1.2 等腰三角形暑期专项练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 初中数学暑期等腰三角形专项训练，以“性质-判定-综合应用”为主线，系统整合核心方法，强化与勾股定理、对称等知识的逻辑关联，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定与性质|5题（如第1、3、7题）|定义法、等角对等边、三线合一|从概念生成到性质推导，构建判定与性质的互逆关系| |综合计算与应用|5题（如第5、6、11题）|勾股定理结合、跨学科建模|结合直角三角形、实际场景，拓展性质的应用边界| |动态与最值问题|3题（如第13、20题）|对称法、旋转构造全等|通过动态情境，深化性质与几何变换的逻辑联系|

1.2 等腰三角形 暑期专项练习2025-2026学年北师大版 八年级数学下册 一、单选题 1．如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，所有符合条件的点C有（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．如图，为了让杆垂直插于地面，工程人员从杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，然后将杆插在的中点处（点在同一直线上），这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．等角对等边 C．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 D．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 4．一个含角的三角尺如图①所示，用两个完全相同的这种三角尺恰好能拼成一个如图②所示的等边三角形．若，则（    ） A．3 B． C．12 D．9 5．如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为（    ） A． B． C． D． 6．已知一个三角形工件尺寸（单位：）如图，则它的高l的长是（   ）． A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在的正方形网格中标出了和，则（     ）． A． B． C． D． 9．如图，梯形中，，则（     ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，且．已知点在内部或边界上，若，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．3 二、填空题 11．跨学科：如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛到鞋底处的距离，．若，且，，则淇淇的鞋底处到镜子底端的距离为________． 12．如图，O为数轴的原点，A，B两点分别对应，3，作腰长为4的等腰，连接，以O为圆心，为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数的相反数为___________． 13．如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则______． 14．如图，在中，与的平分线交于点O．过O点作，分别交于D、E．若，则的周长是____________． 15．如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律下去，_______． 三、解答题 16．在中，． (1)若，，求的长． (2)若，，求的长． 17．如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． (1)利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； (2)在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 18．如图，在中，，点D是边上一点，连接，先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接、，交于点F，且．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．一巡逻船在点处发现正北方向 海里的 点处，有一艘可疑船正沿 点的北偏东方向行驶，行驶速度 海里每小时，在巡逻船的北偏东方向有一个补给点，点在点 的正东方向．（参考数据： ， ） (1)巡逻船先直接去点补给，再沿点的正北方向行驶，准备在可疑船行驶路线上的点拦截可疑船，求的距离（结果保留一位小数）； (2)若巡逻船沿点 的路线以每小时 海里的速度行驶，补给所需时间为小时，请计算说明巡逻船能否比可疑船先到达点．（结果保留一位小数） 20．解答下列问题： (1)如图1，在中，分别以为边向外作等腰和等腰，使，连接，试猜想与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，在中，分别以为边向外作等腰和等腰，，连接，若，求的长； (3)如图3，在四边形中，连接，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C A B B B B A 1．C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴ ， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴、是等腰三角形， 故图中共有5个等腰三角形， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了作图与应用，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，学会运用数形结合的思想解决问题． 根据等腰三角形的定义和网格的特点即可求解． 【详解】解：如图所示： ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， 则一共有5个等腰三角形， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．利用等腰三角形 “三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，即可判断， 【详解】解：∵， ∴， ∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，关键根据等边三角形的性质解答． 根据等边三角形的性质解答． 【详解】解：∵纸片，用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个等边三角形， ∴． 故选：C． 5．A 【分析】过点作于，则，由等腰三角形“三线合一”的性质得，然后根据勾股定理即可求得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，则， 由题意可知，，， ∴， ∴， ∴适合小明的绳长为． 6．B 【分析】作于点，根据等腰三角形性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，，，作于点， ∴， 在中，， ∴它的高l的长是． 7．B 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 8．B 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识点． 将向上平移一个小正方形的边长到，连接，设每个小正方形的边长为，通过证明，得到，通过证明是等腰直角三角形，得到，进而得到． 【详解】如图，将向上平移一个小正方形的边长到，连接， 设每个小正方形的边长为， 则， 同理， ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 9．B 【分析】先利用等腰三角形的性质求出，再根据平行线的性质得出，最后利用等腰三角形的性质求出即可. 【详解】解：，， ， ， ， ， . 10．A 【分析】过点作，由坐标及等腰直角三角形的判定与性质求出点，再由一次函数图象与性质得到图象过点时，有最小值，此时取到最小值，将代入函数表达式求解即可． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ， ， ， 则， ，即点， ， ， 由于一次函数中可知，图象过点时，有最小值，此时取到最小值， 将代入一次函数得，， 解得． 11． 【分析】由， ，得，根据镜面的反射性质，得，由，得，得，进而利用勾股定理求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 根据镜面的反射性质，反射角等于入射角，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴（负值舍去）， 即淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为． 12． 【分析】根据数轴上点，的坐标确定的长，利用等腰三角形三线合一的性质得出，在中利用勾股定理求出的长，从而得到点表示的数，最后根据相反数的定义求解． 【详解】解：点，分别对应，， ，， 为的中点， 为等腰三角形，且腰长为， ， ， 在中，， 以为圆心，长为半径画弧交数轴于点， ， 点在原点右侧， 点对应的实数为， 点对应的实数的相反数为． 13． /80度 【分析】作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接， 关于对称， ∴， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ，即 ． 14．9 【分析】利用角平分线的定义、平行线的性质、等边对等角可知与是等腰三角形，即，，易得可得的周长等于即可解答． 【详解】解：∵在中，与的平分线交于点O， ，， ∵， ，， ，， ∴，， ∵， ∴的周长为： ． 15． 【分析】利用勾股定理及等腰直角三角形的性质可得规律，进而求解即可. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴ ，， ∴， 同理：， ……，， ∴. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）由含30度角的直角三角形的性质求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∴． 17．(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）结合网格与勾股定理的性质列式计算，作图即可； （2）运用勾股定理与勾股逆定理得又因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图： ∴． （2）证明：连接， 由画法知， 由勾股定理得， 是直角三角形，且 ∵， ． 18．(1)证明：由题意得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴； (2)． 【分析】（1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，然后利用定理即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 19．(1)可疑船行驶的路线的距离为 海里 (2)巡逻船能比可疑船先到达点 【分析】 （1）在等腰直角三角形中得到 ，在 中，由含的直角三角形及勾股定理求出，最后由 求出答案即可； （2）分别计算出巡逻船的用时及可疑船的用时，比较时间大小即可得到答案． 【详解】（1）解： 在 中， ， ， 海里， ∴ ， （海里）， 在 中， ， ，则 ， 由勾股定理可得，则， （海里）， （海里）， 答：可疑船行驶的路线的距离为 海里； （2）解：在 中， ，由勾股定理可得（海里）， 巡逻船的路程 （海里）， 巡逻船从到达所用时间为 （小时）； 由（1）知，可疑船到达点的路程为 海里，速度为 海里每小时， 可疑船到达点所用时间为 （小时）， ， 巡逻船能比可疑船先到达点． 20．(1)猜想：，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； (2)9 (3)20 【分析】（1）先说明，再根据“边角边”证明，可得答案； （2）根据等腰直角三角形的性质说明，再根据“边角边”证明，可得，然后根据勾股定理求出，接下来说明是直角三角形，最后根据勾股定理得出答案； （3）连接，可得是等边三角形，再把绕点D顺时针旋转得到，连接，则是等边三角形，然后说明，最后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】（1）略 （2）解：∵等腰和等腰中，， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵ ， ∴． ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， ∵， ∴是等边三角形， 把绕点D顺时针旋转得到，连接， 则是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $