专题01 知识点2：集合的基本运算 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以定义-性质-律则为逻辑主线，通过口诀化记忆、可视化工具（Venn图/数轴）和易错点靶向突破，构建集合运算的系统化解题体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与性质|3种运算定义+3类性质表|通俗类比（如“朋友共同电影”喻交集）、符号特征记忆（∩向下取公共，∪向上取全部）|从元素关系（且/或/不属于）抽象出运算定义，推导幂等/交换等性质| |德摩根律与容斥原理|1核心律+1原理|“交的补=补的并”口诀、有限集元素个数公式|基于补集定义推导逻辑等价关系，衔接集合基数计算| |高频考法与易错提醒|4类考法+4项对策|数轴法解不等式解集运算（端点检验）、德摩根律化简复杂表达式|整合运算优先级与集合关系，通过典例（如参数范围问题）强化应用迁移|

知识点2：集合的基本运算 一、三种基本运算的定义 1.交集 定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B 的交集。 符号表示：AnB={x|x∈A且x∈B) Venn图： 通俗理解：找出两个集合共同拥有的元素，如两个朋友都喜欢看的电影。 2.并集 定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B 的并集。 符号表示：AUB={x|x∈A或x∈B} Venn图： 通俗理解：把两个集合的所有东西合并在一起，重复的物品只算一次。 3.补集 定义：设U为全集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称 为A的补集。 符号表示：CuA={x|x∈U且xEA} CA(A Venn图： 通俗理解：在全校学生（全集）中，某班学生之外的全体学生。 二、基本运算性质 1.交集的性质 性质 公式 A00=0 与空集 A0A=A 幂等律 AnB=BOA 交换律 AnB=A÷ACB 包含关 系 2.并集的性质 性质 公式 AUO=A 与空集 AUA=A 幂等律 AUB=BUA 交换律 AUB=A-BCA 包含关 系 3.补集的性质 性质 公式 AU(CUA)=U 互补律 An(CuA)= 互斥律 Cu(CUA)=A 双重否定 补集与空集 CUU=0'CU8=U 三、德·摩根律(De Morgan's Laws) 一一 高考高频考点 这是集合运算中最重要的公式，必须熟练掌握： Cu(AUB)=(CUA)(CuB) Cu(AnB)=(CuA)U(CuB) 记忆口诀：交的补等于补的并，并的补等于补的交。 四、运算律汇总 运算律 公式 交换律 AUB=BUA'AnB=BnA 结合律 (AU B)UC=AU(BU C)'(AnB)nC=An(BnC) 分配律 AU(Bn C)=(A U B n (A U C)' An(BU C)=(AnB)U(AnC) 德·摩根律 Cu(AUB)=(CUA)(CuB)'Cu(AnB)=(CUA)U(CuB) 五、容斥原理 对于两个有限集合A和B,其元素个数关系为： A UB=A+B-AnB 六、高考高频考法与易错提醒 1.运算优先级 ·补集运算优先级最高，其次是交集和并集 ·有括号时先算括号内的运算 2.数轴法解题 ·当集合为不等式的解集时，在数轴上表示集合，直观求解交集与并集 ·注意端点值：需检验端点能否取等 3.德·摩根律的应用 ·常用于化简复杂集合运算表达式 。高考常考：将Cu(AnB)转化为(CuA)U(CuB】 4.易错提醒 易错点 对策 混淆n与U 记忆：交集∩像"n"(开口向下，取公共部分)，并集U 像"U"(开口向上，取全部) 补集运算漏掉 补集是相对于全集定义的，必须指明全集U 全集 德·摩根律符 口诀：交的补等于补的并，并的补等于补的交 号记反 端点值误判 利用数轴求解时，逐一代入检验端点值是否能取等 本考点一句话总结：交取公共并取全，补集相对全集看；德摩根律记心 间，交补并补要互换。 定义：由属于A且属于B的元素组成 交集 符号：AnB enn图：两圆重叠公共部分 理解：共同元素 定义：由属于A或属于B的元素组成 符号：AUB 三种基本运算定义。 并集。 Venn图：两图覆盖全部区域 理解：合并所有元素，重复只算一次 定义：全集中不属于A的元素组成 补集○ 符号：CUA enn图：矩形中圆外阴影部分 理解：全校学生中某班之外的全体学生 与空集：An0=0 交集性质。 幂等律：AnA=A 交换律：AnB=BnA 包含关系：AnB=A=ASB 与空集：AU0=A 基本运算性质。 并集性质。 幂等律：AUA=A 交换律：AUB=BUA 包含关系：AUB=A一BEA 互补律：AUIC UA)=U 集合基本运算。 补集性质。 互斥律：An(CUA)=0 双重否定：CU(CUA)=A 补集与空集：CUU=0,CU0=U 公式-：CU(AuB)=(CUA)n(CUB) 德摩根律0一 公式二：CU(AnB)=(CUAu(CUB) 记忆口诀：交的补等于补的并，并的补等于补的交 交换律：AUB=BUA,AnB=BnA 运算律汇总。 结合律：(AUB)oC=Au(BUC),(AnB)nC=An(BOC) 分配律：Au(BnC)=(AUBn(AuC).An(BuC)=AnB)u(Ang 德摩根律 容厅原理0 公式：AuB=A+B-AnBL 运算优先级：补集最高，其次交集与并集，括号优先 数轴法。∠ 适用：不等式解集 注意：端点值需检验 高考高频考法与易措提醒。 德摩根律应用。一 化简复杂表达式 转化：CU(AnB化CUA)u(CUB) 混淆n与U:n开口向下取公共，u开口向上取全部 易错提醒。 补集漏掉全集：必须指明全集U 德座根律符号记反：口诀辅助 端点值误判：遂一代入检验 实战演练 一、单选题 1.已知集合A={x|-1<x≤1}，B={x|0<x<2},则AnB=() A.{x|0<x≤1} B.{x|-1<x<2 c.{x|0<x<1} D.{x|-1<x<0} 2.设集合A={(x,y)|y=x},B={(x,y)|y=x},则AnB的元素个数是 () A.1B.2C.3D.4 3.已知集合A={x|-1<x≤1}，B={x|0<x<2},则AUB=() A.{x|0<x≤1}B.{x|-1<x<2 C.{x|0<x<1}D.{x|-1<x<0} 4.已知全集U=AUB={0,1,2,3},A={0,1,2},则集合B可能为() A.0B.{-1,3}C.{0,1,2} D.{0,1,2,3 5.若集合A={x|x>1},B={-1,1,2},则(CRA)nB=() A.0B.{-1C.{-1,1}D.{-1,1,2} 6.已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={3,7,a+1},若CuA={1,5},则a=() A.6B.8C.9D.10 7.设集合U={x|x≤6}，A={x|2≤x≤6}，B={x|0≤x≤4}，则(CuA)UB= () A.{x|x<4} B.{x|x≤4} C.{x1<x<4}D.{x|1≤x≤4} 8.已知集合A={-1,0,1,2,4},B={0,1,3},则如图所示的阴影部分表示的集合为 () B R A.{-2,4} B.{0,1,2} c.{-1,2,4} D.{-1,0,1} 二、多选题 9.已知集合A={x|-2≤x<7},B={x|a+1<x≤2a-1},则使AnB=B的实 数a的取值可以是() A.1 B.3C.5 D.7 10.满足{1,2,3}UA={1,2,3,4}的集合A可能是() A.{4 B.{2,4} c.{1,3} D.{1,2,4} 11.定义集合A与B的运算：A-B={x|x∈A且x庄B}。已知集合 M={1,23,45N={1,35,7'P=(2,46,8}则() A.M-N={2,4} B.M-P={1,3} C.M-(M-N)={1,5} D.(N-P)-M={7} 三、填空题 12.已知全集U=R,若集合A={x|(2x-5)2x+3)>0}, B={x|x=2k,k∈Z,则(cA)nB的元素个数为一。 13.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1}，则如图所示的阴影部分表示的 集合为 B R 14.已知全集U=AUB{x∈N1-1<x<10},An(CuB)={1,3,5,7},则 四、解答题 15.已知全集U=R,集合A=(x3x+1<2,B=x12m-1<X<m+3. X-1 (1)若m=0,求AnB: (2)若(CRA)UB=R,求实数m的取值范围。 16.已知集合A={x|x≥2m-1},B={x|x<-3或x≥2}。 (1)若AUB=R,求m的取值范围： (2)若ACB,求m的取值范围。 17.全集U=R,A={x|a≤x≤a+3},CuA={xx<1或x>4},求a。 18.已知集合A={x|x<9},B={x|x2-7x+10≤0}，求： (1)AnB,（CRA)UB: (2)若C={x|x>之m,且AnC=o,求m的取值范围。 19.设全集为U=R,已知集合A={x|x<-2或x>3},B={x|x<m或x>4}。 (1)若m=2,求AUB及图中阴影部分表示的集合C: (2)若AnB=o,求实数m的取值范围。 参考答案 一、单选题 1.答案：A 解析： 集合A={x|-1<x≤1}，B={x|0<x<2},求交集即取两个集合的公共部分。 在数轴上画出两个集合： A:从-1（开）到1（闭） B:从0（开）到2（开） 公共部分为0<x≤1，即{x|0<x≤1}。 2.答案：B 解析： 集合A表示直线y=x上的点，集合B表示抛物线y=x2上的点。A∩B即 求直线与抛物线的交点。 解方程组 y=x, y=x2 得x2=x即xX-x=0'xx-1=0,解得x=0或x=1 对应交点为(0,0)和(1,1)，共2个元素。 3.答案：B 解析： AUB表示取两个集合的所有元素。 A=(x|-1<x≤1B=(x10<x<2合并后为(x|-1<x<2} 4.答案：B 解析： 已知U=AUB={0,1,2,3,A={0,1,2},则B必须满足AUB=U,即B 必须包含3（因为3∈U但3主A),且B中的元素必须都在U中。 A:O,AU0=A≠U,排除 B:{-1,3},但-1U,排除 C:{0,1,2},AUC=A≠U,排除 D:{0,1,2,3},AUD=U,符合 故B可能为{0,1,2,3}。 5.答案：C 解析： A={x|x>1}CRA={x|X≤1}· (CRA)nB={x|x≤1}n{-1,1,2}={-1,1} 6.答案：B 解析： U={1,3,5,7,9cuA={1,5}'则A=U-cuA={3,7,9} 又A={3,7,a+1},所以a+1=9,解得a=8。 7.答案：B 解析： U={x|x≤6A=(x|2≤x≤6}则cuA=(x|x<2} (cuA)UB={x|x<2}U{x|0≤x≤4}={x|x≤4} 8.答案：C 解析： 图中阴影部分表示属于集合A但不属于集合B的元素，即A-B。 A={-1,0,1,2,4}’B={0,1,3}’A-B={-1,2,4}。 二、多选题 9.答案：AB 解析： AnB=B等价于BcA· A={x|-2≤x<7}'B={x|a+1<x≤2a-1} 当B=0时，a+1≥2a-1,解得a≤2，此时BCA成立。 当B≠O时，需满足： a+1<2a-1 a+12-2 2a-1<7 解得a>2且a≥-3且a<4,即2<a<4。 综合得a<4。选项中a的取值可以是1和3。 10.答案：ABD 解析： (1,2,3}UA={1,2,3,4说明A必须包含元素4且A中的其他元素只能 是{1,2,3,4}中的元素。 A:{4},{1,2,3}U{4}={1,2,3,4},符合 B:{2,4},{1,2,3}U{2,4}={1,2,3,4},符合 C:{1,3},{1,2,3}U{1,3}={1,2,3}≠{1,2,3,4}，不符合 D:{1,2,4},{1,2,3}U{1,2,4}={1,2,3,4},符合 故可能为{4}、{2,4}、{1,2,4}。 11.答案：AD 解析： 根据定义A-B={x|x∈A且x生B},逐个验证： A:M-N={1,2,3,4,5}-{1,3,5,7}={2,4},正确 B:M-P={1,2,3,4,5}-{2,4,6,8}={1,3,5},不是{1,3}，错误 C:M-N={2,4},M-(M-N)={1,2,3,4,5}-{2,4}={1,3,5},不是{1,5}， 错误 D:N-P={1,3,5,7}-{2,4,6,8}={1,3,5,7}, (N-P)-M={1,3,5,7}-{1,2,3,4,5}={7小正确 三、填空题 12.答案：2 解析： 依怎密，GmA-2x-52x+3)e0--2x.而 B=,-4,-2,0,2,4,·故CuA)nB={0,2,即(CA)nB有2个元素. 13.答案：{x|1≤x<1} 解析： 由韦恩图可知，如图所示的阴影部分表示的集合为An(CRB), 又A={x|-1<x<2},B={x|x≥1}， 则CRB={x|x<1}, 所以An(CRB)={x|-1<x<1}. 14.答案：{2,4,6,8,9} 解析： U=AUB={x∈N·|-1<x<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9} An(cB={1,3,5,7所以B=2,4,6,8,9} 故答案为：{2,4,6,8,9} 四、解答题 15.解： (1)当m=0时，B={x|-1<x<3}。 解不等式3x+1<2: x-1 3x+1-2<03x+1-2|x-1业<03X+3<0 x-1 X-1 X-1 解得-3<x<1,即A={x|-3<x<1}。 AnB={x|-1<x<1} (2)CRA={x|x≤-3或x≥1}. 由(CRA)UB=R,得B必须覆盖CRA中缺失的部分，即B必须包含区间 （-3,1)° B=(x2m-1<x≤m+3},需满足2m-1≤-3且m+3≥1'解得m≤-1且 m≥-2'即-2≤m≤-1 同时需保证B非空：2m-1<m+3,即m<4,成立。 故m的取值范围为[-2，-1]。 16.解： (1)A={x|x≥2m-1},B={x|x<-3或x≥2}。 由AUB=R,需A覆盖B未覆盖的部分，即B的补集[-3,2)必须被A 包含。 A=[2m-1,+∞需2m-1≤-3：解得m≤-1 (2)由AcB,A=[2m-1,+o∞)需是B的子集。 B=(-00,-3)U[2,+∞)° 若AcB,则2m-1≥2，解得m≥3 (注意：A不能包含[-3,2)中的元素，故A的左端点必须≥2。) 故m的取值范围为[号，+o。 17.解： 由全集U=R,A={x|a≤x≤a+3},得CuA={x|x<a或x>a+3}, a=1 而CA=xx<1或x>4,因此a43=4所以a=1 18.解： (1)A={x|x2<9}={x|-3<x<3}。 B={x|x2-7x+10≤0}={x|(x-2)(x-5)≤0}={x|2≤x≤5} AnB={x2≤x<3}° CRA={x|x≤-3或x≥3} (CRA)UB={x|x≤-3或x≥2}° (2)C={x|x>m},AnC=o,即C与A=(-3,3)无交集。 C为(m,+o)需m≥3此时C中的元素均大于等于3？不在A中。 故m的取值范围为[3，+o∞)。 19.解： (1)若m=2,则集合B={x1≤x≤7}， 且集合A={xx<-2或x>3},所以集合AUB={xx<-2或x≥1}： 又因为全集为U=R,则集合CuA={x-2≤x≤3}， 所以图中阴影部分表示的集合C=(CuA)nB={x1≤x≤3}。 (2)因为集合A={xx<-2或x>3},B={xm-1≤x≤2m+3,m∈R,且 AnB=0' 若B=o,则m-1>2m+3,解得m<-4,符合题意； m-1≤2m+3 若B≠o,则 2m+3≤3 解得-1≤m≤0： m-1≥-2 综上所述：实数m的取值范围为m<-4或1≤m≤0。