第30章 点、直线与圆的关系、切线、圆与多边形 专题讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学讲义通过知识框架系统梳理直线与圆的复习内容，涵盖点与圆、直线与圆的位置关系、切线及切线长定理、圆与多边形等核心知识点，并用对比表格呈现外心与内心的区别，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“例题精讲+分层练习”设计，如通过同心圆中弦的取值范围例题培养几何直观，结合切线判定证明题强化推理意识，基础题巩固概念，综合题提升应用能力，助力学生自主复习，也为教师实施精准分层教学提供支持。

直线与圆相关内容复习1 课程主题：点、直线与圆的关系、切线、圆与多边形 学习目标 1、 掌握点、直线与圆的位置关系，并学会判定方法； 2、 掌握圆的切线和切线长定理、会判定圆的切线，掌握圆与多边形的计算。 教学内容 温故知新 1、 圆的基本性质、知识点 　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 　半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）． 1、在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：5：6，则∠D=　 . 2、如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B+∠C=________ 知识精讲 知识点一 确定圆的条件、点与圆的关系 【知识梳理】 1、经过一个已知点能作无数个圆； 2、经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； 3、不在同一直线上的三个点确定一个圆. 4、经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心. 外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 要点诠释： （1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”. （2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定. 5、点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 【例题精讲】 例1、已知：不在同一直线上的三点A、B、C，求作： ⊙O使它经过点A、B、C. 【解析】 作法： 1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN； 2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O； 3、以O为圆心，OB为半径作圆. 所以⊙O就是所求作的圆. 【总结升华】通过这个例题的作图可以作出锐角三角形的外心（图一），直角三角形的外心（图二），钝角三角形的外心（图三）.探究各自外心的位置. 例2、如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　） A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5 【答案】A； 提示：当AB与小圆相切， ∵大圆半径为5，小圆的半径为3， ∴AB=2=8． ∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交， ∴8≤AB≤10． 故选：A． 【强化练习】 1、如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP的长的取值范围是 . 2、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（　　） A． 第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 3、已知⊙O的半径为1,点P到圆心的距离为m,且关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等实数根，则点P与⊙O位置关系是( ) A．点p在⊙O内 B．点p在⊙O上 C．点p在⊙O外 D．以上都不对 知识点二 直线和圆的位置关系 【知识梳理】 1．直线和圆的三种位置关系： 　　(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． 　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． 　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 　　直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 　　　　　　　　 　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 　　 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 【例题精讲】 例1、如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：直线AC与⊙D相切． 解：过D作DF⊥AC于F． ∵ ∠B＝90°，∴ DB⊥AB． 又AD平分∠BAC， ∴ DF＝BD＝半径． ∴ AC与⊙D相切． 【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可． 【强化练习】 1.如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（　　） A． 相离 B．相交 C．相切 D．以上三种情况均有可能 2． 在△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，若以A为圆心3cm为半径作⊙O，则BC与⊙O的位置关系是（　　） A． 相交 B．相离 C．相切 D．不能确定 3．设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是( ) A.d=3 B. d＜3 C. d≤3 D.d＞3 知识点三 切线长定理 【知识梳理】 一、切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理： 　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 2．切线的性质定理： 　　圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释： 切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 二、切线长定理 1．切线长： 　　经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 　　切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 　　从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 　　切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质： 圆外切四边形的两组对边之和相等. 三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 　　要点诠释： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 　 　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分 ∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 【例题精讲】 例1、如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D． （1）求证：AM=AC； （2）若AC=3，求MC的长． 【答案】（1）证明：连接OA， ∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM=90°， ∵∠B=60°，∴∠AOC=120°， ∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°， ∴∠AOM=60°，∴∠M=30°， ∴∠OCA=∠M，∴AM=AC； （2）作AG⊥CM于G， ∵∠OCA=30°，AC=3，∴AG=， 由勾股定理的，CG=， 则MC=2CG=3． 【强化练习】 1、已知如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，求△ABC的内切圆⊙O的半径 2、下列说法中，不正确的是 ( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等 知识点四 正多边形和圆 【知识梳理】 一、正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 三、正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 【例题精讲】 例1、已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（　　） A．45° B．60° C．75° D．90° 解：如图，连接OB、OC，则∠BOC=90°， 根据圆周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°． 故选A． 【总结】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用． 【强化练习】 如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（　　） A．30° B．45° C．55° D．60° 知识复盘 1、 圆周角、圆心角、弦、弧的性质及其综合运用，点和直线与圆的关系； 2、 圆的切线及其判定、圆与多边形的关系、计算。 课后巩固 1、如图，用尺规作出的外接圆，，根据作图痕迹，下列结论错误的是（ ） A． B． C．是等边三角形 D． 2、已知△ABC的外接圆⊙O，那么点O是△ABC的（　　） A．三条中线交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线交点 3、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=3,AB=5,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作O,设线段CD的中点为P,则点P与O的位置关系是（ ） A．点P在O外 B．点P在O上 C．点P在O内 D．无法确定 4、△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为（ ） A.（a＋b＋c）r B.2（a＋b＋c） C.（a＋b＋c）r D.（a＋b＋c）r 5、如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（　　） A．150° B．130° C．155° D．135° 6\ 6、 如图所示，⊙O的外切梯形ABCD中，如果AD∥BC，那么∠DOC的度数为( ) 　A.70°　　 　 B.90° 　 　 　C.60°　 　　 D.45° 　　　　 第6题图 第7题图 7、如图，是的切线，切点为A，PA=2,∠APO=30°，则的半径为（ ） A.1 B. C.2 D.4 8、已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．求证：DE为⊙O的切线. 9、已知：如图，点是⊙的直径延长线上一点，点 在⊙上，且 求证：是⊙的切线； 10、如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=8cm，求：△PEF的周长． 11、如图所示，正△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，求△ABC的边长a，周长P，边心距r，面积S． 课前预习 1.弧长公式：L＝nπR/180 2.扇形面积公式： 其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。 3.圆的周长公式：l＝2πR． 4.圆的面积公式：S＝πR2 5.圆锥的侧面积： 其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面圆半径。 如图，用一张半径为10cm的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的高为8cm，那么这张扇形纸板的弧长是　 　cm． 1 学科网（北京）股份有限公司 $