30.1.2 圆的切线（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到中考衔接，覆盖切线判定、性质及综合应用，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|切线判定、性质、切线长定理、作图|基础题型，如切线判定证明题，培养推理能力| |B组能力进阶|性质与判定综合应用|中档解答题，如四边形与圆综合题，提升运算能力| |C组思维拔高|复杂情境与多知识点综合|实际情境题（如“石磨”连杆机构），发展应用意识| |拓展链接中考|中考模拟与真题|中考题型（如动态几何），强化模型意识|

分层作业 30.1.2 圆的切线 目 录 A组 巩固过关 题型01切线的判定 题型02切线的性质 题型03切线的性质与判定的综合 题型04切线长定理的应用 题型05与切线有关的作图问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 切线的判定题型01 1．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，是的直径，．求证：是的切线． 【答案】证明： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又是的半径， ∴是的切线． 【分析】先证明，可得，结合，进一步证明即可． 【详解】略 2．如图，为的直径，C为上一点，D为的中点．过点D作直线的垂线，垂足为E，连接． (1)求证：； (2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)证明：连接， 为的中点， ∴， ， ， ； (2)解：与相切，理由如下： ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， 又∵是半径， 与相切． 【分析】（1）连接，由为的中点，得到，根据圆周角定理即可得到结论； （2）根据平行线的判定定理得到，根据平行线的性质得到于是得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，为的直径，、为上的两点，，过点作直线，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； (2)16 【分析】（1）连接，等边对等角结合等量代换得到，进而得到，得到，即可得证； （2）连接，易得四边形为矩形，进而得到，垂径定理得到，勾股定理求出的长即可. 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵，交的延长线于点，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 切线的性质题型02 4．如图，为的切线，交于点，为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据切线的性质得到，利用直角三角形两锐角互余求出，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵为⊙的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 5．（2026·吉林松原·模拟预测）如图，是的直径，过上一点作的切线，所作切线与的延长线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，进而求得的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴ ∴ 6．（2026·广西玉林·模拟预测）如图为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小军受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．如图2，当与相切时，点B恰好落在上．请就图2的情形解答下列问题： (1)若，求的度数． (2)若线段与交于点C，，，求的半径． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）连接，标记点，由切线的性质可得，由题意可得，从而得出，再由圆周角定理计算即可得出结果； （2）设的半径为，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，连接，标记点， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由圆周角定理可得， ∴； （2）解：设的半径为，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 切线的性质与判定的综合题型03 7．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的判定与性质、切线长定理、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 8．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，平行线的判定和性质证明即可； （2）过点O作，垂足为点F，根据矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：过点O作，垂足为点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵，的半径为． 在中，， ， 即． 9．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，是的外接圆，点在的延长线上，且，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，则_________°． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， 是半径， 是的切线； (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质． （1）根据，可得，再计算即可； （2）根据直角三角形的性质可得，则，再通过证明，可得即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：根据（1）可得， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 切线长定理的应用题型04 10．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，，是的切线，，为切点，连结，长为，，则的半径为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由切线的性质可得，，进而可证明，则，使用三角函数计算出的值即可． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，． 11．（2026·广东肇庆·三模）如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 12．已知，如图，是的直径，直线，分别切于点，点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求出的长． 【答案】(1)证明：连接， 直线，分别切于点， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ∴； (2)的长． 【分析】（1）连接，根据切线长定理可知，证明，可知，根据圆周角定理得到，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，可知，进而得到，根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴ ， ， ， ， 的长． 13．如图，，与相切，切点分别为，，与相切于点，分别交，于点，．已知，的长是关于的一元二次方程的两个根． (1)求的值； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线的性质得到，得到方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式列式计算即可； （2）根据切线长定理得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵，与相切， ∴， ∵，的长是关于x的一元二次方程的两个根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得：， 解得：， 则m的值为2； （2）解：当时，原方程为， 解得：，即， ∵，与相切，与相切， ∴，， ∴的周长． 14．如图，是半圆O的直径，，切半圆于点D，，交的延长线于F，交的延长于点E． (1)求证：； (2)若，，求点C到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点C到的距离为 【分析】本题主要考查了圆的性质，切线的定义与性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用切线长定理可证明，，从而可得，，则，即可证得； （2）连接，由，可得，则，设，，则，由是半圆O的直径，可得和都直角三角形，利用公共直角边，可得，可得，再由可得，可求得，，再证明即可求解． 【详解】（1）解：∵， ，是半圆O的直径， ∴是的切线，是的切线，， ∵是的切线， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． （2）解：如图，连接， 由（1）可知，则， ∵， ∴， ∴， 设，，则， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， 解得，即， ∴，即，， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴． 与切线有关的作图问题题型05 15．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）要求用无刻度的直尺和圆规，过圆外一点作已知圆的切线．两同学提供了如下作图方案（图1和图2）． 方案Ⅰ①连接，作的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，为半径，作圆交圆于点，连接． 方案Ⅱ①以为圆心，为半径画弧； ②以点为圆心，为半径画弧，与①中的弧交于点，连接交圆于点，连接． 对于方案I和II，说法正确的是（   ） A．I可行，II不可行 B．I不可行，II可行 C．I，II都可行 D．I，II都不可行 【答案】A 【分析】本题考查了作圆的切线，直径所对的圆周角是直角；根据作图方法以及切线的判定，判断两个作图方法，即可求解． 【详解】解：对于方案I，如图，连接， ∵是直径， ∴ ∴， 又∵是半径， ∴是的切线；故I正确； 对于方案II， 根据作图可得，则是等边三角形， 而不一定成立，故不一定成立， ∴不一定是的切线，故方案II，不可行 故选：A． 16．（25-26九年级下·江苏南京·开学考试）如图，已知及点，利用直尺和圆规过点作的切线． (1)如图①，点在外． (2)如图②，点在外． （要求：不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）过点作直线，则直线为的切线； （2）连接，作的垂直平分线得到的中点，再以为圆心，为半径作圆交于、两点，则直线、为的切线； 【详解】（1）如图，直线为所作． （2）如图，、为所作． 17．（25-26九年级上·河北保定·期中）综合与实践 【情境】数学兴趣小组在学习《圆》这一章时确定的研究主题是过圆外一点作圆的切线的尺规作图方法． 【模型】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．    【操作】博学小组通过讨论给出了如下解决方案： 已知：及圆外一点，如图1．   求作：过点作的一条切线． 作法：①连接； ②作的________，交于点； ③以点为圆心，长为半径作，交于点； ④作直线． 直线即为所求作的一条切线． （1）博学小组给出的方案中空缺的内容为__________________． （2）请你根据博学小组的作图方案说明图1中的直线符合要求的理由． 【类比】善思小组通过思考给出了如下解决方案： 已知：及圆外一点，如图2．       求作：过点作的一条切线． 作法：①连接，交于点； ②过点作的垂线； ③以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ④连接交于点； ⑤作直线． 直线即为所求作的一条切线． （3）善思小组的作图方案可行吗？若可行，请你写出证明过程；若不可行，请说明理由． 【拓展】（4）关于“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图，请你再给出一种作法．（保留作图痕迹，简要说明作图步骤） 【答案】（1）垂直平分线；（2）见解析；（3）可行，证明见解析；（4）见解析 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据作图步骤即可得到解答； （2）由作图可知为的直径，则，得到．由是的半径即可证明直线为的切线； （3）由作图知于点，，，再证明可得，进而证明结论； （4）如图：连接，交于点，作直径；以点为圆心， 长为半径作弧；以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，交于点，作直线． 直线即为所求作的一条切线． 【详解】解：（1）垂直平分线． （2）理由：如图1，连接． 为的直径， ，． 是的半径， 直线是的切线． （3）可行． 证明：由作图知于点，，， ． 又， ， ，即． 是的半径， 直线是的切线． （4）如图2， ①连接，交于点，作直径； ②以点为圆心， 长为半径作弧； ③以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，交于点，作直线． 直线即为所求作的一条切线． 证明：由作图过程可得：， ∴， ∴， ∴直线为的一条切线． 18．（2026·河南平顶山·三模）如图，A是外一点，连接并延长，交于点，与相切于点，是上一点，连接， ．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，利用切线的性质求解，可得，进一步利用圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．如图，E为的直角边上一点，以为半径的半圆与斜边相切于点D．已知，，则的半径的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 【答案】B 【分析】连接，，设的半径的长为r，证明得到，由勾股定理求出长，由勾股定理列出关于r的方程，即可求解． 【详解】解：连接，，设的半径的长为r， ∵与半圆相切于D， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴的半径的长为3． 20．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，过点A，B的与x轴相切于点B，与y轴交于另一点C（在点A上方），连接．若平分，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点D，求出．根据含角的直角三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：延长交于点D，如图1，则是直径． ∵与x轴相切于点B， ∴轴，即， ∴轴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴所对的圆心角的度数为， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可． 【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为， 当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为， 综上所述，向下平移的距离为1或5． 故选：D． 【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键． 22．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）尺规作图： (1)如图，点在直线上，点C在直线外，作经过，两点且与相切． (2)已知⊙O．求作一点，过点作出的两条切线分别为，点为，．且使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查尺规作图，解题的关键在于掌握垂直平分线和角平分线的作法，结合题意作图； （1）所求圆经过点和，且与直线相切于，关键在于意识到：圆心必须在的垂直平分线上；同时，圆心必须在过点且垂直于的直线上（因为切点与圆心的连线垂直于切线）因此圆心是这两条直线的交点． （2）圆心与切点的连线垂直切线，所以与圆心角互补，已知，则，利用垂直构造，利用角平分线构造，即可构造，再作过点的切线相交于点即可． 【详解】（1） 作图步骤如下： ①以点为圆心任意画圆，与直线相交于，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，则垂直平分，所在直线为直线（圆心在此线上）； ②连接，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在直线为直线； ③直线与的交点即为所求圆心； ④以为圆心，为半径作圆． 故圆为符合题意的圆． （2） 作图步骤如下： ①先作直径，分别以点，点为圆心，大于画弧，交点分别为点，，连接与圆相交于，则垂直平分； ②以点，为圆心，大于为为半径画弧，交于点，连接与圆交于点，则平分，使得； ③以点为圆心，为半径作圆，延长，与圆交于点，以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在的直线即为圆切线，切点为；以点为圆心，为半径作圆，延长，与圆交于点，以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在直线即为圆切线，切点为；两切线交于点，则，． 故所作切线，所成． 23．（2026·广东东莞·三模）如图，在中， (1)实践与操作：点在线段上，以为圆心作，恰好过，两点，并与线段交于另一点；小东在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点与点，并补全． (2)在（1）的条件下，若．求证：直线是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如下图所示，连接， 则， ， ， ， ， 为的半径， 直线是的切线． 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆，与交于点，则点，点与为所求； （2）连接，利用圆周角定理得到，则可证明，再利用圆的切线的判定定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 24．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形是正方形，以点A为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点E，连接并延长，交于点F． (1)求证：． (2)若，求． 【答案】(1)见解析； (2)1； 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理等知识点，解决此题的关键合理的作出辅助线； （1）先根据全等三角形的判定定理得到三角形全等，根据切线的判定定理判定切线，进而可以得到答案； （2）设出未知数，根据正方形的性质用未知数表示出对应边的长度，运用勾股定理进而可以得到答案； 【详解】（1）解：如图，设的中点为O，连接， ， 在正方形中， 由题可知：， 又∵， ∴ ∴， 又∵是半径， ∴是的切线， 又∵是的切线， ∴； （2）解：在正方形中， ， ∴，， 设为，则， ∴， 在中， 即， 解得：， ∴的长为1． 25．如图，在中，，点D是边的中点，点O是边上的点，以O为圆心，为半径的交于点F，E，G，且点E是弧的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：连接交于点M， ∵， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵点E是弧的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是的切线； (2)3 【分析】（1）连接交于点M，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理及垂径定理得出，得出四边形是矩形，即可得证； （2）设，则，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴的半径为3． 26．（25-26九年级下·河南商丘·阶段检测）如图，已知四边形中，，以为直径作与边相切于点E． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，连接，交于点M，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件得到是的切线，根据切线的性质得到，然后结合，即可得到结论． （2）连接，证明三角形是等边三角形，再推出，从而解直角三角形得到长即可． 【详解】（1）证明：∵ 且点B在上， ∴是的切线，且， 又∵与边相切， ∴， ∴， 又， ∴， 即． （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是含有角的直角三角形， ∴． 27．《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何．”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点D，，分别与相切于点E，F，求的半径．根据题意，的半径是（   ） A．100步 B．120步 C．140步 D．160步 【答案】B 【分析】此题考查了切线的性质，正方形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 如图所示，连接，证明四边形是正方形，设步，根据切线长定理，得到步，步，利用勾股定理求出，然后构建方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，． ∵，是的切线， ∴，． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． 设步，则步，步， ∵，，是的切线， ∴步，步． ∵步， ∴步． ∴． ∴． 故选：B． 28．如图，在中，，，，点以的速度在边上沿的方向运动．以为圆心作半径为的圆，运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为__________秒． 【答案】 【分析】要求第一次相切和第三次相切的时间间隔，题目已知速度，那么就要求第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差，根据公式：时间=路程÷速度即可求解． 【详解】解：第一次相切如图①， ∵，， ∴， 即第一次相切圆心运动的距离为． 第二次相切如图②， ，， 第三次相切如图③， ∵，， ∴， 第三次相切圆心运动的距离为， ∴第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差为：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值以及求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离，解题的关键是求出第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差． 29．如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标______． 【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0） 【分析】先分别求得与直线l相切时点P的坐标，然后再判断与直线l相交时点P的横坐标x的取值范围，即可求得坐标为整数的点P的坐标． 【详解】如图，与分别切AB于D、E． 由，，易得，则A点坐标为． 连接、，则、，则在中，， 同理可得，，则的横坐标为，的横坐标为， 当与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为， 横坐标为整数的点P的坐标为、、． 故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得与直线l相切时点P的坐标是解题的关键． 30．如图，已知是的直径，与相切于点C，过点B作，交延长线于点E． (1)求证：是的平分线； (2)若，的半径，求的长． 【答案】(1)证明：∵与相切于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是的平分线； (2)4.8 【分析】（1）根据切线的性质得出，求出，求出，，求出，根据角平分线的定义得出即可； （2）过C作于M，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出，根据角平分线的性质得出，再求出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，过点C作于M， ∵是的平分线，， ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵是的平分线，且， 即． 31．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬起整个地球！”这运用的是杠杆原理．如图1，表示地球，点P是支点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出撬起地球的杠杆（直线），使其经过点P，且与相切于点D．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，连接交于点B，延长交于点A，C为下方的上一点，且，在图1的条件下，若D为的中点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的性质与判定，作垂线，掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，以的中点为圆心为半径作弧，交于点，作直线，即可求解． （2）根据垂径定理的推论可得，根据切线的性质可得，则得出，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图（1），连接，先作的垂直平分线， 再以的中点为圆心，为半径作弧，交于点， （直径所对圆周角为）， 即， 直线即为所求作的直线； （2）解：如图， ∵是的切线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又， ． 32．如图，是的直径，是的半径，，点为上方圆周上一点，连接，，交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在射线上取点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证：是的切线． (3)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，即， ∴． ∵为的半径， ∴是的切线． (3) 【分析】（1）根据题意作的垂直平分线交于点； （2）根据得出，根据对顶角相等可得，则，根据，得出，由可得即，即可得证； （3）设，则，由（2）可知，且，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设． ∵， ∴． ∵， ∴， 由（2）可知，且， ∴在中，由勾股定理，得， ∴，解得， ∴的长为． 33．如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切于点A，与x轴交于B、C两点，D为的中点，反比例函数的图象经过圆心和点，与交于左上方的点Q． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标； (3)P为反比例函数图象上一点（包括端点），当时，直接写出点P的横坐标m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接、，交x轴于F．根据圆的切线的性质和垂径定理可得轴，轴，再结合点的坐标，得出，，即可得解； （3）先求出，由和同底可知，边上的高越大，面积越大，过反比例函数图象上的点分别作的平行线，观察图象，即可得出点P的横坐标m的取值范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得． ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图，连接、，交x轴于F． ∵与y轴相切于点A，D为的中点， ∴轴，轴， ∵， ∴，， ∴， ∴． （3）解：反比例函数的图象经过点， ，解得： ， 和是同底三角形， 底上的高越大，面积越大， ， 点到的距离大于点到的距离， 如图，过反比例函数图象上的点分别作的平行线， 观察可知，当点在点右侧时，点到AB的距离大于点到的距离， ，， 点P的横坐标m的取值范围为． 34．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线与大圆相交于D，平分． (1)证明：直线是小圆的切线； (2)试证明：； (3)若，，求大圆与小圆形成的圆环的面积． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)． 【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握切线的判定、全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）只要证明垂直即可得出是小圆的切线； （2）利用全等三角形的判定得出，从而得出，从而得到，从而证明； （3）根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积． 【详解】（1）解：连接，过O作，垂足为E， 是小圆的切线，经过圆心O， ， 平分，， ，，， ， ， 是小圆的半径， 是小圆的切线； （2）切小圆于点A，切小圆于点E， ，，， ， ， ∵， ∴， ， ； （3）， ，， ， ， ， 又， 圆环的面积为：． 35．（1）如图，已知是上的四个点，交于点，连接．求证：平分； （2）如图，与相切于点与相切于点．求的半径． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）等弦对等弧，进而证明角相等，可证平分； （2）通过切线的性质得到，再结合，可证明四边形为正方形，即可求出的半径． 【详解】解：（1）证明：， ， ， 平分． （2）与相切于点与相切于点， ． 四边形为正方形， ，即的半径为4． 【点睛】该题考查圆周角定理、切线的性质、正方形的判定，解题的关键是掌握圆周角定理、正方形的判定． 36．阅读理解：对于题目“已知及圆外一点P，如何过点P作出的切线？”甲乙的作法如图： 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点G，以点G为圆心，长为半径画弧交于M，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于B，C两点，分别以P，O为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交于点M，作直线．直线即为所求． (1)下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的作法都正确                    B．甲和乙的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误            D．乙的作法正确，甲的作法错误 (2)请以甲的作图为例，直线若是的切线，请给与证明；若不是请说明理由． (3)如图，是的直径，且，点P为外一点，作出分别切于点A、C两点．与的延长线交于点D． ①当______时，四边形是正方形． ②当为等边三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)A (2)证明见解析 (3)①3② 【分析】（1）根据甲乙的作法判断即可得出结论． （2）对于甲的作法，连接，利用基本作图得到垂直平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作法：利用基本作图得到，，由于，所以，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断乙的作法正确． （3）①当时，利用切线长定理，先证明四边形是菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得证； ②连接，易得是含30度角的直角三角形，进行求解即可． 【详解】（1）解：甲和乙的作法都正确， 故选：A． 证明见小问（2）； （2）解：对于甲的作法： 连接 由作法得垂直平分， ∴， ∴点为以为直径的圆与的交点， ∴， ∴， ∴为的切线，所以甲的作法正确； 对于乙的作法： 由作法得，， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，所以乙的作法正确； （3）①当时，四边形是正方形，证明如下： ∵分别切于点A、C两点， ∴，， ∴， ∵是的直径，且， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； ②连接， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵为切线， ∴，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质和切线的判定和性质，正方形的判定，圆周角定理，切线长定理，等边三角形的性质，熟练掌握相关性质，是解题的关键． 37．如图1，是的外接圆，为直径，点是外一点，且，连接交于点，交于点，延长交于点，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是的切线； (3)在（2）的条件下，连接交于点，连接，若的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的逆定理得为线段的垂直平分线，再根据垂径定理证明 ； （2）设，根据得，设的半径得，在中，根据得，进而得，在中，由勾股定理计算，进而得，，，易得，从而，进而证明是的切线； （3）过点作于点，过点作于点，连接，，由得，、、，进而得，易得，进而由 得，由四边形是矩形得，由得，计算得，在中，由勾股定理得，得，在中，根据勾股定理计算． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，， 为线段的垂直平分线， ， 又是的直径， ； （2）证明：在中，， ， 设，则，设的半径，则 在中，， ， 解得， 又 ， 在中，， ，，， ， ，即， 又是的半径， 是的切线； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点，连接，， ， 的半径， ，， 由（2）知， ，，， 由（2）得， ， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，． 38．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光 已知，点，在上，，点在上，连接，，作的外接圆． (1)当时， ①如图，若是的直径，则的半径为 ； ②如图，若，求的半径． (2)当时，如图，若与相切于点，用直尺和圆规作出点的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)设，对于每一个的值，的半径随着点的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的的取值范围（可用含的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2)作图见解析 (3)当时， 最小值；当时，最小值 【分析】（）①由圆周角定理得，进而可得是等腰直角三角形，即得，再利用勾股定理求出即可求解；②过点作的垂线，垂足分别为，过点作，垂足为，连接，由等腰直角三角形的性质可得，即得，，由垂径定理得，再根据矩形的性质得，，设，则，利用勾股定理可得，即得，再求出即可求解； （）作的垂直平分线交于点，由可知是等腰直角三角形，即可得是等腰直角三角形，故与相切于点，点即为所求； （）当以为直径的圆与相切时，可得，再分和两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：①∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴的半径为， 故答案为：； ②如图，过点作的垂线，垂足分别为，过点作，垂足为，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， 在和中，由勾股定理得，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴的半径为； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：如图，以为直径的圆与相切时，，， 即， ∵， ∴， ∴， 即， 当时， ； 当时，可知当与相切时，半径最小，如图，过点作于，的延长线交于点，连接，则， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得； 综上，当时， 最小值；当时，最小值． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，切线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 39．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点，则可设，，根据，得到，同理可得，则，而，即可得到，即可求解． 【详解】解：设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵为的内切圆， ∴ 设， ∵ ∵，，，， ∴ ∴， ∵和的内切圆半径相等 ∴同理可得， ∴ 又∵ ∴ 解得，即． 40．（2026·广东·中考真题）如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 【答案】证明：连接 ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵点在上， ∴为半径， ∴直线是的切线． 【分析】连接，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明为等腰三角形，则由三线合一得到，即可证明． 【详解】略 41．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)； (2)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线。 【分析】（1）连接，先求出长度，利用垂径定理得，再在中由勾股定理算出，进而求出； （2）连接，由垂直平分线性质得，等边对等角得，结合推出，再利用得，等量代换证明，依据切线判定定理证为切线。 【详解】（1）解：连接， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴； （2）略 42．（2026·山东德州·中考真题）如图，在中，点为上一点，点是的中点，是的直径．过点作的切线交的延长线于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， 是直径，点在上， 是的中点， ， 在和中，， ， ， ， 是的半径， 与相切． (2) 【分析】（1）连接，通过 证 ，再结合点在上，即可得证； （2）阴影部分的面积为，通过线段转化即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，， ， ， ， 阴影部分的面积为 ． 43．（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 44．（2026·湖南·中考真题）如图，在等腰中，．在上取一点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；作射线交于点；以为圆心，的长为半径作． (1)求证：与⊙相切； (2)已知，，求⊙的半径． 【答案】(1)证明：由尺规作图的作法可知，射线是的角平分线， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵是的半径，且点在上， ∴与相切； (2)的半径为 【分析】（1）由尺规作图作法可知，射线平分；又，为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得．因是的半径，且点在直线上，即可证与相切； （2）由、，根据三线合一可知是底边的中线，则可得．在中，运用勾股定理即可求出的半径． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等腰三角形，且， ∴是底边的中线， ∴， 在中，， ∴的半径为． 试卷第2页，共63页 14 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 30.1.2 圆的切线 目 录 A组 巩固过关 题型01切线的判定 题型02切线的性质 题型03切线的性质与判定的综合 题型04切线长定理的应用 题型05与切线有关的作图问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 切线的判定题型01 1．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，是的直径，．求证：是的切线． 2．如图，为的直径，C为上一点，D为的中点．过点D作直线的垂线，垂足为E，连接． (1)求证：； (2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，为的直径，、为上的两点，，过点作直线，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 切线的性质题型02 4．如图，为的切线，交于点，为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·吉林松原·模拟预测）如图，是的直径，过上一点作的切线，所作切线与的延长线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·广西玉林·模拟预测）如图为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小军受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．如图2，当与相切时，点B恰好落在上．请就图2的情形解答下列问题： (1)若，求的度数． (2)若线段与交于点C，，，求的半径． 切线的性质与判定的综合题型03 7．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 8．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 9．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，是的外接圆，点在的延长线上，且，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，则_________°． 切线长定理的应用题型04 10．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，，是的切线，，为切点，连结，长为，，则的半径为（   ）． A． B． C． D． 11．（2026·广东肇庆·三模）如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 12．已知，如图，是的直径，直线，分别切于点，点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求出的长． 13．如图，，与相切，切点分别为，，与相切于点，分别交，于点，．已知，的长是关于的一元二次方程的两个根． (1)求的值； (2)求的周长． 14．如图，是半圆O的直径，，切半圆于点D，，交的延长线于F，交的延长于点E． (1)求证：； (2)若，，求点C到的距离． 与切线有关的作图问题题型05 15．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）要求用无刻度的直尺和圆规，过圆外一点作已知圆的切线．两同学提供了如下作图方案（图1和图2）． 方案Ⅰ①连接，作的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，为半径，作圆交圆于点，连接． 方案Ⅱ①以为圆心，为半径画弧； ②以点为圆心，为半径画弧，与①中的弧交于点，连接交圆于点，连接． 对于方案I和II，说法正确的是（   ） A．I可行，II不可行 B．I不可行，II可行 C．I，II都可行 D．I，II都不可行 16．（25-26九年级下·江苏南京·开学考试）如图，已知及点，利用直尺和圆规过点作的切线． (1)如图①，点在外． (2)如图②，点在外． （要求：不写作法，保留作图痕迹） 17．（25-26九年级上·河北保定·期中）综合与实践 【情境】数学兴趣小组在学习《圆》这一章时确定的研究主题是过圆外一点作圆的切线的尺规作图方法． 【模型】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．    【操作】博学小组通过讨论给出了如下解决方案： 已知：及圆外一点，如图1．   求作：过点作的一条切线． 作法：①连接； ②作的________，交于点； ③以点为圆心，长为半径作，交于点； ④作直线． 直线即为所求作的一条切线． （1）博学小组给出的方案中空缺的内容为__________________． （2）请你根据博学小组的作图方案说明图1中的直线符合要求的理由． 【类比】善思小组通过思考给出了如下解决方案： 已知：及圆外一点，如图2．       求作：过点作的一条切线． 作法：①连接，交于点； ②过点作的垂线； ③以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ④连接交于点； ⑤作直线． 直线即为所求作的一条切线． （3）善思小组的作图方案可行吗？若可行，请你写出证明过程；若不可行，请说明理由． 【拓展】（4）关于“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图，请你再给出一种作法．（保留作图痕迹，简要说明作图步骤） 18．（2026·河南平顶山·三模）如图，A是外一点，连接并延长，交于点，与相切于点，是上一点，连接， ．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 19．如图，E为的直角边上一点，以为半径的半圆与斜边相切于点D．已知，，则的半径的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 20．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，过点A，B的与x轴相切于点B，与y轴交于另一点C（在点A上方），连接．若平分，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 22．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）尺规作图： (1)如图，点在直线上，点C在直线外，作经过，两点且与相切． (2)已知⊙O．求作一点，过点作出的两条切线分别为，点为，．且使． 23．（2026·广东东莞·三模）如图，在中， (1)实践与操作：点在线段上，以为圆心作，恰好过，两点，并与线段交于另一点；小东在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点与点，并补全． (2)在（1）的条件下，若．求证：直线是的切线． 24．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形是正方形，以点A为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点E，连接并延长，交于点F． (1)求证：． (2)若，求． 25．如图，在中，，点D是边的中点，点O是边上的点，以O为圆心，为半径的交于点F，E，G，且点E是弧的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 26．（25-26九年级下·河南商丘·阶段检测）如图，已知四边形中，，以为直径作与边相切于点E． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，连接，交于点M，若，求的长． 27．《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何．”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点D，，分别与相切于点E，F，求的半径．根据题意，的半径是（   ） A．100步 B．120步 C．140步 D．160步 28．如图，在中，，，，点以的速度在边上沿的方向运动．以为圆心作半径为的圆，运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为__________秒． 29．如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标______． 30．如图，已知是的直径，与相切于点C，过点B作，交延长线于点E． (1)求证：是的平分线； (2)若，的半径，求的长． 31．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬起整个地球！”这运用的是杠杆原理．如图1，表示地球，点P是支点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出撬起地球的杠杆（直线），使其经过点P，且与相切于点D．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，连接交于点B，延长交于点A，C为下方的上一点，且，在图1的条件下，若D为的中点，求的度数． 32．如图，是的直径，是的半径，，点为上方圆周上一点，连接，，交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在射线上取点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证：是的切线． (3)在（1）的条件下，若，，求的长． 33．如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切于点A，与x轴交于B、C两点，D为的中点，反比例函数的图象经过圆心和点，与交于左上方的点Q． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标； (3)P为反比例函数图象上一点（包括端点），当时，直接写出点P的横坐标m的取值范围． 34．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线与大圆相交于D，平分． (1)证明：直线是小圆的切线； (2)试证明：； (3)若，，求大圆与小圆形成的圆环的面积． 35．（1）如图，已知是上的四个点，交于点，连接．求证：平分； （2）如图，与相切于点与相切于点．求的半径． 36．阅读理解：对于题目“已知及圆外一点P，如何过点P作出的切线？”甲乙的作法如图： 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点G，以点G为圆心，长为半径画弧交于M，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于B，C两点，分别以P，O为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交于点M，作直线．直线即为所求． (1)下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的作法都正确                    B．甲和乙的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误            D．乙的作法正确，甲的作法错误 (2)请以甲的作图为例，直线若是的切线，请给与证明；若不是请说明理由． (3)如图，是的直径，且，点P为外一点，作出分别切于点A、C两点．与的延长线交于点D． ①当______时，四边形是正方形． ②当为等边三角形时，直接写出的长． 37．如图1，是的外接圆，为直径，点是外一点，且，连接交于点，交于点，延长交于点，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是的切线； (3)在（2）的条件下，连接交于点，连接，若的半径为3，求的长． 38．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光 已知，点，在上，，点在上，连接，，作的外接圆． (1)当时， ①如图，若是的直径，则的半径为 ； ②如图，若，求的半径． (2)当时，如图，若与相切于点，用直尺和圆规作出点的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)设，对于每一个的值，的半径随着点的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的的取值范围（可用含的式子表示）． 39．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 40．（2026·广东·中考真题）如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 41．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 42．（2026·山东德州·中考真题）如图，在中，点为上一点，点是的中点，是的直径．过点作的切线交的延长线于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 43．（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 44．（2026·湖南·中考真题）如图，在等腰中，．在上取一点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；作射线交于点；以为圆心，的长为半径作． (1)求证：与⊙相切； (2)已知，，求⊙的半径． 试卷第2页，共63页 14 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $