辽宁省大连市第八中学2026-2027学年高三上学期8月阶段检测数学试题

2026-2027学年度大连八中高三8月阶段测试 数学 考试时间：120分钟：满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1.若集合A={女=}，B={x0≤x≤，则AnB=() A.0 B.{ c.{o,} D.{0,-1,} 2.已知命题p:3x∈R,x2+1<2x:命题9：不等式x2-2x-1>0恒成立，那么命题（) A.P且9是真命题 B.p或9是假命题 C.9是真命题 D.一P是假命题 3.已知角α的顶点位于平面直角坐标系xOy的原点，始边在x轴的非负半轴上，终边与单 位圆相交于点 2 22 则sinacosa=() B. √2 2 C. D.② 2 4.函数y=f(2x-1)是R上的奇函数，函数y=f(x)图像与函数y=g(x)关于y=-x对称， 则g(x)+g(-x)=() A.0 B.1 C.2 D.1 5.已知复数z=i+3列，则旦=() A.√5-i B.-3+i c.5 221 2 6.已知函数f(x)=x-x2+3下列区间中包含f(x)零点的是（) A.（-2,-) B.(（-1,0) c.(0,) D.(1,2) 已知椭图C:等+1(a>6>0)的左、右焦点分别为，5M为椭圆上一点，若 MF=2M丽，MF·H瓦=0，则C的离心率的取值范围是() 试卷第1页，共5页 A2别制 cB D. 8.若不等式xc-x-lnx-a≥0恒成立，则实数a的取值范围为(). A.(0, B.(0,c- c.(-∞，l D.(-o,c-l] 二、多选题 9.下列各式中正确的是() 3 B.tan2 tan3 5 c.'m(2) D.sinssin 10.设点P(xo,)在圆0：x2+y2=1上，圆T方程为(x-x)子+(y-)2=1,直线1方程为 y=x.则() A.对任意实数k和点P,直线I和圆下有公共点 B.对任意点P,必存在实数k,使得直线I与圆下相切 C.对任意实数k,必存在点P,使得直线I与圆下相切 D.对任意实数k和点P,圆O和圆厂上到直线I距离为1的点的个数相等 2am,n为奇数 11.已知a a.+l,n为偶数' 记数列{an}的前n项和为Sn,且S=6,则下列说法正确的 是() A.a1=1 B.4g=2047 C.a2n=21-2 D.So=6108 第II卷（非选择题） 三、填空题 12.写出同时满足下面两个条件的数列{a。}的一个通项公式a,= ①{a}是递增的等差数列：②a-4+2a,=4. 13.已知函数f(x)=ao-(a>0且a≠)在区间 2 上单调递减，则实数a的取值范 围是 14.若函数f(x)=lnr-ae-lna有两个不同的零点，则a的取值范围是 试卷第2页，共5页 四、解答题 15.已知函数f=2sin(ar+p0>0lp水号) 从下面的两个条件中任选其中一个：① f)=-2sin2x+25 sin co+1:②若f(x)=2,f(s)=0,且k-x的最小值为牙， f(0)=1,求解下列问题： (I)化简∫(x)的表达式并求∫(x)的单调递增区间： 2尼知aP(凭引a-=isaa-m-语，求csB的值 16.已知函数f(x)=xe+e. (1)求函数f(x)的单调区间和极值： (2)画出函数∫(x)的大致图象，并说明理由： (3)求函数g(x)=f(x)-a(a∈R)的零点的个数. 试卷第3页，共5页 17.如图在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,ABIICD, AB⊥AD,AB=3,AD=V5,AP=CD=2,∠PAB=60,M是CD中点，N是PB上一点. --->D M ()当PN=PB时，证明：MN1平面PAD: (2)平面PAD与平面AMN夹角的余弦值为正，求N 的值 4 PB 18.甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，规定每一局比赛获胜方记1分，失败方记0分，谁先 获得5分就获胜，比赛结束，假设每局比赛甲获胜的概率都是分· (1)求比赛结束时恰好打了7局的概率： (2)若现在的比分是3比1甲领先，记5表示结束比赛还需打的局数，求5的分布列及期 望。 试卷第4页，共5页 19.记各项均为正数的数列{an}的前n项和是Sn,己知a+an=2Sn,n为正整数， (1)求{an}的通项公式： (2)设bn=tan(an)tan(ai),求数列{bn}的前n项和Tn: 试卷第5页，共5页 参考答案 题号 1 3 6 6 9 10 答案 C B A D A BC ACD 题号 11 答案 ACD 1.c 【详解】因为x=x2,即x-x=0,解得x=0,x3=l,x3=-1, 则A={0,l,-,故AnB={0,1}. 2.B 【解析】判断出命题P、9的真假，然后利用复合命题的真假可判断各选项的正误。 【详解】对于命题p,x2+1-2x=(x-)2≥0，即x2+1≥2x,命题p为假命题： 对于命题9，当x=0时，x2-2x-1=-1<0,命题9为假命题 所以，P且9是假命题，P或9是假命题，P是真命题， 故选：B 【点睛】本题考查复合命题真假的判断，解答的关键在于判断各简单命题的真假，考查推理 能力，属于基础题 3.A 【分析】根据终边所在的象限，可以分别求出正弦函数和余弦函数的值，代入即可. 【详解】因为终边与单位圆交于点 2’2 则终边落在第二象限， 所以sina=2 ，cosa= sinacosa = 2 2 故选：A 4.C 【分析】由函数y=f(2x-)是R上的奇函数，可得函数y=f(x)的图像关于点(-1,0)对称， 根据条件可得函数y=g(x)的图像关于(0，)对称，从而得出答案， 【详解】函数y=f(2x-1)是R上的奇函数，则-∫(-2x-1)=f(2x-1) 设2x-1=t,则f()=-f(-2-),则函数y=f(x)的图像关于点(-1,0)对称 函数y=f(x)图像与函数y=g(x)关于y=-x对称， 答案第1页，共13页 所以函数y=g(x)的图像关于(0,1)对称，所以g(x)+g(-x)=2 故选：C 5.D 【分析】先求出=2，三=-√5-i,再利用复数的除法运算求解。 【详解】：z=+3团)=-5+i, ∴2=2，z=-5-i, .225-到5 z5+i4 2 2 故选：D 6.A 【分析】对于A:根据零点存在性定理分析判断；对于BCD:根据函数值的符号分析判断. 【详解】函数fx)=x3-x2+3=x2(x-l)+3, 对于选项A:因为f(-2)=-9<0,f(-1)=1>0, 所以f(x)在(-2，-)内存在零点，故A正确： 对于选项B:因为-1<x<0,则0<x2<1,-2<x-1<-1, 可得x2(x-)>-2,可得fx)>0,可知f(x)在(-1,0)内无零点，故B错误： 对于选项C:因为0<x<1,则0<x2<1,-1<x-1<0, 可得x2(x-)>-1,可得f(x)>0,可知f(x)在(0，)内无零点，故C错误： 对于选项D:因为1<x<2,则x2>0,x-1>0, 可得x2(x-)>0,可得f(x)>0,可知f(x)在(1,2)内无零点，故D错误： 故选：A. 7.C 【分析】设M(x,%),利用已知条件求出H -C% 2’2 再联立椭圆方程结合x∈[-a,a即 可求出。 【详解】M匠=2M丽，故点H位于线段MF的中点，设M(xa),F(-c,0),F(c,O),则 答案第2页，共13页 } M际-(e-%.丽-(22克，之}又M服=0 (e-)2}(-%受0，化简得云-2a4+6=3c 又M为椭圆上一点，手+祭=1，联立得云-2a+6-)-识，即 等5-2a+6--0… 此方程有解，则(-2d-4×号×6-3020，化简得口≥-3，即2G-4c2恒成立， 方程号云-2+6-3c)-0曰c23-2da+a-403=0的两个根为心2ae和 a2-2ac 又∈-a,小， +2ac_+2a>a,-05-2ac5a,解得e2号 c 则C的离心率的取值范围是 M 8.C 【分析】先化简转化为c“-(nx+x)-a之0恒成立，再构造函数p(t)=e-l,结合函数单 调性求出最值解题， 【详解】因为xc'-x-lnx-a≥0，即er-(nxr+x)-a之0， 令t=lnr+x,则e'-t-a≥0恒成立， 则ase'-l恒成立， 令p)=e-l,则p()=c'-l, 当te(-o,0)时，p(<0: 当t∈(0，+∞)时，p'(g)>0, 所以p(在(-o,0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 答案第3页，共13页 所以p(0)n=p(0)=1,所以as1,故a的取值范围为(-o,小. 故选：C 9.BC 【分析】根据正切函数的函数值的正负以及单调性可判断A,B,利用诱导公式结合正余弦 函数的性质可判断C,D. 【详解】对于A,an3还=tank-2马)=-tan <tan ,A错误； 5 对于B,<2<3<,由于函数y=anx在(，网上单调递增， 故tan2<tan3,B正确： 对于Ccos-17)=os7=6o4x+马=os=2 4 2 (-2g-a+-s<0,m(1}>om） 23π C正确： 对于D两数y=血x在爱上是增商数，面一后<-。 所以()m(} D不正确： 故选：BC 10.ACD 【分析】利用直线与圆的位置关系判断. 【详解】由题意x石+y=1,因此圆一定过原点O,而直线y=总是过原点，A正确： 当圆下方程为(x-)2+y2=1时，过原点且与圆Γ相切的直线是y轴，k不存在，B错误： 对任意实数k,作直线：y=c的平行线与圆O相切，切点为P,此时P到直线1的距离为1， 即直线1与圆下相切，C正确： 易知对任意实数k,圆O上到直线1距离为1的点有两个，作与直线1平行且距离为1的两条 直线4和2，（注意：4和2与圆0恒相切）， 当直线y=c过P点时，直线l和2都与圆Γ相切，两个切点到直线l的距离为1， 当直线y=:不过P点时，直线（和，中一条与圆厂相交，一条相离，两个交点与直线1距离 为1，即只有2个点，D正确。 答案第4页，共13页 故选：ACD 11.ACD 【分析】根据递推式及S,=6,求得a1=1,即可判断A:分n为奇数、n为偶数，求出通项 公式判断B,C:利用分组求和，求出So,判断D. 【详解】解：因为S3=6,即a+a2+a=6, 所以a+2a,+42+1=6,a,+2a+2a+1=6, 解得a=1,故A正确： 由此可得a=2a1=2,4=42+1=3,a,=24=2×3=6,a,=a,+1=7, … 所以当n为奇数时，n+1为偶数，n+2为奇数， 所以a1=2an,an+2=a1+1=2an+l, 所以an2+1=2(an+), 所以数列{a+}是等比数列，首项为a,+1=2,公比为2， 所以4，+=2×2号-2器，所以0，=2器- 所以a,=2罗-1=2”-1=1023放B错误 当n为偶数时，n+1为奇数，n+2为偶数， 则an1=an+1,a2=2aa1=2(an+1)=2an+2, 所以a2+2=2(an+2), 所以数列{an+2}是等比数列，首项为a2+2=4,公比为2， 答案第5页，共13页 n-2 所以a,+2=4×2受， 2 2 所以a,=4×22-2=27-2, 所以a2n=2-2,故C正确： 对于D,S0=4+42++a0 =(a+a3+…+ag)+(a2+a,+…+a2o) =(2-1+22-1+…+2°-1)+(22-2+23-2+…+2-2) _20-29-10+20-29-20 1-2 1-2 =21024-1)-10+4(1024-1)-20 =6108,故D正确. 故选：ACD 12.n-1(答案不唯一) 【分析】设等差数列{an}的公差为d,列举满足d>0,a=2即可得到a,d,即得解。 【详解】设等差数列{an}的公差为d,由①可知d>0,取d=l, 由a-4+2a4=4,得-2d+2a1+6d=4,∴a,+2d=2,则a=0, 所以数列{an}的一个通项公式an=0+(n-1)=n-1. 故答案为：n-1(答案不唯一) 13.0<as4或a≥6 【分析】先明确f(x)=ae-2y(a>0且a≠)可看作由函数y=a”,4=x2-(a-2)x+1复合 而成，分类讨论a>1和0<a<1,根据复合函数的单调性的判断，即可求得实数a的取值范 围。 【详解】由题意可知f(x)=ao-2"(a>0且a≠)可看作由函数y=a',μ=x2-(a-2x+1 复合而成， 当a>1时，y=a为R上的增函数， 若函数f(x)=aa-2(a>0且a≠)在区间 2 上单调递减， 答案第6页，共13页 需满足μ=2-(a-2x+1在（号2上单调递减，即2之2a≥6： 当0<a<1时，y=a为R上的递减函数， 若福数/="a>0且a≠)在区间（上单调递减。 需满足=-a-21在（上*调运瑞，即号25-a号则0<a号 2 故实数a的取值范围是0<a≤号或a之6。 4 故答案为：0<a≤-或a≥6. 4(g 【分析】由题意将问题转化成lnr+cr=c+h+(x+lna有两个不同的零点，通过构造函数 h(x)=x+e,则h(lnx)=h(x+lna有两个不等实根，令g(x)=lnr-x,x∈(0，+o),利用导 数分析g(x)的性质，即可求出a的取值范围， 【详解】因为函数f(x)=lnx-ae-lna有两个不同的零点， 所以lnr=ac+lna有两个不等实根， 即lnr=c+ia+lna有两个不等实根， 所以lnr+x=c+(x+lna有两个不等实根， 即lnr+er=ea+(x+lna有两个不等实根， 令函数h(x)=x+e, 则lnr+cr=cta+(x+lna即为h(lnx)=h(x+lna)有两个不等实根， 因为y=x,y=e在R上单调递增， 所以函数h(x)在R上单调递增， 所以lnx=x+lna,即lna=lnr-x, g(x)=Inx-x,xE(0,+oo), 所以g()=-1=-x 当0<x<1时，g(x)>0:当x>1时，g'(x)<0: 答案第7页，共13页 所以g(x)在(0，)上单调递增，在(L,+∞)上单调递减， 所以g(x)m=g(0)=-1, 因此g(x)在(0，)的值域为(-o,-l):当x→+o,g(x)→-o,x→0，g(x)→-o, 若na=lnr-x有两个根，必有ha<-l,解得0<a< e 所以a的取值范围为 故答案为： 15.=2s2x+引单调区间为-+，+，keZ a月 【分析】(1)由题意分别对①②进行化简得出函数解析式，再求函数的单调区间即可： (2)由(1)得出函数解析式，代入a,再由三角恒等变换即可得. 【详解】(1)解：若选择条件①f(x)=-2sin2x+2W3 sinxcosx+1: =(cos2x-1)+3sin 2x+1 =cos2x+3 sin 2x -2m2x+周引 由-受+2kx≤2x+若经+2r,keZ 6 2 得-号+kr≤x≤g+2km,keZ 6 所以的单调递增区间为[-号+k红，管+k],ke乙 若选择条件②，若∫(x)=2,∫(x)=0,即x是(x)的最大值点，x2是f(x)的零点且k-x 的最小值为牙 设f(x)的周期为T, 由此可得子-子，即有7， “0=2经=2 T 1 由f(0)=1,可得f(0)=2sinp=1,即有sinp= 答案第8页，共13页 可得p=+2kr或9=红+2 kr(k cZ), 6 6 再结合水子可得-名， 综上可得：=2an2x+君引 2)解：f@=2sn(2a+爱)=5， 可得sin2a+ 引 .ae .2a+ 从而可得2a+ 6 3 即有a= 4, :a引 a-p(} 曲sina-=2, 10 可得cos(a-m=72 10 放casB-caa-(a-1--月+in(-月号 16.(1)答案见解析：(2)图象见解析，理由见解析；(3)答案见解析 【分析】(1)由解析式得f'(x)=(x+2)e且定义域为R,根据f'(x)的符号判断f(x)的单 调性，进而确定其极值情况。 (2)由函数解析式确定零点，判断区间函数值的符号及经过的特殊点，结合其图象的变化 趋势画出大致图象， (3)将零点个数问题转化为y=f(x)与y=a的交点个数，由(1)(2)所得函数性质及其 图象，应用数形结合的思想，讨论a的范围判断零点个数. 【详解】(1)函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=(x+2)e, 令∫'(x)=0得x=-2,则f'(x),f(x)的变化情况如下表示： (-0,-2) 2 (-2,+o) 答案第9页，共13页 ∫(x) 0 + f(x) 单调递减 1 单调递增 f(x)得单调递减区间是(0，-2)，单调递增区间是(-2，+∞). 当x=-2,儿倒有极小值为(-2列=之，无极大值。 (2)令f(x)=0有x=-1:当x<-1时，f(x)<0:当x>-1时，f(x)>0,且f(x)经过 4-2-)(-o0.co). 当x→，与一次函数相比，指数函数)=6增长更快，从而f)-科→0： 当x→+o时，f(x)→+oo,f'(x)-→to, 根据以上信息，画出大致图象： f(x)=(x+1)e -2 -2-》 (3)函数g(x)=f(x)-a(a∈R)的零点的个数为y=f(x)与y=a的交点个数. 由(1)及(2)的图象，当x=-2时，f()有极小值(-2)=-子 ∴关于函数g(x)=f(x)-a(a∈R)的零点个数有如下结论： 当a<-子时，零点的个数为0个 当a=己现a20,零点的个数为1个： 答案第10页，共13页 当 。三<a<0时，零点的个数为2个 【点睛】关键点点睛： (1)利用导数研究函数单调性并确定其极值， (2)由函数解析式判断函数的性质，进而画出大致图象. (3)将问题转化为两个函数的交点个数，利用数形结合的方法，根据参数的范围判断零点 的个数， 17.(1) 如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，过点A与平面ABCD垂 直的直线为z轴建立空间直角坐标系， 则由题意得B(30,0,D(0,5,0,P,0,V5,M山，5,0： Pi=(2,0-5,Pw-(0,5,-5), 由w-,可m-作a-哥)四=m-m-作629) 证明：设平面PAD的法向量为m=(x,y,z,AP=(山，0,5)，D=(0,5,0）, ”gm卡 令z=1,得m=（-50, 因为mm=25+0+25 3 3 0 所以MN⊥m 又MNC平面PAD,所以MNII平面PAD d 【分析】(1)建立空间直角坐标系，求出平面PAD的法向量以及直线MN的方向向量，证 答案第11页，共13页 明其数量积为0即可证明线面平行： (2)利用空间向量求空间角即可求解。 【详解】(1)略 (2)AM=(5,0), 设PN=PB=(2,0-3d,1∈[0，， 则A=AP+PN=+24,0,5-3, 设平面AMN的法向量为i=(x,片，名)， i·AM=x+5y=0 i.4=(1+21)x+5-)z=01 取x=5(u-),则方=（5(-，1-4,21+， 则lcosm,=m间 3-31+21+1 3 网-同23-+0-2+(21+3 4， 化简得：10012-201+1=0， 解得1石 所以PN1 PB 10 18.(1)5 :(2)分布列见解析， 【解析】(1)利用事件的独立性，分两种情况，恰好打了7局甲获胜和恰好打了7局乙获胜， 再将概率相加，即可得答案； (2)记5的可能取值为5=2,3,4,5，利用二项分布求出分布列，即可得答案： 【详解】解：(1)恰好打了7局甲获胜的概率是B c 怡好打了7局乙获鞋的概率是月-c侣儿旧)品 故比赛结束时恰好打了7局的概率P=R+B一品 15 (2)5的可能取值为5=2,3,4,5， P5=2--P5=-c 答案第12页，共13页 P5=4=c+c-P5=列=cx1-: 故5的分布列为 5 2 3 4 5 P 4 4 4 4 则5的数学期望E(5)=2x+3x+4×+5×2=7 4 4 4 42 【点睛】本题考查相互独立事件和二项分布的概率计算，考查运算求解能力，求解时注意识 别概率模型， 19.()a.=n(neN) (27.=ann+D-n-1 tanl 【分析】(1)项和转化可得an=a1+1(n之2)，利用等差数列的通项公式即得解： ay由m1-anta+0-小-ain ,裂项相消求和即可 【详解】(1)当n≥2时， +a=2S.相减得d-a2+a,-a1=2a, ai+a=28, 即(a。-a-1(an+a)=0,各项均为正数，所以a,=a1+1(n≥2). 故{a}是以首项为1，公差以1的等差数列， 所以an=n(n∈N,): 2)am=+)-n0t十，物，故aa+ann=ana+》-an@-, tanl 7=6+6+6++6= [tan(n+1)-tan(n)+tan(n)-tan(n-1)+...+tan2-tan1]-n, tanl .=(tan(n+D)-tanll-n=tan(+D)-n-1. 答案第13页，共13页