辽宁省锦州市部分学校2026届高三上学期12月联考数学试卷

辽宁省锦州市部分学校2026届高三上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知在等边三角形ABC中，点D，E分别为AB，BC的中点，若，则( ) A. B. C. D. 2．已知是减函数,则函数的大致图象为( ) A. B. C. D. 3．若不共线非零向量满足，且，则为( ) A.三边均不等的三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.底边和腰不等的等腰三角形 4．已知数列满足，设数列的前n项和为，若，，则( ) A．1008 B．1009 C．2016 D．2018 5．若复数z满足（i是虚数单位）,则( ) A. B.1 C. D.2 6．已知圆锥PO的底面圆O的直径和高均为4,过PO的中点作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,则剩下几何体的体积为( ) A. B. C. D. 7．下列说法正确的是( ) A.直线必过定点 B.直线在y轴上的截距为1 C.直线的倾斜角为 D.过点且垂直于直线的直线方程为 8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为( ) A. B.2 C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知函数在处取得极大值2，则( ) A.的最小正周期为 B. C.的一个递增区间为 D.将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则为偶函数 10．已知函数,若函数有5不同的零点,则实数m的值可能是( ) A. B. C. D. 11．设椭圆的左、右焦点为,,P是椭圆C上的动点,则下列说法中正确的是( ) A. B.椭圆C的离心率 C.面积的最大值为 D.以线段为直径的圆与直线相离 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知点O为的外心，且，，则________. 13．设向量，，，其中O为坐标原点，，，若A，B，C三点共线，则的最小值为______. 14．已知,是平面内三个不同的单位向量．若,则的取值范围是_______________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）已知函数，为的导函数. （1）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值. （2）当时，求证：对任意的，且，有. 16．（15分）在如图所示的几何体中，四边形是边长为4的正方形，平面，，且. (1)证明：平面平面. (2)若，求点D到平面的距离. 17．（15分）已知,,函数（t为常数）. (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)若,且在中,内角的对边分别为,,求的面积. 18．（17分）已知等比数列的前项和为且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列及数列的前n项和. （3）若，求数列的前n项和. 19．（17分）已知双曲线的两个焦点是,,顶点,点M是双曲线C上一个动点,且的最小值是. （1）求双曲线C的方程; （2）设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点,直线l过点P且平行于x轴,直线m过点P且与双曲线C交于B,D两点,直线AB,AD分别与直线l交于G,H两点.若O,A,G,H四点共圆,求点P的坐标. 辽宁省锦州市部分学校2026届高三上学期12月联考 数学答案 1—5：B B C B B 6—8：A D D 6—8： 9．ACD 10．CD 11．ABD 12．答案： 13．答案：6 14．答案： 15．答案：（1）（i） （ii）函数的单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值 （2）证明见解析 解析：（1）（i）当时，，故，则，又，所以曲线在点处的切线方程为，即. （ii）依题意，，.从而可得.令，解得. 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值. （2）证明：对任意的，且，要证明，即证， 构造函数，（注：此处将看作主元，看作参数） 则 ， 因为，，所以.所以在上单调递增，则，所以原命题得证. 16．答案：(1)证明见解析 (2) 解析：(1)证明：因为平面， 平面，所以. 因为四边形是正方形，所以. 又，平面， 所以平面. 而平面，所以平面平面. (2)因为平面， 且，， 所以. 因为，且，所以. 因为，则平面， 平面，故， 结合， 所以. 在直角梯形中，， ，，，， 所以. 在中，，，， 则. 因为， 所以的面积为. 连接，因为的面积为， 结合题意可知，， ，平面， 故平面， 所以三棱锥的体积 . 设点D到平面的距离为d， 则。即， 所以，即点D到平面的距离为. 17．答案：(1), (2) 解析：(1)由题意得 , 所以的最小正周期, 令,得, 所以的单调递减区间为. (2)由,得,故. 由,得, 即, 因为,所以,所以, 所以, 又,即,所以, 所以. 18．答案：（1） （2）， （3） 解析：（1）设公比为q，由题意得，可得， 由，可得，由，可得，故， 所以. （2）由，得， 由，可得，故， 所以的通项公式：=， 则， ， ， ； （3）由， 所以. 19．答案：（1）见解析 （2）见解析 解析:（1）(法一)已知双曲线方程是, 由顶点得, 所以,设点,,,, 所以, 当且仅当时取等号, 故的最小值为,所以, 所以,, 故双曲线. (法二). 当且仅当时取等号, 故的最小值为,所以, 所以,, 故双曲线. （2）(法一)设点,,,则直线, 设直线BD的方程为,,设点,, 联立消去y得, 其中,,,(*), 设直线AB的倾斜角为,直线OH的倾斜角为,所以或, 故直线AB的斜率与直线OH的斜率满足. 因为直线AD的方程是,所以, 所以, 且, 所以, 将(*)代入,整理得到,解得或(舍), 所以. (法二)同法一可知直线AB的斜率与直线OH的斜率满足,又,则,所以, 设直线BD的方程是,将点代入直线BD,得到,① 又双曲线C的方程可化为, 由,得, 设,则,直线AB和直线AD的斜率是该方程的两个根, 所以, 所以②, 联立①②,得到,所以. 学科网（北京）股份有限公司 $