第一章 三角形的证明及其应用 重点易错题-【红卷】2025-2026学年八年级下册数学期末复习方案（北师版）

重难易错90题 第一章 三角形的证明及其应用 △EBD的面积为 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根据尺规 E 作图的痕迹，判断以下结论错误的是( A.33 33 B C D③ 8 8 B 6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE A.∠BDE=∠BAC B.∠BAD=∠B 是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G,交 C.DE=DC D.AE=AC BE于点H,下面说法正确的是 () 2.若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的 ①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠AFG 周长为 =∠AGF:③∠FAG=2∠ACF:④BH=CH。 A.9 B.7 C.12 D.9或12 3.如图，∠ABD,∠ACD的角平分线交于点P,若 ∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为() A.①②③④ B.①②③ C.②④ D.①③ 7.如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢 A.15°B.20° C.25° D.30° 架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P4=P14A,则 4.如图所示，在△ABC中，AB=AC,过AC上一点 ∠A的度数是 作DE⊥AC,EF⊥BC,若∠BDE=140°，则∠DEF P Pio PoPs P P P13 Pn Ps PoPi 8.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠DCB =30°，AD=2,BC=4,E为AD的中点，连接 A.55° B.60° C.65° D.70° BE,CE,则△BEC面积的最小值为 5.如图所示，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 120°，BC=2V3,D为BC的中点，DE⊥AB,则 王心童《红卷》 八年级数学BS版下册 9.如图是“赵爽弦图”，△ABH,△BCG,△CDF和12.如图，OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线， △DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 垂足分别为E、F,且AB=CD,∠ABD=116°， 和EFGH都是正方形，如果AB=10,且AH: ∠CDB=28°，则∠OBD= AE=3:4。那么AH等于 D 13.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=40°。 10.清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》 (1)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交 中利用三个正方形出入相补的方法证明了 BC于点D; 勾股定理。如图，在Rt△ABC中，∠ACB= ②连接AD,作∠CAD的平分线交BC于 90°，分别以AB,AC和BC为边，按如图所示 点E;(要求：保留作图痕迹，不写作法) 的方式作正方形ABKH,ACIG和BCFD,KH （2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数。 与CI交于点J,AB与DF交于点E。若四边 形BCFE和△HIJ的面积和为5，四边形 ACJH和△BDE的面积和为12，则AC+BC的 值为 11.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交 BC、AC于点D、G,AB的垂直平分线分别交 BC、AB于点E、F,连接AD、AE,若CAADE= 13,DE=2,则BC= D 王心童《红卷》· 2 ·八年级数学BS版下册 14.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC15.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB= 和BC,交AB于M、N两点，DM与EW相交于 4cm,动点P、Q同时从A、B两点出发，分别 点F。 在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为 (1)若△CMW的周长为15cm,求AB的长； Vp=2cm/s,Vo=1cm/s,当点P到达点B (2)若∠MFN=70°，求∠MCN的度数。 时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动 时间为ts。 (1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ (2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ B→Q 红 王心童°《红卷》·3 ·八年级数学BS版下册 16.【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分17.如图1和图2，在四边形ABCD中，∠BAD= 线与∠ACB的平分线相交于点P。 a,∠BCD=180°-a,BD平分∠ABC。 (1)若∠ABC=80°，∠ACB=50°，则∠A= (1)如图1，若=90°，根据教材中的一个重 ∠P= 要性质直接可得DA=CD,这个性质是 (2)∠A与∠P的数量关系为 ,并说明理由。 (2)问题解决：如图2，求证AD=CD; 【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分 (3)问题拓展：如图3，在等腰△ABC中， 线与∠ACB的平分线相交于点P。∠ABC的 ∠BAC=100°，BD平分∠ABC,求证： 外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于 BD+AD=BC。 点Q。直接写出LA与∠Q的数量关系为 图1 图2 图3 图① 图② 王心童《红卷》·4 ·八年级数学BS版下册 18.【概念认识】 第二章 不等式与不等式组 如图①，若∠ABD=∠DBE=∠EBC,则BD 19.若(m+1)xm*21+4<0是关于x的一元一次不 BE叫作∠ABC的“三分线”。其中，BD是 等式，则m的值为 “邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”。 A.-1 B.-3 C.-2 D.-3或-1 20.已知a<b,下列式子不一定成立的是（) A.a-1<b-1 B.-2a>-2b ② C.2a+1<2b+1 D.m2a>m2b 21.如果(a+1)x<a+1的解集是x>1,那么a的 B 取值范围是 ( A.a<0 B.a<-1 【问题解决】 C.a>-1@ D.a是任意有理数 (1)如图②，在△ABC中，∠A=80°，∠B= 22.推进中国式现代化需夯实农业基础，振兴乡 45°，若∠B的三分线BD交AC于点D, 村。某合作社发展乡村水果网络销售，购进 求∠BDC的度数； 脐橙1000kg,收购单价为10元/kg。已知 (2)如图③，在△ABC中，BP、CP分别是 运输和仓储中脐橙质量损失4%，为保证至 ∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三 少获得20%的利润，设销售单价为x元/kg, 分线，且∠BPC=140°，求∠A的度数； 则可列不等式为 （) 【延伸推广】 A. 1000×(1-4%)(x-10）≥20% 1000×10 (3)在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角， ∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三 B.1000x(1-4%)x-10x100≥20% 10×1000 分线所在的直线交于点P。若∠A=m C.1000x(1-4%)(x-10) 20% 1000×10 (m>54),∠B=54°，直接写出∠BPC的 度数。（用含m的代数式表示） D 1000x(1-4%)x-10x100020% 10×1000 3x-1<4(x-1), 23.已知关于x的不等式组 无 x<m 解，则m的取值范围是 A.m≤3 B.m>3 C.m<3 D.m≥3 王心童《红卷》 八年级数学BS版下册参考 重难易错90题 第一章三角形的证明及其应用 1.B2.C3.B4.C5.B6.B 7.12°8.23-29.610.√4211.912.44° 13.解：(1)如图，直线DF,射线AE即为所求。 (2)DF垂直平分线段AB, .DB=DA, ∴.∠DAB=∠B=30°。 ∠C=40°， .∠BAC=180°-30°-40°=110 .∴.∠CAD=110°-30°=80°。 .AE平分∠DAC, 太∠DAB=)∠DAC=40。 14.解：(1)DM、EN分别垂直平分AC和BC, .∴.AM=CM,BN=CN, ∴.△CMN的周长=CM+MN+CW=AM+MWN+BN=AB。 .△CMW的周长为15cm, ∴.AB=15cm。 (2).∠MFN=70°， .∠MWF+∠NMF=180°-70°=110°。 ·∠AMD=∠NMF,∠BNE=∠MNF, .∴.∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110° ∴.∠A+∠B=90°-∠AMD+90°-∠BNE=180°-110° =70°。 AM=CM.BN=CN. ∴.∠A=∠ACM,∠B=∠BCN, .∠MCN=180°-2（∠A+∠B)=180°-2×70°=40°。 15.解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°。 4÷2=2, .0≤t≤2，BP=(4-2t)cm,BQ=tcmo (1)当BP=BQ时，△PBQ为等边三角形。 即4-2t=to 4 .3 王心童《红卷》·2 答案 (2)若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP=90时，BP=2BQ, 即4-2t=21, .t=1。 ②当LBPQ=90时，BQ=2BP, 即t=2(4-2t), 8 ∴.t= 5 即当=或=1时，△P80为直角三角形。 B→Q 16.解：(1)50°R115 ②r4=0 理由：：BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB, a∠PBc=LABc,∠PG8=}∠ACR .∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠P+∠PBC+∠PCB =180°， ∠P+。(LABC+∠ACB)=180°， 3 LP+2180-∠4)=180， 2人A=90。 (3)20=90-74 17.解：(1)角平分线上的点到角两边的距离相等 (2)如图2，作DE⊥BA交BA延长线于点E,DF⊥BC 于点F, BD平分∠EBF,DE⊥BE,DF⊥BF, ∴.DE=DF。 ∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠EAD=180°， ∴.LEAD=∠C。 在△DEA和△DFC中， 「∠DEA=∠DFC, ∠DAE=∠DCF, DE=DF, .△DEA≌△DFC(AAS), 0 ·八年级数学BS版下册 ∴DA=CD (3)如图，在BC上截取BK=BD,连接DK, :AB=AC,∠A=100°， .∠ABC=∠C=40°。 ·BD平分∠ABC, ∠nax-=<hBc=20. BD=BK, ∴，∠BKD=∠BDK=80°， .∴.∠A+∠BKD=180°。 由(2)的结论得AD=DK。 ,∠BKD=∠C+∠KDC, ∴.∠KDC=∠C=40°， .DK=CK, .AD=DK=CK, .∴.BD+AD=BK+CK=BC。 FC 图2 图3 18.解：(1)如图， 当BD是“邻AB三分线”时，∠BD'C=80°+15 =95°； 当BD是“邻BC三分线”时，∠BD”C=80°+30° =110°。 ∴.∠BDC的度数为95°或110°。 (2)在△BPC中，∠BPC=140°， ∴.∠PBC+∠PCB=40°。 又：BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和LACB邻 BC三分线， ∠PBC=】∠ABC,∠PCB 3∠ACB, 3 ∠ABC+;∠ACB=40, .3 3 .∴.∠ABC+∠ACB=120°。 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， .∠A=180°-（∠ABC+∠ACB)=60°。 (3)∠rC的度数为号m或兮m或子m+1g或 王心童《红卷》·2 5n-18 第二章不等式与不等式组 19.B20.D21.B22.B23.A24.D25.B 26.C 27.x≥128.10x-5(20-x)≥14029.a≥6或a≤2 30.2或-1 31.解：(1)将点P(-2,-5)代人y1=2x+b,得-5=2× (-2)+b,解得b=-1;将点P(-2,-5)代入y2=ax- 3,得-5=a×(-2)-3,解得a=1, ∴.这两个函数的解析式分别为y1=2x-1和y2=x-3. (2)在y1=2x-1中，令=0，得x=2: A(分0)小 在y2=x-3中，令y2=0,得x=3, ∴.B(3,0)。 1 15 25 ·Sa4m2ABx5=2×2X5=4 40 (3)不等式2x+b<ax-3的解集为x<-2。 32.解：(1)> (2).M=a2+3b,N=2a2+3b+1, .M-N=(a2+3b)-(2a2+3b+1) =a2+3b-2a2-3b-1 =-a2-1。 -a2-1<0, .M<N。 (3)设A型钢板的面积为a,B型钢板的面积为b, 方案一的总面积记为S1,方案二的总面积记为S2, ∴.S1=5a+6b,S2=4a+7b, ∴.S1-S2=(5a+6b)-(4a+7b) =5a+6b-4a-7b =a-b。 每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小， 即a<b, .a-b<0,即S1<S20 33.解：(1)1<2x+y<4 （2).x+y=3, .x=3-y0 又x>2, .3-y>2, .y<1。 又.y>0, ,八年级数学BS版下册