第30章 直线与圆的位置关系 习题课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“直线与圆的位置关系”核心知识点，从相离、相切、相交的概念入手，通过“基础夯实-综合运用-拓展探索”三阶题目搭建学习支架，衔接几何计算、方程求解与坐标系应用，帮助学生逐步深化理解。 其亮点在于以几何直观和推理意识为核心，结合具体实例如矩形中圆与直线相切的半径计算、动点问题中位置关系的动态分析，培养应用意识。采用阶梯式练习设计，学生能循序渐进掌握知识，教师可灵活选用题目实施分层教学，提升教学效率。

专题十五　[易错]《圆》《直线与圆的位置关系》中的常见错误 数学九年级（上册）·R 1.下列命题中: ①经过三点可以作一个圆; ②半径相等的两个半圆是等弧; ③平分弦的直径垂直于弦; ④三角形的内心到各边的距离相等; ⑤等弧所对的圆周角相等. 正确的有 (　 　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 数学九年级（上册）·R 2 2.过圆内一点可以作出圆的最长弦的条数为(　 　) A.1条 B.2条 C.无数条 D.1条或无数条 3.(1)一个点到圆上的最小距离是4 cm,最大距离是10 cm,则圆的半径是　 ; (2)在半径为1的☉O中,弦AB,AC的长分别为1和,则∠BAC的度数为　 . D 3 cm或7 cm　 15°或105°　 数学九年级（上册）·R 3 4.如图,AB是☉O的弦, OE⊥AB于点E,交☉O于点D,则以下说法不正确的是 (　 　) A.AE=BE B.= C.OE=DE D.∠ACB=∠AOD C 数学九年级（上册）·R 4 5.已知☉O的直径CD=10 cm,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8 cm,则AC的长为 (　 　) A.2 cm B.4 cm C.2 cm或4 cm D.2 cm或4 cm 提示:要考虑垂足M分别在线段OC上和线段OD上这两种情况. 6.如图,一下水管道横截面为圆形,直径为100 cm,下雨前水面宽为60 cm,一场大雨过后,水面宽为80 cm,则水位上升　 cm. C 10或70　 数学九年级（上册）·R 5 7.已知☉O的半径为3 cm,点P是直线l上一点,OP长为5 cm,则直线l与☉O的位置关系为 (　 　) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都有可能 提示:本题是圆心到直线上一点的距离为5 cm,不是圆心到直线的距离,要仔细读题,避免失误. D 数学九年级（上册）·R 6 8.如图,☉O的半径为7 cm,直线l⊥OA,垂足为B,OB=4 cm,则直线l沿直线OA平移　 cm时与☉O相切. 3或11　 数学九年级（上册）·R 7 9.如图,☉O的半径OA=2,B是☉O上的动点(不与点A重合),过点B作☉O的切线BC,BC=OA,连接OC,AC.当△OAC是直角三角形时,其斜边长为 　 　. 提示:分∠AOC=90°与∠OAC=90°两种情况讨论. 2或2 数学九年级（上册）·R 8 10.在△ABC中,AB=AC=5,且△ABC的面积为12,则△ABC外接圆的半径为 (　 　) A. B.或 C. D. 提示:要考虑△ABC是锐角三角形和钝角三角形两种情况. B 数学九年级（上册）·R 9 11.如图,点 A,B,C均在6×6的正方形网格格点上,过A,B,C三点的圆除经过A,B,C三点外还能经过的格点数为　 　. 5 数学九年级（上册）·R 10 12.(1)点O是△ABC的外心,若∠BOC=110°,则∠BAC为 　 ; (2)半径为5的☉O是锐角三角形ABC的外接圆,AB=AC,连接OB,OC,延长CO交弦AB于点D.若△OBD是直角三角形,则弦BC的长为　 . 55°或125°　 5或5　 数学九年级（上册）·R 11 $30.2　三角形的内切圆 数学九年级（上册）·R 1.如图,△ABC的内心为点O,∠BOC=110°,则∠A的度数是 (　 　) A.70° B.60° C.50° D.40° D 数学九年级（上册）·R 2 2.如图,点O是△ABC的内心,过点O作OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC,垂足分别为点D,E,F,下列结论一定成立的是 (　 　) A.点O是△DEF三条高的交点 B.点O是△DEF三条中线的交点 C.点O是△DEF三条角平分线的交点 D.点O是△DEF三边垂直平分线的交点 D 数学九年级（上册）·R 3 3.如图,☉O是△ABC的内切圆,☉O的切线DE与AB,AC分别交于点D,E.若△ABC的周长为7,△ADE的周长为3,则BC边的长为 (　 　) A.1 B.2 C.3 D.4 B 数学九年级（上册）·R 4 4.(2025·苏州)下列四种说法: ①一个三角形有且只有一个外心; ②一个圆有且只有一个外切三角形; ③一个圆有且只有一个内接三角形; ④一个三角形的外心与内心可能重合. 其中正确的是(　 　) A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 5.一个直角三角形的两条直角边长分别为6 cm、8 cm,则它的内切圆的半径为　 　cm. D 2 数学九年级（上册）·R 5 6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,AB=15,☉O是△ABC的内切圆,连接OA,OC,则△AOC的面积为　 　. 7.如图,☉O为Rt△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,且∠C=90°,AB=13,BC=12,则BF=　 . 18 10　 数学九年级（上册）·R 6 8.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,☉O是△ABC的内切圆,它与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F.求☉O的半径. 解:如图,连接OD,OE,OF. ∵☉O是△ABC的内切圆,切点为D,E,F, ∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°. 又∵OD=OF,∴四边形ODAF是正方形. 设OD=AD=AF=r, ∵AB=AC=2,∴BE=BD=CF=CE=2-r. 在△ABC中,∠A=90°, ∴BC==2. 又∵BC=BE+CE, ∴(2-r)+(2-r)=2,解得r=2-,∴☉O的半径是2-. 数学九年级（上册）·R 7 9.如图,点O为△ABC的外心,点I为△ABC的内心.若∠AOB=130°,则∠AIB的度数为 (　 　) A.122.5° B.127.5° C.130° D.125° A 数学九年级（上册）·R 8 10.如图,正方形MNPQ的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上,BN=3,CN=4,则△NCP的内切圆的半径为　 　. 1 数学九年级（上册）·R 9 11.如图,AB为☉O的直径,△ABC内接于☉O,BC>AC,点P是△ABC的内心,延长CP交AB于点E,交☉O于点D,连接BP,BD. (1)求证:BD=PD; (1)证明:∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°. ∵点P是△ABC的内心, ∴∠ACD=∠BCP=45°,∠CBP=∠EBP, ∴∠ABD=∠ACD=45°. ∵∠DPB=∠BCP+∠CBP=45°+∠CBP, ∠DBP=∠ABD+∠EBP=45°+∠EBP, ∴∠DPB=∠DBP,∴BD=PD. 数学九年级（上册）·R 10 (2)已知☉O的半径是3,CD=8,求BC的长. (2)解:连接AD,过点B作BH⊥CD于点H, ∵AB为☉O的直径,☉O的半径是3,∴AB=6,∠ADB=90°. ∵∠ABD=45°,∴△ABD是等腰直角三角形, ∴BD=AB=×6=6. ∵BH⊥CD,∴∠BHE=90°. ∵∠BCD=45°,∴∠BCH=∠CBH=45°, ∴BH=CH,∴BC=BH. 在Rt△BHD中,BD2=DH2+BH2, 即36=(8-BH)2+BH2, ∴BH=4±,∴BC=4±2. ∵BC>AC,AC2+BC2=AB2=72, ∴BC>6,∴BC=4+2. 数学九年级（上册）·R 11 12.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,D为BC边的中点,以AD上一点O为圆心的☉O和AB,BC均相切,则☉O的半径为  . 　 数学九年级（上册）·R 12 13.如图,AB是☉O的直径,△ABC内接于☉O,点I为△ABC的内心,连接CI并延长交☉O于点D,E是上任意一点,连接AD,BD,BE,CE. (1)若∠ABC=25°,求∠CEB的度数; 解:(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=∠ACB=90°. ∵∠ABC=25°, ∴∠BAC=90°-25°=65°. ∵四边形ABEC是☉O的内接四边形, ∴∠BEC+∠BAC=180°, ∴∠BEC=180°-∠BAC=115°. 数学九年级（上册）·R 13 (2)找出图中所有与DI相等的线段,并证明; (2)DI=AD=BD.证明如下: 如图,连接AI. ∵点I为△ABC的内心,∴∠CAI=∠BAI, ∠ACI=∠BCI=∠ACB=45°, ∴∠DAB=∠DCB=∠ACI=∠ABD,∴AD=BD. ∵∠DAI=∠DAB+∠BAI,∠DIA=∠ACI+∠CAI, ∴∠DAI=∠DIA,∴DI=AD=BD. 数学九年级（上册）·R 14 (3)若CI=2,DI=,求△ABC的周长. (3)如图,过点I分别作IQ⊥AB,IF⊥AC,IP⊥BC,垂足分别为Q,F,P. ∵点I为△ABC的内心,即点I为△ABC的内切圆的圆心, ∴Q,F,P分别为该内切圆与△ABC三边的切点, ∴AQ=AF,CF=CP,BQ=BP. ∵CI=2,∠IFC=90°,∠ACI=45°,∴CF=CI=2. ∵DI=AD=BD,DI=,∠ADB=90°, ∴AB==13, ∴△ABC的周长为AB+AC+BC=AB+AF+CF+CP+BP =AB+AQ+BQ+2CF=2AB+2CF=2×13+2×2=30. 数学九年级（上册）·R 15 $《直线与圆的位置关系》 章末考点复习与小结 数学九年级（上册）·R 垂直 相等 平分 数学九年级（上册）·R 2 1.(2025·江苏)已知☉O的半径为2,点O到直线l的距离为1,则直线l与☉O的位置关系是 (　 　) A.相切 B.相交 C.相离或相切 D.相切或相交 2.(2025·安徽)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2,点O在△ABC内部,以O为圆心,OC长为半径的圆与直线AB相离,则OC的取值范围是　 　. B 0<OC< 数学九年级（上册）·R 3 3.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,点C是优弧AB上的一点(不与点A,B重合),连接AC,BC.若∠P=α,则∠ACB的度数为 (　 　) A.90°+α B.90°-α C.180°-α D.180°-α B 数学九年级（上册）·R 4 4.(2025·广东)如图,已知△ABE为直角三角形,∠ABE=90°,BC为☉O的切线,C为切点,DE为☉O的直径,CA=CD,则△ABC和△CDE的面积之比为 (　 　) A.1∶3 B.1∶2 C.∶2 D.(-1)∶1 B 数学九年级（上册）·R 5 5.如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的切线,切点为D,CD与AB的延长线交于点C.若∠A=30°,AD=5,则CD的长度为　 　 ,BC的长度为  . 5 　 数学九年级（上册）·R 6 6.如图,AB与☉O相切于点B,AO交☉O于点C,AO的延长线交☉O于点D,E是上不与点B,D重合的点,∠A=30°. (1)求∠BED的度数; (1)解:如答案图,连接OB. ∵AB与☉O相切于点B, ∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°. ∵∠A=30°,∴∠AOB=90°-30°=60°, ∴∠BOD=180°-60°=120°, ∴∠BED=∠BOD=60°. 数学九年级（上册）·R 7 (2)若点F在AB的延长线上,且BF=AB,连接DF.求证:DF与☉O相切. (2)证明:如答案图,连接BD. ∵OB=OD,∠BOD=120°, ∴∠ODB=×(180°-120°)=30°=∠A, ∴AB=BD,∠ABD=120°,∴∠DBF=60°. 又∵AB=BF,∴BD=BF, ∴△BDF是等边三角形, ∴∠BDF=60°,∴∠ADF=90°. 又∵OD是☉O的半径,∴DF与☉O相切. 数学九年级（上册）·R 8 7.如图,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F为切点,AB=18 cm,BC=20 cm,AC=12 cm,MN切☉O交AB于点M,交BC于点N,则△BNM的周长为 (　 　) A.26 cm B.24 cm C.22 cm D.20 cm A 数学九年级（上册）·R 9 8.(1)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,BC=5,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F为切点,那么△ABC的内切圆半径为　 　; (2)如图,☉O内切于△ABC,切点分别为D,E,F.已知∠B=50°,∠C=60°,连接OE,OF,DE,DF,则∠EDF的度数为　 　. 1 55° 数学九年级（上册）·R 10 9.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,G是EF上的一点,连接AG,BG,则∠AGB的度数为(　 　) A.60° B.40° C.30° D.20° C 数学九年级（上册）·R 11 10.(1)如图,已知正六边形ABCDEF内接于☉O,图中阴影部分的面积为12,则☉O的半径为　 　; 4 数学九年级（上册）·R 12 (2)如图,在圆内接正六边形ABCDEF中,AC,EC分别交BD于点H,G,DE=6 cm,则HG的长度为　 cm. 2　 数学九年级（上册）·R 13 $综合与实践　生活中的优化问题 数学九年级（上册）·R 1.一列火车自A城驶往B城,沿途有n个车站(包括起点站A和终点站B),该列火车挂有一节邮政车厢,运行时需要在每个车站停靠,每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个,还要装上该站发往下面行程中每个车站的邮包一个. 例如,当列车停靠在第x个车站时,邮政车厢上需要卸下已经通过的(x-1)个车站发给该站的邮包共(x-1)个,还要装上下面行程中要停靠的(n-x)个车站的邮包共(n-x)个. (1)根据题意,完成下表: 车站序号 在第x个车站起程时邮政车厢邮包总数 1 n-1 2 (n-1)-1+(n-2)=2(n-2) 3 2(n-2)-2+(n-3)=3(n-3) 4 5 … … n 3(n-3)-3+(n-4)=4(n-4) 4(n-4)-4+(n-5)=5(n-5) 0 数学九年级（上册）·R 2 (2)根据上表,写出列车在第x个车站启程时,邮政车厢上共有邮包的个数y(用含x,n的代数式表示); (3)当n=18时,列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多? 解:(2)y=x(n-x). (3)当n=18时,y=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81. ∵-1<0,1≤x≤18,且x为整数, ∴当x=9时,y取得最大值, 即列车在第9个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多. 数学九年级（上册）·R 3 2.【综合与实践】南京文化纪念品的包装优化 南京作为历史文化名城,有众多特色文化纪念品.某纪念品生产厂家在20周年厂庆前,为其经典的“南京云锦”主题纪念品设计了长方体包装盒.但在实际生产与使用中发现,装入纪念品后包装盒边角空余空间较多,造成了包装材料的浪费,于是决定开展节省材料的探究活动. 任务1　平面图形的探究 南京的传统建筑中常常能看到矩形的窗户等元素.对于面积固定的矩形,我们来探究其周长的变化规律.已知秦淮河畔某古建筑修复时用到的一种矩形装饰砖面积为36 dm2,通过列举不同长和宽的情况,得到以下表格: 长(dm) 36 18 12 9 6 宽(dm) 1 2 3 4 6 周长(dm) 74 40 30 26 24 数学九年级（上册）·R 4 根据表格,可猜测:矩形的面积一定时,　 时周长最小. 为了证明上述猜测,小宁同学假设矩形面积为n2(n>0),设两邻边长分别为n-s和n+t(s,t均为非负数),则(n-s)(n+t)=n2,经化简可得t-s=,请表示出周长并补全后续的证明过程. 解:任务1:由条件可知矩形的周长为2(n-s+n+t)=4n+2(t-s). ∵t-s=,∴矩形的周长为4n+. ∵n为定值,∴当st有最小值时,矩形的周长有最小值. ∵s,t均为非负数, ∴当s=t=0时,矩形的周长有最小值, ∴矩形的面积一定时,矩形的长和宽相等时周长最小. 长和宽相等　 数学九年级（上册）·R 5 任务2　立体图形的包装改进 厂家之前设计的长方体包装盒尺寸为:长10 cm、宽8 cm、高6 cm,该包装盒用于包装以南京明城墙为原型的小型纪念品.现打算将包装盒形状改为底面半径为4 cm的圆柱体,高保持不变,从节省材料(即表面积最小)的角度来看,你觉得这样的改进合理吗?请判断并说明理由.(π取3.14) 任务2:合理,理由如下: 长方体的表面积为2×(10×8+10×6+8×6)=376(cm2), 圆柱体的表面积为 2×3.14×4×4+2×3.14×4×6=251.2(cm2). ∵376>251.2,∴这样的改进合理. 数学九年级（上册）·R 6 3.【提出问题】如图1,直线l是足球场底线,AB是球门,点P是射门点,连接PA,PB,则∠APB 叫作射门角.如图2,在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门AB进攻,当甲带球冲到Q点时,乙跟随冲到P点,仅从射门角度大小考虑(射门角越大,足球越容易被踢进),甲是自己射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好?请利用所学知识说明理由; 数学九年级（上册）·R 7 解:【提出问题】甲自己射门好,理由如下: 设AP与圆交于点C,连接BC,如答案图1, 则∠ACB=∠Q. ∵∠ACB>∠P, ∴∠Q>∠P. ∵射门角越大,足球越容易被踢进, ∴甲自己射门好. 数学九年级（上册）·R 8 【经验感知】如图3,若球员在直线MN上跑动,随时准备射门,是否存在某一点S,使得射门角∠ASB最大.人们发现:当且仅当经过A,B两点的圆与直线MN相切于点S时,∠ASB最大,并称此时的∠ASB为最大射门角.如图4,AB为球门,直线l是足球场的底线,直线m⊥l,垂足为C.若AB=2a,BC=a,球员丙带球沿直线m向底线l方向运球,已知球员运球过程中的最大射门角是∠ASB. 数学九年级（上册）·R 9 (1)尺规作图:作经过A,B两点并且与直线m相切于点S的☉O(不写作法,保留作图痕迹); 【经验感知】 (1)作图如答案图2所示. 数学九年级（上册）·R 10 (2)求出最大射门角∠ASB 的度数; (2)如答案图2,连接OA,OB,记AB的垂直平分线交AB于点P, 则AP=BP=AB=a,∴CP=2a. 易知四边形OPCS为矩形, ∴OS=CP=2a,∴OA=OB=OS=2a, ∴OA=OB=AB=2a, ∴△AOB为等边三角形, ∴∠AOB=60°,∴∠ASB=∠AOB=30°. 数学九年级（上册）·R 11 【理解应用】 (3)如图5,正方形网格中,点A,B,C,D,E均在格点上,AB为球门,球员丁带球沿CD方向进攻,最好的射点是　 　. A.点C B.点D或点E C.线段DE(异于端点)上一点 (3)提示:连接BD,BE. 易知∠EAB=∠EDB=90°, ∴点E,D,A,B在以BE为直径的圆上,∴∠AEB=∠ADB. 由【提出问题】可知,线段CD上的点与A,B张开的角度小于∠AEB,而线段DE上的点与A,B张开的角度大于∠AEB. ∵射门角越大,足球越容易被踢进, ∴最好的射点是线段DE(异于端点)上一点. 故选C. C 数学九年级（上册）·R 12 $第1课时　切线的性质与判定 数学九年级（上册）·R 1.(2025·甘肃)如图,PA切☉O于点A,PO交☉O于点B.若PA=12,OP=13,则☉O的半径是 (　 　) A.4 B.2 C.5 D.10 C 数学九年级（上册）·R 2 2.(2025·陕西)如图,OA交☉O于点B,AC切☉O于点C,点D在☉O上.若∠D=26°,则∠A为 (　 　) A.38° B.30° C.64° D.52° A 数学九年级（上册）·R 3 3.(2026·成都树德)如图,已知☉O的半径为5,直线AB经过☉O上一点P,下列条件不能判定直线AB与☉O相切的是 (　 　) A.OP=5 B.∠APO=∠BPO C.点O到直线AB的距离是5 D.OP⊥AB A 数学九年级（上册）·R 4 A. B.1 C. D.2 4.如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,连接AC交☉O于点D,连接OD,BD.若∠C=60°,OD=,则CD的长为 (　 　) B 数学九年级（上册）·R 5 5.(2025·河北)如图,AB是☉O的弦,AO的延长线交过点B的☉O的切线于点C.若∠ABO=32°,则∠C的度数为　 　. 6.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,∠APB=60°,当AP=3时,OA的长为  　. 26° 数学九年级（上册）·R 6 7.(1)如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线.若∠B=31°,则∠DAC的度数为　 　; (2)如图,在△ABC中,D是边BC上的一点,以AD为直径的☉O交AC于点E,连接DE.若☉O与BC相切,∠ADE=55°,则∠C的度数为　 　. 31° 55° 数学九年级（上册）·R 7 8.如图,AB为☉O的直径,C,D分别为☉O上的两点,==,连接AD,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E. (1)求证:DE是☉O的切线; (2)若直径AB=6,求AD的长. (2)解:如图,连接BD.∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°. 又∵∠DAB=30°,AB=6,∴BD=AB=3,∴AD===3. (1)证明:如图,连接OD. ∵==,∴∠BOD=×180°=60°. ∵=,∴∠EAD=∠DAB=∠BOD=30°. ∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAB=30°. ∵DE⊥AC,∴∠E=90°,∴∠EDA=60°, ∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=90°,∴OD⊥DE. 又∵OD是☉O的半径,∴DE是☉O的切线. 数学九年级（上册）·R 8 9.如图,A,B,C是☉O上三点,DE与☉O相切于点C,连接AB,BC,AC.若AB=AC,∠BCD=40°,则∠ACE的度数为 (　 　) A.40° B.60° C.70° D.80° C 数学九年级（上册）·R 9 10.如图,A,B是☉O上的两点,连接AB并延长到点C,CD与☉O相切于点D,且CD⊥AC.若AB=BC=4,则☉O的半径为　 　,CD的长为　 . 6 4　 数学九年级（上册）·R 10 11.如图,A,B是☉O上的两点,过点O作OB的垂线交AB于点C,交☉O于点E,交☉O的切线AD于点D. (1)求证:DA=DC; (2)当OA=5,OC=1时,求DA及DE的长. (1)证明:∵OB⊥OC,OA⊥AD,∴∠BOC=∠OAD=90°, ∴∠BCO+∠OBC=∠OAC+∠CAD=90°. ∵OB=OA,∴∠OBC=∠OAC,∴∠BCO=∠CAD. 又∵∠BCO=∠ACD,∴∠ACD=∠CAD,∴DA=DC. (2)解:∵OA=5,OC=1,∠OAD=90°,DA=DC, ∴设DA=x,则OD=x+1. 在Rt△AOD中,由勾股定理,得 52+x2=(x+1)2,解得x=12,∴DA=12,OD=13. ∵OE=OA=5,∴DE=OD-OE=13-5=8. 数学九年级（上册）·R 11 12.如图,四边形ABCD内接于☉O,BC为☉O的直径,AB=AD,AD∥BC,过点C作☉O的切线交BD的延长线于点E,连接OA交BD于点F.若DE=3,则AF=  . 　 数学九年级（上册）·R 12 13.如图,△ABC内接于☉O,D是BC上一点,且AD=AC,E是☉O外一点,且∠BAE=∠CAD,∠ADE=∠ACB,连接BE. (1)若AB=8,求AE的长; (1)解:∵∠BAE=∠CAD,∴∠DAE=∠CAB. 又∵AD=AC,∠ADE=∠ACB, ∴△DAE≌△CAB(ASA), ∴AE=AB=8. 数学九年级（上册）·R 13 (2)求证:EB是☉O的切线. (2)证明:如答案图,连接OA,OB,由(1)知,AE=AB,AD=AC, ∴∠ABE=∠AEB,∠ADC=∠ACD. ∵∠BAE=∠CAD,∴∠ABE=∠AEB=∠ADC=∠ACB. ∵OA=OB, ∴∠OBA=∠OAB=(180°-∠AOB)=90°-∠AOB. ∵∠ACB=∠AOB,∴∠OBA=90°-∠ACB, ∴∠OBE=∠OBA+∠ABE=90°-∠ACB+∠ACB=90°. ∵OB是☉O的半径,∴EB是☉O的切线. 数学九年级（上册）·R 14 $第2课时　尺规作图与切线长定理 数学九年级（上册）·R 1.如图,从☉O外一点P引☉O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是 (　 　) A.4 B.8 C.4 D.8 B 数学九年级（上册）·R 2 2.如图,PA,PB是☉O的切线,且∠APB=40°,下列说法不正确的是 (　 　) A.PA=PB B.∠APO=20° C.∠OBP=70° D.∠AOP=70° C 数学九年级（上册）·R 3 3.如图,PA,PB切☉O于点A,B,直线FG切☉O于点E,交PA于点F,交PB于点G.若PA=8 cm,则△PFG的周长是 (　 　) A.8 cm B.12 cm C.16 cm D.20 cm C 数学九年级（上册）·R 4 4.亮亮同学找到了一种测量光盘直径的方法,他把直尺、光盘和含60°角的三角尺按如图所示的方法放置在桌面上,并量出AB=4 cm,则光盘的直径是 (　 　) A.4 cm B.8 cm C.8 cm D.12 cm C 数学九年级（上册）·R 5 5.如图,AB为☉O的切线,AC,BD分别与☉O相切于点C,D.若AB=5,AC=3,则BD的长是　 　. 6.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,∠OAB=38°,则∠P=　 　. 2 76° 数学九年级（上册）·R 6 7.如图,AB是☉O的直径,DB,DE分别切☉O于点B,C.若∠ACE=18°,则∠D的度数是　 　. 36° 数学九年级（上册）·R 7 8.下面是某同学设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程. 已知:如图,P为☉O外一点. 求作:经过点P的☉O的切线. 作法: ①连接OP,作线段OP的垂直平分线,交OP于点A; ②以点A为圆心,OA的长为半径作圆,交☉O于B,C两点; ③作直线PB,PC. 所以直线PB,PC就是所求作的切线. 根据该同学设计的尺规作图过程,完成下列问题. (1)用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹); (1)解:如答案图,PB,PC即为所求作. 数学九年级（上册）·R 8 (2)完成以下证明过程(说明:括号里填写推理的依据). 证明:连接OB,OC,∵PO为☉A的直径, ∴∠PBO=∠PCO= (　 ). ∴PB⊥OB,PC⊥OC. ∵OB,OC为☉O的半径, ∴PB,PC为☉O的切线 (　 ). 90° 直径所对的圆周角为直角　 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线　 数学九年级（上册）·R 9 9.如图,EA,ED是☉O的切线,切点为A,D,点B,C在☉O上.若∠BAE+∠BCD=236°,则∠E= (　 　) A.56° B.60° C.68° D.70° C 数学九年级（上册）·R 10 10.(2025·泸州)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=10,☉O与梯形ABCD的各边都相切,且☉O的面积为16π,则点B到CD的距离为  . 　 数学九年级（上册）·R 11 11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点O为AC边上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆与AB相切于点D,连接CD. (1)求证:∠ABC=2∠ACD; (1)证明:如图,连接OD. ∵AB为☉O的切线, ∴∠ODA=90°,∴∠A+∠AOD=90°. ∵∠ACB=90°, ∴∠ABC+∠A=90°,∴∠AOD=∠ABC. ∵∠AOD=2∠ACD,∴∠ABC=2∠ACD. 数学九年级（上册）·R 12 11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点O为AC边上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆与AB相切于点D,连接CD. (2)若AC=8,BC=6,求☉O的半径. (2)解:在Rt△ABC中,AB==10. 易知BC是☉O的切线,且AB是☉O的切线, ∴BD=BC=6,∴AD=AB-BD=4. 设☉O的半径为r,则OD=OC=r,OA=8-r. 在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA2, 即r2+42=(8-r)2,解得r=3, ∴☉O的半径长为3. 数学九年级（上册）·R 13 12.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD为半径的弧恰好与BC相切,切点为E.若AB=1,BC=3,则阴影部分的面积是 (　 　) A.4-π B.2-π C.2-π D.3-π C 数学九年级（上册）·R 14 13.如图,已知△BEF的边BE和EF分别与☉O相切于B,C两点,BF经过圆心O,交☉O于A,B两点,点C为弧AB上靠近点A的三等分点.若BE=,则线段AF的长为　 　. 1 数学九年级（上册）·R 15 $30.3　正多边形与圆 数学九年级（上册）·R 1.(2025·黑龙江)如图,这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币,则该正十二边形的中心角为 (　 　) A.30° B.40° C.50° D.60° A 数学九年级（上册）·R 2 2.(2025·云南)“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用.已知半径为20 cm的正六边形的窗洞如图所示,那么它的周长是 (　 　) A.60 cm B.80 cm C.100 cm D.120 cm D 数学九年级（上册）·R 3 3.如图,八边形ABCDEFGH是☉O的内接正八边形,则∠ABD的度数为 (　　 ) A.72° B.105.5° C.135° D.112.5° D 数学九年级（上册）·R 4 4.(2025·甘肃)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O.若△AOB的面积为4,则☉O的半径为 (　 　) A.4 B.2 C.2 D.2 A 数学九年级（上册）·R 5 5.如图,正方形内接于☉M,则∠AMB的度数是　 　. 6.如图,AB是☉O的内接正n边形的一边,点C在☉O上,∠ACB=18°,则n=　 　. 7.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,PD与☉O相切于点D,连接OE并延长,交PD于点P,则∠P的度数是　 　. 90° 10 18° 数学九年级（上册）·R 6 8.如图,正方形ABCD内接于☉O,M为弧AD的中点,连接BM,CM. (1)求证:BM=CM; (1)证明:∵正方形ABCD内接于☉O, ∴AB=DC,∴=. ∵M为的中点,∴=, ∴+=+, ∴=,∴BM=CM. 数学九年级（上册）·R 7 8.如图,正方形ABCD内接于☉O,M为弧AD的中点,连接BM,CM. (2)连接OB,OM,求∠BOM的度数. (2)解:如答案图,连接OC, ∵∠BOC=×360°=90°, ∴∠BOM+∠COM=360°-∠BOC=270°. ∵BM=CM,∴∠BOM=∠COM, ∴2∠BOM=270°,∴∠BOM=135°. 数学九年级（上册）·R 8 9.(2026·重庆南开)如图,将边长均为的正方形和正六边形拼在一起,以公共顶点O为圆心,边长为半径画圆,则图中阴影部分的面积为 (　 　) A. B. C.π D. A 数学九年级（上册）·R 9 10.(1)如图,☉O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点,则∠AOC=　 　; (2)(2025·山西)如图,正五边形ABCDE内接于☉O,过点C的直径与☉O交于点F,连接AC,则∠ACF的度数为　 　. 144° 18° 数学九年级（上册）·R 10 11.阅读与思考: 【一般概念】对于一个凸多边形(边数为偶数),若其各边都相等,且相间的角相等、相邻的角不相等,我们称这个凸多边形为等边半正多边形.如图1,我们学习过的菱形(正方形除外)就是等边半正四边形,类似地,还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义,对等边半正六边形研究如下. 概念理解:如图2,如果六边形ABCDEF是等边半正六边形,那么AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠C=∠E,∠B=∠D=∠F,且∠A≠∠B. 数学九年级（上册）·R 11 (1)等边半正六边形相邻两个内角的和为　 　; (2)如图3,六边形ABCDEF是等边半正六边形,连接对角线AD,试猜想∠BAD与∠FAD之间的数量关系,并说明理由; 解:(2)∠BAD=∠FAD.理由如下: 如图3,连接BD,FD. ∵六边形ABCDEF是等边半正六边形, ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠C=∠E, ∴△BCD≌△FED(SAS),∴BD=FD. 又∵AD=AD,∴△ABD≌△AFD(SSS),∴∠BAD=∠FAD. 240° 数学九年级（上册）·R 12 (3)如图4,已知△ACE是正三角形,☉O是它的外接圆.请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法). (3)等边半正六边形ABCDEF如答案图1、答案图2所示.(答案不唯一) 数学九年级（上册）·R 13 12.如图,正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于☉O,AD和EF相交于点M,则∠AMF的度数为 (　 　) A.26° B.27° C.28° D.30° 提示:如答案图,连接OC,OD,OE,设CD与EF相交于点N,则∠COD=90°,∠COE=72°,∴∠DOE=18°, ∴∠DCE=∠DOE=9°.易知∠CEF=108°,∴∠CNE=180°-108°-9°=63°,∴∠DNM=∠CNE=63°.由∠ADC=90°可求得∠DMN的度数,即∠AMF的度数. B 数学九年级（上册）·R 14 13.(1)【数学文化】我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.141 6.如图,☉O的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形的面积近似估计☉O的面积,可得π的估计值为.若用圆内接正八边形近似估计☉O的面积,可得π的估计值为　 ; 2　 数学九年级（上册）·R 15 (2)如图,五边形ABCDE是☉O的内接正五边形,AF是☉O的直径,则∠BDF的度数是　 　. 54° 数学九年级（上册）·R 16 $30.1.1　直线与圆相离、相切、相交 数学九年级（上册）·R 1.已知☉O的半径为3,圆心O到直线的距离为2,则☉O与直线的位置关系是 (　 　) A.相切 B.相交 C.相离 D.相交或相离 2.(2025·武汉)如图,直线l与半径为r的☉O相交,且点O到直线l的距离为6,则r的取值范围是 (　 　) A.r>6 B.r=6 C.r<6 D.r≤6 B A 数学九年级（上册）·R 2 3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=4 cm,以点C为圆心、2 cm的长为半径作圆,则☉C与AB的位置关系是 (　 　) A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相离 4.已知☉O的圆心到直线l的距离是一元二次方程x2-x-6=0的一个根,若☉O与直线l相切,则☉O的半径的值为 (　 　) A.2 B.3 C.6 D.1 B B 数学九年级（上册）·R 3 5.(2025·河北)☉O的半径是5 cm,圆心O到直线a的距离为3 cm,则直线a与☉O的公共点个数是　 　. 6.在△ABC中,AB=AC=5 cm,BC=8 cm,以点A为圆心、3 cm长为半径的圆与直线BC的位置关系是　 　. 2 相切 数学九年级（上册）·R 4 (2)如图,☉A的圆心坐标为(0,4),若☉A的半径为3,则直线y=x与☉A的位置关系是　 　. 7.(1)如图,在平面直角坐标系中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴正方向平移,使☉P与y轴相交,则平移的距离d的取值范围是　 　; 1<d<5 相交 数学九年级（上册）·R 5 8.如图,已知在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,以点A为圆心,r为半径作☉A. (1)当半径r为何值时,☉A与直线BC相切? (2)当半径r为何值时,☉A与直线BD相切? (3)当半径r的取值范围为何值时,☉A与直线BC相交且与直线CD相离? 解:(1)由图可知,当r=3时,☉A与直线BC相切. (2)如答案图,连接BD,过点A作AE⊥BD于点E. 在Rt△ABD中,BD==5, S△ABD=BD·AE=AB·AD, ∴AE==, ∴当r=AE=时,☉A与直线BD相切. (3)由图可知,当半径r的取值范围为3<r<4时,☉A与直线BC相交且与直线CD相离. 数学九年级（上册）·R 6 9.如图,已知点A,B在半径为1的☉O上,∠AOB=60°,延长OB至点C,过点C作射线OA的垂线记为l,则下列说法正确的是 (　 　) A.当BC等于0.5时,l与☉O相离 B.当BC等于2时,l与☉O相切 C.当BC等于1时,l与☉O相交 D.当BC不为1时,l与☉O不相切 D 数学九年级（上册）·R 7 10.(1)已知☉O的半径r=7 cm,直线l1 ∥ l2,且l1与☉O相切,圆心O到l2的距离为9 cm,则l1与l2之间的距离为　 cm; (2)在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(3,1),若☉A与坐标轴有三个公共点,则☉A的半径为  　. 2或16　 或3 数学九年级（上册）·R 8 11.如图,P为正比例函数y=x的图象上的一个动点,☉P的半径为3,设点P的坐标为(x,y). (1)求☉P与直线x=2相切时点P的坐标; (2)请直接写出☉P与直线x=2相交、相离时x的取值范围. 解:(1)过点P作直线x=2的垂线,垂足为A.☉P与直线x=2相切时,PA=3. ①当点P在直线x=2的右侧时,x=5, 则点P的坐标为; ②当点P在直线x=2的左侧时,x=-1, 则点P的坐标为. 综上所述,当☉P与直线x=2相切时,点P的坐标为或. (2)当-1<x<5时,☉P与直线x=2相交; 当x<-1或x>5时,☉P与直线x=2相离. 数学九年级（上册）·R 9 12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=2,半径为1的☉O在Rt△ABC内平移(☉O可以与该三角形的边相切),则点A到☉O上的点的距离的最大值为　 　. 2+1 数学九年级（上册）·R 10 13.对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点之间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N之间的“最小距离”,记作d(M,N). 已知点A(-3,3),B(3,3),连接AB. (1)填空:d(点O,AB)=　 　; (2)☉O的半径是r,若d(☉O,AB)=0,直接写出r的取值范围; 解:(2)由题意知,d(☉O,AB)=0表示☉O与线段AB有交点. 易知OA=OB=3,∴3≤r≤3. 3 数学九年级（上册）·R 11 (3)☉O的半径是r,若将点B绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°),得到点C.当α=30°时,d(☉O,C)=0,求此时r的值. (3)当α=30°时,如答案图.过点C作CH⊥AB,垂足为H. ∵AC=6,∠BAC=30°,∴CH=3,AH=3, ∴点C落在x轴上. ∵d(☉O,C)=0,∴r=OC=3-3. 数学九年级（上册）·R 12 $