第一章 三角形证明及其应用暑假复习专题 2025-2026学年数学八年级下册北师大版

**基本信息** 暑假复习专题试卷聚焦三角形证明及应用，通过选择、填空、解答题梯度设计，强化推理能力与几何直观，适配初中数学暑假巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|直角三角形判定（第1题）、垂直平分线性质（第6题）|基础题巩固概念，如第1题用勾股定理逆定理判断直角三角形| |填空题|6题|多边形内角和（第3题）、特征三角形（第16题）|结合生活情境，如第3题剪三角形变四边形内角和变化| |解答题|8题|等边三角形证明（第20题）、几何变换（第24题）|综合题融合多知识点，如24题对称点应用培养空间观念，20题等边三角形证明强化推理能力|

暑假复习专题：第一章三角形证明及其应用 一、单选题 1.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,C,下列不能判断△ABC是直角三角形的是() A.a2=b2-c2 B.∠A:∠B:∠C=1:1:3 C.d2:b2:c2=9:16:25 D.∠A-∠B=∠C 2.如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，DE∥BC.若∠A=63°，∠AED=55°，则∠B 的大小为() A.54 B.62 C.64° D.74° 3.琪琪将△ABE剪掉△DCE后得到四边形ABCD,则变成四边形后内角和() B A.增加360° B.增加l80° C.不变 D.减少180° 4.四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠B=∠D=90°，BC=1,CD=2,则对角线AC的长为() D 21 2V21 5v21 A.V21 B.3 C.3 D.3 5.如图，四边形ABDC中，∠DAB=∠DAC=20°，∠ABD=I14°，∠CBD=66°，则∠BCD的度数为 () 第1页，共3页 B A.40° B.44 C.46° D.48 6.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,若ED=3cm,则EC的长 为() D A.6cm B.5cm C.3cm D.8cm 7.如图，在△ABC中，∠C=100°，DE垂直平分AB,分别交AB、BC于点D、E,连接AE,若 ∠EAB=2∠CAE,则∠B的度数为() E B A.16° B.32° C.26° D.30 8.如图，△ABC中，B0、C0分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于(). A.110° B.115o C.120° D.130° ).如图，直角坐标系中，点1(-22)、B(0),点P在x轴上，且△PMB为等腰三角形，则满足条件的点 P共有()个. 第2页，共3页 --- B A.5 B.4 C.3 D.2 I0.如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A,C,B三点共线，AE与BD相交于点P,AE与BD分别与 CD,CE交于点M,N.有下列结论：①△ACE≌ADCB;②DC∥EB;③CM=CN;④EM=BN;⑤ ∠CMN=60°.其中正确结论的个数是(） A.1 B.2 C.3 D.5 二、填空题 11.如图，点A,C,B,D在同一条直线上，BEIDF,∠A=∠F,AB=FD.若∠FCD=30°， ∠A=80°，则∠DBE的度数为°. E D B C 12.如图，△ABC中，CD是边AB上的高，∠BCD=30°，∠ACB=80°，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB 的度数为 B 13.如图，在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AB=AF,CB=CD,则∠DBF的度数为 第3页，共3页 A B E D 14.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=21°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径 作弧，分别交边AC,AB于点D,E;②保持半径不变，以点B为圆心作弧，分别交边BC,BA于点G, F;③以点F为圆心，DE长为半径作弧，交弧GF于点H;④连接BH并延长交AC于点M,则∠CBM 的度数为. B 15.如图，∠A+LB+∠C+∠D+LE+∠F= D B 16.当三角形中一个内角“是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中内角“称为 “特征角”.如果一个钝角三角形是“特征三角形”，其中一个内角为42°，那么这个“特征角”的度 数为 三、解答题 17.如图，在Rt△ABC中∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D,AP平分∠BAC交BD于点P. B (I)求∠APD的度数； (2)若∠BDC=58°，求∠BAP的度数. 第4页，共3页 18.如图，AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D. M (1)若∠A=40°，求∠DBC的度数： (2)若AB=30cm,BC=18cm,求△DBC的周长. 19.如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,AF平分∠CAB交CD于点E,交BC于点F. E D (I)试说明∠CEF=∠CFE. (2)若∠B=50°，求∠AEC的度数. 第5页，共3页 20.如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，连接CD,过点C作CE⊥BC,过点A作EF∥CD, CE、EF交于点E,连接DF、BE,BE交CD于点G. E B (I)求∠DCE的大小： (2)求证：△CEG是等边三角形. 21.已知△ABC中，BE平分∠ABC,BE交AC于点E,CD平分∠ACB,交AB于点D,BE与CD交于点 图1 图2 (1)如图1.求证：∠B0C=90+)∠BAC: (2)如图2，连接OA,求证：OA平分∠BAC 第6页，共3页 22.如图，点F,G分别在△ADE的AD,DE边上，C,B依次为GF延长线上两点，AB=AD, ∠BAF=∠CAE,∠B=∠D. (I)求证：BC=DE: (2)若∠B=35°，∠AFB=78°，求∠DGB的度数，并直接写出当∠CAB=_时，DE‖AC. 23.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=I20°，AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB,∠EDF=60°，其两边 分别交边AB,AC于点E,F (1)求证：△ABD是等边三角形； (2)求证：AE+AF=AD 第7页，共3页 24.己知△ABC中，∠BAC=&,点D在BC上，连接AD. 图1 图2 图3 (I)设a=120°，AD平分∠BAC,点E在射线AD上，连接BE. ①如图1，若AB=BE,试说明BE∥AC: ②如图2，若∠EBC=60°，试说明AE=AB+AC; (2)如图3，若a=90°，AB=AC,作点C关于射线AD的对称点C',连接BC'并延长交射线AD于点F, 连接CF,若CF=3,△ACF的面积为7，求BF的长. 第8页，共3页 参考答案 题号 2 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 B B B B A B B B D 1.B 【分析】利用三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐一判断各选项能否推出△ABC是直角三角形即可. 【详解】解：A选项：a2=b2-c2, .a+c2=b,符合勾股定理的逆定理，能判断△ABC是直角三角形，故A不符合题意； B选项：，∠A:∠B:∠C=1:1:3,三角形内角和为180°， 3 “最大角∠C=180×1+1+3108°，AABC是钝角三角形，不能判断是直角三角形，故B符合题意： C选项：：：c=9:16:25,i设0=9k,=16k,c=25k(k>0) .a2+b2=9k+16k=25k=c2,符合勾股定理的逆定理，能判断△ABC是直角三角形，故C不符合题意； D选项：∠A-∠B=∠C, ∠A=∠B+∠C, ,三角形内角和为180°， ∴.∠A+∠B+∠C=180° .∠A+∠A=180°， ∴.∠A=90° ∴，△ABC是直角三角形，故D不符合题意. 2.B 【分析】根据平行线的性质和三角形内角和定理进行解答即可， 【详解】解：，DE∥BC, .∠C=∠AED=55°」 .∠A=63」 .∠B=180°-∠A-∠C=62° 3.B 【分析】根据多边形内角和公式，求出三角形和四边形的内角和，求出它们的差，进行判断即可. 【详解】解：△ABE的内角和为180°， 答案第1页，共2页 四边形ABCD的内角和为 4-2)×180°=360° 变成四边形后内角和增加了360°-180°=180° 4.C 【分析】延长DC交AB的延长线于点K,求出∠K=90°-∠DAB=30°，根据直角三角形的性质可得 AK=2AD,DK=V3AD,CK=2BC=2,从而得到DK=4,进而得到 D=4 3,再由勾股定理解答即 可 【详解】解：如图，延长DC交AB的延长线于点K, D B 在Rt△ADK中，∠DAB=60°，∠D=90°， .∠K=90°-∠DAB=30°， .'AK 2AD, DK=AK2-AD=AD ,∠ABC=90°」 .∠CBK=90°， .BC=1, .CK=2BC=2, .CD=2, .DK=4, v3D=4,即0-4 3 AC=AD2+CD2 4v5 +22=227 3 3· 5.B 答案第2页，共2页 【分析】作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,DG⊥BC于G,根据角平分线的性质定理得到 DF=DE=DG,可知CD平分∠BCF,即2BCD-BCF,根瓶三角形外角的性质求出∠BCr的值即可. 【详解】解：如图，作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,DG⊥BC于G, F C G B .∠DAB=∠DAC=20°， ∴.AD平分∠BAC, DE⊥AB,DF⊥AC, .DF=DE. .∠ABD=114°， ∴.∠EBD=180°-∠ABD=66°， .∠EBD=∠CBD, .BD平分∠CBE, DE⊥AB,DG⊥BC, .DG=DE .DG=DF, :DF⊥AC,DG⊥BC, .CD平分∠BCF, &<80-号cr, .∠DAB=∠DAC=20°，∠ABD=114°，∠CBD=66°， .∠BAC=∠DAB+∠DAC=40°，∠ABC=∠ABD-∠CBD=114°-66°=48°， .∠BCF=∠BAC+∠ABC=40°+48°=88°， :∠BCD=】∠BCF=440 2 6.A 【分析】本题考查垂直平分线的性质，30°角的直角三角形的对边等于斜边的一半，解题关键是理解这些 答案第3页，共2页 图形的性质， 【详解】DE是BC的垂直平分线， :.EC=EB,∠EDB=90° ∠B=30°，ED=3cm, ∴.EB=2ED=6cm, 即EC=6cm, 7.B 【分析】根据三角形内角和定理得出∠CAB+∠B=80°，根据垂直平分线的性质得出EA=EB,根据等边 对等角得出∠EAB=∠B,进而得出2∠B+∠B+∠B=80°，即可求出∠B的度数. 【详解】解：，在△ABC中，∠C=100°， .∠CAB+∠B=180°-∠C=180°-100°=80°， ,DE垂直平分AB, .EA=EB, ∴.∠EAB=∠B, .∠EAB=2∠CAE. :∠CAMB=)∠EAB=∠B 2 2 :.∠CAB+∠B=∠CAE+∠EAB+∠B=∠B+∠B+∠B=80° 解得：∠B=32°」 8.B 【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=130°，再由角平分线的定义可得 ∠OBC+∠0CB=(∠ABC+LACB)=65°，即可求解. 2 【详解】解：∠A=50°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130° :BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线， &20c=∠ABC,∠0cB=24CB, 2 答案第4页，共2页 :∠0C+∠0B-ABc+3ACB-(∠ABc+Z4ca)=65. ∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)=115° 9.B 【分析】根据等腰三角形的定义分三种情况求解判断即可. 【详解】解：，△PAB为等腰三角形， ∴，当PA=PB时，此时点P为AB的垂直平分线和x轴的交点，有1个： 当AP=AB时，以点A为圆心，AB为半径画弧，与x轴有两个交点，故此时点P有2个： 当BA=BP时，以点B为圆心，AB为半径画弧，与x轴有两个交点，其中一个交点与A,B共线，围不成 三角形，应舍去，故此时点P有1个： 综上所述，满足条件的点P共有4个. 10.D 【分析】利用等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可. 【详解】解：①，△DAC和△EBC均是等边三角形， .AC=DC,CE=CB,∠ACD=∠ECB=∠CBE=60° ∴.∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE. 即∠ACE=∠DCB, .△ACE≌△DCB,故①正确，符合题意： ②·△DAC和△EBC均是等边三角形， ∴.∠ACD=∠ECB=60° ∴.∠DCE=180°-∠ACD-∠ECB=60° ∴.∠DCB=∠DCE+∠ECB=120°. .∠DCB+∠CBE=120°+60°=180°， .DC∥EB,故②正确，符合题意： ③由①得△ACE≌△DCB, ∴.∠CEM=∠CBN. 由②得∠MCE=∠NCB=60°， 又CE=CB, 答案第5页，共2页 △MCE≌ANCB(ASA) ∴CM=CN,故③正确，符合题意： △MCE≌aNCB(ASA) ④由③得 ∴.EM=BN,故④正确，符合题意： ⑤由③得CM=CN,由②得∠DCE=60°， .△MCN为等边三角形， .∠CMN=60°，故⑤正确，符合题意； 故①②③④⑤五个结论全部正确. 11.110 【分析】由BEIIDF得∠ABE=∠D,结合己知可证△ABE≌aFDC(ASA),得∠E=∠FCD=30°，根据三角 形的外角性质得∠DBE=∠E+∠A,代入计算即可. 【详解】解：，BEDF, ∴.∠ABE=∠D, 在△ABE和△FDC中， I∠F=∠A DF=AB ∠D=∠ABE' .△ABE≌△FDC(ASA). .∠E=∠FCD=30° ∴.∠DBE=∠E+∠A=30°+80°=110° 12.100° 【分析】先根据角的和差关系求出∠ACD的度数，再在R1△ADC中，利用三角形的内角和定理求出∠CAB 结合角平分线的定义求出∠CAE，最后根据三角形的内角和定理求解. 【详解】解：∠BCD=30°，∠ACB=80°， ∴.∠ACD=∠ACB-∠BCD=50° CD是边AB上的高， ∴.∠ADC=90° 答案第6页，共2页 .∠CAB=180°-∠ADC-∠ACD=40°， :AE是∠CAB的平分线， ∠CE-3<C4B=20, .∠AEC=180°-∠CAE-∠ACB=180°-20°-80°=80°， .∠AEB=180°-∠AEC=100°」 13. 45° 【分析】三角形的内角和定理求出∠A+∠C=90°，等边对等角，结合平角的定义，进行求解即可 【详解】解：，在RtAACE中，∠AEC=90°， .∠A+∠C=90°， AB=AF,CB=CD. &ABF=∠AFPB=080-到=90A,∠cBD=∠CDB=080-∠C)=0-<C, :∠DBF=180°-∠ABF-∠CBD=∠A+∠C=45 14.48°148度 【分析】由作图可知，ABM=∠A=21°，再由∠C=90°，即可求解. 【详解】解：由作图可知，∠ABM=∠A=21°， .∠C=90° .∠CBM=90°-∠A-∠ABM=90°-21°-21°=48° 15.360 【分析】连接AD,根据三角形内角和定理及对顶角相等得到∠E+∠F=∠OAD+∠ODA,进而将 ∠BAO+∠B+∠C+∠CDO+∠E+∠F转化为四边形内角和计算即可. 【详解】解：如图，连接AD, D .∠E+∠F+∠EOF=∠OAD+∠ODA+∠DOA,∠EOF=∠DOA, .∠E+∠F=∠OAD+∠ODA, 答案第7页，共2页 :.∠BAO+∠B+LC+∠CDO+∠E+∠F =∠BAO+∠B+∠C+∠CDO+∠OAD+∠ODA =∠BAO+∠OAD+∠B+∠C+∠CDO+∠ODA =∠BAD+∠B+∠C+∠CDA =360° 16.42°或92° 1 【分析】设三角形三个内角为a,2“，B,已知一个内角为42，分三种情况讨论后，结合钝角三角形 的条件筛选符合要求的结果， 1 【详解】解：设三角形的三个内角分别为a,2“,B, 当a=42时，则2a=21°， .B=180°-42°-21°=117° 此时三角形是钝角三角形，符合题意： 1 当20=42°时，则a=840, .B=180°-42°-84°=54° 此时三角形是锐角三角形，不符合题意： 当B=42°时， .a 2a=180°-42，解得：a=920, 此时三角形是钝角三角形，符合题意： 综上：a=42°或92° 17.(1)45° (2)13 【分析】(1)先利用三角形内角和定理，得出∠ABC+∠BAC=90°，再由角平分线的定义得到 ∠BAP+∠ABP=45°，然后根据三角形外角的性质得出∠APD=∠BAP+∠ABP,即可求解： (2)先利用三角形内角和定理的推论，得出∠DBC=32°，再由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC=32° 然后根据三角形外角的性质得出∠BAP=∠APD-∠ABD,即可求解. 答案第8页，共2页 【详解】(1)解：∠C=90°， .∠ABC+∠BAC=90°， (BC+ABC)-45 :BD平分∠ABC,AP平分∠BAC, ZDAP+LADP-ZC+AC-(DAC+ZARC)-45 2 2 .∠APD=∠BAP+∠ABP=45°： (2)解：∠BDC=58 .∠DBC=90°-∠BDC=32°， .BD平分∠ABC, .∠ABD=∠DBC=32° .∠BAP=∠APD-∠ABD=45°-32°=13° 18.(1)30° (2)48cm 【分析】(1)根据等边对等角及三角形内角和定理得出∠ABC=∠C=70°，利用垂直平分线的性质得出 AD=BD,再由等边对等角得出∠ABD=∠A=40°，结合图形即可求解： (2)根据垂直平分线的性质和三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可. 【详解】(1)解：，AB=AC, .∠ABC=∠C. :∠A=40°， ∠ABC=∠C=180°-40 =70° 2 ,AB的垂直平分线MN交AC于点D, .AD=BD, ∴.∠ABD=∠A=40°， .∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°： (2)解：：AD=BD,AB=AC,AB=30cm, .'BD+CD=AD+CD=AC=AB=30cm. ..BC=18cm, 答案第9页，共2页 C.DRC BD+CD+BC=30+18=48(cm) 即△DBC的周长为48cm. 19.(1)解：.CD⊥AB, ,∠ADC=90° .∠AED=90°-∠BAF, .∠ACB=90° .∠CFE=90°-∠CAF. ,AF平分∠CAB .∠CAF=∠BAF .∠AED=∠CFE, .∠CEF=∠AED. .∠CEF=∠CFE. (2)110° 【分析】(1)根据余角的性质可得∠AED=∠CFE,即可解答： (2)先求出∠CAB的度数，再结合角平分线的定义可得∠EAB的度数，再根据三角形外角的性质，即可 求解。 【详解】(1)略 (2)解：∠B=50°， .∠CAB=90°-50°=40°， :AF平分∠CAB 1 .∠EAB=5∠CAB=20° 2 ,CD⊥AB, .∠ADC=90° .∠AEC=∠EAD+∠ADC=-20°+90°=110° 20.(1)60° (2)证明：△ABC是等边三角形，D为AB中点， :CD⊥A8,∠BCD=∠ACD-ACB,∠ACB=∠ABC-6,AB=BC, ∴.∠BCD=∠ACD=30° 答案第10页，共2页 :CE⊥BC, ∴.∠BCE=90° .∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-30°=60°，∠ACE=∠BCE-∠ACB=90°-60°=30° :EF∥CD,∠ACD=30 ·∠CAE=∠ACD=30°=∠ACE, .AE=CE, 在△BAE和△BCE中， BA=BC BE=BE AE=CE' ∴.△BAE≌△BCE(SSS) .∠CBE=∠ABE. :∠ABC=60°， :∠CBE=30° :∠BCD=30°， ∴.∠BGC=180°-∠CBE-∠BCD=120°， ∠CGE+∠BGC=180°， .∴.∠CGE=60° :∠DCE=60°， ∴.△CEG中，∠CGE=∠DCE=60°， ∴.EG=CE .∠DCE=60°， :△CEG是等边三角形， 【分析】(1)利用等边三角形三线合一求出∠BCD=30°，结合CE⊥BC得到∠BCE=90°，通过角的差 计算∠DCE. (2)先沿用()的结论得到∠DCE=60° BAE≌△BCE(SSS), ，证明 得到∠CBE=∠ABE,算出 ∠CBE=30°=∠BCD:利用三角形内角与邻补角求出∠CGE=60°，结合∠DCE=60°判定CG=CE,最终 证明aCEG为等边三角形. 【详解】(I)解：△ABC是等边三角形，D为AB中点， 答案第11页，共2页 .CD⊥AB, ZBCD= ∠ACB，,∠ACB=60°， ∠BCD=30°， CE⊥BC, .∴.∠BCE=90° ∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-30°=60°： (2)略 21.(I)证明：BE平分∠ABC,CD平分∠ACB, :设∠ABE=∠CBE=AC=a,∠ACD=∠BCD-号ACB=A, ∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2a-2B∠BOC=180°-∠CB0-∠BC0=180°-a-B ∠B0C=90°+5∠BAC: 2 (2)证明：过O作OF⊥AB于点F,作OG⊥BC于点G,作OH⊥AC于点H, E DA 平分 B G 图2 BE ∠ABC .0F=0G. :CD平分∠ACB, :.OG=OH, .:.OF=OH ∴OA平分∠BAC, 【分析】(1)根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到∠B4C=180°-2a-2p, ∠BOC=180°-a-B 即可得到结论： (2)过O作OF⊥AB于点F,作OG⊥BC于点G,作OH⊥AC于点H,根据角平分线的性质得到 OF=OG,OG=OH,则OF=OH.根据角平分线的判定即可得到结论。 【详解】(1)略 答案第12页，共2页 (2)略 22.(1)证明：∠BAF=∠CAE, ∴.∠BAF-∠FAC=∠CAE-∠FAC. ∴.∠BAC=∠FAE AB=AD,∠B=∠D, .△ABC≌△ADE(ASA) ∴，BC=DE, (2)67°：32° 【分析】(I)先由∠BAF=∠CAE,得∠BAC=∠FAE,又因为AB=AD,∠B=∠D,即可证明 △ABC≌AADE(ASA) (2)由∠D=∠B=35°，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得∠DGB=67°，根据DE‖AC,故 ∠ACG=∠DGB=67°，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答. 【详解】(1)证明：略 (2)解：∠B=35°， .∠D=∠B=35°」 :∠GFD=∠AFB=78°， .∠DGB=180°-∠GFD-∠D=67° .DEl AC ∴.∠ACG=∠DGB=67° .:∠CAB=∠ACG-∠B=67°-35°=32°（三角形外角性质）. 23.(I)证明：AB=AC,AD⊥BC, 1 :∠BAD=∠DAC=2∠BAC, :∠BAC=120° :∠BAD=∠DAC=1x120°=60° 2 AD=AB △ABD是等边三角形： 答案第13页，共2页 (2)证明：：△ABD是等边三角形， ∴.∠ABD=∠ADB=6O°，AB=BD=AD ∠EDF=60°， .∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE,即∠BDE=∠ADF. 在△BDE与△ADF中， ∠DBE=∠DAF=60° BD=AD ∠BDE=∠ADF .△BDE≌AADF(ASA) ∴.AF=BE, ..AE+AF=AE+BE=AB=AD 【分析】(I)首先由等腰三角形的性质和己知条件得出∠BAD=60°，再由AD=AB,即可得出△ABD是等 边三角形： (2)由△ABD是等边三角形可得∠ABD=∠ADB=6O°，BD=AD,进而得出∠BDE=∠ADF,然后由ASA 证明△BDE≌△ADF,最后可得BE=AF. 【详解】(1)略 （2)略 24.(1)证明：①：∠BAC=a,a=120°，AD平分∠BAC, LBAE-ZEAC-7ZBAC-60 AB=BE, ∴.△ABE是等边三角形， .∠E=60° ∴.∠E=∠EAC, .BE∥AC: ②如图，在AE上取一点H,使AH=AB,连接BH, 答案第14页，共2页 图2 由(1)知∠BAE=60°. ∴.△ABH是等边三角形， .BH=BA=AH,∠BHA=60」 ∴.∠BHE=180°-∠BHA=120°=∠BAC. ·∠BDE=∠ADC,∠EBC=∠EAC=6O°」 .180°-∠BDE-∠EBC=180°-∠ADC-∠EAC, 即∠E=∠C, 在△BHE和△BAC中， [∠BHE=∠BAC ∠E=∠C BH=BA ∴△BHE≌ABAC(AAS) ∴HE=AC .AE=AH +HE=AB+AC, 9 (2)3 【分折】山①报据角平分线的定义得∠B4E=∠五4C-BMC=6心，结合B5证明MBE是等边 三角形，推出∠E=60°=∠EAC,即可证明BE∥AC;②在AE上取一点H,使AH=AB,连接BH,构 造等边△ABH,再证△BHE≌△BMC(AAS),推出HE=AC,可得AE=AH+HE=AB+AC: (2)连接AC,作AM⊥BF于点M,AN⊥FC交FC的延长线于点N,由轴对称的性质得AC'=AC, PC-FRC=3∠PAC=∠FP4C-∠C4C,Sc=Sc=7,根据三角形面积公式计算出 答案第15页，共2页 AM-AN=2SL-14 FC =;,根据等腰三角形三线合一推出MC-MB,∠M1C=∠MB=2 ∠BAC,进而证 明aMMF是等腰直角三角形，推出M=MF=14 3,即可求解。 【详解】(1)①略.②略. (2)解：如图，连接AC',作AM⊥BF于点M,AN⊥FC交FC的延长线于点N, M 点与关于射线 对称， 图3 CC AD .ACC PCC3 FAC-FAC-CC 2 FC'.AM=FC.AN -7 2 .AM=AN=2Se=2×714 FC=3=3, AB=AC,AC"=AC, .AC'=AB. AM⊥BF, :MC'=MB, ∠MAC'=∠MAB=,∠BAC, 2 MCFAC-BCCC-C-5 2 2 2 ∴△AMF是等腰直角三角形， AM =MF = 、MC'=MF-FC'=14 5 3= 3 3 MB =MC, .BF=BM+M=+14_I9 333· 答案第16页，共2页 答案第17页，共2页