1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时　距离问题）课后练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习按A级基础、B级提升分层，以空间向量距离计算为主线，从单点到综合应用，培养空间观念与推理能力，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|点到点、点到平面、线到平面等基本距离计算|选择填空为主，注重概念理解与公式应用，如正方体中点到直线距离| |B级|动态距离、异面直线距离及综合证明|解答题占比高，强调逻辑推理与模型构建，如直三棱柱中动点距离最小值|

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　距离问题 A级 必备知识基础练 1.若O为坐标原点,=(1,1,-2),=(3,2,8),=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为(　　) A. B.2 C. D. 2.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(1,2,3),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(　　) A. B. C. D.3 3.(2026河南高二期末)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,则点A1到直线DE的距离是(　　) A. B. C. D. 4.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,G为AA1的中点,则直线BD与平面GB1D1的距离为(　　) A. B. C. D. 5.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E是棱A1B1的中点,P在正方体内部且满足,则下列说法正确的是(　　) A.点A到直线BE的距离是 B.点A到直线BE的距离是 C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D.点P到直线AB的距离为 6.已知平面α内一点P(8,9,5),点Q(1,2,2)在平面α外,若α的一个法向量为n=(4,3,-12),则点Q到平面α的距离为　　　　　.  7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C与平面A1C1D间的距离是　　　　　.  8.在▱ABCD中,AB⊥BD,BA=1,BC=,PA=,且PA⊥平面ABCD,求点P到直线BC的距离. B级 关键能力提升练 9.(2026河北邢台高二期中)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AA1=2AC=2,D是线段B1C上的动点,则点D到直线AB的距离的最小值是(　　) A. B. C. D. 10.(2026山西高二期中)已知点P(1,-2,1),Q(1,2,3),点P在平面α内,若平面α的法向量n=(1,0,1),则点Q到平面α的距离为(　　) A.1 B. C. D.2 11.如图,多面体ABC-A1B1C1是由长方体一分为二得到的,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,点D是棱BB1的中点,则异面直线DA1与B1C1的距离是　　　　.  12.(2026全国1,15)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC,D,E分别为AB,AC1的中点. (1)证明:DE∥平面BCC1B1; (2)设CC1=2,直线DE与平面ACC1A1所成的角为45°,求直线DE到平面BCC1B1的距离. 13.(北师大版教材例题)已知向量=(1,0,0),=(0,2,0),=(4,3,3),对任意的实数a,b,当向量n=-(a+b)的长度最小时,求a,b的值. 参考答案 1.D　∵)=(4,3,6)==(0,1,0),∴,∴||=. 2.A　∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(1,2,3),则=(1,2,3).又两平面的一个法向量n=(-1,0,1),∴两平面间的距离d=.故选A. 3.A　以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,4),D(0,4,0),E(4,2,0),从而=(0,-4,4),=(4,-2,0),故点A1到直线DE的距离是.故选A. 4.B　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),G(2,0,1),D1(0,0,2),B1(2,2,2),=(0,2,1),=(-2,0,1),=(0,0,2).设平面B1D1G的法向量n=(x,y,z),则 取x=1,则y=-1,z=2,得n=(1,-1,2),∴直线BD与平面B1D1G的距离d=. 5.BC　如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E(,0,1),所以=(-1,0,0),=(-,0,1). 设∠ABE=θ, 则cos θ=,sin θ=. 故点A到直线BE的距离d1=||sin θ=1×,故A错误,B正确. 由图易证得平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离. 则=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0). 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z), 则所以令z=1,得y=1,x=1, 所以n=(1,1,1). 所以点D1到平面A1BD的距离d2=. 即平面A1BD与平面B1CD1间的距离为,故C正确. 因为,所以=(). 又=(1,0,0),则,所以点P到AB的距离d3=,故D错误. 6.1　因为P(8,9,5),Q(1,2,2),所以=(-7,-7,-3). 又α的一个法向量为n=(4,3,-12),所以点Q到平面α的距离为=1. 7.　以点A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1). 设平面AB1C的法向量为m=(x1,y1,z1),=(1,0,1),=(1,1,0),由取x1=1,则y1=-1,z1=-1,可得m=(1,-1,-1). 设平面A1C1D的法向量为n=(x2,y2,z2),=(0,-1,1),=(1,0,1),由取x2=1,则y2=-1,z2=-1,可得n=(1,-1,-1).因为m=n,平面AB1C与平面A1C1D不重合,故平面AB1C∥平面A1C1D.因为=(0,1,0),所以平面AB1C与平面A1C1D间的距离为d=. 8.解由题可得DB⊥DC. 过点D作平行于PA的直线,则该直线垂直于平面ABCD,故该直线分别与DB,DC垂直.以D为原点,DB,DC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系,则P(2,-1,),B(2,0,0),C(0,1,0),则=(0,1,-),=(-2,1,0),所以, 即点P到直线BC的距离为=1. 9.A　由题可知,AB,AC,AA1两两垂直. 以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),B1(2,0,2),C(0,1,0),=(2,0,0),=(0,1,0),=(2,-1,2),设=k=(2k,-k,2k)(0≤k≤1),则=(2k,1-k,2k),故点D到直线AB的距离d=, 即点D到直线AB的距离的最小值是.故选A. 10.B　由题意得=(0,4,2),所以点Q到平面α的距离d=.故选B. 11.　以B为坐标原点,分别以BC,AB,BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,1),A1(0,1,2),B1(0,0,2),C1(1,0,2), ∴=(0,1,1),=(1,0,0). 设m=(x,y,z)是的公垂线方向上的单位向量,则·m=0,即y+z=0,① ·m=0,即x=0,② 易知x2+y2+z2=1,③ 联立①②③,解得 不妨取m=(0,,-),又=(-1,0,-1),则异面直线DA1与B1C1的距离d=. 12.(1)证明 由题意证明如下: 如图,作出符合题意的图形,连接BC1,∵在△ABC1中,D,E分别为AB,AC1的中点,∴DE∥BC1. ∵DE⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,∴DE∥平面BCC1B1. (2)解 (方法一)由题意及(1)得,CC1=2,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,设AC=BC=2t(t>0), ∵四边形ACC1A1与四边形BCC1B1是矩形, ∴AC⊥BC,AC⊥CC1,BC⊥CC1. 建立空间直角坐标系,如右图所示,得到A(2t,0,0),B(0,2t,0),C(0,0,0),D(t,t,0),E(t,0,1),∴=(0,t,-1),平面ACC1A1的一个法向量为n1=(0,1,0). ∵直线DE与平面ACC1A1所成的角为45°,设直线DE与平面ACC1A1所成的角为θ,∴sin θ=cos<,n1>==sin 45°,解得t=1,∴A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,0),D(1,1,0),E(1,0,1). ∵DE∥平面BCC1B1,∴由几何知识得,DE到平面BCC1B1的距离为xD=1. (方法二)由题意及(1)得,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC,∵四边形ACC1A1与四边形BCC1B1是矩形, ∴AC⊥BC,AC⊥CC1,BC⊥CC1. ∵AC∩CC1=C,AC⊂平面ACC1A1,CC1⊂平面ACC1A1,BC⊄平面ACC1A1, ∴BC⊥平面ACC1A1,∠BCC1=90°, ∴由几何知识得,∠BC1C即为直线BC1与平面ACC1A1所成的角,直线DE与平面ACC1A1所成的角为45°, 在△ABC1中,D,E分别为AB,AC1的中点,DE∥BC1, ∴直线BC1与平面ACC1A1所成的角为45°,即∠BC1C=45°, 在Rt△BCC1中,∠BC1C=45°,∠BCC1=90°,CC1=2, ∴AC=BC=CC1=2, 在Rt△ABC中,AC⊥BC,AC=BC, △ABC为等腰直角三角形,过点D作DF∥AC,如图所示, 则点F为BC的中点,DF=AC=1,DF⊥BC, 由几何知识得,DE到平面BCC1B1的距离即为DF=1. 13.解如图,=a+b,n=-(a+b),要使向量n=-(a+b)的长度最小,也就是线段MY的长度最短. 由点到平面距离的定义,当且仅当n⊥平面Oxy时,线段MY的长度最短. 这时, 由n=-(a+b)=(4-a,3-2b,3),=(1,0,0),=(0,2,0),得 即解得 所以当n=-(a+b)的长度最小时,a=4,b=. 10 学科网（北京）股份有限公司 $