2026年暑期九年级分层练（人教版）——相似三角形的判定与性质

**基本信息** 暑期分层专项训练，以考向分点构建“概念-性质-判定-应用”逻辑链，覆盖相似三角形核心考点与中考题型。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A基础分点练|8考向（53题）|分考向设题，含成比例线段、平行线分线段、相似判定（A字型/8字型等模型）|从基础概念到性质判定，逐步构建相似三角形知识体系| |B能力提升练|10题|综合应用题，涉及折叠、动态几何|综合运用相似性质与判定解决复杂问题| |C素养强化练|3题|探究题，含内邻正方形、阅读理解|拓展相似在实际情境与创新问题中的应用，发展推理能力与应用意识|

2026年八升九数学暑期训练 ( 张学远新中考 · 个性化学伴 ) ( 张学远新中考 · 个性化学伴 )八年级暑期巩固练 ( 2026暑期九年级分层练（人教版） ——相似三角形的判定与性质 ) 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 相似三角形的判定与性质 A基础分点练 考向1 成比例线段（含黄金分割） 1．（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为________． 【答案】4 2．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）下列各组数中，成比例的是（   ） A．3，2，7，6 B．3，5，1，10 C．5，2，4，7 D．2，6，1，3 【答案】D 3．（2026·河南新乡·一模）小倩发现遗忘在家属院的滑板找不到了，查看物业室的监控，截取到小男孩站在一根实际长度为的竖直物旁的画面，量出截图中该物体和小男孩的高度分别为和，则小男孩的实际身高为______________米． 【答案】 4．（25-26九年级上·广东清远·期末）把长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 5．（2025·河北·中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 考向2 平行线分线段成比例 6．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知，那么下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 7．如图，，，，，则的长度是_______． 【答案】20 8．（2026·江苏南京·三模）如图，在中，分别是上的点，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 考向3 相似多边形 9．下列图形中，阴影部分的多边形与原多边形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 10．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 11．如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 12．（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知五边形五边形，若，则五边形与五边形的面积比为_____． 【答案】 13．（2026·甘肃白银·一模）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 14．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________． 【答案】 【解析】设方格的边长为1，则，，五边形五边形，∴五边形与五边形的相似比是为． 15．（2026·浙江·二模）如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知矩形划分成四个全等的矩形，矩形的宽为，长为，小矩形的宽为，长为，矩形与四个小矩形相似， ，，，，． 16．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（    ） A．B，E，F，D四点共线 B．E为的重心 C． D． 【答案】B 【解析】A.∵四边形与为菱形，∴对角线互相垂直平分，即垂直平分线段，垂直平分线段，∴B，E，F，D四点共线，故该选项正确，不符合题意； B.如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线，∵菱形菱形，且相似比为2，∴，∴，不满足三角形重心的性质，∴点E不是的重心，故该选项错误，符合题意； C. 如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线，假设，由选项B可得，，，由勾股定理得，，∴，故该选项正确，不符合题意； D. 如图所示，连接交于点，连接，延长交于点， 由选项A.得B，E，F，D四点共线，∵菱形菱形，∴，∵，∴，∴，∴，故该选项正确，不符合题意；故选：B． 考向4 相似三角形的性质 17．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 18．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 19．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知，相似比为，若的周长为8，则的周长为（     ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】A 【解析】∵，相似比为，∴的周长的周长，∵的周长为，设的周长为，，即，解得，即的周长为12． 20．（25-26九年级下·重庆开州·期中）已知和分别是和的角平分线，，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，和分别是和的角平分线 ∴ 两三角形的相似比为，∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴ 与的面积比为． 21．如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 【答案】 【解析】∵是的平分线上一点，则，若，则，∵，∴，∴． 考向5 相似三角形的判定 类型1 A字型 22．（2026·四川内江·中考真题）如图，在中，，若，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，∴． 23．（2026·上海宝山·二模）如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【解析】要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 24．已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型2 8字型 25．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 26．如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若，求证：． 【答案】证明：在平行四边形中，对角线交于点O， ，， ， ，即， ∴， 又， ． 类型3 直角三角形斜边高线型 27．（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，是斜边上的高，请写出图中的一对相似三角形：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】∵是斜边上的高，∴，∵，∴，同理：，． 28．（2026·陕西·中考真题）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵在中，，，∴，∴，∵的垂直平分线交于点，交于点，∴，，∴． 类型4 一线三等角型 29．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，点在边的延长线上，过点作，连接，请添加一个条件：____________（不添加字母及辅助线），使．（写出一个即可） 【答案】（或或或或）（答案不唯一） 30．如图，在等腰中，，，在AC上，且，则______． 【答案】 【解析】∵，∴，又∵，∴，∵，∴,，∵是三角形的外角，∴，∵,，∴，又∵，∴，∴即，解得． 类型5 手拉手型 31．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点P，点D在BC边上，，则的值为______． 【答案】3 【解析】如图，连接EC，∵，，∴∽，∴，∵，∴，∴∽．∴，即，在中，，∴，∴，∵∽，∴，∵，∴∽，∴． 32．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，，连接，交于点C． （1）求证：； （2）若，则的度数为_____． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， 即，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 类型6 其他 33．如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 34．如图，的顶点C在的边上，，，现以点A为圆心，为半径画弧，交于点F．求证：． 【答案】证明：由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 考向6 相似三角形的性质与判定综合 35．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上，且，连接．若，，的长为_____． 【答案】9 【解析】∵，∴，∵是角平分线，∴∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：． 36．（2026·山西·中考真题）如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵四边形是正方形，∴，∵点是的中点，∴，由平移得，∴，∴,又∵，∴． 37．如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【解析】∵是平行四边形，∴ ，，∴ ，∵，∴，即，是一对特殊的相似，∴相似的两个三角形共有6对． 38．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 【答案】 【解析】∵四边形是矩形，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，在中，，∵，，，∴，∴． 39．（2026·广东广州·二模）已知中，，平分交于点，其中． （1）求的度数； （2）将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 【答案】（1）解：∵，平分交于点，， ∴，， ∴； （2）解：如图，即为所求； 证明：∵旋转， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 40．如图，是平行四边形的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． （1）若，求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵，∴， 又∵，∴， 又∵，∴， ∴，即； （2）解：∵平行四边形中，， 又∵，∴， ∴，∵， ∴，即， ∴， ∵，∴， ∴， ∴． 41．（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． （1）若添加的条件为，求证：； （2）若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． （3）在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 又， ； （2）解：四边形是菱形， ， ， ∴可添加，使； （3）解：四边形是菱形， ， 又， ，即， ， ∵，， ， ， 即菱形的边长为． 考向7 相似三角形的实际应用 42．（25-26九年级下·山西运城·期末）如图，桌子上放着一根与地面平行的木棒，在灯光的照射下在地面形成影子．已知灯到木棒的距离与灯到地面的距离之比为，木棒的长为米，则影子的长为______米． 【答案】 43．（25-26九年级上·江苏南京·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是 ______ 步 【答案】 【解析】由题意可知，步，步，步，∴，，又，，，，． 44．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为__________米． 【答案】 【解析】设米，米，米，由物理性质可得入射角等于反射角，，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，即，解得，即米． 45．（2026·四川南充·中考真题）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴． 考向8 位似 46．（2026·广东深圳·二模）中国古代器物与装饰纹饰在构图上多遵循主从分明、比例相宜的传统布局原则，常将主体纹样放大突出，辅助纹样缩小衬托，其构图方式蕴含位似变换的数学思想．如图，若某主体纹饰与辅助纹饰的相似比为，辅助纹饰的宽度，则主体纹饰的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 47．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，与位似，点为位似中心，．若的面积为4，则的面积是________． 【答案】9 48．（2026·山西阳泉·三模）如图，与是位似图形，位似中心为点O，且，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 49．（2025·广东·中考真题）如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 【答案】 50．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，，∴，，∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形，∴，即，∴． 51．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵与是以原点为位似中心的位似图形，且点的对应点为，与的位似比为，B点坐标为，点的对应点的坐标为即． 52．（2026·广西柳州·一模）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【解析】如图，连接、，交点即为位似中心，由图形可得位似中心是点． 53．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】（1）解：如图所示，点D即为边的中点， 点D的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求作的三角形． B能力提升练 54．若，则______． 【答案】 【解析】∵，∴可设，（），∴． 55．如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是________． 【答案】 【解析】由相似多边形的性质可知，，∴，解得． 56．（25-26九年级上·四川巴中·期末）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【解析】如图1，由题知，，延长，则，，，同理可得，， ，即新三角形与原三角形相似，甲是对的； 如图2，由题知，，，新矩形与原矩形不相似，乙不对．故选：A． 57．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，一张矩形报纸的宽，长，直线，且与矩形两边分别交于点E，F，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，若矩形矩形，则m的值为____________． 【答案】 【解析】如图：设直线交于点，交于点，由矩形的性质可得：，由折叠的性质可得：，，∴，∵，∴，∵矩形矩形，∴，∴，∴（负值不符合题意，舍去）． 58．如图，中，D为边上一点，且，E为中点，则________． 【答案】 【解析】过E作，如图所示，∵E为中点，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴． 59．（2026·内蒙古·中考真题）如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． 【答案】 【解析】如图，连接交于点O，是等边三角形，边长为，，点是边的中点，，．由折叠的性质可知，，，，，∴，∴，∴，∴，∴四边形的周长． 60．（2026·浙江金华·一模）如图，在边长为2的正六边形中，点G为的中点，连接交于点H，则四边形的周长为_____________． 【答案】 【解析】如图，连接，交于点O，连接，∵正六边形的边长为2，∴点O在上，，，，∴，，是等边三角形，∴，∴，∵正六边形，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵点G为的中点，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，，∴四边形的周长为． 61．（2026·上海·二模）如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上．请画出点A、B、C、D分别关于、、、的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是_____． 【答案】 【解析】如图，∵四边形是正方形，∴，∴，，∴，同理，由对称可得，，∴∴点在上，同理，点在上，由对称可设 ，∵∴，∵，∴，，∴，∵正方形正方形，∴，∴． 62．（25-26九年级上·山东青岛·期末）根据相似多边形的定义，我们可以这样定义相似四边形：四角分别相等、四边成比例的两个四边形叫做相似四边形．例如，已知四边形与四边形满足：，，则四边形与四边形相似，记作四边形四边形． （1）若四边形四边形，且，它们的相似比为_____； （2）若四边形为平行四边形，，且平行四边形与平行四边形是相似四边形，相似比为，则平行四边形的周长为_____，平行四边形的面积为_____； （3）若菱形菱形，，则菱形的面积为_____． 【答案】（1）12；（2）42；542；（3）183 【解析】（1） ，故相似比为． （2）∵ 四边形是平行四边形，，， ∴ 平行四边形的周长为， 面积为． ∵ 平行四边形 平行四边形，相似比为， ∴ 平行四边形的周长为， 面积为． （3）∵ 菱形 菱形，， ∴ ，对角线， ∴ 菱形的边长为， 如图，设菱形的对角线相交于点， ∵,, 另一条对角线， 面积为． 63．（2026·安徽·二模）如图1，在矩形中，点M在上，连接，垂直平分分别交，于点E，F，点A与点N关于对称，连接交于点G，连接． （1）求证：； （2）若，，求的值； （3）如图2，在（2）的条件下，，求的值． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ， ∴， 垂直平分，关于对称， 关于对称， 四边形与四边形关于对称， ， ，， ∵，； （2）解：如图，过点F作于点H， 四边形是矩形， ，，， ∵∴四边形为矩形，， ∴，， 垂直平分，， ，，， ，，， ∵，，． （3）解：如图，过点N作交于点I， 设，则， 垂直平分， ， 在中，， ，，即． ， 由（1）可知，，． ，∴，∴， ， 与关于对称， ， ， ∵，， ∴，∴， ∴，， ∴， ∴在中，． C素养强化练 64．（2026·江西上饶·三模）如图，在中，，，，D是边上一点，，过点D的直线l将分成两部分，使所分成的三角形与相似，若直线l与另一边的交点为点P，则的长为________． 【答案】2，，3 【解析】①若，则，，∴，∴，∴，∴； ②若，则，，∴，∴，∴，∴； ③若，，∴，∴，∴，∴． 综上，的长为2，，3． 65．如图，，点在线段上从点向点运动．设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是________ 【答案】 【解析】∵，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴的值最小时，的值最小，此时的值最小，∵，∴，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，根据三角形面积得，此时，∵，∴，∴，∴的最小值为． 66．（2026·山西太原·一模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图1，中，点E，H分别在，边上，点F，G在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形1：如图2，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点D． ②过点D作交边于点E，过点E作于点F．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点D，E，C，F均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，．．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图2，可得正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为________，正方形的边长为________； 情形2：如图3，已知中，，，，．正方形在下方． …… 任务： 任务1：关于情形1的研究： （1）请补全“理由”部分的推理过程； （2）直接写出“分析”中所缺的内容：________，________； 任务2： （3）类比情形1的画法，在图3中借助正方形，画出中边上的内邻正方形（不必尺规作图），并直接写出的内邻正方形的边长（用含a，b，c的代数式表示）． 【答案】（1）解：四边形是正方形，， ，， 矩形为正方形； （2）解：四边形是正方形， ， ， ， ，， 即正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为，正方形的边长为； （3）解：如图，连接、，交于点D、E，过点D作交边于点N，过点E作交于点M，连接，同情形1可得四边形为的一个内邻正方形， 过点作交于点P，交于点R， 四边形为正方形， ，， 设正方形的边长为、， ，， ， ，， ，， ，， ，即，， ，， 即的内邻正方形的边长为． ( 0 1 )老师备课、家长伴学、学生提高 学科网（北京）股份有限公司 $2026年 八升九 数学 翻 2026暑期九年级分层练（人教版) 相似三角形的判定与性质 张学远新中考·个性化学伴 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 相似三角形的判定与性质 A基础分点练 考向1成比例线段（含黄金分割) 1.(2025四川成都中考真题)若号=3，则的值为 2.(25-26九年级下.安徽毫州期中)下列各组数中，成比例的是() A.3,2,7,6B.3,5,1,10C.5,2,4,7D.2,6,1,3 3.（2026河南新乡一模)小倩发现遗忘在家属院的滑板找不到了，查看物业室的监控，截 取到小男孩站在一根实际长度为15cm的竖直物旁的画面，量出截图中该物体和小男孩的高 度分别为3cm和24cm,则小男孩的实际身高为 米。 4.(25-26九年级上广东清远期末)把2m长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长 为() A.(3-V5)m B.(V5-1)m c.(1+√5)m D.(2-V5)m 5.（2025河北中考真题)“这么近，那么美，周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览，发现 青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）·回家 后量出照片上笔和化石的长度分别为7cm和4cm,笔的实际长度为14cm,则该化石的实际 长度为() A.2cm B.6cm C.8cm D.10cm 考向2平行线分线段成比例 6.(25-26九年级上河南周口·期末)如图，已知AB ICD I EF,那么下列结论中，正确的是 （) 老师备课、家长伴学、学生提高 02 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 AB CXD A品器 B- BC AF 7.如图，l1I2ⅡL3,AB=2,DE=5,BC=6,则DF的长度是 B F 8.(2026江苏南京三模)如图，在△ABC中，D,E,F分别是AB,AC,BC上的 点，DE IIBC,EF II AB.若AD:DB=2:3,则BF:CF=() F A.1:2 B.2:3 c.2:5 D.3:5 考向3相似多边形 9.下列图形中，阴影部分的多边形与原多边形相似的是() A B c. D. 10.如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，且A、B、C、D分别与E、F、G、H对应，则LD 的度数为() E 80° H B人70 AG A.100° B.110° C.120° D.130° 老师备课、家长伴学、学生提高 03 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 11.如图，已知五边形ABCDE与五边形AB'CDE'相似且相似比为3：4，CD=1.2.则C'D的 长为() A.1.2 B.1.4 C.1.6 D.1.8 12.(25-26九年级上，陕西西安，期末)己知五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1,若CD= 5,C1D1=15,则五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的面积比为 13.(2026甘肃白银.一模)为调查某住宅区的实际1cm占地情况，技术人员使用无人机进 行航拍测绘（如图1)，其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如 图2)与地面实际物体（如图3)构成相似图形.在本次测绘中，设定数字模型上的1c代 表实际距离50m.技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形ABCD各边长度分别 为AB=4cm,BC=5cm,CD=7cm,DA=4.5cm,则该住宅区实际边界四边形A1B1C1D1 的周长是 m. D B B 图1 图2 图3 14,如图，五边形ABCDE∽五边形AB'C'D'E',则五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E的相似比 是 D C"万 15.(2026浙江二模)如图，将矩形ABCD划分成四个全等的矩形.若要使每一个矩形与原 老师备课、家长伴学、学生提高 04 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 矩形相似，则8的值为() BC A.月 B.月 c.9 D.② 16.（25-26九年级上浙江宁波，期末)如图，菱形ABCD∽菱形EAFC,且相似比为2，则下 列说法错误的是() C A.B,E,F,D四点共线 B.E为△ABC的重心 C.AB:AC=V5:2 D.AE⊥BC 考向4相似三角形的性质 17.如图，已知D、E分别在△ABC的AB、AC边上，△ABC△AED,则下列各式成立的是 () B A碧- B.AB·AD=AE·AC D.AD.DE=AE.EC 18.(25-26八年级下.重庆沙坪坝.期末)若△ABC与△DEF的相似比为1：2，则对应边上的 高之比为() A.1:1 B.1:2 C.2:1 D.1:4 19.（25-26八年级下.上海青浦·期中)已知△ABC∽△DEF,相似比为2：3，若△ABC的周 长为8，则△DEF的周长为() A.12 B.16 C.18 D.24 老师备课、家长伴学、学生提高 05 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 20.（25-26九年级下，重庆开州期中)已知△0AB~△01A1B1,AD和A1D1分别是∠0AB和 ∠01A1B1的角平分线，AD=4,A1D1=3,则△OAB与△01A1B1的面积比是() A.4:3 B.7:3 C.16:9 D.9:16 21.如图，D是∠ABC的平分线上一点，AB=15cm,BD=12cm.若要使△ABD△DBC, 则BC的长为 考向5相似三角形的判定 类型1A字型 22.（2026四川内江，中考真题)如图，在△ABC中，DE II BC,若AD:AB=1:3,则△ADE 与△ABC的面积之比为() D B A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9 23.(2026上海宝山·二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边的中点，沿着过 点D的某条直线将△ABC剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（)种不 同的剪法. ×D A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 老师备课、家长伴学、学生提高 06 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 24.己知，△ABC中，∠C=90°，CD1AB,E是BC的中点，DE交AC的延长线于点F.若2AD= 3CD.求证：△FCD∽△FDA. 类型28字型 25.(25-26九年级上广西梧州期末)如图，在四边形ABCD中，AD II BC,对角线AC交BD 于点O,则图中相似的三角形是() A.△ABC△CDO B.△ABC△DCA C.△COD∽△BOA D.△BC0△DAO 26.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,点G在边BC上，连接AG交BD 于点F,若AO2=OF.OB,求证：△AOF∽△D0C. B 类型3直角三角形斜边高线型 27.(25-26九年级上·河南许昌·期末)如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，请写出图中的一 对相似三角形： D 老师备课、家长伴学、学生提高 07 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 28.(2026陕西.中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=6.BC的垂 直平分线交BC于点D,交AC于点E,则DE的长为() D A.2 B.3 C.23 D.4V3 类型4一线三等角型 29.(25-26九年级上陕西西安期中)如图，在RtABC中，∠B=90°，点D在边BC的延长线 上，过点D作DE1BD,连接CE,请添加一个条件： (不添加字母及辅助线)， 使△ABC∽△CDE.(写出一个即可) 30.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=9,BP=BC=2,D在AC上，且LAPD=∠B,则 CD= 类型5手拉手型 31.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交 于点P,点D在BC边上，铝=V3,则器的值为 CF 32.(25-26九年级上江苏盐城期末)如图，△AOB~△AOB,连接AA',BB交于点C. 老师备课、家长伴学、学生提高 08 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 (1)求证：△AOA~△B0B; (2)若∠A0B=56°，则∠ACB的度数为一 类型6其他 33.如图，已知LACB=∠D=90°，请添加一个条件使△ABC和△BCD相似，则不成立的是 () B D A.∠A=∠BCD B.∠ABC=∠CBD c.架=2 0.照9 34.如图，△ABC的顶点C在△ADE的边AD上，∠BCD=∠AED,AB II DE,现以点A为圆 心，AE为半径画弧，交DE于点F.求证：△ABC△DAF 老师备课、家长伴学、学生提高 09 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 考向6相似三角形的性质与判定综合 35.（25-26九年级上广西贵港期中)如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上， 且AD2=AE·AB,连接DE.若CD=6,CE=4,AC的长为· D 36.(2026山西中考真题)如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O.将线段AD 沿射线AB方向平移，点A,D的对应点分别为点E,F,线段EF分别与OA,OD交于点G,H.当 点G是0A的中点时， 的值为() D G H O B A. C. D.② 37.如图，点E在□ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD、AC于F、G.图中相似的 两个三角形共有() B A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 38.(25-26八年级下，重庆期末)如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连接AE,过点D 作DF1AE,垂足为点F.若AB=6,BE=8,AD=12,则DF= O B E 老师备课、家长伴学、学生提高 010 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 39.(2026广东广州，二模)己知△ABC中，AB=AC,CD平分∠ACB交AB于点D,其中∠B=72°. B (1)求∠BDC的度数： (2)将△DBC绕点D逆时针旋转至△DEF,其中点B的对应点E落在BC边上，先用尺规作出 △DEF(要求保留作图痕迹)，后标记EF与AC的交点G,求证：△CEG∽△BDE. 40.如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，在AD边上取一点F,连接BF交AC于点E,并延 长BF交CD的延长线于点G. (1)若∠ABF=∠ACF,求证：CE2=EF.EG. (2)若DG=DC,BE=7,求EF的长. 老师备课、家长伴学、学生提高 011 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 41.（2026河北邯郸.一模)如图，在菱形ABCD中，E为边BC上一点.现要添加一个条件， 使△ABE△DEA. A D B (1)若添加的条件为LB=∠AED,求证：△ABE~△DEA; (2)若添加下列条件，也可以使△ABE~△DEA,则这个条件是 (填序号)； ①品-品②品-器®片-器 (3)在(1)的条件下，若AE=3,DE=6,求菱形ABCD的边长. 考向7相似三角形的实际应用 42.(25-26九年级下山西运城期末)如图，桌子上放着一根与地面平行的木棒AB,在灯光 的照射下在地面形成影子CD.已知灯到木棒的距离与灯到地面的距离之比为2：3，木棒AB 的长为1.2米，则影子CD的长为米. B 老师备课、家长伴学、学生提高 012 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 43.(25-26九年级上江苏南京，期末)《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百 步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，M、N分 别是正方形ABCD边BC和DC的中点，正方形的边长为200步，出东门M继续往东走16步有 一树木（点E),问出南门N继续往南走多少步恰好能看到位于点E处的树木（即点C在直线EF 上)？则根据以上信息，算出FN的长是 步 A-------,B 东门M7树E 南门N D 44.（24-25九年级上·浙江金华.期末)如图，地面CD上的点E处放置平面镜，光线从A点射出 经平面镜（点E处）反射后照射到B点.已知AC1CD,BD1CD,垂足分别为C、D,AC=0.2 米，BD=0.5米，CD=1.4米，则CE长为 米 45.（2026四川南充，中考真题)中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图 1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P,物体AB在幕布上形成倒立 的实像A'B'(点A,B的对应点分别是A,B),且AB1A'B,A'B'1A'B,若AB=10cm,P 到A'B的距离PQ=6cm,则A'B'长为() B (图1) (图2) A.12cm B.13.5cm C.15cm D.18cm 考向8位似 46.（2026广东深圳二模)中国古代器物与装饰纹饰在构图上多遵循主从分明、比例相宜的 传统布局原则，常将主体纹样放大突出，辅助纹样缩小衬托，其构图方式蕴含位似变换的数 老师备课、家长伴学、学生提高 013 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 学思想.如图，若某主体纹饰与辅助纹饰的相似比为2：1，辅助纹饰的宽度AB=6cm,则主 体纹饰的宽度CD为() A.6cm B.9cm C.12cm D.18cm 47.(2026-内蒙古赤峰三模)如图，△ABC与△DEF位似，点0为位似中心，BE=0B.若 △ABC的面积为4，则△DEF的面积是 B 48.(2026山西阳泉.三模)如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O,且OA:AD= 1:2,则△ABC与△DEF的周长比为() D B --E A.1:2 B.2:1 C.1:3 D.3:1 49.(2025·广东.中考真题)如图，把△AOB放大后得到△C0D,则△AOB与△COD的相似比 是 D B 6 50.(2026甘肃天水.中考真题)如图，四边形ABCD与四边形ABCD是以原点O为位似中心 的位似图形.若B'(2,0),B(4,0),A'B'=V5,则AB=（) 老师备课、家长伴学、学生提高 014 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 A.3 B.2W5 C.4 D.3V5 51.(2026浙江嘉兴.一模)如图，在直角坐标系中，△0AB与△OCD是以原点0为位似中心 的位似图形.若点A(6,4)的对应点为C(-3,-2),则点B(4,0)的对应点D的坐标为（) YA B A.(-2,0) B.(-4,0) C.(0,-2) D.(0,-4) 52.(2026广西柳州.一模)如图，在正方形网格图中，△ABC与△ABC是位似图形，且△ABC 和△A'B'C的顶点均在格点上，则位似中心是（) B A.点R B.点P c.点Q D.点O 53.(2025安徽中考真题)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平 面直角坐标系xOy,△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）·已知点A和A1的坐标分 别为(-1，-3)和(2,6). (1)在所给的网格图中描出边AB的中点D,并写出点D的坐标： (2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1,使得点A的对应点为A1,请在所给 的网格图中画出△A1B1C1· 老师备课、家长伴学、学生提高 015 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 B能力提升练 54.若器-子则 55. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，四边形ABCD的面积是 .若四边 形EFGH与四边形ABCD相似，则四边形EFGH的面积是 A DH B C G 56.（25-26九年级上四川巴中，期末)在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间 老师备课、家长伴学、学生提高 016 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 距均为1，则新三角形与原三角形相似 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为 1,则新矩形与原矩形相似： 对于两人的观点，下列说法正确的是() 图1 图2 A.甲对，乙不对 B.甲不对，乙对C.两人都对D.两人都不对 57.(25-26九年级上河南周口.期末)如图，一张矩形报纸的宽AB=2,长BC=m,直线L11AD, 且与矩形两边分别交于点E,F,将报纸沿直线L折叠，则边AB落在直线L2上，将报纸沿直线 L2折叠，则边CD落在直线L1上，若矩形ABEF∽矩形BCDA,则m的值为 B E 58.如图，△ABC中，D为BC边上一点，且BD:DC=1:2,E为AD中点，则 S△ABE:S△ABF= 59.(2026内蒙古中考真题)如图，等边三角形纸片ABC的边长为10，点E,F分别为AB, AC边上的点.将LBAC沿EF折叠，若点A恰好落在该纸片BC边的中点D处，则四边形EBDF的 周长是 老师备课、家长伴学、学生提高 017 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 60.(2026浙江金华.一模)如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，点G为AF的中点， 连接DG交CF于点H,则四边形EFHD的周长为 G 61.(2026·上海·二模)如图，正方形EFGH内接于正方形ABCD,即点E、F、G、H分别在 正方形ABCD的四边上.请画出点A、B、C、D分别关于HE、EF、FG、GH的对称点P、Q、 R、S,如果四边形PQRS的面积恰好是正方形ABCD面积的一半，那么需的值是 E 的 62.(25-26九年级上，山东青岛·期末)根据相似多边形的定义，我们可以这样定义相似四边 形：四角分别相等、四边成比例的两个四边形叫做相似四边形.例如，已知四边形ABCD与四 边形ABCD满足：A=∠AB=B,kC=CD=D:指-签-器-会则四边 形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，记作四边形ABCD~四边形A'B'C'D'. (1)若四边形ABCD~四边形A'B'C'D,且AB=4,BC=2,A'B'=8,BC'=4,它们的相似比 为_ (2)若四边形ABCD为平行四边形，∠A=45°，AB=8,AD=6,且平行四边形ABCD与平行 四边形ABCD是相似四边形，相似比为号，则平行四边形ABCD'的周长为一，平行四边 形A'B'C'D的面积为； (3)若菱形ABCD~菱形ABCD,∠B=60°，AC=6,则菱形ABCD的面积为 老师备课、家长伴学、学生提高 018 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 63.(2026安徽.二模)如图1，在矩形ABCD中，点M在BC上，连接DM,EF垂直平分DM 分别交AB,CD于点E,F,点A与点N关于EF对称，连接MN交AB于点G,连接AN. 图1 图2 (1)求证：△FCM△MBG: (2)若AB=6,BC=4,求职的值： (3)如图2，在(2)的条件下，MC=3,求AN的值. C素养强化练 64.(2026江西上饶.三模)如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=12,D是BC边上一 点，CD=4,过点D的直线1将△ABC分成两部分，使所分成的三角形与△ABC相似，若直 线1与△ABC另一边的交点为点P,则DP的长为 B D 老师备课、家长伴学、学生提高 019 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 65.如图，△ABC△ADE,∠BAC=∠DAE=90°，AB=6,AC=8,点D在线段BC上从点B 向点C运动.设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 66.(2026山西太原.一模)阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务. 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形， B 图1 图2 图3 如图1，△ABC中，点E,H分别在AB,AC边上，点F,G在BC边上，且四边形EFGH是正 方形，则称正方形EFGH是△ABC中BC边上的内邻正方形. 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形。 情形1：如图2，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°.AC=3,BC=4.正方形BCMN在BC下方.利 用正方形BCMN可以画出△ABC的一个内邻正方形. 画法：①连接AN交边BC于点D. ②过点D作DE⊥BC交边AB于点E,过点E作EF1AC于点F.则四边形CDEF为△ABC的一 个内邻正方形， 理由：由作法可知，点D,E,C,F均在直角三角形ABC的边上. :DE⊥BC,EF1AC,·∠EDC=90°，∠EFC=90°， ∠ACB=90°，四边形CDEF为矩形， 由条件易得：△ACD一△AMN,CP=0 MN AN 老师备课、家长伴学、学生提高 020 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 △ADE△ANB,÷铝0小票-职 … 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形BCMN,然后将正方形BCMN缩小得到所 求作的图形.进一步分析图2，可得正方形CDEF与正方形MNBC是以点A为中心的位似图形， 其相似比为 ,正方形CDEF的边长为 情形2：如图3，已知Rt△ABC中，LACB=90°，AC=b,BC=a,AB=c.正方形ABHG 在AB下方. … 任务： 任务1：关于情形1的研究： (1)请补全“理由"部分的推理过程； (2)直接写出“分析"中所缺的内容： 任务2： (3)类比情形1的画法，在图3中借助正方形ABHG,画出△ABC中AB边上的内邻正方形（不 必尺规作图)，并直接写出△ABC的内邻正方形的边长（用含a,b,c的代数式表示). 老师备课、家长伴学、学生提高 021 ( 张学远新中考 · 个性化学伴 )2026年八升九数学暑期训练 ( 张学远新中考 · 个性化学伴 )八年级暑期巩固练 ( 2026暑期九年级分层练（人教版） ——相似三角形的判定与性质 ) 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 相似三角形的判定与性质 A基础分点练 考向1 成比例线段（含黄金分割） 1．（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为________． 2．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）下列各组数中，成比例的是（   ） A．3，2，7，6 B．3，5，1，10 C．5，2，4，7 D．2，6，1，3 3．（2026·河南新乡·一模）小倩发现遗忘在家属院的滑板找不到了，查看物业室的监控，截取到小男孩站在一根实际长度为的竖直物旁的画面，量出截图中该物体和小男孩的高度分别为和，则小男孩的实际身高为______________米． 4．（25-26九年级上·广东清远·期末）把长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北·中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 考向2 平行线分线段成比例 6．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知，那么下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，，，，，则的长度是_______． 8．（2026·江苏南京·三模）如图，在中，分别是上的点，．若，则（     ） A． B． C． D． 考向3 相似多边形 9．下列图形中，阴影部分的多边形与原多边形相似的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 11．如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知五边形五边形，若，则五边形与五边形的面积比为_____． 13．（2026·甘肃白银·一模）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 14．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________． 15．（2026·浙江·二模）如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（     ） A． B． C． D． 16．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（    ） A．B，E，F，D四点共线 B．E为的重心 C． D． 考向4 相似三角形的性质 17．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知，相似比为，若的周长为8，则的周长为（     ） A．12 B．16 C．18 D．24 20．（25-26九年级下·重庆开州·期中）已知和分别是和的角平分线，，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 21．如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 考向5 相似三角形的判定 类型1 A字型 22．（2026·四川内江·中考真题）如图，在中，，若，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 23．（2026·上海宝山·二模）如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 24．已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若．求证：． 类型2 8字型 25．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 26．如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若，求证：． 类型3 直角三角形斜边高线型 27．（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，是斜边上的高，请写出图中的一对相似三角形：________． 28．（2026·陕西·中考真题）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 类型4 一线三等角型 29．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，点在边的延长线上，过点作，连接，请添加一个条件：____________（不添加字母及辅助线），使．（写出一个即可） 30．如图，在等腰中，，，在AC上，且，则______． 类型5 手拉手型 31．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点P，点D在BC边上，，则的值为______． 32．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，，连接，交于点C． （1）求证：； （2）若，则的度数为_____． 类型6 其他 33．如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 34．如图，的顶点C在的边上，，，现以点A为圆心，为半径画弧，交于点F．求证：． 考向6 相似三角形的性质与判定综合 35．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上，且，连接．若，，的长为_____． 36．（2026·山西·中考真题）如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 37．如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 38．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 39．（2026·广东广州·二模）已知中，，平分交于点，其中． （1）求的度数； （2）将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 40．如图，是平行四边形的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． （1）若，求证：． （2）若，求的长． 41．（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． （1）若添加的条件为，求证：； （2）若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． （3）在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 考向7 相似三角形的实际应用 42．（25-26九年级下·山西运城·期末）如图，桌子上放着一根与地面平行的木棒，在灯光的照射下在地面形成影子．已知灯到木棒的距离与灯到地面的距离之比为，木棒的长为米，则影子的长为______米． 43．（25-26九年级上·江苏南京·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是 ______ 步 44．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为__________米． 45．（2026·四川南充·中考真题）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 考向8 位似 46．（2026·广东深圳·二模）中国古代器物与装饰纹饰在构图上多遵循主从分明、比例相宜的传统布局原则，常将主体纹样放大突出，辅助纹样缩小衬托，其构图方式蕴含位似变换的数学思想．如图，若某主体纹饰与辅助纹饰的相似比为，辅助纹饰的宽度，则主体纹饰的宽度为（    ） A． B． C． D． 47．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，与位似，点为位似中心，．若的面积为4，则的面积是________． 48．（2026·山西阳泉·三模）如图，与是位似图形，位似中心为点O，且，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 49．（2025·广东·中考真题）如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 50．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 51．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 52．（2026·广西柳州·一模）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 53．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． B能力提升练 54．若，则______． 55．如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是________． 56．（25-26九年级上·四川巴中·期末）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 57．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，一张矩形报纸的宽，长，直线，且与矩形两边分别交于点E，F，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，若矩形矩形，则m的值为____________． 58．如图，中，D为边上一点，且，E为中点，则________． 59．（2026·内蒙古·中考真题）如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． 60．（2026·浙江金华·一模）如图，在边长为2的正六边形中，点G为的中点，连接交于点H，则四边形的周长为_____________． 61．（2026·上海·二模）如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上．请画出点A、B、C、D分别关于、、、的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是_____． 62．（25-26九年级上·山东青岛·期末）根据相似多边形的定义，我们可以这样定义相似四边形：四角分别相等、四边成比例的两个四边形叫做相似四边形．例如，已知四边形与四边形满足：，，则四边形与四边形相似，记作四边形四边形． （1）若四边形四边形，且，它们的相似比为_____； （2）若四边形为平行四边形，，且平行四边形与平行四边形是相似四边形，相似比为，则平行四边形的周长为_____，平行四边形的面积为_____； （3）若菱形菱形，，则菱形的面积为_____． 63．（2026·安徽·二模）如图1，在矩形中，点M在上，连接，垂直平分分别交，于点E，F，点A与点N关于对称，连接交于点G，连接． （1）求证：； （2）若，，求的值； （3）如图2，在（2）的条件下，，求的值． C素养强化练 64．（2026·江西上饶·三模）如图，在中，，，，D是边上一点，，过点D的直线l将分成两部分，使所分成的三角形与相似，若直线l与另一边的交点为点P，则的长为________． 65．如图，，点在线段上从点向点运动．设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是________ 66．（2026·山西太原·一模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图1，中，点E，H分别在，边上，点F，G在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形1：如图2，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点D． ②过点D作交边于点E，过点E作于点F．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点D，E，C，F均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，．．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图2，可得正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为________，正方形的边长为________； 情形2：如图3，已知中，，，，．正方形在下方． …… 任务： 任务1：关于情形1的研究： （1）请补全“理由”部分的推理过程； （2）直接写出“分析”中所缺的内容：________，________； 任务2： （3）类比情形1的画法，在图3中借助正方形，画出中边上的内邻正方形（不必尺规作图），并直接写出的内邻正方形的边长（用含a，b，c的代数式表示）． ( 0 1 )老师备课、家长伴学、学生提高 学科网（北京）股份有限公司 $