上画点F，使． 11．如图，在中，，点O为边上一点．以O为圆心，为半径的与边相切于点D． （1）尺规作图：画出，并标出点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，若，且．求劣弧的长． 12．如图，已知Rt． (1)请利用没有刻度的直尺和圆规作出一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切．（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注） (2)在上题中，若已知，，求出所作的半径． 13．如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径的2倍多1米，如果圆环的面积等于平方米，求围成圆环铁丝的总长度.    14．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）．    (1)请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为___________；的半径为___________； (2)判断点与的位置关系； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 15．上杭县紫金中学校园内未名湖中央有一座石拱桥，桥体呈抛物线形状，桥孔呈圆弧型，共同组成一个漂亮的轴对称图形．为进一步了解桥体，小明和小张同学带着一把皮尺和一根一端系着铅块的绳子（铅锤绳）来到石拱桥．首先他们利用皮尺测量了石拱桥点水平宽度（米），然后来到石拱桥最顶端O处，把铅锤绳的一端放在O处，含铅的一端自然下垂，经过调整让铅块落在直线上的C点处（此时），做好标记测量得到米，用同样的方法测得米．圆弧与交于M、N两点，在N点处测得米（此时垂直）．         根据以上数据，请你帮助他们处理下列问题： (1)根据图形，建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线解析式； (2)根据数据，请判断圆弧是否为半圆？说明理由； (3)请求出圆弧所在圆的半径． 16．某项目学习小组研究一款挡雨棚，首先将挡雨棚抽象为柱体，如图1所示，底面与全等且平行，与各边表示挡雨棚支架，支架，，垂直于平面．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（O，分别在，的延长线上）． (1)若，，，小组成员对曲线段有两种假设，分别为： ①挡雨板（曲面）的面积可以近似为线段与线段长的乘积，且． ②曲线近似为以点O为圆心的圆弧． 请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到）． (2)如图2，设垂直墙面（），支架线段下0.1米处有一矩形的窗，上、下窗框平行于，上、下窗框所在直线分别与相交于点E，F．若，窗的上、下框距离，请问下雨时，雨滴会打进窗内吗？若雨滴会打进窗内，请说明雨棚外沿需要加长多少米，才能使雨滴不会打进窗内；若雨滴不会打进窗内，请写出雨滴落点距点F的最小距离（参考数据：，精确到0.01m）． 17．乒乓球台（如图①）的支架可近似看成圆弧，其示意图如图②，与所在的直线过弧所在圆的圆心，直线AB与弧所在的圆相切于点，连接，且，．若弓形的高为，，且，求的长． 18．西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．摔碗酒瓷碗正面的形状如图所示，是的一部分，半径，垂足为点，连接，已知，碗深，求的半径． 19．如图①，的半径为5，点A、B在上运动，以AB为边向圆心方向作正方形ABCD． (1)当时，判断并证明点D与的位置关系； (2)如图②，当直线CD与相切时，求AB的长； (3)请直接写出O、D两点距离的最小值． 20．如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点D，连接交于点H． (1)求证：； (2)已知，，劣弧的长度为，求的度数． 21．小华用一块角的三角板和一块量角器进行数学实践探究活动，如图，他将三角板的较短直角边和量角器（半圆O）的直径重合，斜边交于点C， 较长直角边交于点，根据量角器上的示数，可知点E为的中点． (1)连接交于点F， 求证：； (2)若，求三角板和量角器重合部分（阴影部分）的面积． 22．已知：内接于，半径，垂足为点H，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，点G为弧上一点，连接、，弧弧，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点O作，交于点E，交于点F，若，，求弦的长． 23．如图，是的直径，C，D为上两点，平分，交于点E．过点C作的切线交的延长线于点P． (1)求证：． (2)若，求的长． 24．如图，是的直径，弦于点，过点作交的延长线于点，点是延长线上一点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 25．如图，O为半圆的圆心，直径，于点D，． (1)求弧的长； (2)求图中阴影部分的面积． 26．如图，是的直径，弦交于点，，，，求的长． 27．在一节数学探究课上，小明将一条长度为20厘米的线段进行如下操作∶第一步∶如图1，取线段的中点O，将线段绕点O顺时针旋转一个角度得到∶第二步∶如图2，连接、，将三角形沿翻折得到三角形，连接． (1)若旋转的角度为，则图2中的大小为_______度； (2)在旋转过程中，小明发现随着旋转角度的变化，三角形的面积随之变化，那么三角形的面积最大为________平方厘米． 28．在正方形中，点是对角线上一点，连接（），过作交直线于点． (1)如图1，当时，求的长： (2)如图2，在边上有一点，连接，满足，试探究与的数量关系，并说明理由： (3)如图3，在（2）的条件下，若，为直线上一点，连接，将沿着翻折得到，连接，点为的中点，当最小时，请直接写出的值． 29．如图， 为的直径，弦于E，已知，，求的直径 30．如图，的直径，CD是的弦，，垂足为P，且，求： (1)求的长， (2)弦与劣弧所围成的面积 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $