30.2 三角形的内切圆（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本同步练习围绕“三角形的内切圆”，通过A组巩固过关、B组能力进阶、C组思维拔高及拓展链接中考的分层设计，构建从基础概念到综合应用再到中考衔接的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|内心性质、周长面积关系、内外切圆初步综合|以选择填空为主，如内心定义辨析、基础半径计算，夯实概念理解| |B组能力进阶|内外切圆性质综合应用|中档解答题，如结合平移、折叠的动态几何题，提升推理能力| |C组思维拔高+拓展|跨知识综合、中考真题对接|复杂证明与探究题，如内接等边三角形、四边形内切圆最值问题，培养创新意识|

分层作业 30.2 三角形的内切圆 目 录 A组 巩固过关 题型01三角形内心的性质 题型02三角形周长、面积与周长的关系 题型03三角形内切圆与外接圆的综合 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 三角形内心的性质题型01 1．（2026·河南商丘·模拟预测）三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 3．（25-26八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 5．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图，点为的内心，，则的度数是______． 三角形周长、面积与周长的关系题型02 6．一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ） A． B．1 C． D． 7．（24-25九年级下·上海徐汇·阶段检测）如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积． 三角形内切圆与外接圆的综合题型03 11．已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 12．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，点O是内心，也是的外心．若，则的度数_____________． 13．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，，，，若、分别是的内心和外心，则的长为________． 14．在中，，则的外接圆半径R与内切圆半径r的差___________． 15． 既是半径为的正△ABC的外接圆，也是等边的内切圆，则等边的外接圆的面积是________ 16．如图，四边形为矩形，点在边上，，与四边形的各边都相切，的半径为，的内切圆半径为，则的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 17．（2025·河北石家庄·三模）如图，点I是的内心，点O是的外心，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 18．（2026·江苏南通·三模）如图，菱形中，对角线、相交于点，的内心与点的距离为，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，点为的内心，，，，将平移，使其顶点与点重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 20．如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 21．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段检测）若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）如图，等边三角形的边长为9，点D、E、F在边上，等边三角形的边长为7，则三角形的内切圆半径为______． 23．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 24．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则（   ） A． B． C． D． 25．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，三角形纸片的三边之比，是它的内切圆，的三条切线、、分别交的边于点D、E、F、G、M、N，则、、的周长之比为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，为斜边上的中线，若，设与的内切圆半径分别为，则的值为（    ） A．1.25 B．1.125 C．1.1 D．1.2 27．（2026·湖北武汉·一模）如图，，，，内切圆半径为（     ） A． B． C． D． 28．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 29．（2024·广东广州·一模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 30． 2023九年级·山东济南·专题练习）如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（   ） A． B． C． D． 31．（2025·湖南株洲·三模）如图，在中，，的角平分线、交于点，则以点为圆心，以_____为半径，可作的内切圆． 32．（2025·广东江门·三模）如图，点O是的内心，连接，若的高，则点O到边的距离为：__________． 33．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知中，，．请按照题意用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)请在图中作一个能覆盖且面积最小的，则的半径为 ； (2)请在图的纸片中剪出一个面积最大的，则的半径为 ． 34．（25-26九年级上·江苏常州·期中）“等弦”的探究． (1)如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点到，的距离相等．小红发现延长，交于点，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． (2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，，，的半径为，则的取值范围是_____． 35．如图，的内切圆与分别相交于点，若． (1)求的长； (2)求的半径． (3)连接，求与围成的劣弧的弧长． 36．已知内接四边形中，平分． (1)如图1，若相交于E，求证：． (2)如图2，连接交于F．若，求的半径． (3)如图3，若为直径，，求的内心与点O的距离． 37．（2026·陕西西安·模拟预测）提出问题以及解决问题： (1)问题提出 如图1，在直角中，，是的内切圆，若的半径是1，则的斜边长为 ． (2)问题解决 小方的爸爸是一位翡翠设计师，一位顾客想将一块如图2所示的四边形原石进行切割设计．顾客首先需要切割出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计．由于该原石成色最好的部分在附近区域，所以玉镯要尽可能贴着边和边，观察到和的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不能经过边和边．根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进行后期精细化打磨．为了最大限度地利用该石材，切割出的（点A在上，点C在上），应使得尽可能短，同时的周长和面积尽可能的小．经过测量，，，根据顾客的需求，手镯的内圈直径为，外圈直径为，即小圆的直径为，大圆的直径为 请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在和上的点A和点C使得覆盖大圆的周长取得最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出的周长及面积；若不存在，请说明理由． 38． 24-25九年级上·山西大同·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务 探究三角形的特殊点 通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获． 定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点． 性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上． 如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点． 求证：点分别是点关于边的对称点． 证明：如图，连接． ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（依据）， ∴， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 任务： (1)上面日记中“依据”指的是 ； (2)下列说法正确的是 ； A．锐角三角形的垂心在三角形外    B．直角三角形的垂心在直角顶点处 C．钝角三角形的垂心在三角形内    D．等腰三角形的内心和外心重合 (3)请仿照小宇的思路证明点和点关于对称． 39．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为________cm． 40．（2024·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图①，在中，，，垂足为．若，，则的长为______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心的位置，并求出的半径；若不可以，请说明理由． 试卷第2页，共50页 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 30.2 三角形的内切圆 目 录 A组 巩固过关 题型01三角形内心的性质 题型02三角形周长、面积与周长的关系 题型03三角形内切圆与外接圆的综合 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 三角形内心的性质题型01 1．（2026·河南商丘·模拟预测）三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别判断三角形四心在任意三角形中的位置，统计满足“任意三角形中都在内部”的心的个数即可得到答案． 【详解】解：内心是三角形内角平分线的交点，任意三角形的内心都在三角形内部； 重心是三角形中线的交点，任意三角形的重心都在三角形内部； 外心是三角形三边垂直平分线的交点，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点，因此外心不满足条件； 垂心是三角形高线所在直线的交点，钝角三角形的垂心在三角形外部，直角三角形的垂心在直角顶点，因此垂心不满足条件． 综上所述，满足条件的心共有种． 2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【详解】解：∵三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点． 3．（25-26八年级上·上海金山·期末）上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心． 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【答案】/10度 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理； 连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图，点为的内心，，则的度数是______． 【答案】/120度 【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理，正确得出是解题关键． 首先求出，然后利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵O是的内心， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 三角形周长、面积与周长的关系题型02 6．一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，构造内切圆半径，三角形边的一半，圆心和顶点连线形成的直角三角形，利用30度直角三角形和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图：等边的内切圆O切于D，连接，则，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：C． 7．（24-25九年级下·上海徐汇·阶段检测）如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内心，三角形内角和定理，读懂题意，熟练掌握三角形内心的判定及性质是解决问题的关键． 过点分别作于，于，于，如图所示，得到点是的内心，即点为三个内角平分线的交点，然后根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：过点分别作于，于，于，如图所示： ∵直线， ∴， ∴点是的内心，即点为三个内角平分线的交点， ∵ ∴ ∴， ∴． 故选：C． 8．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图、三角形的内切圆与内心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，即可得的内切圆． （2）设的内切圆分别与相切于点，连接，由已知条件可得，由此可得的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求． （2）解：设的内切圆分别与，相切于点，，连接，，， 的周长为， ． 的面积为，， ， ， 它的内切圆的半径为． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由三角形的面积求解即可． 【详解】解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、， 是的内切圆，且半径为， ， ， ， 解得， 故选：D． 10．如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积． 【答案】12 【分析】设切点为D，E，F，连接，，，将三角形面积表示为，结合周长可得结果． 【详解】解：设切点为D，E，F，连接，，， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴的面积为： ． 【点睛】本题考查了三角形的面积，内切圆的性质，解题的关键是将面积用三个三角形的和表示． 三角形内切圆与外接圆的综合题型03 11．已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，三角形的内切圆圆心到三条边的距离相等，三角形的外接圆圆心到三个顶点的距离相等，熟记相关结论即可求解.由题意得是直角三角形，设的内切圆半径和外接圆半径分别为，则，直角三角形外接圆圆心为斜边的中点，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 设的内切圆半径和外接圆半径分别为， 则， 解得：； ∵直角三角形外接圆圆心为斜边的中点， ∴ 故选：B 12．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，点O是内心，也是的外心．若，则的度数_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内心的定义，三角形内角和定理，连接，先由三角形内角和定理可得，再由三角形内心的定义可得，则可求出，再由圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点O是内心， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， ∵点O是的外心， ∴， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，，，，若、分别是的内心和外心，则的长为________． 【答案】 【分析】作于点D，作于点F，连接和，可得平分，且垂直平分，及和，点A、点P、点Q、和点共线，进一步求得、和，由，得，利用勾股定理求得即可求得答案． 【详解】解：作于点D，作于点F，连接和，如图， 则， ∵， ∴平分，且垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∵、分别是的内心和外心， ∴点P、点Q、线段都在线段上， 则，，， 在中，，得，解得， 在和中 ∴， ∴， 则， ∵， ∴，解得， 则． 故答案为∶． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、三角形的内心、三角形的外心和全等三角形的判定和性质，结合性质作出所需要的辅助线是解题的关键． 14．在中，，则的外接圆半径R与内切圆半径r的差___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与外接圆，切线长定理．设分别为与内切圆的切点，则，根据勾股定理可求出的长，从而得到R的值，再证明四边形是矩形，根据切线长定理可得，可求出r，即可求解． 【详解】解：如图，设分别为与内切圆的切点，则，    在中，， 由勾股定理得， ∴外接圆半径． ∵分别为与内切圆的切点， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 15． 既是半径为的正△ABC的外接圆，也是等边的内切圆，则等边的外接圆的面积是________ 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、解直角三角形、三角形的内切圆及外接圆，设与相切于点，，，可求得，进而可求得的外接圆的半径． 【详解】设与相切于点，，，连接，，． 根据题意可知，． 在和中 ∴． ∴． ∴． ∴． 根据题意可知为的外接圆的半径， ∴的外接圆的面积． 故答案为： 16．如图，四边形为矩形，点在边上，，与四边形的各边都相切，的半径为，的内切圆半径为，则的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了内切圆的性质和相似三角形的判定与性质，延长，于点，由四边形为矩形，可证，再根据性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：延长，相交于点， ∵与，，均相切， ∴是的内切圆， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 连接，设与的边分别相切于H，M，N，连接O与三边的切点，则， ∴， 同理：， ∴ ∴， ∴， 故选：． 17．（2025·河北石家庄·三模）如图，点I是的内心，点O是的外心，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和外心性质以及三角形的内角和定理，求三角形的外心的性质得到的度数是解决本题的关键． 根据点O是的外心，可求的度数，由内心的性质可得角平分线的性质，再根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：因为点O是的外心，且， 所以， 在中有，， 又因为点I是的内心， 所以为的角平分线，为的角平分线， 所以，， 所以， 所以 ． 故选：C ． 18．（2026·江苏南通·三模）如图，菱形中，对角线、相交于点，的内心与点的距离为，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于E， 作于F，连接，由四边形是菱形，是的内心，求得．．．可得．由，．则可得菱形的面积． 【详解】解：作于E， 作于F，连接， ． 四边形是菱形， ，，． 是的内心， ，． ． ． ． ． ． ，， ． ． ． ． ． 19．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，点为的内心，，，，将平移，使其顶点与点重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键． 连接，，根据点为的内心，可得和分别平分和，再根据平移，使其顶点与点重合，可得，可得角相等，从而得等腰三角形，进而可得图中阴影部分的周长． 【详解】解：如图，连接，， 点为的内心， 和分别平分和， ，， 将平移，使其顶点与点重合， ，， ，， ，， ，， ． 所以图中阴影部分的周长为． 故选：B． 20．如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线以及切线长定理，解决本题的关键是充分利用圆的切线的性质，及圆切线长定理． 根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得，，，，则，所以的周长，代入求出即可． 【详解】解：∵的周长为21，， ∴， 设与的三边的切点为，切于， ， ， ， 故选：B． 21．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段检测）若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 22．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）如图，等边三角形的边长为9，点D、E、F在边上，等边三角形的边长为7，则三角形的内切圆半径为______． 【答案】 【分析】设三角形的内切圆的圆心为点I，过点I分别作，垂足分别为点G，H，K，则，，从而得到，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，设三角形的内切圆的圆心为点I，过点I分别作，垂足分别为点G，H，K，则，， ∴， ∴， ∵等边三角形的边长为7， ∴， ∴，， ∵等边三角形的边长为9， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即三角形的内切圆半径为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查的是三角形的内切圆、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，切线的性质，圆的切线长定理，根据已知得出的长是解题关键． 23．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 24．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形内心的性质，角平分线的定义等，熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理得出，根据折叠的性质和三角形内心的性质得出，平分，平分，求得，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵沿折叠，点恰好与的内心重合， ∴，平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 25．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，三角形纸片的三边之比，是它的内切圆，的三条切线、、分别交的边于点D、E、F、G、M、N，则、、的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定与性质及三角形周长计算．设，，，分别过点O作，，，，，，由切线长定理知，，，分别连接，，，，，，利用“”证明，同理可得，，，，，从而得出，，，，，设，，，将，，的周长分别用含a、b、c的式子表示出来，联立的周长表达式求得，进而得出a、b、c含k的表达式，最终经过计算得出比值． 【详解】解：由题意知，设，，， 如图，分别过点O作，，，，，， 由切线长定理知，从点B引两条切线，，则有， 同理得：，， 分别连接，，，，，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理，易证得：，，，，， ∴，，，，， 设，，， ∴， ， ， ∴，即， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：D． 26．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，为斜边上的中线，若，设与的内切圆半径分别为，则的值为（    ） A．1.25 B．1.125 C．1.1 D．1.2 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内切圆的性质，设的内切圆圆心，切点分别为、、，连接、、、、、，由内切圆可得，，，，则，即可得到，同理可得，再代入计算即可． 【详解】解：设的内切圆圆心，切点分别为、、，连接、、、、、， ∵， ∴，， ∵为斜边上的中线， ∴，， ∵的内切圆圆心，切点分别为、、，的内切圆半径为， ∴，，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故选：B． 27．（2026·湖北武汉·一模）如图，，，，内切圆半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图中A、B、C、D四点共圆，且，可得，因此是圆的直径，进一步可得，同时．先在中用勾股定理求的长度，再在中求出的长度．过点A作于点E，用勾股定理求出的长度，即得的长度。设的内心为点I，内切圆半径为r，过点I作于点F，作于点G，作于点H，则，由，代入的值，即可求出内切圆半径． 【详解】解：连接，∵， ∴，， ∴， ∴是圆的直径． ∴， 在中，，， ∴ ， ∴， ∴ ． 过点A作于点E， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的内心为点I，内切圆半径为r，过点I作于点F，作于点G，作于点H， 则， ∵， ∴， 化简得， 解得． 28．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；根据三角形面积三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半．进行列式计算即可． 【详解】解： 是的内切圆且半径为2，，， ， ， 则的面积为26， 故选：C 29．（2024·广东广州·一模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接．利用切线长定理，可得，从而得到，再由圆周角定理，可得，即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 30． 2023九年级·山东济南·专题练习）如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是的面积与扇形的面积的差，进而即可求解． 【详解】解：如图令，分别交于，， ∵是的内切圆，切点分别为G，D，R， ∴图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积， ∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 31．（2025·湖南株洲·三模）如图，在中，，的角平分线、交于点，则以点为圆心，以_____为半径，可作的内切圆． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形内心的定义，等腰三角形的性质，三角形内接圆，根据题意可得点O是的内心，即点到三边的距离相等，再根据等腰三角形三线合一可得，进而可得当以点为圆心，以为半径，可作的内切圆． 【详解】解：根据题意可得点O是的内心，即点到三边的距离相等， ∵， ∴， ∴当以点为圆心，以为半径，可作的内切圆． 故答案为：． 32．（2025·广东江门·三模）如图，点O是的内心，连接，若的高，则点O到边的距离为：__________． 【答案】3 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、角平分线的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作于点H，因为是的高，所以于点D，由点O是的内心，证明平分，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点H， ∵是的高， ∴于点D， ∵点O是的内心， ∴平分， ∵点O在的平分线上，且于点H，于点D， ∴， ∴点O到边的距离为3， 故答案为：3． 33．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知中，，．请按照题意用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)请在图中作一个能覆盖且面积最小的，则的半径为 ； (2)请在图的纸片中剪出一个面积最大的，则的半径为 ． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， 【分析】（1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求；设线段的垂直平分线交于点，结合等腰三角形的性质可得直线过点，由勾股定理可求得的长；设的半径为，则，在中，由勾股定理得，，代入求出的值即可； （2）分别作和的平分线，相交于点，再过点作的垂线，交于点，以点为圆心，线段的长为半径画圆，则即为所求；为的内切圆，记与相切于点，与相切于点，连接，设的半径为，结合等腰三角形的性质可得直线过点，，由勾股定理可求得的长；根据三角形的面积公式以及，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求． 设线段的垂直平分线交于点， ． ， 为等腰三角形， 直线过点， ． 设的半径为，则． 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 的半径为． 故答案为：； （2）解：如图，分别作和的平分线，相交于点，再过点作的垂线，交于点，以点为圆心，线段的长为半径画圆，则即为所求． 由题意得，为的内切圆， 记与相切于点，与相切于点，连接， 设的半径为， ， 为等腰三角形， 直线过点，， ， ， ， ， 解得， 的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图—复杂作图：作垂直平分线、作角平分线、作垂线，等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆与内切圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 34．（25-26九年级上·江苏常州·期中）“等弦”的探究． (1)如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点到，的距离相等．小红发现延长，交于点，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． (2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，，，的半径为，则的取值范围是_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）小明：根据勾股定理或者全等即可证明；小红：利用等弧所对的圆周角相等，再利用等角对等边即可得证； （2）①利用（1）中小明的结论可知，圆心可到三边距离相等，所以作角平分线的交点即可； ②因为得满足与三边相交，所以找临界值相切时值，再看最短的，就作为另一个临界值． 【详解】（1）解：①选择小明． 理由：如图①，过点O分别作，，垂足分别为E、F，连接、， ∵，且过圆心O， ∴， ∵，且经过点O， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即O到、的距离相等； ②选择小红． 证明：如图①，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②中，即为所求． ∵， ∴， ∴， 当是的内切圆时， 则有， 解得， 当过点时可得， 又因为得满足与三边相交， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，勾股定理的逆定理，圆心角，弧，弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 35．如图，的内切圆与分别相交于点，若． (1)求的长； (2)求的半径． (3)连接，求与围成的劣弧的弧长． 【答案】(1) (2)的半径为 (3) 【分析】本题主要考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角函数及弧长公式，熟练掌握三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角函数及弧长公式是解题的关键； （1）由切线长定理可得，设，则有，进而求解即可； （2）连接，过点A作于点H，由题意易得，设，则，然后根据勾股定理可得，进而根据等积法可进行求解； （3）如（2）的解图，由（2）可知：，，的半径为，然后可得，则有，进而根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】（1）解：∵是的内切圆， ∴， 设，且， ∴，解得：， ∴； （2）解：连接，过点A作于点H，如图所示： 由题意得：， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， 同理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径为； （3）解：如（2）的解图： 由（2）可知：，，的半径为， ∴， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴与围成的劣弧的弧长为． 36．已知内接四边形中，平分． (1)如图1，若相交于E，求证：． (2)如图2，连接交于F．若，求的半径． (3)如图3，若为直径，，求的内心与点O的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与外接圆综合，圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由同弧所对的圆周角相等可得，则，再由角的和差关系和三角形外角的性质可证明结论； （2）连接，先证明，由垂径定理得到，由勾股定理得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）过点D作交延长线于E，于H，可求出，则，可证明是等腰直角三角形，得到，则可求出，；证明四边形是矩形，得到，；证明，得到，则，；设的内心为I，设分别与相切于D、E、F，连接，根据，可求出；再证明四边形是矩形，得到，则，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，即的半径为； （3）解；如图3所示，过点D作交延长线于E，于H， ∵为直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，； ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4所示，设的内心为I，设分别与相切于D、E、F，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的内心与点O的距离为． 37．（2026·陕西西安·模拟预测）提出问题以及解决问题： (1)问题提出 如图1，在直角中，，是的内切圆，若的半径是1，则的斜边长为 ． (2)问题解决 小方的爸爸是一位翡翠设计师，一位顾客想将一块如图2所示的四边形原石进行切割设计．顾客首先需要切割出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计．由于该原石成色最好的部分在附近区域，所以玉镯要尽可能贴着边和边，观察到和的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不能经过边和边．根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进行后期精细化打磨．为了最大限度地利用该石材，切割出的（点A在上，点C在上），应使得尽可能短，同时的周长和面积尽可能的小．经过测量，，，根据顾客的需求，手镯的内圈直径为，外圈直径为，即小圆的直径为，大圆的直径为 请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在和上的点A和点C使得覆盖大圆的周长取得最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出的周长及面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】（1）利用直角三角形内切圆半径公式即可得解； （2）参照（1）中思路可得，所以要使的周长最小，则求最小值即可，由，识别定角定高模型，进而作的外接圆求解即可． 【详解】（1）解：如图，内切圆圆心为O，过O分别作的垂线段，垂足分别为D、E、F，连接，则， ， 设，则，， 由内切圆可得，， ，， ， ， 解得， ，即斜边长为， 故答案为：； （2）解：由题意可知大与相切，如图，过O作的垂线段，垂足分别为M、N、P，连接， 大的直径为， ， ， ，， ， ，， ， 要使的周长最小，则求最小值即可， 如图，作的外接圆，连接，过Q作于点H， ， ， 设，则，， ， ， ， ，即当时，有最小值， 此时， 【点睛】本题主要考查三角形的内切圆、三角形的外接圆、定角定高模型等内容，最后一问对定角定高模型的掌握是解题的关键． 38． 24-25九年级上·山西大同·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务 探究三角形的特殊点 通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获． 定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点． 性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上． 如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点． 求证：点分别是点关于边的对称点． 证明：如图，连接． ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（依据）， ∴， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 任务： (1)上面日记中“依据”指的是 ； (2)下列说法正确的是 ； A．锐角三角形的垂心在三角形外    B．直角三角形的垂心在直角顶点处 C．钝角三角形的垂心在三角形内    D．等腰三角形的内心和外心重合 (3)请仿照小宇的思路证明点和点关于对称． 【答案】(1)同弧或等弧所对的圆周角相等 (2)B (3) 证明：如图所示，连接，设于交于点， ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（同弧或等弧所对圆周角相等）， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点与点是对应点， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 【分析】本题主要考查三角形与圆的综合，掌握垂心，内心，外心的定义，同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键． （1）根据图示可得与所对的弧均是，由此即可求解； （2）根据垂心的定义，内心的定义，外心的定义进行判定即可求解； （3）根据材料提示方法证明即可． 【详解】（1）解：根据图示可得，与所对的弧均是， ∴依据是：同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）解：根据图示可得， A、锐角三角形的垂心在三角形内部，故原选项错误，不符合题意； B、直角三角形的垂心在直角顶点处，正确，符合题意； C、钝角三角形的垂心在三角形外，故原选项错误，不符合题意； D、等腰三角形的内心是角平分线的交点，等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，不一定重合，故原选项错误，不符合题意； 故选：B； （3）略 39．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为________cm． 【答案】 【分析】连接，作的平分线交于点 ，作于 ，如图求得 ，则 ， ，所以平分 和 ，加上平分 ，根据角平分线性质得到点到四边形的各边的距离相等，则得到是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为，接着证明为等腰直角三角形得到，设，则，，然后证明 ，利用相似比可计算出． 【详解】解：连接，作的平分线，交于点O，作 于， 在和 中， ， ∴， ∴ ， 平分 和 ， 平分 ， 点到四边形的各边的距离相等， ∴是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则，， ∵，， ∴， ， 即 ， ． 即的半径为， ∴圆形纸片的半径为． 故答案为： 【点睛】本题考查四边形的内切圆，角平分线的性质，相似三角形的判定及性质，证明该四边形的内切圆是所求的面积最大的圆是解题的关键． 40．（2024·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图①，在中，，，垂足为．若，，则的长为______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心的位置，并求出的半径；若不可以，请说明理由． 【答案】（1） （2）可以， ∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆， ∴所求圆的圆心是的内心， 作和的平分线交于点，则点就是裁出的最大圆型部件的圆心的位置， 的半径为． 【分析】（1）首先根据勾股定理求出的长度，然后利用等面积法求解即可； （2）根据三角形内最大的圆是三角形的内切圆可求出点的位置；作和的平分线交于点，则点就是裁出的最大圆型部件的圆心的位置，过点作于，于，于，连接，过点作于，设，的半径为，则，利用勾股定理解得，易得，再求得，然后根据求得的值，即可获得答案． 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 故答案为：； （2）设，的半径为， ∵，，， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点为的内心 ∴， 又∵， ∴， 即， 解得， 即的半径为． 【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆和三角形的内心、勾股定理，理解三角形的内切圆是三角形内最大的圆，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式法进行计算是解题的关键． 试卷第2页，共50页 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $