重点强化练(一)不等式的性质与基本不等式专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦不等式性质与基本不等式，通过分层题型系统训练，提炼配凑、常数代换等实用方法，构建从概念到综合应用的逻辑链条，发展运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本不等式求最值|5题（如第1、3题）|配凑法、常数代换法、等号条件验证|从基本不等式原理推导到多变量最值求解| |不等式性质与关系|3题（如第4、5题）|作差比较法、函数单调性判断|性质判定到充要条件推理的逻辑递进| |综合应用|3题（如第7、14题）|二次不等式根与系数关系、换元法|性质与不等式结合的综合问题解决|

重点强化练(一)　不等式的性质与基本不等式 一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.[2025·四川遂宁模拟] 若a>1,则4a+的最小值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.4 B.6 C.8 D.无最小值 2.[2024·河北唐山一模] 已知函数f(x)=,则f(x)的最小值为 (　 ) A.0 B.2 C.2 D.3 3.[2025·江苏宿迁调研] 若a>0,b>0,a+2b=3,则+的最小值为 (　 ) A.9 B.18 C.24 D.27 4.对于任意实数a,b,“a2+b2>2ab”是“a2>b2”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.[2024·人大附中三模] 已知x,y∈R,且x>y,则 (　 ) A.-<0 B.tan x-tan y>0 C.-<0 D.ln|x|-ln|y|>0 6.[2024·福州一模] 已知实数x,y满足3xy+y2=1,y>0,则2x+y的最小值是 (　 ) A. B. C.2 D.3 7.[2024·山东新高考联盟模拟] 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为(-4,1),则的取值范围为 (　 ) A.[-6,+∞) B.(-∞,6) C.(-6,+∞) D.(-∞,-6] 8.[2024·山东淄博二模] 记max{x,y,z}表示x,y,z中最大的数.已知x,y均为正实数,则max的最小值为 (　 ) A. B.1 C.2 D.4 二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.[2024·安徽淮北质检] 已知a,b,c∈R,下列命题为真命题的是 (　 ) A.若a>b>c,则a+b>c B.若a>b>|c|,则a2>b2>c2 C.若a<b<c<0,则> D.若a>b>c>0,则< 10.[2024·深圳南山区模拟] 下列命题中,为真命题的是 (　 ) A.∀x>0,x+≥2 B.∃x<0,x+>-2 C.∀x>0,≥ D.∃x<0,≤- 11.[2024·湖南邵阳三模] 若正实数x,y满足2x+y=xy,则 (　 ) A.xy≤8 B.8x+y≥18 C.+≥ D.+≥ 三、填空题:本题共3小题. 12.[2024·重庆渝中区模拟] 已知x>0,y>0且x+2y=1,则log2x+log2(2y)的最大值为　　　　.  13.[2024·江西宜春三模] 已知x>0,y>0,且满足4x2+9y2+6xy-3=0,则2x+3y的最大值为　　　　.  14.[2025·江苏南通模拟] 以max M表示数集M中最大的数.设0<a<b<c<1,已知b≥2a或a+b≤1,则max{b-a,c-b,1-c}的最小值为　　　　.  参考答案 重点强化练(一) 1.C　[解析] 若a>1,则4a+=4(a-1)++4≥2+4=8,当且仅当4(a-1)=,即a=时,等号成立,所以4a+的最小值为8.故选C. 2.C　[解析] 由已知得x>2,所以f(x)===+≥2,当且仅当=,即x=4时,等号成立,所以f(x)的最小值为2.故选C. 3.A　[解析] 根据题意可得+=(a+2b)=≥=9,当且仅当=,即a=b=1时,等号成立,所以+的最小值为9.故选A. 4.B　[解析] 当a=2,b=3时,满足a2+b2>2ab,但不满足a2>b2,故充分性不成立;因为a2>b2,所以a≠b,又a2+b2-2ab=(a-b)2>0,所以a2+b2>2ab,故必要性成立.所以“a2+b2>2ab”是“a2>b2”的必要不充分条件.故选B. 5.C　[解析] 对于A,-=,其中y-x<0,但xy的符号不确定,所以A不正确;对于B,取x=π,y=,此时tan x-tan y=0-1=-1<0,所以B不正确;对于C,函数f(x)=在R上单调递减,因为x>y,所以<,可得-<0,所以C正确;对于D,取x=2,y=-3,此时ln|x|-ln|y|=ln 2-ln 3=ln<0,所以D不正确.故选C. 6.B　[解析] 因为实数x,y满足3xy+y2=1,y>0,所以x=,所以2x+y=+y=+y≥2=,当且仅当=y,即y=时,等号成立,所以2x+y的最小值是.故选B. 7.D　[解析] 由ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为(-4,1),可知1和-4是方程ax2+bx+c=0的两个实数根,且a<0.由根与系数的关系可得 可得所以===4a+=-≤-2=-6,当且仅当-4a=,即a=-时,等号成立,所以的取值范围为(-∞,-6].故选D. 8.C　[解析] 已知x,y均为正实数,设M=max,则M≥>0,M≥>0,M≥x2+4y2>0,则3M≥++x2+4y2≥++2=++4xy,当且仅当x2=4y2,即x=2y时,等号成立.又因为++4xy≥3=6,当且仅当==4xy,即x=2y=1时,等号成立,所以3M≥6,即M≥2,所以M=max的最小值为2.故选C. 9.BD　[解析] 当a=-2,b=-3,c=-4时,-2>-3>-4,但-2+(-3)>-4不成立,故A中命题是假命题.因为a>b>|c|≥0,所以根据不等式性质可得a2>b2>c2,故B中命题是真命题.因为a<b<0,所以>0,所以a·<b·<0,即<<0,又c<0,所以>>0,故C中命题是假命题.因为a>b>c>0,所以-==<0,所以<,故D中命题是真命题.故选BD. 10.AD　[解析] 对于A,利用基本不等式可得∀x>0,x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立,故A中命题是真命题;对于B,∀x<0,x+=-≤-2=-2,当且仅当x=-1时,等号成立,故B中命题是假命题;对于C,易知∀x>0,=≤=,当且仅当x=1时,等号成立,故C中命题是假命题;对于D,易知当x=-1时,=-,所以∃x<0,≤-,故D中命题是真命题.故选AD. 11.BCD　[解析] 对于A,因为x,y为正实数,所以xy=2x+y≥2,当且仅当y=2x=4时取等号,因此xy≥8,故A错误;对于B,由2x+y=xy,得+=1,则8x+y=(8x+y)=10++≥10+2=18,当且仅当=,即y=4x=6时取等号,故B正确;对于C,由+=1,得++=1,即+=1-,而xy≥8,因此+=1-≥1-=,当且仅当y=2x=4时取等号,故C正确;对于D,由2x+y=xy,得xy-2x-y+2=2,即(x-1)(y-2)=2,由+=1,得x>1,y>2,因此+≥2=,当且仅当=,即x-1=3(y-2)=时取等号,故D正确.故选BCD. 12.-2　[解析] 因为x>0,y>0且x+2y=1,所以1=x+2y≥2,解得2xy≤,当且仅当x=,y=时,等号成立,所以2xy的最大值为,所以log2x+log2(2y)=log2(2xy)≤log2=-2,即log2x+log2(2y)的最大值为-2. 13.2　[解析] 方法一:由4x2+9y2+6xy-3=0,可得4x2+9y2+12xy=3+6xy,由基本不等式得(2x+3y)2=3+2x·3y≤3+,可得(2x+3y)2≤3,所以2x+3y≤2,当且仅当2x=3y时取等号,由解得 故2x+3y的最大值为2. 方法二:由4x2+9y2+6xy-3=0,可得(x2+9y2+6xy)+3x2=3,因为x>0,y>0,所以由权方和不等式得+≥,即4≥(2x+3y)2,所以2x+3y≤2,当且仅当=,即2x=3y时取等号,由解得 故2x+3y的最大值为2. 14.　[解析] 令b-a=m,c-b=n,1-c=p,X=max{b-a,c-b,1-c}=max{m,n,p},其中m,n,p>0,①若b≥2a,则1-n-p≥2-2m-2n-2p,得2m+n+p≥1,又∴4X≥2m+n+p≥1,则X≥.②若a+b≤1,则2-m-2n-2p≤1,得m+2n+2p≥1,又∴5X≥m+2n+2p≥1,∴X≥,当且仅当m+2n+2p=1且max{m,n,p}=时等号成立.综上,X的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $