31.1图形的相似（分层作业练题型）数学新教材人教版九年级下册

**基本信息** 以“图形的相似”为核心，通过基础认知、能力提升、综合拓展三层设计，实现从概念识别到中考应用的知识进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|相似图形识别、成比例线段计算、相似多边形定义|选择填空题为主，如相似图形辨析、比例中项求解，夯实概念理解| |能力提升|相似多边形性质应用、几何证明|解答题为主，如矩形相似判定、比例线段证明，发展推理能力| |综合拓展|中考真题与模拟题|结合实际情境，如雕像高度设计、动态矩形问题，强化模型意识与应用能力|

分层作业 31.1图形的相似 目 录 1 相似图形 1 成比例线段 2 相似多边形的定义及相关概念 3 相似多边形的性质 4 6 8 11 相似图形题型01 1．人们出行方式越来越丰富．以下四组图中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意； 选项，两个图形形状不相同，不符合相似定义，符合题意； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意； 选项，两个图形形状不同，符合相似定义，不符合题意． 2．（2025-2026·九年级·山西怀仁·学业质量检测）观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意． D、两个图形形状相同，相似，符合题意． 故选：D． 成比例线段题型02 3．（2025-2026·八年级下·山东泰安·期末）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 4．（2025--2026·九年级·安徽亳州·期中）已知三条线段a，b，c，其中b是a，c的比例中项，如果，，则b的值为______． 【答案】12 【详解】解：线段是，的比例中项 将，代入得 线段长度为正数 5．如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 【详解】(1)证明：∵在中，是斜边上的高． ∴ ∴； (2)解：是成比例线段，理由如下： ∵ ∴ ∴是成比例线段． 相似多边形的定义及相关概念题型03 6．（2025-2026·八年级下·山东泰安·期末）下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【答案】B 【详解】解：选项A：∵两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，∴两个矩形不一定相似，A不符合题意． 选项B：∵等腰直角三角形的三个内角固定为，，，对应角一定相等，且对应边一定成比例，∴两个等腰直角三角形一定相似，B符合题意． 选项C：∵的角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，会导致两个三角形对应角不一定相等，∴两个三角形不一定相似，C不符合题意． 选项D：∵两个菱形的对应角不一定相等，∴两个菱形不一定相似，D不符合题意． 7．（2025-2026·八年级下·山东青岛·期末）如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 相似多边形的性质题型04 8．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵， ∴． 9．如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选：C． 10．如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形四边形，相似比为， ，，， 选项A，D说法正确，不合题意； ， ， 选项B说法正确，不合题意； 现有条件不能得出， 选项C说法不一定正确，符合题意； 故选：C． 11．如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 【详解】（1）解：四边形与四边形相似， ， ． （2）解：∵四边形与四边形相似， ， ， 解得． 1．（2026·浙江台州·中考二模）如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知矩形划分成四个全等的矩形， 矩形的宽为，长为， 小矩形的宽为，长为， 矩形与四个小矩形相似， ， ， ，， ． 2．（2025-2026·九年级上·江西景德镇·期中）如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． 【详解】（1）解：设花圃四周绿地的宽度为米．则花圃的长为米，宽为米．由题意得 ， ， 解得或， ∵绿地的宽度不能超过原矩形的宽度，即，解得， ∴， 答：花圃四周绿地的宽度为； （2）解：矩形与矩形不相似，理由如下： 由（）知，，则矩形的长为米，宽为米． 原矩形的长与宽的比值为，矩形的长与宽的比值为． ∵ ∴矩形与矩形不相似 3．如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长为． 1．（2025-2026·九年级上·福建厦门·期末）如图，在矩形中，，，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…，按此规律继续下去，则矩形的面积为______． 【答案】 【详解】解：矩形的面积， 由勾股定理得：， 则矩形和矩形的相似比为， 矩形 矩形， 矩形的面积； 同理，矩形的面积， 矩形的面积， 则的面积为； ∴矩形的面积为． 故答案为：． 2．（2025-2026·八年级下·江苏苏州·期末）如图，将矩形放在平面直角坐标系中，点在轴正半轴，点在轴正半轴，点在第一象限且坐标为．直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段上一点，过作于点，作于点．若四边形四边形，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴矩形中点A、C的坐标为：，， 即：，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， 令，解得：，即， ∵点为线段上一点， ∴设，且， ∴，， ∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 3．（2023-2024·八年级下·山东淄博·期末）将一张平行四边形纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形相似，则平行四边形的相邻两边与的比值是______． 【答案】或 【详解】解：如图，设． 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∵剩下的平行四边形与原来平行四边形相似， ∴对应边成比例， 分两种情况讨论： ①， ∴， 设，分子分母同时除以，得：， 解得：； ②， ， 设，则：， 解得：， 两个答案都满足， 综上：平行四边形的相邻两边与的比值是或． 故答案为：或． 1．（2021·江苏无锡·中考）下列命题中，正确命题的个数为________． ①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似 ③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似 【答案】1 【详解】解：所有的正方形都相似，所以①正确； 所有的菱形不一定相似，所以②错误； 边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误； 对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误； 故答案是：1． 【点睛】本题考查了判断命题真假，熟练掌握图形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性质，是解题的关键． 2．（2024·江苏连云港·中考）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 3．（2022·湖南衡阳·中考）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（结果精确到．参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， 雷锋雕像为2m， ∴   ∴， 即该雕像的下部设计高度约是1.24m， 故选：B． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 31.1图形的相似 目 录 1 相似图形 1 成比例线段 2 相似多边形的定义及相关概念 3 相似多边形的性质 4 6 8 11 相似图形题型01 1．人们出行方式越来越丰富．以下四组图中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 2．（2025-2026·九年级·山西怀仁·学业质量检测）观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（   ）． A． B． C． D． 成比例线段题型02 3．（2025-2026·八年级下·山东泰安·期末）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 4．（2025--2026·九年级·安徽亳州·期中）已知三条线段a，b，c，其中b是a，c的比例中项，如果，，则b的值为______． 5．如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 相似多边形的定义及相关概念题型03 6．（2025-2026·八年级下·山东泰安·期末）下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 7．（2025-2026·八年级下·山东青岛·期末）如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 相似多边形的性质题型04 8．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 第8题图 第9题图 第10题图 10．如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 1．（2026·浙江台州·中考二模）如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（2025-2026·九年级上·江西景德镇·期中）如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． 3．如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． 1．（2025-2026·九年级上·福建厦门·期末）如图，在矩形中，，，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…，按此规律继续下去，则矩形的面积为______． 2．（2025-2026·八年级下·江苏苏州·期末）如图，将矩形放在平面直角坐标系中，点在轴正半轴，点在轴正半轴，点在第一象限且坐标为．直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段上一点，过作于点，作于点．若四边形四边形，则点的坐标为______． 第1题图 第2题图 第3题图 3．（2023-2024·八年级下·山东淄博·期末）将一张平行四边形纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形相似，则平行四边形的相邻两边与的比值是______． 1．（2021·江苏无锡·中考）下列命题中，正确命题的个数为________． ①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似 ③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似 2．（2024·江苏连云港·中考）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 3．（2022·湖南衡阳·中考）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（结果精确到．参考数据：，，） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 31.1图形的相似 目 录 1 相似图形 1 成比例线段 2 相似多边形的定义及相关概念 3 相似多边形的性质 4 6 8 11 相似图形题型01 1．人们出行方式越来越丰富．以下四组图中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 2．（2025-2026·九年级·山西怀仁·学业质量检测）观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 成比例线段题型02 3．（2025-2026·八年级下·山东泰安·期末）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 4．（2025--2026·九年级·安徽亳州·期中）已知三条线段a，b，c，其中b是a，c的比例中项，如果，，则b的值为______． 【答案】12 5．如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 【详解】(1)证明：∵在中，是斜边上的高． ∴ ∴； (2)解：是成比例线段，理由如下： ∵ ∴ ∴是成比例线段． 相似多边形的定义及相关概念题型03 6．（2025-2026·八年级下·山东泰安·期末）下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【答案】B 7．（2025-2026·八年级下·山东青岛·期末）如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 相似多边形的性质题型04 8．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 9．如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 10．如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 11．如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 【详解】（1）解：． （2）解： 解得． 1．（2026·浙江台州·中考二模）如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 2．（2025-2026·九年级上·江西景德镇·期中）如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． 【详解】（1）解：设花圃四周绿地的宽度为米．则花圃的长为米，宽为米．由题意得 ， ， 解得或， ∵绿地的宽度不能超过原矩形的宽度，即，解得， ∴， 答：花圃四周绿地的宽度为； （2）解：矩形与矩形不相似，理由如下： 由（）知，，则矩形的长为米，宽为米． 原矩形的长与宽的比值为，矩形的长与宽的比值为． ∵ ∴矩形与矩形不相似 3．如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长为． 1．（2025-2026·九年级上·福建厦门·期末）如图，在矩形中，，，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…，按此规律继续下去，则矩形的面积为______． 【答案】 2．（2025-2026·八年级下·江苏苏州·期末）如图，将矩形放在平面直角坐标系中，点在轴正半轴，点在轴正半轴，点在第一象限且坐标为．直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段上一点，过作于点，作于点．若四边形四边形，则点的坐标为______． 【答案】 3．（2023-2024·八年级下·山东淄博·期末）将一张平行四边形纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形相似，则平行四边形的相邻两边与的比值是______． 【答案】或 1．（2021·江苏无锡·中考）下列命题中，正确命题的个数为________． ①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似 ③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似 【答案】1 2．（2024·江苏连云港·中考）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 3．（2022·湖南衡阳·中考）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（结果精确到．参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $